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Inecuaciones con la incógnita en el denominador

Una inecuación racional Una inecuación racional

Entenderemos aquí por inecuaciones con la incógnita en el denominador a aquellas inecuaciones racionales donde el numerador y el denominador son polinomios. Es decir inecuaciones de la forma:

\[\frac{p(x)}{q(x)}<0\quad;\quad\frac{p(x)}{q(x)}\leq0\quad;\quad\frac{p(x)}{q(x)}>0\quad;\quad\frac{p(x)}{q(x)}\geq0\]

donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios.

El procedimiento para resolver este tipo de inecuaciones es similar al que se ha seguido para resolver inecuaciones de segundo grado y de grado superior: se obtienen las raíces de los polinomios \(p(x)\) y \(q(x)\), se factorizan y se confecciona una tabla para estudiar el signo en cada uno de los intervalos en que quede dividida la recta real. La única diferencia con las inecuaciones de segundo grado o de grado superior es que los números que anulen el denominador nunca se incluirán como solución de la inecuación pues no tiene sentido dividir entre cero. Lo mejor es verlo con un ejemplo.

Resolver la inecuación

\[\dfrac{x-3}{x^2-1}\geq0\]

La raíz del numerador es \(x=3\) y las del denominador son \(x=1\) y \(x=-1\). La inecuación es por tanto equivalente a esta otra:

\[\dfrac{x-3}{(x+1)(x-1)}\geq0\]

La tabla para el estudio del signo es la siguiente:

\[\begin{matrix}&(-\infty,\ -1)&(-1,\ 1)&(1,\ 3)&(3,\ +\infty)\\\hline x-3&-&-&-&+\\x+1&-&+&+&+\\x-1&-&-&+&+\\\hline\dfrac{x-3}{(x+1)(x-1)}&-&+&-&+ \end{matrix}\]

Por tanto la solución es \((-1,\ 1)\cup[3,\ +\infty)\). Obsérvese que la semirrecta que comienza por \(-3\) se ha de cerrar porque en la inecuación la desigualdad incluye el "igual a cero". El intervalo \((-1,\ 1)\) no se cierra porque \(-1\) y \(1\) anulan el denominador y no tiene sentido dividir entre cero.

Para que el método anterior "funcione" el segundo miembro de una inecuación racional debe ser igual a cero. Si no lo es, lo pasamos todo al primer miembro y hacemos operaciones. Como ejemplo de esta situación resolvamos la inecuación que aparecen en la imagen superior:

\[\frac{3x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2-x}\leq\frac{2x^2+1}{x^3-x}\]

Pasando todo al primer miembro:

\[\frac{3x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2-x}-\frac{2x^2+1}{x^3-x}\leq0\]

Factorizando los denominadores:

\[\frac{3x}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{x(x-1)}-\frac{2x^2+1}{x(x+1)(x-1)}\leq0\]

Reduciendo a común denominador y operando:

\[\frac{x\cdot3x}{x(x+1)(x-1)}-\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}-\frac{2x^2+1}{x(x+1)(x-1)}\leq0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{3x^2-x-1-2x^2-1}{x(x+1)(x-1)}\leq0\Rightarrow\frac{x^2-x-2}{x(x+1)(x-1)}\leq0\]

Las raíces del polinomio del numerador son \(x=-1\) y \(x=2\). Por tanto, la última inecuación es equivalente a esta otra:

\[\frac{(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-1)}\leq0\]

Como el factor \(x+1\) aparece en el numerador y en el denominador se puede cancelar para obtener otra inecuación equivalente (lo único que habría que tener en cuenta es que si las soluciones contienen a \(x=-1\), eliminarlo de las mismas, pues no se puede dividir entre cero).

\[\frac{x-2}{x(x-1)}\leq0\]

Construyamos nuestra tabla para estudiar el signo:

\[\begin{matrix}&(-\infty,\ 0)&(0,\ 1)&(1,\ 2)&(2,\ +\infty)\\\hline x-2&-&-&-&+\\x-1&-&-&+&+\\x&-&+&+&+\\\hline\dfrac{x-2}{x(x-1)}&-&+&-&+ \end{matrix}\]

Por tanto, la solución de la inecuación es \((-\infty,\ 0)\cup(1,\ 2]\). Bueno... no. Casi se me olvidaba, hemos de suprimir de las soluciones el valor \(x=-1\) pues la inecuación contenía al factor \(x+1\) en el denominador antes de cancelarlo. Así pues la solución es \((-\infty,\ -1)\cup(-1,\ 0)\cup(1,\ 2]\).

Si representamos gráficamente la función \(y=\dfrac{(x+1)(x-2)}{x^2(x+1)(x-1)}\) se puede ver que, justamente en \((-\infty,\ -1)\cup(-1,\ 0)\cup(1,\ 2]\), la gráfica de la función queda por debajo del eje \(X\). Por cierto, si uno se fija bien se ve que hay un "hueco" en la gráfica de la función que se corresponde con el valor de la abscisa \(x=-1\).

inecuaciones-07

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