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Semejanza. El teorema de Tales

Ver artículo en formato imprimible (pdf) aquí

En general, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque el tamaño sea distinto. En dos figuras semejantes las longitudes de segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza o escala al cociente entre dos longitudes correspondientes.

Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. Los ángulos (o vértices) de un triángulo los denotaremos con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas. Al lado opuesto a un ángulo o vértice \(A\) se le suele designar con la misma letra pero minúscula: \(a\). Si dos triángulos \(ABC\), \(A'B'C'\) son semejantes, escribiremos \(ABC\thicksim A'B'C'\).

semejanza02

Por tanto, según la definición:

\[ABC\thicksim A'B'C'\Leftrightarrow A=A'\ \text{,}\ B=B'\ \text{,}\ C=C'\quad\text{;}\quad\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}\]

Obsérvese que, en la figura anterior, si trasladamos el triángulo de la derecha, sin girar, sobre el de la izquierda, hasta superponer los vértices \(A\) y \(A'\), los triángulos encajan perfectamente. Se dice en este caso que los triángulos están en posición de Tales. La razón es porque esta situación concuerda exactamente con el Teorema de Tales, según el cual, rectas paralelas que corten a dos rectas dadas determinan segmentos proporcionales. Por tanto, dos triángulos en posición de Tales siempre son semejantes.

Teorema de Tales

 semejanza03

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}}\]

Triángulos en posición de Tales

 semejanza04

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{AB'}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AC'}}\]

No es necesario comprobar que se cumplen todas las condiciones de la definición para comprobar que dos triángulos son semejantes. Los criterios de semejanza son las condiciones mínimas que se han de cumplir para que dos triángulos sean semejantes.

  • Primer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
  • Segundo criterio: dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
  • Tercer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

De la misma manera que se ha definido para triángulos, la semejanza se puede definir para polígonos cualesquiera. Así, dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Recordemos que se llama razón de semejanza o escala al cociente de la longitud de un lado del polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono.

La semejanza tiene muchas aplicaciones a la resolución de problemas geométricos y situaciones reales. Veamos a continuación algunos ejercicios que se pueden resolver utilizando la semejanza.

Ejercicio 1

Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 metros en el momento en que un poste de 2 metros arroja una sombra de 1,25 metros.

semejanza10

El dibujo no está a escala pero nos sirve para la resolución del problema. Ambos triángulos son semejantes pues están en posición de Tales. Por tanto:

\[\frac{h}{49}=\frac{2}{1,25}\Rightarrow h=\frac{2\cdot49}{1,25}=78,4\]

La altura del edificio es de 78,4 metros.

Ejercicio 2

Las sombras de cuatro árboles miden, a las cinco de la tarde, 12 metros, 8 metros, 6 metros y 4 metros, respectivamente. El árbol pequeño tienen una altura de de 2,5 metros. ¿Qué altura tienen los demás?

Se pueden dibujar triángulos parecidos al del ejercicio anterior que nos sirvan para resolver este problema. No lo vamos a hacer pues el procedimiento es exactamente el mismo. Llamemos \(h_1\), \(h_2\) y \(h_3\) a las alturas de los árboles que arrojan sombras de 12 metros, 8 metros y 6 metros, respectivamente. Entonces:

\[\frac{h_1}{12}=\frac{2,5}{4}\Rightarrow h_1=\frac{2,5\cdot12}{4}=7,5\]

\[\frac{h_2}{8}=\frac{2,5}{4}\Rightarrow h_2=\frac{2,5\cdot8}{4}=5\]

\[\frac{h_3}{6}=\frac{2,5}{4}\Rightarrow h_3=\frac{2,5\cdot6}{4}=3,75\]

Así pues, las alturas de los árboles cuyas sombras miden 12 metros, 8 metros y 6 metros son, respectivamente, 7,5 metros, 5 metros y 3,75 metros.

Ejercicio 3

Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles, como se indica en la figura.

 semejanza09

Sabiendo que la base del triángulo es \(b=2\) cm, y la altura \(h=3\) cm, y que la altura del rectángulo es \(H=2\) cm, halla cuánto mide la base del rectángulo.

semejanza11

Observando la figura anterior se aprecia con claridad que la base del rectángulo mide \(2-2x\). Los triángulos en color rojo son semejantes pues están en posición de Tales y sus alturas son, según el enunciado, de 3 cm y 2 cm. De este modo:

\[\frac{3}{1}=\frac{2}{x}\Rightarrow x=\frac{2\cdot1}{3}=\frac{2}{3}\]

Por tanto la base del rectángulo mide \(2-2x=2-2\cdot\dfrac{2}{3}=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}\approx0.67\) cm.

Ejercicio 4

¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el agua)?

 semejanza08

Llamemos \(x\) a la distancia entre el punto de incidencia de la visual del chico con el agua, y el pie de la torre. Por ser ambos triángulos claramente semejantes:

\[\frac{1,76}{3,3}=\frac{16}{x}\Rightarrow x=\frac{16\cdot3.3}{1.76}=30\]

Por tanto, la distancia entre el chico en la base de la torre es \(3,3+30=33\) metros.

