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Inecuaciones con la incógnita en el denominador

Entenderemos aquí por inecuaciones con la incógnita en el denominador a aquellas inecuaciones racionales donde el numerador y el denominador son polinomios. Es decir inecuaciones de la forma:

\[\frac{p(x)}{q(x)}<0\quad;\quad\frac{p(x)}{q(x)}\leq0\quad;\quad\frac{p(x)}{q(x)}>0\quad;\quad\frac{p(x)}{q(x)}\geq0\]

donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios.

El procedimiento para resolver este tipo de inecuaciones es similar al que se ha seguido para resolver inecuaciones de segundo grado y de grado superior: se obtienen las raíces de los polinomios \(p(x)\) y \(q(x)\), se factorizan y se confecciona una tabla para estudiar el signo en cada uno de los intervalos en que quede dividida la recta real. La única diferencia con las inecuaciones de segundo grado o de grado superior es que los números que anulen el denominador nunca se incluirán como solución de la inecuación pues no tiene sentido dividir entre cero. Lo mejor es verlo con un ejemplo.

Resolver la inecuación

\[\dfrac{x-3}{x^2-1}\geq0\]

La raíz del numerador es \(x=3\) y las del denominador son \(x=1\) y \(x=-1\). La inecuación es por tanto equivalente a esta otra:

\[\dfrac{x-3}{(x+1)(x-1)}\geq0\]

La tabla para el estudio del signo es la siguiente:

\[\begin{matrix}&(-\infty,\ -1)&(-1,\ 1)&(1,\ 3)&(3,\ +\infty)\\\hline x-3&-&-&-&+\\x+1&-&+&+&+\\x-1&-&-&+&+\\\hline\dfrac{x-3}{(x+1)(x-1)}&-&+&-&+ \end{matrix}\]

Por tanto la solución es \((-1,\ 1)\cup[3,\ +\infty)\). Obsérvese que la semirrecta que comienza por \(-3\) se ha de cerrar porque en la inecuación la desigualdad incluye el "igual a cero". El intervalo \((-1,\ 1)\) no se cierra porque \(-1\) y \(1\) anulan el denominador y no tiene sentido dividir entre cero.

Para que el método anterior "funcione" el segundo miembro de una inecuación racional debe ser igual a cero. Si no lo es, lo pasamos todo al primer miembro y hacemos operaciones. Como ejemplo de esta situación resolvamos la inecuación que aparecen en la imagen superior:

\[\frac{3x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2-x}\leq\frac{2x^2+1}{x^3-x}\]

Pasando todo al primer miembro:

\[\frac{3x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2-x}-\frac{2x^2+1}{x^3-x}\leq0\]

Factorizando los denominadores:

\[\frac{3x}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{x(x-1)}-\frac{2x^2+1}{x(x+1)(x-1)}\leq0\]

Reduciendo a común denominador y operando:

\[\frac{x\cdot3x}{x(x+1)(x-1)}-\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}-\frac{2x^2+1}{x(x+1)(x-1)}\leq0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{3x^2-x-1-2x^2-1}{x(x+1)(x-1)}\leq0\Rightarrow\frac{x^2-x-2}{x(x+1)(x-1)}\leq0\]

Las raíces del polinomio del numerador son \(x=-1\) y \(x=2\). Por tanto, la última inecuación es equivalente a esta otra:

\[\frac{(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-1)}\leq0\]

Como el factor \(x+1\) aparece en el numerador y en el denominador se puede cancelar para obtener otra inecuación equivalente (lo único que habría que tener en cuenta es que si las soluciones contienen a \(x=-1\), eliminarlo de las mismas, pues no se puede dividir entre cero).

\[\frac{x-2}{x(x-1)}\leq0\]

Construyamos nuestra tabla para estudiar el signo:

\[\begin{matrix}&(-\infty,\ 0)&(0,\ 1)&(1,\ 2)&(2,\ +\infty)\\\hline x-2&-&-&-&+\\x-1&-&-&+&+\\x&-&+&+&+\\\hline\dfrac{x-2}{x(x-1)}&-&+&-&+ \end{matrix}\]

Por tanto, la solución de la inecuación es \((-\infty,\ 0)\cup(1,\ 2]\). Bueno... no. Casi se me olvidaba, hemos de suprimir de las soluciones el valor \(x=-1\) pues la inecuación contenía al factor \(x+1\) en el denominador antes de cancelarlo. Así pues la solución es \((-\infty,\ -1)\cup(-1,\ 0)\cup(1,\ 2]\).

