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La raíz cuadrada

La raíz cuadrada siempre es un número mayor o igual que cero La raíz cuadrada siempre es un número mayor o igual que cero

Es muy probable que muchos estudiantes de matemáticas de secundaria y bachillerato no tengan muy claro el concepto de raíz cuadrada. Lo digo porque cuando calculamos la "raíz de cuatro" a veces escribimos \(\sqrt{4}=2\) y otras veces escribimos \(\sqrt{4}=\pm2\) ¿Por qué esta confusión? Bueno, el problema radica en saber lo que estamos haciendo en cada momento. No es lo mismo hacer un uso puramente numérico o algebraico de una raíz cuadrada (cuando se procede a simplificar una expresión númerica o algebraica en la que aparecen radicales, por ejemplo), que resolver una ecuación de segundo grado, cuya conocida fórmula contiene la raíz cuadrada.

Para intentar clarificar todo esto voy a transcribir, prácticamente igual, la sección donde se habla de todo esto, del libro Cálculo diferencial e integral de Javier Pérez González, profesor del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada, cuya lectura recomiendo efusivamente a los alumnos que vayan a estudiar o estudien un primer curso de matemáticas en cualquier grado universitario.

Definición

Para cada número real \(x\geqslant0\), representamos por \(\sqrt{x}\) al único número mayor o igual que cero cuyo cuadrado es igual a \(x\).

Una función aparentemente caprichosa

Acabamos de definir la función "raíz cuadrada". Si tras leer detenidamente la definición te preguntara: ¿cuál es el valor de \(\sqrt{x^2}\)? ¿Qué me responderías? Es muy posible que tu respuesta sea \(x\). ¡Pues no es correcto! Si fuera correcta tu respuesta entonces \(\sqrt{(-2)^2}=-2\) y, según la definición, la raíz cuadrada ha de ser un número mayor o igual que cero, y \(-2\) no lo es. Si se responde a la pregunta de manera meditada, verás que la respuesta correcta es \(|x|\). En efecto, se tiene que \(|x|^2=x^2\) y, además, \(|x|\geqslant0\), por tanto \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Muchos estudiantes tienen la idea de que la raíz cuadrada de un número real positivo es una veces positiva y otras veces negativa, y muchos creen que puede tomar los dos valores y, en este caso, deben pensar que \(\sqrt{x^2}=\pm x=\{x,\,-x\}\). Cosas más raras se han visto. Toda esta "magia" lleva a situaciones bastante extrañas. Por ejemplo, es sabido que la distancia entre dos puntos del plano \((a,b)\) y \((c,d)\) viene dada por \(\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\). En particular, la distancia entre los puntos \((a,b)=(1,2)\) y \((c,d)=(1,3)\) es \(\sqrt{(1-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{(-1)^2}=-1\). ¿Una distancia negativa? No, la raíz cuadrada no es una función caprichosa y su definición no deja lugar a dudas: la raíz cuadrada de un número positivo es también un número positivo, o sea \(\sqrt{(-1)^2}=|-1|=1\) (de ahí la importancia de las definiciones en matemáticas).

¿De dónde procede esta confusión tan extendida? Pues viene de muy atrás, de cuando en el instituto se aprende (¿realmente se aprende?) a resolver la ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\) cuyas soluciones son los números

\[\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Ahí está el problema: en el confuso símbolo \(\pm\) delante de la raíz. Es eso lo que lleva a muchos a pensar que las raíces cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a la elección del sigo \(+\), y otro negativo que corresponde a la elección del signo \(-\) en la expresión anterior. Lo más lamentable es que toda esta confusión no es más que producto de la pereza. Veamos: cuando se aprende a resolver la ecuación de segundo grado se obtienen las soluciones

\[\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad;\quad\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores (y me incluyo), por pereza, resumen las dos soluciones obtenidas anteriormente en la expresión única

\[\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Eso explica cosas bastante incomprensibles como, por ejemplo, escribir \(+\sqrt{3}\) ¿Acaso escribes \(+7\)? No, sabes que \(7\) es un número positivo y parece totalmente improcedente escribir \(+7\). Entonces, ¿por qué escribir \(+\sqrt{3}\)? Porque \(\sqrt{3}\) es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se le llama magia matemática, está bastante más extendida de lo que se pueda creer y no solamente entre estudiantes.

En definitiva, creo que ha quedado claro sin lugar a dudas que \(\sqrt{x^2}=|x|\) y que la raíz cuadrada no es una función caprichosa.

Por cierto si usas una calculadora, nunca te devolverá \(-2\) si haces la raíz cuadrada de cuatro. Y, cualquier programa que haga gráficas de funciones, considerará siempre la función \(\sqrt{x}\) como un número positivo (tal y como se dice en la definición). En desmos, la gráfica de \(\sqrt{x}\) es así (y en cualquier otro programa también):

raiz cuadrada 2

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