Menu
Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales.…

Las sucesiones de n&uacut...

La paradoja de Zenón

La paradoja de Zenón

El filósofo griego...

Funciones continuas e inyectivas

Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teo...

El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

El problema de la velocidad. Deriva…

Un problema relativo a ve...

Prev Next

Elementos filtrados por fecha: Domingo, 27 Septiembre 2015

Factorial de un número y números combinatorios

Factorial de un número natural

Se define el factorial de un número natural \(n\), que escribiremos \(n!\) y leeremos "\(n\) factorial", de la siguiente manera

\[n!=n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots3\cdot2\cdot1\]

También, por definición, convendremos que \(0!=1\).

Así por ejemplo \(7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040\)

El número \(n!\) es el total de permutaciones distintas que se pueden hacer con \(n\) elementos. Así, si consideramos \(3\) elementos, por ejemplo \(\{a,\,b,\,c\}\) hay seis permutaciones posibles de los mismo pues \(3!=6\). Son las siguientes:

\[abc\quad acb\quad bac\quad bca\quad cab\quad cba\]

Si \(n\) fuera igual a \(10\) tendríamos que \(10!=3628800\) lo que querría decir, por ejemplo, que si hay \(10\) personas sentadas en un fila de un cine que tiene \(10\) butacas, podrían sentarse en esa misma fila de \(3628800\) formas distintas.

Números combinatorios

Supongamos dos números naturales \(n\) y \(m\) con \(n\geqslant m\). Se define el número combinatorio \(\displaystyle\binom{n}{m}\), que se lee "\(n\) sobre \(m\)", de la siguiente manera:

\[\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\]

Por ejemplo, \(\displaystyle \binom{9}{5}=\dfrac{9!}{5!\cdot4!}=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2}=126\).

El número combinatorio \(\displaystyle\binom{n}{m}\) indica el número total de combinaciones que se pueden hacer con \(n\) elementos tomándolos de \(m\) en \(m\). Una combinación de \(n\) elementos tomados de \(m\) en \(m\) es una muestra o agrupación de \(m\) de los \(n\) elementos donde no importa el orden en que se tomen los \(m\) elementos. Por ejemplo, si tenemos seis pinturas de colores (digamos blanco, amarillo, azul, rojo, naranja y verde), una combinación de tres colores es, por ejemplo, la mezcla formada por el amarillo, el azul y el rojo; combinación que es la misma que la formada por los colores rojo, amarillo y azul, pues ambas dan lugar a la misma mezcla. El total de mezclas o combinaciones que podemos hacer con estos seis colores tomándolos de tres en tres es \(\displaystyle\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2}=20\).

Cuándo sí que importa el orden en que se tomen los elementos, dos muestras o agrupaciones con los mismos elementos son distintas. En este caso las muestras reciben el nombre de variaciones. Un ejemplo es tomar los dígitos del conjunto \(\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}\) y formar todos los números posibles de tres cifras con los dígitos anteriores. Claramente el número \(245\) es distinto del número \(452\) (son dos agrupaciones distintas, dependiendo del orden en que se tomen los mismos elementos). El número total de variaciones de \(n\) elementos tomados de \(m\) en \(m\) se escribe \(V_{n,\,m}\) y también tiene una fórmula. Es la siguiente

\[V_{n,\,m}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\]

Así el total de números de tres cifras que se pueden formar con los dígitos del conjunto \(\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}\) es \(V_{6,\,3}=6\cdot5\cdot4=120\).

Propiedades de los números combinatorios

a) \(\displaystyle\binom{n}{0}=1\quad\text{;}\quad\binom{n}{n}=1\)

b) \(\displaystyle\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\)

c) \(\displaystyle\binom{n}{m-1}+\binom{n}{m}=\binom{n+1}{m}\)

a) \(\displaystyle\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{n!}=1\quad\text{;}\quad\binom{n}{n}=\frac{n!}{n!(n-n)!}=\frac{n!}{n!}=1\)

b) \(\displaystyle {n\choose n-m}=\frac{n!}{(n-m)![n-(n-m)]!}=\frac{n!}{(n-m)!(n-n+m)!}=\frac{n!}{(n-m)!m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}={n\choose m}\)

c) \(\displaystyle\binom{n}{m-1}+\binom{n}{m}=\frac{n!}{(m-1)!(n-m+1)!}+\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n!}{(n-m)!(m-1)!}\left(\frac{1}{n-m+1}+\frac{1}{m}\right)=\)

