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Pitágoras

  • Visto: 2993 veces

Releyendo el libro Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas de Antonio J. Durán, el cual recomiendo, me encuentro con un pasaje importante para ver el gran paso que, en las matemáticas, se dio en el mundo griego, en particular en la época de Pitágoras. Lo expongo a continuación.

Los matemáticos babilónicos habían descubierto el secreto que liga las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo muchos siglos antes de Pitágoras.

Sabían que si los catetos de un triángulo rectángulo miden \(3\) y \(4\) entonces su hipotenusa mide \(5\); y si estos miden \(119\) y \(120\), entonces la hipotenusa mide \(169\); o si miden \(65\) y \(42\), entonces la hipotenusa mide \(97\).

Sin embargo, a partir de los primeros matemáticos griegos, y Pitágoras fue el más importante de ellos, además de descubrir secretos ocultos, el matemático tiene que hacer algo más: tiene que "demostrar" la veracidad de ese secreto que dice haber encontrado. Pitágoras y sus seguidores propusieron algo que no se ha encontrado en las matemáticas babilónicas: primero afirmaron que la relación entre los catetos y la hipotenusa no sólo se da en unos cuantos triángulos rectángulos, sino en todos los triángulos rectángulos que puedan existir y, segundo, proporcionaron una "demostración" de ese hecho.

Es muy posible que los matemáticos babilónicos midieran, de manera más o menos aproximada, los dos catetos y luego la hipotenusa para verificar la relación entre ellos. Pitágoras, en cambio, se cuestionó si esa propiedad era cierta en todos los triángulos rectángulos. Esto es algo muy ambicioso; y hay, además, algo raro y pretencioso en plantearse si la propiedad vale o no en "todos" los triángulos rectángulos. Puesto que es evidente que no puedo dibujar y medir todos los triángulos rectángulos, ¿cómo saber entonces que la propiedad se verifica en todos? Pitágoras hizo entonces otra propuesta ciertamente singular, aunque consecuente con su pretensión: para que este tipo de afirmaciones ambiciosas se puedan tomar en serio, hay que justificarlas adecuadamente, dar algún tipo de razón que vaya más allá de comprobar lo que ocurre en unos cuantos casos particulares.

Y una justificación adecuada es un razonamiento que nos convenza, fuera de toda duda, de la verdad de nuestra afirmación. Es algo cualitativamente muy diferente a la comprobación de unos cuantos casos. Esa exigencia que los matemáticos griegos se impusieron hace que sus matemáticas tengan un olor y un sabor muy distinto al que tenían las matemáticas de babilonios y egipcios. Y ese oler y ese saber distinto nos está señalando algo fundamental: que los griegos parieron unas matemáticas distintas, cualitativamente distintas, a las que hicieron otras culturas anteriores. Unas matemáticas muchísimo más sofisticadas y ambiciosas, y cuyas características son prácticamente idénticas a las que nosotros seguimos haciendo hoy en día.

Esto quedará más claro con un ejemplo, con una justificación adecuada del teorema de Pitágoras. O con una "demostración", que es la palabra que empleamos los matemáticos para referirnos a una "justificación adecuada". En esta presentación, sin palabras, sólo imágenes, tienes una demostración del teorema de Pitágoras.

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1. Repaso de la recta en el plano afín

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Sobre la figura 1 recordamos las distintas formas de la recta en el plano afín.

recta 01 

Dado un punto \(A(a,\,b)\) siempre podemos trazar una recta \(r\) que pase por \(A\) en una determinada dirección. Si llamamos \(\vec{e}\) a la dirección de la recta o vector director de la recta, podremos generar cualquier punto \(X(x,\,y)\) de la recta mediante la ecuación

\[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\vec{e}\]

donde \(k\) es un número real y \(O\) es el origen de coordenadas (ver figura 1). Esta es la llamada ecuación vectorial de la recta.

