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Interpretando ecuaciones e inecuaciones matemáticas con desmos

En el último examen de matemáticas que han realizado mis alumnos de 1º de Bachillerato (Matemáticas I, modalidad de Ciencias y Tecnología) les propuse, entre otras cosas, que resolvieran un par de ecuaciones, un sistema de ecuaciones no lineal, una inecuación con la incógnita en el denominador, y un sistema de inecuaciones. Si representamos cada una de ellas con una aplicación gráfica, en este caso con desmos, podremos interpretar gráficamente las soluciones. Vamos a verlo.

Las ecuaciones

La primera ecuación propuesta fue \(\dfrac{x+4}{x-3}-\dfrac{1-2x}{x^2-x-6}=0\). Si se resuelve se obtienen como soluciones \(x_1=-7\) y \(x_2=-1\). Representando gráficamente la función \(\dfrac{x+4}{x-3}-\dfrac{1-2x}{x^2-x-6}\) se obtiene la gráfica de más abajo. Se aprecia (hay que fijarse un poco, eso sí) que la gráfica corta al eje de abscisas o eje \(X\) en los puntos \(-7\) y \(-1\), soluciones de la ecuación.

desmos 02

La segunda ecuación que propuse fue una ecuación irracional, es decir, una ecuación cuya incógnita se encuentra bajo el símbolo radical: \(2\sqrt{x+1}-3\sqrt{4x-3}+3=0\). Su solución es \(x=3\). De nuevo, representando gráficamente la función \(2\sqrt{x+1}-3\sqrt{4x-3}+3\), se observa que la gráfica corta al eje \(X\) en el punto \(x=3\).

desmos 03

En este caso me gustaría resaltar que la gráfica, en la parte superior, empieza o está detenida (según la dibujemos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda), en un determinado punto. La coordenada \(x\) de este punto es, si nos fijamos bien, \(x=\dfrac{3}{4}=0,75\). Esto es porque una de las raíces de la ecuación original es \(\sqrt{4x-3}\). Sabemos que una raíz no tiene sentido si el radicando es menor que cero. En este caso \(4x-3<0\Leftrightarrow x<\dfrac{3}{4}\). Por eso, para puntos \(x\) menores que \(\dfrac{3}{4}\), desmos empieza a dibujar o no sigue dibujando. El radicando del otro radical que aparece en la ecuación es \(x+1\) y \(x+1<0\) si, y sólo si, \(x<-1\). Pero los puntos \(x\) menores que \(-1\) también lo son menores que \(\dfrac{3}{4}\) y quedan contenidos en la desigualdad. \(x<\dfrac{3}{4}\).

El sistema de ecuaciones

Se planteó también la resolución del sistema de ecuaciones \(\begin{cases}\displaystyle x+\frac{2}{y}=1\\ \displaystyle y+\frac{1}{x}=6\end{cases}\). Este s¡stema tiene dos parejas de soluciones: \(x_1=\dfrac{1}{2}\ \text{,}\ y_1=4\) ; \(x_2=\dfrac{1}{2}\ \text{,}\ y_2=3\). Para verlo gráficamente he seleccionado parte de las gráficas. La de color rojo corresponde a la primera ecuación, y la de color azul a la segunda.

desmos 04

La inecuación

La inecuación propuesta fue \(\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+1}>\dfrac{6}{5}\), cuya solución es, expresada en forma de intervalos, la siguiente: \(\left(-1\ ,\ -\dfrac{1}{3}\right)\cup(3\ ,\ 4)\). En la gráfica siguiente se ha representado la función \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{6}{5}\). Obsérvese que los "trozos" de gráfica que se encuentran por encima del eje \(X\), es decir, las soluciones de \(f(x)>0\), corresponden exactamente a la unión de los intervalos mencionados anteriormente.

desmos 05

El sistema de inecuaciones

El sistema de inecuaciones que se propuso en el examen fue \(\begin{cases}10-3x-x^2<0\\3x+5>-16\end{cases}\). Su solución es \((-7\ ,\ -5)\cup(2\ ,\ +\infty)\). En la gráfica se han representado las funciones \(f(x)=10-3x-x^2\) (una parábola) y \(g(x)=3x+5+16=3x+21\) (una recta). La solución del sistema se interpreta de la siguiente manera: son los trozos de ambas gráficas en los que simultáneamente es \(f(x)<0\) y \(g(x)>0\). Si se lanzan unas imaginarias líneas verticales que pasen por los puntos de corte con los ejes, se ve que esto ocurre exactamente en los intervalos solución del sistema.

desmos 06

Finalmente, para apreciar con mayor calidad visual todo lo comentado anteriormente puedes acudir a todas las gráficas en el siguiente enlace. En el panel de la izquierda están las ecuaciones (números 1 y 2), el sistema de ecuaciones (números 3 y 4), la inecuación (número 5) y el sistema de inecuaciones (números 6 y 7). Puedes seleccionar los números correspondientes en el citado panel para obtener una visualización adecuada de estas situaciones.

A modo de conclusión

Creo que es importante que los alumnos sepan asociar a las soluciones de una ecuación, de un sistema de ecuaciones, de una inecuación o de un sistema de inecuaciones, su visualización gráfica. Esto les ayudará también a relacionar dos partes de las matemáticas aparentemente disociadas para ellos: el álgebra y el análisis. Cuando hagan el estudio gráfico de una función rápidamente asociarán los puntos de corte con el eje de abscisas de la función \(y=f(x)\) con las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\). La resolución de ecuaciones tendrá un sentido gráfico. Muchas situaciones reales llevan asociados modelos matemáticos que, con la ayuda de una aplicación como desmos, se pueden representar gráficamente. A veces la ecuación asociada a este modelo gráfico es bastante difícil de resolver, pero la visualización de la gráfica ayudará a darse cuenta de que las soluciones de tal ecuación son los cortes con el eje \(X\).

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Inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado

Una inecuación es como una ecuación, con la diferencia de que cada uno de los dos miembros que la componen no está separado por el signo \(=\) sino por una desigualdad. Las desigualdades son cuatro: mayor \(>\), menor \(<\), mayor o igual \(\geq\) y menor o igual \(\leq\). No vamos a entrar aquí en un estudio exhaustivo de las propiedades de las desigualdades ni de las relaciones de orden en el conjunto de los números reales. Solamente destacaremos que las desigualdades se comportan como las igualdades para la operación suma pero de manera algo distinta para la operación producto.

Si sumamos (o restamos) la misma cantidad en los dos miembros de una desigualdad, la desigualdad no varía. En el caso de una inecuación obtenemos una inecuación equivalente. Igual ocurre con el producto si multiplicamos (o dividimos) los dos miembros de una desigualdad por la misma cantidad positiva: la desigualdad no varía. Sin embargo, si multiplicamos (o dividimos) los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido. Así pues, cuando manipulemos inecuaciones y multipliquemos o dividamos ambos miembros por la misma cantidad obtendremos inecuaciones equivalentes, pero tendremos cuidado cuando lo hagamos con una cantidad negativa pues en ese caso la inecuación equivalente a la anterior tendrá cambiado el sentido de la desigualdad. Mejor lo vemos con un ejemplo.

Resolvamos la siguiente inecuación de primer grado:

\[\frac{2(x+1)}{3}-\frac{3(2x-1)}{2}+x\leq4-\frac{3x+1}{6}\]

Se procede exactamente igual que en una ecuación de primer grado (eliminamos paréntesis y denominadores, trasponemos términos y reducimos términos semejantes). En este caso multiplicamos todos los términos (los dos miembros de la desigualdad) por \(6\), que es el mínimo común múltiplo de los denominadores y luego procedemos a ir simplificando hasta obtener una desigualdad completamente reducida.Veámoslo:

\[4(x+1)-9(2x-1)+6x\leq24-(3x+1)\Rightarrow4x+4-18x+9+6x\leq24-3x-1\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4x-18x+6x+3x\leq24-1-4-9\Rightarrow-5x\leq10\Rightarrow x\geq\frac{10}{-5}\Rightarrow x\geq-2\]

Obsérvese que, en el penúltimo paso, al dividir los dos miembros de la desigualdad entre \(-5\), la desigualdad cambia de sentido. La solución de la inecuación, \(x\geq-2\), se puede escribir en forma de intervalo. En este caso la solución se corresponde con todos los números reales mayores o iguales que \(-2\), es decir, el intervalo de números reales \(\left[-2,\ +\infty\right)\). Obsérvese que este intervalo es cerrado por la izquierda (se denota con un corchete) pues la desigualdad, al tener el igual (no estricta), incluye al número \(-2\).

Para la representación gráfica de la solución trazamos, sobre la recta real, una flecha comenzando en \(-2\) con sentido hacia la derecha, para significar que estamos tomando todos los números reales mayores que \(-2\). Como se ha de incluir el extremo, el "circulito" que hace de origen de la flecha, lo "rellenamos". De esta forma cerramos el intervalo incluyendo el extremo (en este caso \(-2\)).

inecuaciones-01

Si lo que tenemos que resolver es un sistema lineal de dos o más inecuaciones con una incógnita, el procedimiento a seguir es resolver cada una de las inecuaciones por separado. Una vez hecho esto se representa gráficamente la solución de cada una de ellas. La parte simultánemente común de cada una de las soluciones es la solución del sistema. Si no hay parte común el sistema de inecuaciones no tiene solución. Veamos un ejemplo.

Resolveremos el siguiente sistema de inecuaciones:

\[\begin{cases}2(x+1)-7<9x\\3+5x>4(x-2)+3x\end{cases}\]

Para ello resolvemos en primer lugar la primera inecuación:

\[2(x+1)-7<9x\Rightarrow2x+2-7<9x\Rightarrow2x-9x<-2+7\Rightarrow-7x<5\Rightarrow x>-\frac{5}{7}\]

A continuación resolvemos la segunda inecuación:

\[3+5x>4(x-2)+3x\Rightarrow3+5x>4x-8+3x\Rightarrow5x-4x-3x>-8-3\Rightarrow-2x>-11\Rightarrow x<\frac{11}{2}\]

Finalmente representamos gráficamente las soluciones de ambas inecuaciones.

inecuaciones-02

Como se puede apreciar, en este caso la parte común a las soluciones de ambas inecuaciones es el intervalo abierto \(\left(-\dfrac{5}{7},\ \dfrac{11}{2}\right)\), que es la solución del sistema.

Si quieres practicar la resolución de inecuaciones de primer grado y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita puedes descargarte esta relación de ejercicios. Contienen las soluciones finales de cada uno de ellos.

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