\(\displaystyle=\frac{n!}{(n-m)!(m-1)!}\cdot\frac{n+1}{(n-m+1)m}=\frac{(n+1)!}{m!(n-m+1)!}=\binom{n+1}{m}\)

Usando las propiedades anteriores no es difícil hallar todos los números combinatorios en función de los primeros. Observemos el siguiente "triángulo de números":

\[\begin{matrix}  &  &  &  &  & 1 &  &  &  &  \\  &  &  &  & 1 &  & 1 &  &  &  \\  &  &  & 1 &  & 2 &  & 1 &  &  \\  &  & 1 &  & 3 &  & 3 &  & 1 &  \\  &  1 &  & 4 &  & 6 &  & 4 &  & 1 \\ 1 &  & 5 &  & 10 &  & 10 &  & 5 & & 1 \end{matrix}\]

Este triángulo expresa, en filas, todos los números combinatorios. Comenzando por \(n=0\), el primer número combinatorio (el vértice del triángulo) es \(\displaystyle\binom{0}{0}=1\). Para \(n=1\) tenemos otros dos números combinatorios (los de la segunda fila), que son \(\displaystyle\binom{1}{0}=1\) y \(\displaystyle\binom{1}{1}=1\). Si \(n=2\) aparecen los números combinatorios de la tercera fila: \(\displaystyle\binom{2}{0}=1\), \(\displaystyle\binom{2}{1}=2\) y \(\displaystyle\binom{2}{2}=1\). Y así sucesivamente.

La primera propiedad anterior es la responsable de que el primer y el último número de cada fila sea igual a \(1\). La segunda se encarga de que los números combinatorios del triángulo que en cada fila son equidistantes, sean iguales. Y la tercera propiedad se encarga de construir cada fila a partir de la anterior. Ya sabemos que cada fila comienza y acaba en \(1\). La propiedad nos dice que cada uno de los demás números de la fila es justamente la suma de los dos que tiene exactamente por encima. Por tanto construir el triángulo es muy sencillo. Este triángulo se conoce con el nombre de triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia.

El triángulo de Pascal está íntimamente ligado a la potencia de un binomio: \((a+b)^n\), o binomio de Newton. Y es que los coeficientes del desarrollo del binomio son exactamente los números que se encuentran en la línea \(n+1\) del triángulo de Pascal.

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\,,\forall n,\,k\in\mathbb{N}\,;\,0\leqslant n\leqslant k\]

Por cierto, si en la fórmula anterior \(a=b=1\) tenemos

\[2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}1^k=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}\]

La anterior fórmula lo que nos viene a decir es que un conjunto de \(n\) elementos tiene un total de \(2^n\) subconjuntos: subconjuntos que no tienen elementos (el vacío), más subconjuntos con un elemento, más subconjuntos con dos elementos, etcétera. El conjunto formado por los subconjuntos de un conjunto \(A\) se llama conjunto de las partes de \(A\) y se denota por \(\mathcal{P}(A)\). Así el conjunto de las partes del conjunto \(A=\{1\,,\,2\,,\,3\}\) es

\[\mathcal{P}(A)=\{\varnothing\,,\,\{1\}\,,\,\{2\}\,,\,\{3\}\,,\,\{1\,,\,2\}\,,\,\{1\,,\,3\}\,,\,\{2\,,\,3\}\,,\,\{1\,,\,2\,,\,3\}\}\]

que, como se puede apreciar, tiene \(2^3=8\) elementos.

Una última e interesante propiedad relacionada con los números combinatorios

\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\]

\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\frac{1}{n^k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}=\]

\[=\frac{1}{k!}\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^{k-1}}=\frac{1}{k!}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}=\]

\[=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\]

Leer más ...

El número e como límite de una determinada función

Pretendemos demostrar en este artículo que el límite de la función \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\) cuando \(x\rightarrow+\infty\) es el número \(\text{e}\). Obsérvese que la función anterior no está definida en el intervalo \([-1,\,0]\) (pues en estos casos la base es negativa y nos limitamos al estudio de funciones del tipo \(f(x)^{g(x)}\) con \(f(x)\) positivo). Además, cuando \(x\rightarrow+\infty\) tenemos

\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\rightarrow\left(1+\frac{1}{+\infty}\right)^{+\infty}=1^{+\infty}\]

que es una de la indeterminaciones que aparecen en el cálculo de límites (hemos utilizado que \(x\rightarrow\infty\Rightarrow1/x\rightarrow0\)).