Si representamos gráficamente la función \(y=\dfrac{(x+1)(x-2)}{x^2(x+1)(x-1)}\) se puede ver que, justamente en \((-\infty,\ -1)\cup(-1,\ 0)\cup(1,\ 2]\), la gráfica de la función queda por debajo del eje \(X\). Por cierto, si uno se fija bien se ve que hay un "hueco" en la gráfica de la función que se corresponde con el valor de la abscisa \(x=-1\).

inecuaciones-07

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Inecuaciones de segundo grado y de grado superior

Una inecuación de segundo grado se puede reducir, en su forma general, a uno de los siguientes cuatro tipos:

\[ax^2+bx+c<0\quad;\quad ax^2+bx+c\leq0\quad;\quad ax^2+bx+c>0\quad;\quad ax^2+bx+c\geq0\]

La resolución de este tipo de inecuaciones se lleva a cabo factorizando el polinomio de segundo grado y estudiando el signo de los factores. Veámoslo con un ejemplo.

Resolver la inecuación:

\[x^2+4x-12\geq0\]

En primer lugar, resolvemos la ecuación de segundo grado asociada a la inecuación: \(x^2+4x-12=0\). Sus soluciones son \(x_1=-6\) y \(x_2=2\). Eso quiere decir que el polinomio \(x^2+4x-12\) se puede escribir como producto de dos factores: \(x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\). Por tanto la inecuación original también se puede escribir así:

\[(x+6)(x-2)\geq0\]

En segundo lugar dividimos la recta real en tantos trozos o intervalos como nos indiquen las soluciones de la ecuación de segundo grado. En este caso, como hay dos soluciones, la recta real queda dividida en tres trozos: uno, de "menos infinito" a la solución menor, que en nuestro caso es \(-6\); otro trozo que es el intervalo comprendido entre la solución menor y la solución mayor, es decir, el trozo que va de \(-6\) a \(2\) y, finalmente, el último trozo, que va desde la solución mayor, que es \(2\) en nuestro caso, hasta "más infinito". En definitiva, la recta real queda dividida en este caso de la siguiente manera:

\[(-\infty,\ -6)\quad;\quad(-6,\ 2)\quad;\quad(2,\ +\infty)\]

Ahora se trata de estudiar el signo de cada uno de los factores de la inecuación en cada uno de los intervalos para, finalmente obtener el signo del producto \((x+6)(x-2)\). En nuestro caso la solución estará formada por aquellos números reales que hagan tal producto mayor que cero, es decir, donde el signo sea positivo. Para todo esto podemos confeccionar una tabla.

\[\begin{matrix}&(-\infty,\ -6)&(-6,\ 2)&(2,\ +\infty)\\\hline x+6&-&+&+\\x-2&-&-&+\\\hline(x+6)(x-2)&+&-&+ \end{matrix}\]

La confección de esta tabla es sencilla. Por columnas (o en la primera fila) colocamos ordenadamente los tres trozos en los que anteriormente hemos dividido la recta real, y por filas (o en la primera columna) colocamos cada uno de los factores en los que se descompone el polinomio de segundo grado, así como el producto de ambos. Para obtener los signos sustituimos un valor arbitrario de cada intervalo en cada uno de los factores. Realizamos el cálculo y colocamos el signo del resultado. Los signos de la última fila (los del producto de los dos factores) se obtienen multiplicando los dos signos inmediatamente superiores. Así por ejemplo los signos que hay por debajo de la semirrecta \((-\infty,\ -6)\) se obtienen tomando un número cualquiera de la semirrecta \((-\infty,\ -6)\), por ejemplo el \(-7\), y sustituyéndolo en el factor \(x+6\). Al hacerlo se obtiene \(-7+6=-1\), que es negativo, con lo que colocamos el primer signo "menos". Sustituimos también \(-7\) en el siguiente factor, \(x-2\), obteniendo \(-7-2=-9\), que también es negativo, con lo que colocamos otro signo "menos". Ahora multiplicamos ambos signos para obtener el signo del producto de factores \((x+6)(x-2)\). Como "menos" por "menos" es "más", colocamos finalmente un signo "más". Este signo "más" indica que en la semirrecta \((-\infty,\ -6)\), el producto \((x+6)(x-2)\) es mayor que cero. Con lo que la semirrecta \(-\infty,\ -6)\) será solución de nuestra inecuación. El otro signo "más" del producto se corresponde con la otra semirrecta \((2,\ +\infty)\), lo que indica que ésta también será solución de nuestra inecuación. El intervalo \((-6,\ 2)\) no es solución de nuestra inecuación porque en él, el signo es "menos", o sea que en ése intervalo el producto es negativo o menor que cero, y nosotros buscamos los números en los que el producto es mayor o igual que cero. Por tanto, la solución de nuestra inecuación de segundo grado es:

\[(-\infty,\ -6]\cup[2,\ +\infty)\]

Obsérvese que las semirrectas se han cerrado porque la inecuación original incluye el "igual" a cero, con lo que deberemos incluir las soluciones de la ecuación de segundo grado. El símbolo \(\cup\) indica unión, es decir, que la solución es la unión de ambas semirrectas.

Como podrás observar es más difícil explicar este procedimiento que llevarlo a cabo realmente en la práctica.

Resolvamos la inecuación de la imagen superior. Para ello eliminaremos denominadores y obtendremos la inecuación reducida. Luego confeccionaremos la tabla y decidiremos cuál es la solución.

\[\frac{x^2-9}{5}-\frac{x^2-4}{15}\leq\frac{1-2x}{3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 3x^2-27-x^2+4\leq5-10x\Rightarrow2x^2+10x-28\leq0\]

Las soluciones de la ecuación de segundo grado asociada, \(2x^2+10x-28=0\), son \(x_1=-7\) y \(x_2=2\), con lo que la inecuación de segundo grado se puede escribir de la forma:

\[2(x+7)(x-2)\leq0\]

Obsérvese que el coeficiente de la \(x^2\), \(2\) en este caso, también es un factor del polinomio \(2x^2+10x-28\). En este caso, como es positivo, no va a afectar al signo de la solución que obtengamos tras confeccionar nuestra tabla. Si fuera negativo, lo mejor es transformarlo en positivo multiplicándolo por \(-1\) y cambiando el sentido de la desigualdad, de tal manera que la inecuación \(-a(x-x_1)(x-x_2)\leq0\) sería equivalente a la inecuación \(a(x-x_1)(x-x_2)\geq0\) y resolveríamos esta última, para obtener las soluciones de la primera.

Construyamos pues nuestra tabla.

\[\begin{matrix}&(-\infty,\ -7)&(-7,\ 2)&(2,\ +\infty)\\\hline x+7&-&+&+\\x-2&-&-&+\\\hline(x+7)(x-2)&+&-&+ \end{matrix}\]

Como queremos que el producto \(2(x+7)(x-2)\) sea menor o igual que cero, las soluciones se corresponderán con aquéllas donde en la última fila se encuentre el signo "menos" (observa de nuevo cómo el factor \(2\), al ser positivo, no cambiará el signo del producto \((x+7)(x-2)\)). Por tanto la solución de la inecuación de segundo grado será el intervalo \([-7,\ 2]\). Volvemos a escribirlo cerrado porque queremos que el producto sea menor o igual que cero. Si la desigualdad hubiera sido estricta, es decir, menor que cero, la solución hubiera sido la misma, pero el intervalo sería abierto en vez de cerrado.

Este método permite resolver inecuaciones de grado superior a dos. Lo único que tenemos que hacer es añadir en la tabla tantos factores como aparezacan en la factorización del polinomio correspondiente. Así, por ejemplo, si queremos resolver la inecuación \(-3x^3+12x^2+3x-13>0\), lo que hacemos es factorizar el polinomio y convertir la inecuación a otra equivalente:

\[-3(x+1)(x-1)(x-4)>0\]

Como el coeficiente principal es negativo multiplicamos por \(-1\) para obtener una inecuación equivalente:

\[3(x+1)(x-1)(x-4)<0\]

Ahora confeccionamos nuestra tabla (observa que ahora, al haber tres raíces, la recta real queda dividida en cuatro trozos):

\[\begin{matrix}&(-\infty,\ -1)&(-1,\ 1)&(1,\ 4)&(4,\ +\infty)\\\hline x+1&-&+&+&+\\x-1&-&-&+&+\\x-4&-&-&-&+\\\hline(x+1)(x-1)(x-4)&-&+&-&+ \end{matrix}\]

Por tanto la solución de la inecuación es \((-\infty,\ -1)\cup(1,\ 4)\). Observa cómo ahora no cerramos los intervalos pues en la desigualdad la inecuación no contiene el "igual".

Para finalizar, una interpretación gráfica. Si representamos gráficamente la función \(y=-3x^3+12x^2+3x-13\) veremos que los trozos en los que gráfica queda por encima del eje \(X\) (trozos en los que \(-3x^3+12x^2+3x-13\) es mayor que cero), son justamente los que hemos obtenido para la solución de la inecuación. Obsérvalo en la gráfica siguiente.

inecuaciones-05

 

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Inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado

Una inecuación es como una ecuación, con la diferencia de que cada uno de los dos miembros que la componen no está separado por el signo \(=\) sino por una desigualdad. Las desigualdades son cuatro: mayor \(>\), menor \(<\), mayor o igual \(\geq\) y menor o igual \(\leq\). No vamos a entrar aquí en un estudio exhaustivo de las propiedades de las desigualdades ni de las relaciones de orden en el conjunto de los números reales. Solamente destacaremos que las desigualdades se comportan como las igualdades para la operación suma pero de manera algo distinta para la operación producto.

Si sumamos (o restamos) la misma cantidad en los dos miembros de una desigualdad, la desigualdad no varía. En el caso de una inecuación obtenemos una inecuación equivalente. Igual ocurre con el producto si multiplicamos (o dividimos) los dos miembros de una desigualdad por la misma cantidad positiva: la desigualdad no varía. Sin embargo, si multiplicamos (o dividimos) los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido. Así pues, cuando manipulemos inecuaciones y multipliquemos o dividamos ambos miembros por la misma cantidad obtendremos inecuaciones equivalentes, pero tendremos cuidado cuando lo hagamos con una cantidad negativa pues en ese caso la inecuación equivalente a la anterior tendrá cambiado el sentido de la desigualdad. Mejor lo vemos con un ejemplo.

Resolvamos la siguiente inecuación de primer grado:

\[\frac{2(x+1)}{3}-\frac{3(2x-1)}{2}+x\leq4-\frac{3x+1}{6}\]

Se procede exactamente igual que en una ecuación de primer grado (eliminamos paréntesis y denominadores, trasponemos términos y reducimos términos semejantes). En este caso multiplicamos todos los términos (los dos miembros de la desigualdad) por \(6\), que es el mínimo común múltiplo de los denominadores y luego procedemos a ir simplificando hasta obtener una desigualdad completamente reducida.Veámoslo:

\[4(x+1)-9(2x-1)+6x\leq24-(3x+1)\Rightarrow4x+4-18x+9+6x\leq24-3x-1\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4x-18x+6x+3x\leq24-1-4-9\Rightarrow-5x\leq10\Rightarrow x\geq\frac{10}{-5}\Rightarrow x\geq-2\]

Obsérvese que, en el penúltimo paso, al dividir los dos miembros de la desigualdad entre \(-5\), la desigualdad cambia de sentido. La solución de la inecuación, \(x\geq-2\), se puede escribir en forma de intervalo. En este caso la solución se corresponde con todos los números reales mayores o iguales que \(-2\), es decir, el intervalo de números reales \(\left[-2,\ +\infty\right)\). Obsérvese que este intervalo es cerrado por la izquierda (se denota con un corchete) pues la desigualdad, al tener el igual (no estricta), incluye al número \(-2\).

Para la representación gráfica de la solución trazamos, sobre la recta real, una flecha comenzando en \(-2\) con sentido hacia la derecha, para significar que estamos tomando todos los números reales mayores que \(-2\). Como se ha de incluir el extremo, el "circulito" que hace de origen de la flecha, lo "rellenamos". De esta forma cerramos el intervalo incluyendo el extremo (en este caso \(-2\)).

inecuaciones-01

Si lo que tenemos que resolver es un sistema lineal de dos o más inecuaciones con una incógnita, el procedimiento a seguir es resolver cada una de las inecuaciones por separado. Una vez hecho esto se representa gráficamente la solución de cada una de ellas. La parte simultánemente común de cada una de las soluciones es la solución del sistema. Si no hay parte común el sistema de inecuaciones no tiene solución. Veamos un ejemplo.

Resolveremos el siguiente sistema de inecuaciones:

\[\begin{cases}2(x+1)-7<9x\\3+5x>4(x-2)+3x\end{cases}\]

Para ello resolvemos en primer lugar la primera inecuación:

\[2(x+1)-7<9x\Rightarrow2x+2-7<9x\Rightarrow2x-9x<-2+7\Rightarrow-7x<5\Rightarrow x>-\frac{5}{7}\]

A continuación resolvemos la segunda inecuación:

\[3+5x>4(x-2)+3x\Rightarrow3+5x>4x-8+3x\Rightarrow5x-4x-3x>-8-3\Rightarrow-2x>-11\Rightarrow x<\frac{11}{2}\]

Finalmente representamos gráficamente las soluciones de ambas inecuaciones.

inecuaciones-02

Como se puede apreciar, en este caso la parte común a las soluciones de ambas inecuaciones es el intervalo abierto \(\left(-\dfrac{5}{7},\ \dfrac{11}{2}\right)\), que es la solución del sistema.

Si quieres practicar la resolución de inecuaciones de primer grado y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita puedes descargarte esta relación de ejercicios. Contienen las soluciones finales de cada uno de ellos.

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