Escribiendo en coordenadas la ecuación anterior, tenemos que \((x,\,y)=(a,\,b)+k\cdot(e_1,\,e_2)\), o lo que es lo mismo, \((x,\,y)=(a+k\cdot e_1,\,b+k\cdot e_2)\), de donde, igualando coordenadas, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta:

\[\begin{cases}x=a+k\cdot e_1\\ y=b+k\cdot e_2\end{cases}\]

Despejando \(k\) de las ecuaciones paramétricas e igualando obtenemos la ecuación continua de la recta:

\[\frac{x-a}{e_1}=\frac{y-b}{e_2}\]

Si en la ecuación anterior eliminamos denominadores y pasamos todos los términos al primer miembro obtenemos la ecuación general de la recta:

\[Ax+By+Cz+D=0\]

Tomemos ahora dos rectas \(r\) y \(s\) en su forma general:

\[r\equiv Ax+By+Cz+D=0\quad\text{;}\quad s\equiv A'x+B'y+C'z+D'=0\]

Vamos a resumir las condiciones de corte (incidencia) y paralelismo.

Las rectas \(r\) y \(s\) son secantes, es decir se cortan en un punto \(P\) si:

\[r\cap s=\{P\}\Leftrightarrow\frac{A}{A'}\neq\frac{B}{B'}\]

Las rectas \(r\) y \(s\) son paralelas si:

\[r\left|\right|s\Leftrightarrow\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}\neq\frac{C}{C'}\]

Las rectas \(r\) y \(s\) son coincidentes si:

\[r\equiv s\Leftrightarrow\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\]

Ejemplo 1

Escribe en forma paramétrica, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por el punto \(A(−1,3)\) y tiene un vector director \(\vec{e}=(2,5)\).


Las ecuaciones paramétricas son:

\[\begin{cases}x=-1+2k\\y=3+5k\end{cases}\]

Despejando \(k\) obtenemos las ecuación continua y eleminando denominadores y pasando todos los términos al primer miembro, la ecuación general de la recta:

\[r\equiv\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{5}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv5(x+1)=2(y-3)\Leftrightarrow r\equiv5x-2y+11=0\]

Ejemplo 2

Escribe en forma paramétrica, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por los puntos \(A(3,1)\) y \(B(-2,4)\).


 Un vector director de ella es:

\[\vec{e}=\overrightarrow{AB}=(-2-3,\,4-1)=(-5,\,3)\]

Entonces, usando el punto \(A\), por ejemplo:

\[r\equiv\begin{cases}x=3-5k\\y=1+3k\end{cases}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv\frac{x-3}{-5}=\frac{y-1}{3}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv3(x-3)=-5(y-1)\Leftrightarrow r\equiv3x+5y-14=0\]

Ejemplo 3

Dadas las rectas:

\[r\equiv x+3y+m=0\quad\text{;}\quad s\equiv2x-ny+5=0\]

halla \(m\) y \(n\), para que:

• Sean paralelas.

• Se corten en el punto \(P(1,2)\).

• Sean coincidentes.


 Aplicaremos las condiciones de incidencia y paralelismo:

• Para que sean paralelas:

\[r\left|\right|s\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{3}{-n}\neq\frac{m}{5}\Rightarrow n=-6\ \text{;} \ m\neq\frac{5}{2}\]

• Para que se corten en el punto \(P(1,2)\):

\[r\cap s=P(2,\,1)\Rightarrow\begin{cases}2+3\cdot1+m=0\Rightarrow m=-5\\ 4-n\cdot1+5=0\Rightarrow n=9\end{cases}\]

• Para que sean coincidentes:

\[r\equiv s\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{3}{-n}=\frac{m}{5}\Rightarrow n=-6\ \text{;}\ m=\frac{5}{2}\]

2. Distancias entre puntos →

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Operaciones con enteros y mensajes cifrados

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Estos cinco ejercicios sobre operaciones con números enteros están enunciados de tal manera que la operación simule un mensaje cifrado el cual hay que descubrir. Las operaciones combinadas con números enteros son de los primeros contenidos que se trabajan en la materia de matemáticas de 2º de ESO. Es importante pues que los alumnos se vean estimulados con enunciados de este tipo.

Instrucciones

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. La persona que envía el mensaje

\[\{-1\,,\ 2\,,\ -15\,,\ 6\,,\ -10\,,\ 7\,,\ 3\,,\ -8\}\]

es una mujer si la suma de estos números es un entero positivo, y es un hombre si es un entero negativo. Su edad viene dada por la suma de los valores absolutos de estos números. Obtén, con estos datos, toda la información posible del mensaje.

Efectuemos la suma de los números enteros que aparecen en el mensaje:

\[-1+2+(-15)+6+(-10)+7+3+(-8)\]

En primer lugar eliminamos los paréntesis. Para ello empleamos las conocidas regla de los signos:

\[-1+2-15+6-10+7+3-8\]

Ahora podemos efectuar la operación utilizando dos métodos.

Primer método. Sumar y restar los números en el orden en que aparecen.

\[-1+2-15+6-10+7+3-8=1-15+6-10+7+3-8=-14+6-10+7+3-8=\]

\[=-8-10+7+3-8=-18+7+3-8=-11+3-8=-8-8=-16\]

Segundo método. Agrupar los positivos y negativos, y operar.

\[-1+2-15+6-10+7+3-8=(2+6+7+3)-(1+15+10+8)=18-34=-16\]

En cualquiera de los dos casos la suma de estos números es igual a \(-16\), que es un número negativo. Por tanto la persona que envía el mensaje es un hombre.

Por otro lado, sabemos que el valor absoluto de un número entero \(a\) es el número que resulta de prescindir de su signo. Dicho de otro modo, si el número es positivo su valor absoluto es el mismo número y si el número es negativo su valor absoluto es el mismo número pero positivo. Se escribe \left|a\right|. Dicho esto los valores absolutos de los números del mensaje son:

\[|-1|=1\,,\ |2|=2\,,\ |-15|=15\,,\ |6|=6\]

\[|-10|=10\,,\ |7|=7\,,\ |3|=3\,,\ |-8|=8\]

Así pues la suma de los valores absolutos es:

\[1+2+15+6+10+7+3+8=52\]

Esto quiere decir que el hombre que envió el mensaje tiene \(52\) años.


Ejercicio 2. El contenido del mensaje 

\[\{-3\,,\ 4\,,\ -5\,,\ 8\,,\ -1\,,\ 10\,,\ -7\,,\ 7\,,\ -2\,,\ 9\}\]

es una afirmación si el producto de los números positivos, dividido por el valor absoluto del producto de los negativos es un cociente exacto de números enteros. En caso contrario, el contenido es una negación. ¿De qué tipo es el contenido del mensaje?

El producto de lo número positivos es:

\[4\cdot8\cdot10\cdot7\cdot9=32\cdot10\cdot7\cdot9=320\cdot7\cdot9=2240\cdot9=20160\]

El producto del valor absoluto de los número negativos es:

\[3\cdot5\cdot1\cdot7\cdot2=15\cdot1\cdot7\cdot2=15\cdot7\cdot2=105\cdot2=210\]

La división de los dos números obtenidos anteriormente es

\[20160\,:\,210=\frac{20160}{210}=96\]

Por tanto, al ser la división anterior un cociente exacto de número enteros (no tiene cifras decimales), deducimos que el contenido del mensaje es una afirmación.


 

Ejercicio 3. Se recibe el mensaje

\[3\cdot\left[5-(1-6)\right]+2\cdot\left[(1-5)+(5-1)\right]-\left[(4-8)-(1-3)\right]\]

La primera cifra del resultado de esta expresión indica el día en que se envió y la segunda, el mes. Calcula la fecha de emisión del mensaje.

Para efectuar esta operación combinada con números enteros seguiremos la jerarquía de las operaciones. Es decir, el orden para operar será el siguiente:

  1. Eliminamos los paréntesis y corchetes.
  2. Efectuamos los productos y divisiones, de izquierda a derecha.
  3. Efectuamos las sumas y restas, de izquierda a derecha.

De este modo:

\[3\cdot\left[5-(1-6)\right]+2\cdot\left[(1-5)+(5-1)\right]-\left[(4-8)-(1-3)\right]=\]

\[=3\cdot\left[5-(-5)\right]+2\cdot\left[(-4)+4\right]-\left[(-4)-(-2)\right]=\]

\[=3\cdot\left[5+5\right]+2\cdot\left[-4+4\right]-\left[-4+2\right]=\]

\[=3\cdot10+2\cdot0-(-2)=\]

\[=30+0+2=\]

\[=32\]

Como la primera cifra del resultado indica el día que se envió, y la segunda el mes, la fecha de emisión del mensaje fue el día tres de febrero.


Ejercicio 4. Para averiguar el día en que se recibió el mensaje del ejercicio anterior, hay que sumarle \(2\) al opuesto del resultado, y dividir por \(-6\) el número que obtenido. ¿Qué día se ha recibido el mensaje si el mes es el mismo que el de la emisión?

El opuesto del resultado del ejercicio anterior es \(-32\). Sumándole \(2\) obtenemos \(-32+2=-30\). Ahora hemos de dividir por \(-6\) el número obtenido, es decir:

\[(-30):(-6)=\frac{-30}{-6}=5\]

Por tanto el mensaje se recibió el cinco de febrero (dos días después de la emisión del mismo).


Ejercicio 5. En el mensaje cifrado

\[\frac{-2}{-3+1}+\frac{-(7-1)}{-2}+\left[(3+2)-(-1-6)\right]+\frac{-40}{-4}\]

el primer sumando indica el número de días que hace que se empezó una determinada misión. El segundo, el número de agentes que la llevaron a cabo. El tercero, el número de objetivos de la misión. El cuarto, el número de minutos de que se dispondrá para abandonar el último objetivo. El resultado de la expresión es el número de días que se emplearán. ¿Cuánto hace que se empezó la misión? ¿Cuántos días dura en total? ¿Cuántos agentes la llevan a cabo? Si se necesitan 9 minutos para abandonar el emplazamiento del último objetivo, ¿se dispone de tiempo necesario para hacerlo? ¿Cuántos objetivos tiene la misión?

Veamos el valor de cada uno de los sumandos.

Sumando 1: \(\displaystyle\frac{-2}{-3+1}=\frac{-2}{-2}=1\)

Sumando 2: \(\displaystyle\frac{-(7-1)}{-2}=\frac{-6}{-2}=3\)

Sumando 3: \(\displaystyle\left[(3+2)-(-1-6)\right]=5-(-7)=5+7=12\)

Sumando 4: \(\displaystyle\frac{-40}{-4}=10\)

El resultado de la expresión será pues:

\[\frac{-2}{-3+1}+\frac{-(7-1)}{-2}+\left[(3+2)-(-1-6)\right]+\frac{-40}{-4}=\]

\[=1+3+12+10=26\]

El primer sumando indica el número de días que hace que se empezó la misión. Por tanto, la misión empezó hace un día. Sabemos también que el resultado de la expresión es el número de días que se emplearán. Esto quiere decir que la misión durará un total de \(26\) días. Como el segundo sumando indica el número de agentes que llevan la misión a cabo, hay un total de tres agentes. El cuarto sumando es \(10\), que indica el número de minutos de que se dispondrá para abandonar el último objetivo. Según el enunciado, se necesitan \(9\) minutos para abandonar el emplazamiento del último objetivo con lo que (sobra un minuto) sí que se dispone de tiempo suficiente para hacerlo. El número de objetivos que tiene la misión son doce, pues esto lo indica el tercer sumando.


Referencia bibliográfica:

Equipo Signo (1987). "Azimut Matemáticas 8º E.G.B.". Anaya. 


Para practicar más operaciones combinadas con número enteros busca aquí.

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1. De los reales a los complejos. Definición y operaciones básicas con números complejos

  • Visto: 13004 veces

Intentar resolver la ecuación \(x^2+9=0\) nos lleva a \(x=\sqrt{-9}\), expresión que no tiene sentido en el conjunto de los números reales, puesto que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea \(-9\). Esta situación pone de manifiesto la necesidad de ampliar los conjuntos de números, de tal manera que tengan cabida estas soluciones. Es cierto que, de crear nuevos números, como \(\sqrt{-9}\), tendremos que proponernos que el conjunto que los incluya también incluya a todos los reales, y además que se conserven la estructura o propiedades del conjunto de los número reales.

Recuérdese que se amplió el conjunto de los números naturales, \(\mathbb{N}\), al de los números enteros, \(\mathbb{Z}\), entre otras cosas para poder restar y así resolver ecuaciones del tipo \(3x+6=0\). De manera análoga se amplió el conjunto de los enteros al de los racionales, \(\mathbb{Q}\), o de las fracciones. En este último conjunto ya era posible resolver ecuaciones del tipo \(3x-5=0\), cuya solución no tenía cabida en el conjunto de los enteros. Finalmente, con la radicación, se extiende el conjunto de los racionales al de los números reales, \(\mathbb{R}\), en el cual ya tienen cabida números como \(\sqrt{2}\), número irracional solución de la ecuación \(x^2-2=0\).

Nos proponemos pues la extensión del cuerpo de los números reales \(\mathbb{R}\) a un conjunto que incluya, entre otras cosas, la posibilidad de realizar raíces de índice par de cualquier número real negativo, o lo que es lo mismo, de resolver ecuaciones del tipo

\[x^{2k}+a=0\quad k\in\mathbb{N},\ a\in\mathbb{R}^+\]

Este nuevo conjunto que pretendemos definir será el cuerpo de los números complejos, \(\mathbb{C}\), de tal manera que tengamos la siguiente cadena de inclusiones entre los conjuntos mencionados:

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\]

Así pues, definiremos el conjunto de los números complejos como el conjunto de pares del producto cartesiano \(\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\):

\[\mathbb{C}=\{(a,\,b)\ :\ a,\,b\in\mathbb{R}\}\]

Al primer elemento del par o del número complejo, lo llamaremos parte real y al segundo parte imaginaria. Asi, por ejemplo, si consideramos el número complejo \((\sqrt{5},\,-7)\), la parte real es \(\sqrt{5}\) y la parte imaginaria es \(-7\). Ni que decir tiene que dos números complejos serán iguales, por definición, si y sólo si, lo son respectivamente, sus partes reales y sus partes imaginarias:

\[(a,\,b)=(a',\,b')\Leftrightarrow\begin{cases}a=a'\\b=b'\end{cases}\]

Suma y multiplicación de números complejos

La suma se define de manera natural como habitualmente se hace con los puntos del plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\):

\[(a,\,b)+(c,\,d)=(a+c,\,b+d)\]

El producto es menos natural, pero hace que el conjunto de los números complejos tenga una estructura adecuada:

\[(a,\,b)\cdot(c,\,d)=(a\cdot c-b\cdot d,\,a\cdot d+b\cdot c)\]

Por ejemplo:

\[(\sqrt{3}-1,\,5)+(\sqrt{3},\,-7)=(\sqrt{3}-1+\sqrt{3},\,5+(-7))=(2\sqrt{3}-1,\,-2)\]

\[(\sqrt{2},\,3)\cdot(1,\,\sqrt{2})=(\sqrt{2}\cdot1-3\cdot\sqrt{2},\,\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+3\cdot1)=(-2\sqrt{2},\,5)\]

Nótese que la definición de número complejo identifica cada par ordenado del plano real con un número complejo, y sólo con uno. Por tanto al subconjunto de \(\mathbb{C}\) formado por los complejos cuya parte imaginaria es nula, lo podemos identificar con el eje de abscisas, o lo que es lo mismo, con la recta real \(\mathbb{R}\). Con más precisión, podemos definir una aplicación \(f\)

\[\begin{array}{rccc}f:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&(a,0)&\mapsto &a\end{array}\]

que es claramente biyectiva (a cada elemento del primer conjunto le corresponde, mediante \(f\), uno y solo uno del segundo), y que conserva las operaciones suma y producto, es decir:

\[f\left((a,\,0)+(b,\,0)\right)=f(a+b,0)=a+b=f(a,0)+f(b,0)\]

\[f\left((a,\,0)\cdot(b,\,0)\right)=f(a\cdot b,\,0)=a\cdot b=f(a,\,0)\cdot f(b,\,0)\]

Esto indica que el subconjunto de \(\mathbb{C}\) formado por los complejos con parte imaginaria nula y el conjunto de los números reales se comportan exactamente igual para las operaciones suma y producto. En términos rigurosamente matemáticos se dice que ambos conjuntos son isomorfos (vamos, iguales) y que, por tanto, \((a,\,0)=a\).

En definitiva, acabamos de demostrar que el conjunto de los números complejos recién definido con sus operaciones suma y producto, contiene al conjunto de los números reales: \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\). Hemos extendido pues, formalmente, el conjunto \(\mathbb{R}\) al conjunto \(\mathbb{C}\).

Por último, obsérvese que con la notación recién estrenada tendremos que:

\[(0,\,1)\cdot(0,\,1)=(0\cdot0-1\cdot1,\,0\cdot1+0\cdot1)=(-1,\,0)=-1\Rightarrow (0,\,1)^2+1=0\]

Lo anterior indica que la ecuación \(x^2+1=0\) sí que tiene solución dentro del conjunto de los números complejos: el número \((0,\,1)\). Este número recibe el nombre de unidad imaginaria y se denota con la letra \(i\). Por tanto \(i^2=-1\).

Pero sobre los números imaginarios puros, la forma binómica de un número complejo y su representación gráfica hablaremos en la próxima sección.


2. Forma binómica de un número complejo. Representación gráfica →

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