Aprovechemos este momento para comentar también que, cuando \(x\rightarrow0^+\), entonces

\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\rightarrow\left(1+\frac{1}{0^+}\right)^0=+\infty^0\]

que es otra indeterminación (hemos usado que \(x\rightarrow0^+\Rightarrow1/x\rightarrow+\infty\)).

En la demostración que vamos a hacer se verá que si se sustituye \(+\infty\) por \(-\infty\) el límite sigue siendo el número \(\text{e}\):

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\text{e}\]

La idea consiste en tomar una sucesión \(\{x_n\}\) de número reales divergente (es decir, una sucesión cuyos términos tienden a \(+\infty\) o a \(-\infty\)) y demostrar que el límite de la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n} \right )^{x_n}\right\}\) es igual al número \(\text{e}\). Formalizemos esta idea.

Proposición

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión divergente de números reales. Podemos suponer sin perder generalidad que \(x_n\notin[-1,\,0],\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), con lo que \(1+\dfrac{1}{x_n}\) es siempre un número real positivo para todo \(n\in\mathbb{N}\). Entonces

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow \text{e}\]

Demostración

Comenzaremos probando el caso particular en que \(x_n=n,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), esto es, demostraremos que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right\}\rightarrow \text{e}\]

Usando la fórmula de la potencia de un binomio (binomio de Newton) se tiene, para todo natural \(n\), que

\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\binom{n}{0}1^n\frac{1}{n^0}+\binom{n}{1}1^{n-1}\frac{1}{n^1}+\binom{n}{2}1^{n-2}\frac{1}{n^2}+\ldots+\binom{n}{n}1^0\frac{1}{n^n}=\]

\[=1+n\frac{1}{n}+\binom{n}{2}\frac{1}{n^2}+\binom{n}{3}\frac{1}{n^3}+\ldots+\binom{n}{n}\frac{1}{n^n}=(\bigstar)\]

En un artículo dedicado a los números combinatorios aparece, al final del mismo (con su demostración), una propiedad según la cual

\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\]

Usando esta propiedad podemos simplificar la igualdad \((\bigstar)\) obteniendo finalmente:

\[(a+b)^n=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\ldots\]

\[\ldots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\quad(\bigstar\bigstar)\]

Teniendo en cuenta la anterior igualdad es claro que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) es creciente y que:

\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leqslant1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant\text{e}\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Para ello hemos usado que

\[\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)\leqslant1\,,\forall\, k=1,\,2,\ldots,\,n\]

pues todos los factores menores o iguales que \(1\).

También hemos usado que, fijando \(n\in\mathbb{N}\) tenemos:

\[1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant\text{e}\]

ya que la sucesión \(\{x_n\}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\) tiene como límite el número \(\text{e}\) (esto lo puedes consultar el artículo "descubiendo el número \(\text{e}\)").

Hemos demostrado pues que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) tiene límite (ya que es creciente y todos sus términos están acotados por el número \(\text{e}\)). Además por la misma razón, su límite, \(l\), verifica \(l\leqslant\text{e}\).

Aplicando también la igualdad \((\bigstar\bigstar)\) se tiene que si \(n\), \(p\) son números naturales cualesquiera,

\[\left(1+\frac{1}{n+p}\right)^{n+p}\geqslant1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\ldots\]

\[\ldots+\frac{1}{p!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{p-1}{n}\right)\]

Para \(p\) fijo, la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{n+p}\right)^{n+p}\right\}\) converge a \(l\) (es la misma que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) sólo que le faltan los primeros términos; en el paso al límite éste, si existe, ha de ser el mismo). La sucesión que tiene por término \(n\)-ésimo la expresión que aparece en el segundo miembro de la desigualdad anterior tiene como límite

\[1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{p!}\]

Se tiene por tanto

\[l\geqslant1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{p!}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{N}\]

lo que imjplica que \(l\geqslant\text{e}\). Como antes habíamos demostrado que \(l\leqslant\text{e}\), tenemos por tanto que \(l=\text{e}\), tal y como queríamos.