Ejercicio 5

El bañista se encuentra a 5 metros del barco. La borda del barco está a 1 metro sobre el nivel del mar. El mástil del barco sobresale 3 metros de la borda. El bañista ve alineados el extremos del mástil y el foco del faro.

 semejanza07

¿A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra el foco del faro?

Consideremos los dos triángulos siguientes. Uno, el formado por la visual del bañista, el extremo superior del mástil y la vertical del éste hasta el nivel del mar. Otro, el formado por la visual del bañista, el foco del faro y la vertical de éste hasta el nivel del mar. Ambos son semejantes (están en posición de Tales) pues el bañista ve alineados el extremo del mástil y el foco del faro. Llamemos \(h\) a la altura sobre el nivel del mar del foco del faro. La altura del primer triángulo es \(3+1=4\) metros porque la borda del barco está a 1 metro sobre el nivel del mar. La base del segundo triángulo es, claramente, \(20+5=25\) metros. Entonces:

\[\frac{h}{4}=\frac{25}{5}\Rightarrow h=\frac{25\cdot4}{5}=20\]


Por tanto el foco del faro se encuentra a 20 metros sobre el nivel del mar.

Ejercicio 6

¿A qué altura se encuentra el extremo superior de la escultura, sabiendo que Paula la ve alineada con el borde de la valla?

semejanza05

semejanza12

En la figura anterior se observa claramente que la altura del extremo superior de la escultura es \(x+1.6\) metros. Por semejanza tenemos:

\[\frac{x}{0.5}=\frac{4.6+0.9}{0.9}\Rightarrow x=\frac{0.5\cdot5.5}{0.9}\approx3.06\]

Por tanto la altura del extremo superior de la escultura es \(3.06+1.6=4.66\) metros.

En este enlace tienes un montón de ejercicios resueltos sobre semejanza de triángulos.

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El árbelos

Leyendo algunos textos de matemáticas en busca de problemas para poner a mis alumnos de secundaria y de bachillerato, me topé con una figura geométrica que ya estaba lejana en mi memoria, pero que me encantó reencontrarme con ella: el árbelos. En concreto, el libro que consultaba en ese momento tiene por título Expediciones Matemáticas, su autor es Frank J. Swetz y está publicado en la editorial "La esfera de los libros". En la página 85 me encuentro con el árbelos. Así que os transmito el contenido y los problemas relacionados con el árbelos y sus correspondientes soluciones.

arbelos2

En el Libro de Lemmas, Arquímedes introduce una figura que, debido a su forma se conoce históricamente como el "cuchillo de zapatero" o árbelos. Si en un semicírculo de radio \(R\) y diámetro \(AB\) se construyen dos semicírculos con radios \(r_1\) y \(r_2\), donde \(r_1\neq r_2\) y \(r_1+r_2=R\), sobre el diámetro \(AB\), de tal modo que se encuentren en el punto \(C\) sobre \(AB\), la región limitada por estas tres circunferencias se denomina árbelos (véase la figura de arriba).

El árbelos fascinaba a Arquímedes por sus propiedades matemáticas. Se propone demostrar un par de ellas.

a) Demuestra que la longitud del arco \(AC\) más la longitud del arco \(CB\) es igual a la longitud del arco \(AB\).

La longitud \(L\) del arco \(AB\) es la de la mitad de una circunferencia de radio \(R\) (recuérdese que el radio \(R\) correspondía al diámetro \(AB\)). Por tanto \(L=\pi R\). Del mismo modo, las longitudes de los arcos \(AC\) y \(CB\) son, respectivamente, \(l_1=\pi r_1\) y \(l_2=\pi r_2\). Como \(R=r_1+r_2\), tenemos:

\[L=\pi R=L=\pi(r_1+r_2)=\pi r_1+\pi r_2=l_1+l_2\]

Justamente lo que queríamos demostrar.

b) Demuestra que, si se construye una línea perpendicular desde \(C\) que corte al arco \(AB\) en un punto \(P\), entonces \(\overline{CP}\) es el diámetro de un círculo cuya área es igual a la del árbelos.

arbelos3

Observemos en primer lugar la figura anterior y recordemos la notación empleada:

\[R=\frac{\overline{AB}}{2}\Rightarrow\overline{AB}=2R\ \ ;\ \ r_1=\frac{\overline{AC}}{2}\Rightarrow\overline{AC}=2r_1\ \ ;\ \ r_2=\frac{\overline{BC}}{2}\Rightarrow\overline{BC}=2r_2\ \ ;\ \ R=r_1+r_2\]

Introduciremos ahora también las siguientes notaciones (ver figura):

\[\overline{AP}=x\ \ ;\ \ \overline{BP}=y\ \ ;\ \ \frac{\overline{CP}}{2}=r_3\Rightarrow\overline{CP}=2r_3\] 

Llamemos por último \(S_1\) al área del árbelos y \(S_2\) al área del círculo de diámetro \(\overline{CP}\), o lo que es lo mismo, de radio \(r_3\). Hemos de demostrar que \(S_1=S_2\).

Los triángulos \(APC\) y \(BPC\) son claramente rectángulos ya que \(\overline{CP}\) es perpendicular a \(\overline{AB}\). El triángulo \(APB\) también es rectángulo porque el ángulo \(\widehat{APB}\) es recto, ya que es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro \(\overline{AB}\). Recuérdese que si un ángulo inscrito de una circunferencia subtiende un diámetro, entonces es un ángulo recto. Utilizando por tanto el teorema de Pitágoras, se cumplen las siguientes igualdades:

\[\overline{AP}^2=\overline{AC}^2+\overline{CP}^2\Rightarrow x^2=(2r_1)^2+(2r_3)^2=4r_1^2+4r_3^2\quad (1)\]

\[\overline{BP}^2=\overline{BC}^2+\overline{CP}^2\Rightarrow y^2=(2r_2)^2+(2r_3)^2=4r_2^2+4r_3^2\quad (2)\]

\[\overline{AB}^2=\overline{AP}^2+\overline{BP}^2\Rightarrow(2R)^2=x^2+y^2\Rightarrow 4(r_1+r_2)^2=x^2+y^2\quad (3)\]

Desarrollando el primer miembro de \((3)\), y sustituyendo en el segundo por los valores correspondientes obtenidos en \((1)\) y \((2)\), tenemos:

\[4r_1^2+4r_2^2+8r_1r_2=4r_1^2+4r_3^2+4r_2^2+4r_3^2\Rightarrow8r_1r_2=r_3^2\Rightarrow r_1r_2=r_3^2\quad (4)\]

El área del árbelos es:

\[S_1=\frac{\pi R^2}{2}-\frac{\pi r_1^2}{2}-\frac{\pi r_2^2}{2}=\frac{\pi(r_1+r_2)^2-\pi r_1^2-\pi r_2^2}{2}=\]

\[=\frac{\pi r_1^2+\pi r_2^2+2\pi r_1r_2-\pi r_1^2-\pi r_2^2}{2}=\frac{2\pi r_1r_2}{2}=\pi r_1r_2\]

Utilizando ahora lo obtenido en \((4)\) tenemos:

\[S_1=\pi r_1r_2=\pi r_3^2=S_2\]

Justamente lo que queríamos demostrar.

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La razón entre la diagonal y el lado de un pentágono

  • Publicado en Retos

Un problema clásico de la geometría. Un reto para ejercitar nociones básicas de proporcionalidad y semejanza en figuras planas.

Calcular la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular.

razon-diagonal-lado-pentagono-01

razon-diagonal-lado-pentagono-02

Llamemos \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\) y \(A_5\) a los vértices del pentágono, \(l\) al lado y \(d\) a la diagonal del pentágono. Sea además \(P\) el punto de corte de las diagonales \(A_1A_3\) y \(A_2A_5\). Como cada diagonal es paralela a un lado del pentágono, se tiene que el cuadrilátero \(PA_3A_4A_5\) es un paralelogramo y, por tanto, \(PA_5=l\) y \(PA_2=d-l\). Como los triángulos \(A_3PA_2\) y \(A_3A_4A_1\) son semejantes (tienen los lados paralelos), se cumple que \(\displaystyle\frac{A_2P}{A_3A_4}=\frac{A_2A_3}{A_1A_3}\) y, sustituyendo el valor de cada segmento en términos de \(l\) y \(d\), tenemos que \(\displaystyle\frac{d-l}{l}=\frac{l}{d}\). Podemos transformar esta última expresión hasta convertirla en una ecuación de segundo grado cuya incógnita es la razón entre la diagonal y el lado del pentágono.

\[\frac{d-l}{l}=\frac{l}{d}\Leftrightarrow\frac{d}{l}-1=\frac{l}{d}\]

Multiplicando todos los términos por \(\displaystyle\frac{d}{l}\) obtenemos:

\[\frac{d^2}{l^2}-\frac{d}{l}=1\Leftrightarrow\left(\frac{d}{l}\right)^2-\frac{d}{l}-1=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[\frac{d}{l}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

Evidentemente la solución a nuestro problema es la positiva, es decir:

\[\frac{d}{l}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Esta cantidad se conoce con el nombre de número de oro o razón áurea. En este artículo, en concreto en los problemas 4 y 5, puedes encontrar la definición y algunas propiedades del número de oro.

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10. Lugares geométricos

Lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad determinada, de un modo integrante y excluyente.

  • Integrante significa que todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
  • Excluyente, que todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones. Es lo que se hace en los siguientes ejemplos. En ellos veremos dos lugares geométricos básicos: la mediatriz de un segmento y las bisectrices de los ángulos que forman dos rectas.

Lugares geométricos destacables en el plano son las cónicas:

  • Circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.
  • Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamdos focos es constante.
  • Hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
  • Parábola: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamdo foco.

Las cónicas se estudiarán en otra sección.

Ejemplo 18

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB, tal que A(2,2) y B(8,0).


La mediatriz m es el lugar geométrico de todos los puntos que distan lo mismo de los extremos del segmento.

lugaresgeometricos00

O sea, con un punto cualquiera P(x,y) que pertenezca al lugar, se cumple:

lugaresgeometricos01

Entonces

lugaresgeometricos02

lugaresgeometricos03

Ejemplo 19

Calcula la ecuación de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas

lugaresgeometricos04


La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que distan lo mismo de cada uno de los lados del ángulo.

lugaresgeometricos06

O sea, que un punto cualquiera P(x,y) que pertenezca al lugar, se cumple:

lugaresgeometricos05

Utilizando la fórmula de la distancia de un punto a una recta vista en el apartado 7, la relación anterior la podemos escribir así:

lugaresgeometricos07

Con el signo +:

lugaresgeometricos08

Con el signo −:

lugaresgeometricos09

Obsérvese que las bisectrices b1 y b2 son perpendiculares pues el producto escalar de dos vectores directores suyos es nulo. En efecto:

lugaresgeometricos10 

← 9. Cambio de sistema de referencia ortonormal

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9. Cambio de sistema de referencia ortonormal

Traslación de ejes

Consideremos las referencias ortonormales R1={O;{i,j}} y R2={O';{i,j}} que aparecen en la figura 12. Obsérvese que la segunda referencia, R2, tiene los ejes paralelos a los de la primera, R1.

Supongamos que las coordenadas del nuevo origen, respecto de la referencia R1 son O'(a, b) y que las coordenadas de un punto A son, respecto de R1, A(x,y) y, respecto de R2, A(x',y').

girostraslaciones00

Se verifica que

girostraslaciones01

Es decir

girostraslaciones02

Entonces

girostraslaciones03

Las ecuaciones anteriores dan las coordenadas de A en cada una de las referencias, en función de las de la otra.

Ejemplo 16

Calcula la ecuación de la recta rx-2y+3=0, cuando se traslada la referencia ortonormal hasta un origen de coordenadas O'(2,5).


 Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación de r, queda

girostraslaciones04

Giro de ejes

Ahora el origen de coordenadas no se mueve, pero la segunda referencia, R2={O';{v,w}}, es el resultado de girar la primera referencia, R1={O;{i,j}}, un ángulo α (o sea, el ángulo que forma el vector i con el vector v es α). Al igual que en anteriormente, las coordenadas de un punto A son, respecto de R1, A(x,y) y, respecto de R2, A(x',y') (ver figura 13).

 girostraslaciones05

En R1 se verifica

girostraslaciones06

con lo que el vector de posición del punto A en las referencias R1 y R2 es

girostraslaciones07

Si sutituimos en la expresión anterior las fórmulas

girostraslaciones06

resulta, en coordenadas

girostraslaciones08

Al igualar componentes se obtiene

girostraslaciones09

Las ecuaciones anteriores dan las coordenadas de A en cada una de las referencias en función de las de la otra.

Ejemplo 17

Calcula la ecuación de la recta rx+y+1=0, cuando la referencia ortonormal se gira α=60º.


 

Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuación de r, queda

girostraslaciones10

girostraslaciones11

girostraslaciones12

girostraslaciones13

Traslación y giro de ejes

Si se aplican sucesivamente ambos cambios, las coordenadas del punto se transforman según el siguiente esquema:

girostraslaciones14

girostraslaciones15

Sustituyendo x' e y' en las segundas igualdades, resulta

girostraslaciones16

O bien, despejando de aquí las iniciales

girostraslaciones17

← 8. Área del triángulo

10. Lugares geométricos →

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8. Área del triángulo

Trabajaremos en el triángulo de la figura 11.

areatriangulo00

En él, la ecuación de la recta \(r\) es

areatriangulo01

El área del triángulo \(ABC\) es

areatriangulo02

Y como

areatriangulo03

areatriangulo04

Obsérvese que para hallar \(AH\) se ha utilizado la fórmula de la distancia de un punto a una recta vista en el apartado anterior. Sustituyendo estas expresiones en la fórmula del área del triángulo, queda

areatriangulo05

La fórmula anterior no es fácil de recordar de memoria. Pero hay una expresión matemática equivalente, que se llama determinante, con el que no es necesario recordar esa fórmula, y se aplica como se hace en el ejemplo siguiente.

areatriangulo06

Ejemplo 15

Halla el área del triángulo cuyos vértices son \(A(2\,,\,0)\); \(B(3\,,\,4)\) y \(C(-2\,,\,5)\).


 

 areatriangulo08

areatriangulo09

Los seis productos del determinante corresponden al esquema siguiente, conocido como regla de Sarrus: las diagonales continuas se suman y las diagonales en trazos se restan.

areatriangulo07

← 7. Distancia de un punto a una recta

9. Cambio de sistema de referencia ortonormal →

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7. Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto P(p1,p2) a una recta r≡Ax+By+C=0 es la longitud del segmento de perpendicular a la recta, trazada por el punto P, comprendido entre éste y aquella. En la figura 10, d(P,r)=d(P,M).

distpuntorecta01

Para calcularla podemos hallar la recta s perpendicular a r que pasa por P, resolver el sistema formado por ambas  rectas para hallar el punto M y, finalmente calcular la longitud del segmento PM, es decir, d(P,M).

De todas formas lo que haremos es seguir unos pasos para deducir una fórmula general que permita hallar la distancia entre el punto P y la recta r.

  • En primer lugar, se toma un punto cualquiera de r, A(a1,a2) y se considera el vector que une el punto con el punto A, PA=(a1p1,a2p2).
  • En segundo lugar, se construye el vector z, que es el normalizado del vector que une P con M, es decir, aquel que tiene su misma dirección y sentido y de módulo la unidad. Sabemos por el apartado anterior que es de la forma:
    distpuntorecta02
  • Por úlimo, se hace el producto escalar del vector PA por el vector z:
    distpuntorecta03

Ahora hemos de igualar los dos últimos resultados teniendo en cuenta que, al tratarse de una distancia, siempre es positiva o nula. Por ello siempre es posible cambiar el signo y poner valores absolutos:

distpuntorecta04

Y como el punto A pertenece a la recta r se tiene que:

distpuntorecta05

Por tanto:

distpuntorecta06

Cuando la distancia que se busca, es la del origen de coordenadas O(0,0) a la recta Ax+By+C=0, la fórmula anterior queda de la siguiente forma:

distpuntorecta07

Llamando

distpuntorecta08

la ecuación normal de la recta, con los cosenos directores, toma la forma:

distpuntorecta09

Ejemplo 14

Calcula los cosenos directores, la distancia al origen y la ecuación normal de la recta

ecnormal10


 

Ya hemos visto en el ejemplo 13 del apartado anterior que los csenos directores son:

ecnormal11

La distancia al origen es:

distpuntorecta10

Como C<0, entonces:

distpuntorecta11

Así pues la ecuación normal de la recta es:

ecnormal12

 6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

8. Área del triángulo →

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6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

ecnormal01

En la figura 9 hemos tomado la recta

parpend11

Sobre ella se consideran los puntos A(a1,a2) y X(x,y) que determinan el vector

ecnormal02

El vector z se ha construido unitario y perpendicular a r. Por tanto tiene la misma dirección que el vector v=(A,B). Para obtener z basta multiplicar v por el inverso de su módulo:

ecnormal03

Ahora bien:

ecnormal04

O sea:

ecnormal05

Pero si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, resulta:

ecnormal06

Sustituyendo en (*):

ecnormal07

La ecuación anterior es la ecuación normal de la recta. Surge una pregunta: ¿qué significado tienen los coeficientes de la x y de la y de esa ecuación normal de la recta? Obsérvese que son las componentes del vector unitario z. Tales componentes de un vector unitario en una base ortonormal {i,j}, son el coseno y el seno del ángulo que forma con el vector i de la base. Así pues:

ecnormal08

Esas expresiones reciben el nombre de cosenos directores de r, pues la segunda también puede escribirse:

ecnormal09

Ejemplo 13

Halla los cosenos directores y escribe en forma normal la recta

ecnormal10


 Los cosenos directores son:

ecnormal11

Entonces:

ecnormal12

← 5. Paralelismo y perpendicularidad

7. Distancia de un punto a una recta →

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5. Paralelismo y perpendicularidad

Si dos rectas rs de pendientes respectivas m1 y m2 son paralelas, forman un ángulo de 0º. En ese caso:

parpend01

Esto nos lleva a un resultado conocido: dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

parpend02

Este resultado está de acuerdo con la fórmula que veíamos en la sección 1 pues, efectivamente, si consideramos dos rectas

recta06

tenemos que:

parpend03

Ejemplo 9

Calcula k para que las rectas

 parpend04

sean paralelas.


parpend05

Ejemplo 10

Calcula la ecuación de la recta s paralela a la recta ≡ x+3y−5=0, y que pasa por el punto A(2,5).


parpend06

Usando la eucación punto-pendiente:

parpend07

Si dos rectas son perpendiculares, forman un ángulo de 90º. En ese caso, la fórmula

pendiente17

exige que tg90º→∞. Para ello, el denominador ha de ser nulo. O sea:

parpend09

Es decir:

parpend10

Así pues, dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y cambiadas de signo.

Observando la expresión de la sección 4:

pendiente07

se puede comprender esta interesante interpretación de los coeficientes de los términos lineales de la ecuación general de una recta. Veamos, sea r una recta:

parpend11

Un vector director de r es:

parpend12

Si consideramos ahora el vector

parpend13

y hacemos el producto escalar de ambos vectores

parpend14

La conclusión de todo lo anterior es, por tanto, la siguiente:

parpend15

Ejemplo 11

Calcula la ecuación de la recta s, perpendicular a ≡ x+2y+3=0, por el punto A(3,5).


Calculamos la pendiente de la recta r y obtenemos así la de s (la inversa de la de r cambiada de signo):

parpend16

Entonces:

parpend17

Ejemplo 12

Haz el ejercicio anterior, usando vectores directores y la forma continua de la recta.


 

Un vector director de r es:

parpend18

y un vector perpendicular a r será pues :

parpend19

Por tanto, este último vector, será un vector director de la recta s. Entonces:

parpend20

← 4. Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta

6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores →

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4. Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta

Observemos la figura 5:

pendiente01

En primer lugar vamos a hallar el vector director p=(p1,p2) de la recta r que venga dada en su forma general:

pendiente02

En la figura se ha dibujado la recta r y otra paralela a ella, s, que pasa por el origen de coordenadas. Por tanto la ecuación de será de la forma:

pendiente03

Tomemos un punto cualquiera A(x1,y1) de s distinto del origen de coordenadas, es decir, x1≠0.  Este punto ha de satisfacer la ecuación de la recta s, o sea:

pendiente04

Ahora, dividiendo por x1:

pendiente05

 Observemos ahora que en los triángulos OABOPT se cumple:

pendiente06

Es conocido que la tangente de la inclinación de una recta (ángulo que forma con el eje OX) se le llama pendiente, y se la representa por m. Entonces:

pendiente07

Y, por tanto, un vector director de r es:

pendiente08

Ejemplo 7

Calcula el ángulo que forman las rectas

pendiente09


 

Utilizando lo que hemos visto anteriormente, es fácil darse cuenta de que vectores directores de rs son, respectivamente:

pendiente10

Por tanto:

pendiente11

Por cierto, hay otra manera de calcular el ángulo de dos rectas, sin necesidad de hallar antes vectores directores suyos. Observa la figura 6.

pendiente12

En la figura, las rectas:


pendiente13

se cortan en T bajo un ángulo α, y forman con el eje de abscisas el triángulo TPQ. El ángulo γ es ángulo exterior del triángulo, y es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. O sea:

pendiente14

Las pendientes de r y s son, respectivamente:

pendiente15

Entonces utilizando una conocida identidad trigonométrica:

pendiente16

Fórmula que si la escribirmos en funcón de las pendientes de las rectas, queda de la forma:

pendiente17

Ejemplo 8

Calcula, usando las pendientes, el ángulo que forman las rectas:

pendiente18


Hallemos las pendientes y usemos la fórmula anterior:

pendiente19

Observemos ahora la figura 7. En ella se representa la recta r de inclinación α y de pendiente m=tgα.

pendiente20

Consideremos sobre la recta un punto determinado A(x0,y0), y también, un punto cualquiera de ella X(x,y). En la figura se ha formado el triángulo ABX en el que se cumple:

pendiente21

Es decir:

pendiente22

La ecuación anterior se suele llamar ecuación punto-pendiente de la recta r, y es muy cómoda cuando se conoce un punto de la recta y su pendiente.

Observemos ahora la figura 8:

pendiente23

Si aplicamos la ecuación punto-pendiente al punto Q(0,b), se obtiene:

pendiente24

Es decir:

pendiente25

La ecuación anterior es la llamada forma explícita de la recta r. El término b es la ordenada en el origen.

Otro enfoque es el siguiente. Un vector director de r es:

pendiente26

Considerando el punto P(a,0), la ecuación continua de una recta, nos lleva al siguiente resultado:

pendiente27

Dividiendo todos los términos entre ab:

pendiente28

La ecuación anterior suele llamarse ecuación canónica de la recta. En ella ab son, respectivamente, la abscisa y la ordenada en el origen.

← 3. Ángulo de dos rectas

5. Paralelismo y perpendicularidad →

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El teorema del coseno

En la figura de abajo se representa un triángulo cualquiera, en el que vamos a considerar sus lados como representantes de vectores libres.

thcoseno02

Hagamos el siguiente producto escalar:

thcoseno03

Por distributividad se puede escribir:

thcoseno04

Por tanto, utilizando la definición de módulo de un vector y de producto escalar de dos vectores:

thcoseno05

La expresión anterior, usando la medida de los lados del triángulo, toma la forma:

thcoseno06

Fórmula que constituye el llamado teorema del coseno, que dice:

En cualquier triángulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ángulo que forman.

Como caso particular del teorema del coseno, resulta el conocido teorema de Pitágoras. Cuando A=90o, el teorema del coseno se convierte en:

thcoseno07

Es decir:

thcoseno08

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3. Ángulo de dos rectas

Al cortarse dos rectas aparecen cuatro ángulo, dos a dos iguales (figura 4).

angulorectas01

Se conviene en llamar ángulo de las rectas r y s a uno de los dos menores iguales que forman. Por tanto:

angulorectas02

y, entonces,

angulorectas03

El ángulo de dos rectas es el ángulo que forman sus vectores directores. Si las rectas son:

angulorectas04

angulorectas05 ,

el ángulo que forman se puede calcular despejando de la expresión del prodcuto escalar de dos vectores:

angulorectas06

Si usamos las componentes correspondientes:

angulorectas07

De acuerdo con lo que se ha establecido (el ángulo se encuentra entre cero y noventa grados), tomamos el numerador en valor absoluto y en el denominador, las raíces cuadradas positivas.

Ejemplo 5

Halla el ángulo que forman las rectas

angulorectas08


 

Los vectores directores de rs son, respectivamente:

angulorectas09

Entonces:

angulorectas10

Ejemplo 6

Las rectas

angulorectas11

se cortan en un punto A, que es vértice de un triángulo obtusángulo en A. Calcula el ángulo A de ese triángulo.


 

Los vectores directores de r y s son, respectivamente:

angulorectas12

Por tanto:

angulorectas13

Como el ángulo A es obtuso:

angulorectas14

← 2. Distancias entre puntos

4. Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta →

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2. Distancias entre puntos

En primer lugar veamos la distancia de un punto \(A(x,\,y)\) al origen de una referencia ortonormal \((O\,;\,\{i,\,j\})\).

distpuntos01

En la figura 2, la distancia \(OA\) es el módulo del vector de posición \(OA=(x,\,y)\); es decir:

 distpuntos03

o sea:

 distpuntos04

Obsérvese cómo se obtiene lo mismo que al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura 2.

Ahora calculamos, sobre la figura 3, la distancia \(AB\):

distpuntos02

distpuntos05

O sea:

distpuntos06

Obsérvese que se ha obtenido otra vez el mismo resultado que se obtiene al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura 3.

Ejemplo 4

Calcula el perímetro \(P\) de un rombo, uno de cuyos lados es \(AB\), con \(A(2,\,15)\) y \(B(7,\,3)\).


distpuntos07

distpuntos08

← 1. Repaso de la recta en el plano afín

3. Ángulo de dos rectas →

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1. Repaso de la recta en el plano afín

Sobre la figura 1 recordamos las distintas formas de la recta en el plano afín.

recta 01 

Dado un punto \(A(a,\,b)\) siempre podemos trazar una recta \(r\) que pase por \(A\) en una determinada dirección. Si llamamos \(\vec{e}\) a la dirección de la recta o vector director de la recta, podremos generar cualquier punto \(X(x,\,y)\) de la recta mediante la ecuación

\[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\vec{e}\]

donde \(k\) es un número real y \(O\) es el origen de coordenadas (ver figura 1). Esta es la llamada ecuación vectorial de la recta.

Escribiendo en coordenadas la ecuación anterior, tenemos que \((x,\,y)=(a,\,b)+k\cdot(e_1,\,e_2)\), o lo que es lo mismo, \((x,\,y)=(a+k\cdot e_1,\,b+k\cdot e_2)\), de donde, igualando coordenadas, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta:

\[\begin{cases}x=a+k\cdot e_1\\ y=b+k\cdot e_2\end{cases}\]

Despejando \(k\) de las ecuaciones paramétricas e igualando obtenemos la ecuación continua de la recta:

\[\frac{x-a}{e_1}=\frac{y-b}{e_2}\]

Si en la ecuación anterior eliminamos denominadores y pasamos todos los términos al primer miembro obtenemos la ecuación general de la recta:

\[Ax+By+Cz+D=0\]

Tomemos ahora dos rectas \(r\) y \(s\) en su forma general:

\[r\equiv Ax+By+Cz+D=0\quad\text{;}\quad s\equiv A'x+B'y+C'z+D'=0\]

Vamos a resumir las condiciones de corte (incidencia) y paralelismo.

Las rectas \(r\) y \(s\) son secantes, es decir se cortan en un punto \(P\) si:

\[r\cap s=\{P\}\Leftrightarrow\frac{A}{A'}\neq\frac{B}{B'}\]

Las rectas \(r\) y \(s\) son paralelas si:

\[r\left|\right|s\Leftrightarrow\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}\neq\frac{C}{C'}\]

Las rectas \(r\) y \(s\) son coincidentes si:

\[r\equiv s\Leftrightarrow\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\]

Ejemplo 1

Escribe en forma paramétrica, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por el punto \(A(−1,3)\) y tiene un vector director \(\vec{e}=(2,5)\).


Las ecuaciones paramétricas son:

\[\begin{cases}x=-1+2k\\y=3+5k\end{cases}\]

Despejando \(k\) obtenemos las ecuación continua y eleminando denominadores y pasando todos los términos al primer miembro, la ecuación general de la recta:

\[r\equiv\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{5}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv5(x+1)=2(y-3)\Leftrightarrow r\equiv5x-2y+11=0\]

Ejemplo 2

Escribe en forma paramétrica, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por los puntos \(A(3,1)\) y \(B(-2,4)\).


 Un vector director de ella es:

\[\vec{e}=\overrightarrow{AB}=(-2-3,\,4-1)=(-5,\,3)\]

Entonces, usando el punto \(A\), por ejemplo:

\[r\equiv\begin{cases}x=3-5k\\y=1+3k\end{cases}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv\frac{x-3}{-5}=\frac{y-1}{3}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv3(x-3)=-5(y-1)\Leftrightarrow r\equiv3x+5y-14=0\]

Ejemplo 3

Dadas las rectas:

\[r\equiv x+3y+m=0\quad\text{;}\quad s\equiv2x-ny+5=0\]

halla \(m\) y \(n\), para que:

• Sean paralelas.

• Se corten en el punto \(P(1,2)\).

• Sean coincidentes.


 Aplicaremos las condiciones de incidencia y paralelismo:

• Para que sean paralelas:

\[r\left|\right|s\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{3}{-n}\neq\frac{m}{5}\Rightarrow n=-6\ \text{;} \ m\neq\frac{5}{2}\]

• Para que se corten en el punto \(P(1,2)\):

\[r\cap s=P(2,\,1)\Rightarrow\begin{cases}2+3\cdot1+m=0\Rightarrow m=-5\\ 4-n\cdot1+5=0\Rightarrow n=9\end{cases}\]

• Para que sean coincidentes:

\[r\equiv s\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{3}{-n}=\frac{m}{5}\Rightarrow n=-6\ \text{;}\ m=\frac{5}{2}\]

2. Distancias entre puntos →

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El teorema de los senos

El teorema de los senos dice:

En todo triángulo las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos respectivos, siendo la constante de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

thsenos01     thsenos02

Dibujando en los triángulos ABC de las figuras anteriores, la altura h, aparecen dos triángulos rectángulos CHACHB, en los que se cumple (se han dibujado triángulos acutángulo y obtusángulo, en el rectángulo también se cumple):

 thsenos04

Si hubiéramos trabajado con la altura correspondiente al vértice B, por el mismo procedimiento:

 thsenos05

Igualando (1) y (2), se obtiene:

 thsenos06

Esta es la fórmula conocida por teorema de los senos.

Ahora, en la figura siguiente, hemos dibujado la circunferencia circunscrita al triángulo anterior; luego trazamos el diámetro BA' y unimos con C, formándose el triángulo BCA', que es rectángulo en (recuerda que el ángulo BCA' es inscrito, y abarca 180º, el arco que va de A' B; por tanto el ángulo BCA' vale 180º/2=90º).

thsenos03

Entonces, aplicando la fórmula del teorema de los senos en el triángulo BCA', obtenemos:

thsenos07

Pero el ángulo A es igual que el ángulo A', por ser inscritos y abarcar el mismo arco BC, luego:

thsenos08

Este resultado lo incorporamos a la fórmula del teorema de los senos y resulta finalmente la expresión completa del teorema de los senos:

thsenos09

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Circunferencias tangentes

  • Publicado en Retos

Tenemos dos circunferencias con radios \(a\) y \(b\), respectivamente, que son tangentes a la misma línea recta, así como una a la otra (véase la figura de más abajo). Los puntos donde las circunferencias tocan a la línea recta son \(D\) y \(E\). ¿Cuál es la longitud del segmento \(\overline{DE}\)?

Circunferencias tangentes y tangentes a una recta exterior

Circunferencias tangentes y tangentes a una recta exterior

El único triángulo que se ve en la figura es claramente rectángulo. Su hipotenusa es igual, también claramente, a la suma de los radios de las circunferencias. Aplicando el teorema de Pitágoras:

circulos3

Y de aquí:

circulos4

Por tanto:

circulos5

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Triángulo equilátero inscrito en un círculo

  • Publicado en Retos

En un círculo se inscribe un triángulo equilátero de área 12 unidades cuadradas. ¿Cuál es el área de la región sombreada de azul?

triangulo-circulo-01

Os aseguro que no es difícil. Con algo de imaginación, el área del triángulo, el área del círculo y ¡Pitágoras!, se puede dar con la solución.

El triángulo \(ABC\), de área \(12\), se puede dividir en tres triángulos iguales: \(AOB\), \(AOC\) y \(BOC\) de área \(4\) cada uno de ellos. El triángulo \(BOD\) tendrá pues área \(2\) por ser justo la mitad del triángulo \(BOC\).

triangulo-circulo-02

Si llamamos \(l\) al lado del triángulo \(ABC\) su área será:

triangulo-circulo-03

Obsérvese que su altura es \(r+\dfrac{r}{2}\) pues \(BOD\) y \(BED\) también son triángulos iguales. Así pues:

triangulo-circulo-04

Por otro lado, en el triángulo \(BOD\), aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

triangulo-circulo-05

Sustituyendo el valor de \(l^2\):

triangulo-circulo-06

El área del la región sombreada de azul es el área del círculo menos la del triángulo:

triangulo-circulo-07

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Radio del círculo inscrito en un triángulo rectángulo

  • Publicado en Retos

En un triángulo rectángulo se suponen conocidas las longitudes de sus dos catetos, a y b, y de la hipotenusa, c. Hallar la longitud del radio, r, del círculo inscrito en este mismo triángulo.

inscrito1

Para hallar el valor del radio del círculo inscrito en el triángulo vamos a “trocear” tal triángulo del modo que se indica en la figura siguiente:

inscrito2

El área del triángulo ABC es igual a la suma de las áreas de los triángulos AOEAOBBOD, y del cuadrado CDOE. Esto nos lleva a la siguiente igualdad:

inscrito3

Eliminando denominadores y paréntesis se tiene:

inscrito4

Igualdad esta última de la que se deduce que el valor del radio es:

inscrito5

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