Bien, hemos sudado un poco, pero ya hemos demostrado que, efectivamente, \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right\}\rightarrow \text{e}\). De aquí, y haciendo uso de que la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) tiene límite igual a \(0\), se deduce que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\right\}=\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}\rightarrow \text{e}\]

También se deduce que

\[\left\{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\right\}=\left\{\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\displaystyle\frac{n}{n+1}}\right\}\rightarrow\text{e}\]

Hemos utilizado que el límite de la sucesión \(\left\{\dfrac{n}{n+1}\right\}\) es igual a \(1\).

Las dos afirmaciones anteriores las vamos a escribir, equivalentemente, de otra manera. Si tomamos un número real cualquiera \(\varepsilon>0\), por pequeño que sea, podemos escribir todos los términos de las dos sucesiones anteriores a partir de uno de ellos, entre \(\text{e}-\varepsilon\) y \(\text{e}+\varepsilon\). O sea que existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geqslant m\), entonces:

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<\text{e}+\varepsilon\quad(1)\]

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\text{e}+\varepsilon\quad(2)\]

Vamos a demostrar ahora que dada una sucesión \(\{x_n\}\) de número reales que tienda a \(+\infty\), entonces la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\) tiene como límite el número \(\text{e}\). Para ello haremos uso de las expresiones \((1)\) y \((2)\) anteriores y, para cada \(\varepsilon>0\), del número natural \(m\) para el que se cumplen.

Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow+\infty\), y sea \(\{k_n\}=\{\text{E}(x_n)\}\) (la sucesión parte entera de la sucesión \(\{x_n\}\)). Claramente \(\{k_n\}\rightarrow+\infty\). Pongamos esto de otra manera. Que la sucesión \(\{k_n\}\) tienda a más infinito quiere decir que todos los términos de la sucesión a partir de uno ellos es mayor o igual que \(m\), donde \(m\) es el natural con el que hemos estado trabajando anteriormente. Es decir

\[\exists\,p\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant p\Rightarrow k_n\geqslant m\]

Además como \(k_n\) es un número natural, para \(n\geqslant p\), se cumplen en particular \((1)\) y \((2)\), con lo cual

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n+1}<\text{e}+\varepsilon\]

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)^{k_n}<\text{e}+\varepsilon\]

Por otra parte se tiene para \(n\geqslant p\) que el natural \(k_n\) verifica \(k_n\leqslant x_n<k_n+1\) (esta es una de las propiedades de la parte entera de un número real), y de aquí es fácil deducir que \(1+\dfrac{1}{k_n+1}<1+\dfrac{1}{x_n}\leqslant1+\dfrac{1}{k_n}\), y de aquí también que

\[\left(1+\dfrac{1}{k_n+1}\right)^{k_n}<\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}<\left(1+\dfrac{1}{k_n}\right)^{k_n+1}\]

Enlazando la doble desigualdad anterior de manera conveniente con las anteriores desigualdades \((1)\) y \((2)\), obtenemos:

\[n\geqslant p\Rightarrow \text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}<\text{e}+\varepsilon\]

lo que demuestra lo que queríamos, es decir, que \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow\text{e}\) cuando \(\{x_n\}\rightarrow+\infty\).

Para finalizar vamos a comprobar exactamente lo anterior cuando la sucesión tiende a "menos infinito", es decir, que si \(\{x_n\}\rightarrow-\infty\), entonces también \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow\text{e}\). Para ello bastará hacer un cambio de variable.

Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow-\infty\) y sea \(y_n=-x_n-1,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\) (obsérvese que claramente \(\{y_n\}\rightarrow+\infty\)). Es prácticamente inmediato comprobar que (¡hazlo, inténtalo!)

\[\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}=\left(1+\frac{1}{y_n}\right)^{y_n}\left(1+\frac{1}{y_n}\right)\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Lo anterior, junto con el hecho de que \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{y_n}\right)^{y_n}\right\}\rightarrow\text{e}\) (recuérdese que \(\{y_n\}\rightarrow+\infty\)), implica que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow\text{e}\]

tal y como queríamos demostrar.

Leer más ...
Suscribirse a este canal RSS

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas