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Series infinitas de números reales. Series convergentes

Las sucesiones de números reales se introdujeron con la intención de poder considerar posteriormente sus "sumas"

\[a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_n+\ldots\]

Ya vimos un ejemplo de esta situación en el artículo dedicado a la paradoja de Zenón. Vimos también que se hablaba de "suma infinita" en el sentido de convergencia de una sucesión muy especial: la sucesión de sumas parciales. Vamos a formalizar esta idea.

Definición.

Una serie infinita de números reales (o simplemente, serie de números reales) es un par \(\left(\{a_n\},\{s_n\}\right)\), donde \(\{a_n\}\) es una sucesión de números reales y \(\{s_n\}\) es la sucesión definida por

\[s_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

La sucesión \(\{a_n\}\) recibe el nombre de término general de la serie, mientras que la sucesión \(\{s_n\}\) se llama sucesión de sumas parciales de la serie. Obsérvese que, según la definición anterior,

\[a_{n+1}=s_{n+1}-s_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

También usaremos la escritura \(\sum a_n\) para designar la serie de números reales de término general \(\{a_n\}\).

Ejemplo 1.

La expresión

\[\sum\frac{1}{n(n+1)}\]

designa la serie infinita de término general \(\{\frac{1}{n(n+1)}\}\). La sucesión de sumas parciales es

\[\{s_n\}=\left\{\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}\right\}=\left\{1-\frac{1}{n+1}\right\}\]

puesto que para todo número natural \(k\)

\[\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\]

Parece natural asignar el número \(1\) a la "suma" de la serie anterior, es decir,

\[\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\ldots=1\]

ya que la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\) converge a \(1\).

Ejemplo 2.

Consideremos ahora la serie infinita

\[\sum\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\]

Ahora tenemos que la sucesión de sumas parciales es

\[\{s_n\}=\left\{\ln2+\ln\frac{3}{2}+\ldots+\ln\frac{n+1}{n}\right\}=\{\ln(n+1)\}\]

puesto que, usando las propiedades de los logaritmos, para todo número natural \(k\)

\[\ln\frac{k+1}{k}=\ln(k+1)-\ln k\]

Observemos ahora que la sucesión de sumas parciales, \(\{s_n\}=\{\ln(n+1)\}\) no es convergente (no está acotada). Por tanto también será natural decir que la serie anterior no tiene "suma finita" o que no es sumable.

Vamos a expresar con rigor las ideas vistas en los ejemplos anteriores.

Definición 2.

Se dice que la serie de números reales \(\sum a_n\) es convergente cuando su sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\) es convergente, en cuyo caso el límite de la sucesión de sumas parciales recibe el nombre de suma de la serie y se representa por

\[\sum_{n=1}^\infty a_n\]

Así pues, simbólicamente

\[\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim s_n=\lim\{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n\}\]

La serie del primer ejemplo anterior es convergente de suma \(1\), y la serie del segundo ejemplo no es convergente. Veamos un par de ejemplos más.

Ejemplo 3.

Dado un número real \(x\), la serie \(\sum x^{n-1}\) recibe el nombre de serie geométrica de razón \(x\). Si \(x=1\) dicha serie no es convergente, pues la sucesión de sumas parciales es \(\{n\}\). Para \(x\neq1\) tenemos

\[\{s_n\}=\{1+x+x^2+\ldots+x^{n-1}\}=\left\{\frac{x^n-1}{x-1}\right\}\]

donde hemos utilizado la fórmula de la suma de los \(n\) primeros términos de una progresión geométrica.

Si \(|x|<1\) tenemos \(\{x^n\}\rightarrow0\) y por tanto \(\{s_n\}\rightarrow\frac{1}{1-x}\). Si \(|x|>1\) tenemos que \(\{|x^n|\}\rightarrow+\infty\) luego en este caso la serie no es convergente.

Resumiendo, la serie geométrica de razón \(x\), \(\sum x^{n-1}\), es convergente si, y sólo si, \(|x|<1\), en cuyo caso se tiene:

\[\sum_{n=1}^\infty x^{n-1}=\frac{1}{1-x}\]

Ejemplo 4.

En la discusión de la paradoja de Zenón se vio que las sumas parciales \(s_n\) de la serie \(\sum\frac{1}{n}\) satisfacen la igualdad

\[s_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k}\geqslant\ln(n+1)\]

Puesto que \(\{\ln(n+1)\}\rightarrow+\infty\) lo mismo ocurre con \(\{s_n\}\) y por tanto la serie \(\sum\frac{1}{n}\) no es convergente. Esta serie se denomina serie armónica.

Hemos de resaltar que estudiar la convergencia de una serie infinita de números reales consiste en estudiar la convergencia de una sucesión de números reales, la sucesión de sumas parciales de la serie. Por otra parte, cualquier sucesión de números reales es la sucesión de sumas parciales de una serie; en efecto, si \(\{x_n\}\) es cualquier sucesión de números reales, tomando

\[a_1=x_1\ ,\ a_{n+1}=x_{n+1}-x_n\ ,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

es inmediato comprobar por inducción que la sucesión de sumas parciales de la serie \(\sum a_n\) es \(\{x_n\}\). Resulta por tanto que los conceptos de serie convergente y suma de una serie están en correspondencia biunívoca con los de sucesión de números reales convergente y límite de una tal sucesión. La razón para el estudio específico de las series infinitas de números reales estriba en que, dada una serie \(\sum a_n\), a diferencia de lo que ocurría en los ejemplos 1 o 3, la sucesión \(\{s_n\}\) de sumas parciales se conoce de forma recurrente y no es fácil encontrar una expresión de \(s_n\) en función de \(n\) que permita estudiar con comodidad la convergencia de la sucesión \(\{s_n\}\). Lo que interesa, por tanto, es encontrar criterios de convergencia para series infinitas de números reales \(\sum a_n\) que vengan dados en términos de la sucesión \(\{a_n\}\) que es perfectamente conocida. A continuación obtenemos de manera inmediata una condición necesaria de este tipo.

Proposición 1.

Sea \(\sum a_n\) una serie infinita de números reales convergente. Entonces la sucesión \(\{a_n\}\) converge a cero.

Sea \(\{s_n\}\) la sucesión de sumas parciales de la serie, sucesión que, por hipótesis, es convergente. Entonces resulta que \(\{a_{n+1}\}=\{s_{n+1}-s_n\}\) converge a cero y, por tanto, \(\{a_n\}\) converge a cero.

El recíproco de la proposición anterior no es cierto. Los términos generales de las series de los ejemplos 2 y 4, convergen a cero, pero las series no son convergentes. Parece ser pues que, para que una serie sea convergente no sólo debe ocurrir que su término general \(\{a_n\}\) converja a cero, sino que lo debe de hacer "lo suficientemente deprisa". Esto es porque para que una serie converja es necesario que la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\) sea convergente y, por tanto, acotada. Si consideramos una serie convergente de números reales positivos, es decir, \(a_n>0\) para todo \(n\); tenemos que \(s_{n+1}=s_n+a_n\) para cada \(n\); de forma que, para que \(\{s_n\}\) esté acotada, es necesario que los términos de la sucesión \(\{a_n\}\) se hagan pequeños "lo suficientemente deprisa". Así, los términos generales de las series de los ejemplos 2 y 4, respectivamente \(\{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\}=\) y \(\{\frac{1}{n}\}\), no tienden a cero con la suficiente rapidez pues las series correspondientes no son convergentes. Sin embargo el término general de la serie del ejemplo 1, \(\{\frac{1}{n(n+1)}\}\), sí que debe de converger a cero lo suficientemente rápido, lo que hace que la serie \(\sum\frac{1}{n(n+1)}\) sea convergente.

Presentamos a continuación dos resultados que nos dan propiedades elementales de las series convergentes.

Proposición 2.

Sean \(\sum a_n\), \(\sum b_n\) dos series de números reales convergentes y \(\alpha\), \(\beta\) dos números reales cualesquiera. Entonces la serie \(\sum (\alpha a_n+\beta b_n)\) es convergente y se verifica que

\[\sum_{n=0}^\infty (\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha\sum_{n=0}^\infty a_n+\beta\sum_{n=0}^\infty b_n\]

Si \(\{s_n\}\), \(\{t_n\}\) y \(\{u_n\}\) son las sucesiones de sumas parciales de las series \(\sum a_n\), \(\sum b_n\) y \(\sum (\alpha a_n+\beta b_n)\) respectivamente, es evidente que:

\[u_n=\alpha s_n+\beta t_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Proposición 3.

Sea \(\sum a_n\) una serie de números reales y \(k\) un número natural. Entonces la serie \(\sum a_n\) es convergente si, y sólo si, la serie \(\sum a_{k+n}\) es convergente, en cuyo caso se tiene:

\[\sum_{n=1}^\infty a_n=(a_1+a_2+\ldots+a_k)+\sum_{n=1}^\infty a_{k+n}\]

Notando \(\{s_n\}\) y \(\{t_n\}\) a las sucesiones de sumas parciales de \(\sum a_n\) y \(\sum a_{k+n}\), para todo natural \(n\), tenemos:

\[s_n=(a_1+a_2+\ldots+a_k)+(a_{k+1}+a_{k+2}+\ldots+a_{k+n})=(a_1+a_2+\ldots+a_k)+t_n\]

La serie \(\sum a_{k+n}\) que aparece en la proposición anterior recibe el nombre de serie de resto k-ésimo de la serie \(\sum a_n\), se la suele notar \(\sum_{n>k} a_n\), y en caso de que sea convergente se suele notar \(\sum_{n=k+1}^\infty a_n\) a su suma. La proposición anterior nos dice por tanto que una serie es convergente si, y solo si, lo es cualquiera de sus restos, en cuyo caso las sumas de ambas series están relacionadas por:

\[\sum_{n=0}^\infty a_n=(a_1+a_2+\ldots+a_k)+\sum_{n=k+1}^\infty a_n\]

Conviene observar que los términos \(a_1\), \(a_2\),\(\ldots\), \(a_k\) no intervienen para nada en la serie \(\sum_{n>k} a_n\); ello permite referirnos a la serie aunque no se conozcan los términos aludidos o, más concretamente, aunque la expresión general de \(a_n\) no tenga sentido para \(n=1,2,\ldots,k\). Así por ejemplo \(\sum_{n>1}\frac{1}{\ln n}\) denota inequívocamente a la serie \(\sum\frac{1}{\ln(n+1)}\) y para nada nos interesa que la expresión \(\frac{1}{\ln n}\) no tenga sentido para \(n=1\). Cualquiera que sea el valor que asignemos al término \(a_1\), la proposición anterior nos dice que \(\sum_{n>1}\frac{1}{\ln n}\) es convergente si, y sólo si, lo es \(\sum a_n\) siempre que \(a_n=\frac{1}{\ln n}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}-\{1\}\).

En el mismo orden de cosas, se utilizan también con frecuencia series con subíndice inicial cero. Si \(\{a_n\}\) es una sucesión de números reales y \(a_0\) es un número real se denota \(\sum_{n\geqslant0}a_n\) a la serie \(\sum a_{n-1}\) y cuando dicha serie es convergente notamos \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) a su suma. Puesto que \(\sum a_n\) es el primer resto de la serie \(\sum_{n\geqslant0}a_n\), la proposición anterior nos garantiza que la serie \(\sum_{n\geqslant0}a_n\) es convergente si, y sólo si, los es \(\sum a_n\), en cuyo caso tenemos:

\[\sum_{n=0}^\infty a_n=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\]

Así por ejemplo, la serie geométrica de razón \(x\), \(\sum x^{n-1}\), suele denotarse por \(\sum_{n\geqslant0}x^n\), y cuando \(|x|<1\), la serie es convergente y escribiremos:

\[\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\]

Ejercicios

1. Probar que \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=1\).

Si multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión del denominador obtenemos:

\[\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n(n+1)}=\frac{\sqrt{n}}{n}-\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}\]

Entonces la sucesión de sumas parciales viene dada por:

\[\{s_n\}=\left\{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\ldots+\left(\frac{\sqrt{n}}{n}-\frac{\sqrt{n+1}}{n+1} \right)\right\}=\]

\[=\left\{1-\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}\right\}=\left\{1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right\}\rightarrow1\]

Por tanto, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=1\).

2. Probar que \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{6^n}=9\).

Vamos a estudiar el término n-ésimo de la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\).

\[s_n=\frac{3+2}{1}+\frac{3^2+2^2}{6}+\frac{3^3+2^3}{6^2}+\ldots+\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{6^n}=\]

\[=3\left(1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\ldots+\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)+ 2\left(1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\ldots+\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)=(*)\]

Usando ahora la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica tenemos:

\[(*)=3\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}-1}+2\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^n\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}-1}= 3\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\frac{1}{2}}+2\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{1}{3}}=\]

\[=6\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)+3\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)\]

Así pues, finalmente

\[\{s_n\}=\left\{6\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)+3\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)\right\}\rightarrow6+3=9\]

Por tanto, \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{6^n}=9\).

3. Probar que \(\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln\left((n+1)^{\ln n}\right)}=\frac{1}{\ln2}\).

Obsérvese en primer lugar que

\[\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln\left((n+1)^{\ln n}\right)}=\frac{\ln(n+1)-\ln n}{\ln n \ln(n+1)}=\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln(n+1)}\]

Así pues

\[s_n=\left(\frac{1}{\ln2}-\frac{1}{\ln3}\right)+\left(\frac{1}{\ln3}-\frac{1}{\ln4}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{\ln(n-1)}-\frac{1}{\ln n}\right)+\left(\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln(n+1)}\right)\]

Por tanto

\[\{s_n\}=\left\{\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln(n+1)}\right\}\rightarrow\frac{1}{\ln 2}\]

y entonces \(\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln\left((n+1)^{\ln n}\right)}=\frac{1}{\ln2}\).

4. Sean \(\sum a_n\) y \(\sum b_n\) series de números reales tales que \(\sum (a_n+b_n)\) es convergente. ¿Qué puede afirmarse sobre la convergencia de las series \(\sum a_n\) y \(\sum b_n\)?

Que, o son las dos convergentes, o ninguna lo es. Para verlo llamemos, respectivamente, \(\{s_n\}\), \(\{t_n\}\) y \(\{u_n\}\) a las sucesiones de sumas parciales de las series \(\sum a_n\), \(\sum b_n\) y \(\sum (a_n+b_n)\). Entonces es obvio que \(\{u_n\}=\{s_n\}+\{t_n\}\). Por hipótesis, \(\{u_n\}\) es convergente. Si \(\{s_n\}\) fuera convergente debería de serlo \(\{t_n\}\) pues \(\{t_n\}=\{u_n\}-\{s_n\}\). Este ejercicio es una reformulación del ejercicio 3 del artículo dedicado a las sucesiones acotadas y a las propiedades de las sucesiones convergentes.

5. Sean \(\sum a_n\) y \(\sum b_n\) dos series de números reales. Supongamos que \(\exists\,k\in\mathbb{N}\,:\,n>k\Rightarrow a_n=b_n\). Probar que \(\sum a_n\) es convergente si, y solo si, lo es \(\sum b_n\), en cuyo caso

\[\sum_{n=1}^\infty a_n=(a_1+a_2+\ldots+a_k)-(b_1+b_2+\ldots+b_k)+\sum_{n=1}^\infty b_n\]

Llamemos, respectivamente, \(\{s_n\}\) y \(\{t_n\}\) a las sucesiones de sumas parciales de las series \(\sum a_n\) y \(\sum b_n\). Entonces, utilizando la hipótesis según la cual \(\exists\,k\in\mathbb{N}\,:\,n>k\Rightarrow a_n=b_n\), tenemos:

\[s_n=a_1+a_2+\ldots+a_k+a_{k+1}+\ldots+a_n=a_1+a_2+\ldots+a_k+b_{k+1}+\ldots+b_n=\]

\[=a_1+a_2+\ldots+a_k-(b_1+b_2+\ldots+b_k)+(b_1+b_2+\ldots+b_k)+b_{k+1}+\ldots+b_n=\]

\[=(a_1+a_2+\ldots+a_k)-(b_1+b_2+\ldots+b_k)+(b_1+b_2+\ldots+b_k+b_{k+1}+\ldots+b_n)=\]

\[=(a_1+a_2+\ldots+a_k)-(b_1+b_2+\ldots+b_k)+t_n\]

De aquí se deduce claramente que \(\sum a_n\) es convergente si, y sólo si, lo es \(\sum a_n\) y, además se cumple la igualdad

\[\sum_{n=1}^\infty a_n=(a_1+a_2+\ldots+a_k)-(b_1+b_2+\ldots+b_k)+\sum_{n=1}^\infty b_n\]

Referencias bibliográficas.

Aparicio C., Payá R. (1985): Análisis Matemático I (Secretariado de Publicaciones. Universidad de Granada).

Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).

Gaughan E. (1972): Introducción al análisis (Editorial Alhambra).


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La paradoja de Zenón

El filósofo griego Zenón de Elea (495-435 a. de C.) precipitó una crisis en la Matemática antigua estableciendo algunas paradojas ingeniosas. Una de ellas, llamada frecuentemente la paradoja del corredor, se puede exponer de la manera siguiente:

Un corredor no puede alcanzar nunca la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que recorrer la otra mitad. Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte y así sucesiva e indefinidamente.

paradoja zenon 01

Zenón pensó, evidentemente, en una situación ideal en la que el corredor es una partícula o punto que se mueve de un extremo a otro de un segmento de recta. Para analizar el razonamiento de Zenón con más detalle se supone que el corredor parte del punto marcado con 1 (ver figura anterior) y corre hacia la meta marcada con 0. Las posiciones indicadas por \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{8}\), \(\ldots\), etc., señalan la fracción de carrera que se ha de recorrer todavía cuando se alcanza el punto marcado. Estas fracciones (cada una de las cuales es la mitad de la anterior) subdividen todo el trayecto en un número indefinido de partes cada vez más pequeñas. Puesto que para recorrer por separado cada una de estas partes se necesita una cantidad positiva de tiempo, parece natural afirmar que el tiempo necesario para el trayecto total ha de ser la suma total de todas estas cantidades de tiempo. Decir que el corredor nunca puede alcanzar la meta equivale a decir que nunca llega a ella en un tiempo finito; o, dicho de otro modo, que la suma de un número finito de intervalos positivos de tiempo no puede ser finita.

La afirmación de Zenón de que un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener suma finita, fue contradicha 2000 años más tarde con la creación de la teoría de series infinitas. En los siglos XVII y XVIII algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos finitos de números a conjuntos infinitos, de manera que en algunos casos la "suma" de un conjunto de infinitos números sea finita. Para ver cómo se puede hacer esta extensión y tener una idea de las dificultades que pueden presentarse para ello, conviene analizar la paradoja de Zenón con más detalle.

Supongamos que el corredor antes mencionado, corre a velocidad constante y que necesita \(t\) segundos para la primera mitad del recorrido. Para el siguiente cuarto de recorrido necesitará \(\frac{t}{2}\) segundos, para el octavo siguiente \(\frac{t}{4}\) segundos y en general para la parte comprendida entre \(\frac{1}{2^n}\) y \(\frac{1}{2^{n+1}}\) necesitará \(\frac{t}{2^n}\) segundos. La "suma" de todos estos intervalos se puede indicar simbólicamente escribiendo la siguiente expresión:

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots\]

Este es un ejemplo de las llamadas series infinitas y el problema aquí está en decidir su es posible encontrar una forma natural de asignarle un número que se pueda llamar suma de la serie.

La experiencia física dice que el corredor que corre a velocidad constante alcanzará su meta en un tiempo doble del que necesitaba para alcanzar su punto medio. Puesto que necesita \(t\) segundos para la mitad del recorrido, tendrá que emplear \(2t\) segundos para el recorrido completo. Este razonamiento sugiere que se debe asignar la "suma" \(2t\) a la serie anterior, esperando que la igualdad

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots=2t\]

pueda ser "valida" en algún sentido.

La teoría de las series infinitas precisa cómo se ha de interpretar esta igualdad. La idea es la siguiente: primero se suman un número finito de términos, los \(n\) primeros, indicando esta suma por \(\{s_n\}\). Así se tiene:

\[\{s_n\}=\left\{t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^{n-1}}\right\}\]

y esta suma se denomina suma parcial n-sima o sucesión de sumas parciales. Se estudia después el comportamiento de \(\{s_n\}\) cuando \(n\) toma valores cada vez más grandes. En particular se trata de determinar si la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\) es convergente, es decir, si tiende a un límite finito.

En este caso es fácil ver que el valor límite de las sumas parciales es \(2t\). En efecto, calculando algunas de estas sumas parciales se tiene:

\[s_1=t\ ,\quad s_2=t+\frac{t}{2}=\frac{3}{2}t\ ,\quad s_3=t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}=\frac{7}{4}t\ ,\quad s_4=t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\frac{t}{8}=\frac{15}{8}t\]

Se observa que estos resultados se pueden expresar como sigue:

\[s_1=(2-1)t\ ,\quad s_2=\left(2-\frac{1}{2}\right)t\ ,\quad s_3=\left(2-\frac{1}{4}\right)t\ ,\quad s_4=\left(2-\frac{1}{8}\right)t\]

lo cual conduce a pensar en una fórmula general de la forma

\[\{s_n\}=\left\{\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)t\right\}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\qquad(1)\]

La fórmula anterior se comprueba fácilmente por inducción. Puesto que \(\{\frac{1}{2^{n-1}}\}\rightarrow0\), resulta que \(\{s_n\}\rightarrow2t\). Por tanto, la igualdad anterior es "cierta" si se interpreta que \(2t\) es el límite de la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\). Este proceso de límite parece invalidar la objeción de Zenón que la suma de un número infinito de intervalos de tiempo no puede ser nunca finita.

Ahora daremos un argumento que proporciona un apoyo considerable al punto de vista de Zenón. Supongamos que en el anterior análisis de la paradoja del corredor se hace un pequeño pero importante cambio. En vez de considerar la velocidad constante, supongamos que decrece gradualmente de manera que necesita \(t\) segundos para de \(1\) a \(\frac{1}{2}\), \(\frac{t}{2}\) para ir de \(\frac{1}{2}\) a \(\frac{1}{4}\), \(\frac{t}{3}\) segundos para ir de \(\frac{1}{4}\) a \(\frac{1}{8}\), y en general \(\frac{t}{n}\) segundos para ir de \(\frac{1}{2^{n-1}}\) a \(\frac{1}{2^n}\). El tiempo total que necesitará para la carrera, vendrá ahora representado por la siguiente serie infinita:

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}+\ldots\]

En este caso, la experiencia física no sugiera ninguna "suma" obvia o natural para asignar a dicha serie y por tanto este ejemplo hay que estudiarlo desde un punto de vista completamente matemático.

Igual que antes, se introduce la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\), es decir:

\[\{s_n\}=\left\{t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}\right\}\qquad(2)\]

y se trata de ver qué ocurre a \(\{s_n\}\) cuando \(n\) crece indefinidamente. Esta suma parcial no es tan fácil de estudiar como la anterior, pues no existe una fórmula análoga a la fórmula \((1)\) que simplifique la expresión del segundo miembro de \((2)\). Sin embargo, por comparación de estas sumas parciales con una integral apropiada se puede ver que toman valores tan grandes como se quiera.

En la figura siguiente se ve parte de la hipérbola \(f(x)=\frac{1}{x}\) para \(x>0\). Los rectángulos dibujados, tienen un área total igual a la suma

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\]

paradoja zenon 02

El área de la región determinada por la hipérbola y el intervalo \([1,n+1]\) es

\[\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx=\ln(n+1)\]

y puesto que esta área no puede exceder la suma de las áreas de los rectángulos, se tiene la desigualdad

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\geqslant\ln(n+1)\]

Multiplicando ambos miembros por \(t\) se obtiene \(s_n\geqslant t\ln(n+1)\). Es decir, si la velocidad del corredor decrece tal como se ha indicado anteriormente, el tiempo necesario para alcanzar el punto \(\frac{1}{2^n}\) es por lo menos \(t\ln(n+1)\) segundos. Puesto que \(\ln(n+1)\) al crecer \(n\) toma valores tan grandes como se quiera (\(\{\ln(n+1)\}\rightarrow+\infty\)), se cumple en este caso la paradoja de Zenón, es decir, que el corredor no alcanzará la meta en un tiempo finito.

La teoría general de series infinitas hace una distinción entre series como

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots\]

cuyas sucesión de sumas parciales tiende a un límite finito, y series como

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}+\ldots\]

cuyas sucesión de sumas parciales no tiene límite finito (no es convergente).

Las primeras se denominan convergentes y las segundas divergentes. Los primeros investigadores en este dominio ponían poca o ninguna atención en las cuestiones de convergencia y divergencia. Trataban las series infinitas como si fueran sumas ordinarias finitas, sujeta a las leyes usuales del Álgebra sin tener en cuenta que estas leyes no pueden extenderse universalmente a las series infinitas. Por eso no es sorprendente que se haya visto más tarde que algunos de los primeros resultados obtenidos fueran incorrectos. Afortunadamente, muchos de aquellos pioneros tenían una intuición y destreza poco frecuentes, que les evitaba llegar a conclusiones falsas, aunque ellos no pudieran justificar sus métodos. Entre los primeros matemáticos que se ocuparon de las series ocupa un lugar preeminente Leonard Euler. Euler descubría fórmula tras fórmula, a cual más interesante, y a la vez utilizaba las series infinitas como concepto unificador de diversas ramas de la Matemática que hasta entonces estaban sin relacionar. La gran cantidad de trabajos de Euler que han sobrevivido al paso del tiempo es un tributo a su notabilísimo instinto de lo matemáticamente correcto.

La extensión del uso de las series infinitas empezó más tarde en el siglo XVII, cerca de cincuenta años después del nacimiento de Euler, coincidiendo con el principio del desarrollo del Cálculo Integral, Nicholas Mercator (1620-1687) y William Brouncker (1620-1684) descubrieron en 1668 una serie infinita para el logaritmo al intentar calcular el área de un segmento hiperbólico. Poco después, Newton descubrió la serie binómica. Estos descubrimientos constituyen un punto fundamental de la historia de la Matemática. Un caso particular de la serie binómica es el conocido teorema del binomio que afirma que:

\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\]

donde \(x\) es un número real arbitrario, \(n\) un entero no negativo, y \(\binom{n}{k}\) es el coeficiente binomial. Newton encontró que esta fórmula, válida para valores enteros de \(n\) se podía extender a exponentes reales cualesquiera, sustituyendo la suma finita del segundo miembro, por una serie finita conveniente, si bien no lo demostró. Efectivamente, en un estudio cuidadoso de la serie binomial surgen algunas cuestiones bastante delicadas de convergencia a las que no se podía responder en la época de Newton.

Poco después de la muerte de Euler en 1783, el caudal de nuevos descubrimientos empezó a disminuir y el período formal en las historia de las series llegó a su término. Un nuevo período, y más crítico, empezó en 1812 cuando Gauss publicó la célebre memoria que contenía, por primera vez en la historia, un estudio riguroso de la convergencia de algunas series infinitas. Pocos años más tarde, Cauchy introdujo una definición analítica del concepto del límite en su tratado Curso de Análisis algebraico (publicado en 1821), y expuso los fundamentos de la teoría moderna de convergencia y divergencia. Dedicaremos algunos artículos a exponer los aspectos básicos de esta teoría.

Referencia bibliográfica. Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).


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La problemática del infinito

Esta entrada se ha extraído, prácticamente en su totalidad del libro que lleva por título "Alex en el país de los números", de Alex Bellos.

La primera persona que planteó la problemática del infinito fue el filósofo griego Zenón de Elea, que vivió en el siglo V a.C. En una de sus famosas paradojas describía una hipotética carrera entre Aquiles y una tortuga. Como el héroe heleno es más rápido, la tortuga parte con cierta distancia de ventaja. El célebre guerrero empieza en el punto \(A\) y su retador en un punto \(B\) por delante de él. En cuanto da comienzo la carrera, Aquiles sale con pies ligeros y pronto alcanza el punto \(B\), pero para entonces la tortuga ya ha avanzado hasta el punto \(C\). Aquiles entonces surca el espacio hasta \(C\). Pero de nuevo, cuando llega a esa posición, la tortuga ya se ha arrastrado hasta \(D\). Aquiles debe alcanzar \(D\), por supuesto, pero cuando lo haga, la tortuga ya se encontrará en \(E\). Zenón argumentaba que este «corre que te pillo» se prolongaría eternamente y, en consecuencia, el veloz Aquiles nunca conseguiría adelantar a su lento rival cuadrúpedo. El atleta es mucho más rápido que la tortuga, pero no puede vencerla en una carrera.

problematica infinito 01

Todas las paradojas de Zenón extraen conclusiones aparentemente absurdas mediante la disección del movimiento continuo en eventos discretos. Antes de que Aquiles pueda alcanzar a la tortuga, debe completar un número infinito de tramos finitos. La paradoja nace de la suposición de que es imposible completar un número infinito de intervalos espaciales en un tiempo finito.

Sin embargo, los griegos no poseían la profundidad de la comprensión matemática de infinito para ver que esa suposición es una falacia. Es posible completar un número infinito de tramos en un tiempo finito. El requisito es que estos sean cada vez más cortos y breves, y que tanto la distancia como el tiempo tiendan a cero. No obstante, esta es una condición necesaria pero no suficiente; los intervalos también tienen que reducirse de acuerdo con una determinada proporción.

Esto es lo que ocurre con Aquiles y la tortuga. Supongamos que Aquiles corre a una velocidad dos veces mayor que la de la tortuga, y que \(B\) está a \(1\) metro de distancia de \(A\). Cuando Aquiles alcanza el punto \(B\), la tortuga se ha desplazado \(\dfrac{1}{2}\) de metro hasta el punto \(C\). Cuando Aquiles llega a \(C\), la tortuga ha avanzado \(\dfrac{1}{4}\) de metro hasta el punto \(D\). Y así sucesivamente. La distancia total en metros que debe correr Aquiles para alcanzar a la tortuga es:

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots\]

Si Aquiles tardara un segundo en completar cada uno de estos intervalos, le llevaría una eternidad completar toda la distancia. Pero no es el caso. A una velocidad constante, tardarán un segundo en recorrer un metro, medio segundo en recorrer medio metro, un cuarto de segundo en recorrer un cuarto de metro, etc. Por tanto, el tiempo en segundos que necesita para alcanzar a la tortuga viene determinado por la misma suma:

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots\]

Cuando tanto el tiempo como la distancia se describen mediante una sucesión en la que cada término es la mitad del anterior, ambas magnitudes convergen simultáneamente en un valor fijo y finito. En el caso planteado, \(2\) segundos y \(2\) metros. Esto no es difícil de demostrar.

Llamemos

\[x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots\]

Como

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots=1+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots\right)\Rightarrow\]

entonces

\[1+\frac{1}{2}x=x\Rightarrow 2+x=2x\Rightarrow x=2\]

Así pues rsulta que Aquiles sí atrapará a la tortuga.

No todas las paradojas de Zenón se solucionan con series infinitas. En la «paradoja de la dicotomía» un corredor va de \(A\) a \(B\). En este caso, llamaremos \(C\) al primer punto por el que pase el corredor después de salir de \(A\). Sin embargo, para llegar a \(C\), el corredor ha tenido que cruzar el punto que está a mitad de camino de \(C\). Por tanto, \(C\) no puede ser el primer punto por el que pasa. De ahí se deduce que no puede haber un «primer punto» de paso, pues siempre habrá otro por el que el corredor deba pasar antes. Si ese primer punto no existe, argumentaba Zenón, el corredor nunca podrá salir de \(A\).

Según la leyenda, para refinar esta paradoja, Diógenes el Cínico se levantó en silencio y caminó desde \(A\) hasta \(B\), demostrando así que el movimiento era posible. Pero la paradoja de la dicotomía de Zenón no se rebate con tanta facilidad. En más de dos mil años de sesuda meditación académica nadie ha sido capaz de resolver el problema en su totalidad. Parte de la confusión se debe a que una linea continua no puede representarse perfectamente mediante una sucesión de infinitos puntos ni mediante un número infinito de intervalos pequeños, de igual modo que el ininterrumpido transcurso del tiempo no puede representarese de forma exacta con un número infinito de momentos discretos. Los conceptos de continuidad y "discreticidad" no son completamente reconciliables.

El sistema decimal arroja un excelente ejemplo de paradoja inspirada en Zenón. ¿Cuál es el mayor número menor que \(1\)? No es \(0,9\), pues \(0,99\) es mayor y sigue siendo menor que \(1\). Asímismo \(0,999\) es mayor que \(0,99\) y menor que \(1\). El único candidato posible es el decimal periódico \(0,9999\ldots\), donde los puntos suspensivos indican que los nueves se repiten eternamente. Pero aquí es donde aparece la paradoja. ¡No puede ser \(0,9999\ldots\) porque \(0,9999\ldots\) es idéntico a \(1\)!

Piénsalo de este modo. Si \(0,9999\ldots\) es un número diferente de \(1\), debería haber un espacio entre ellos en la recta numérica real, y por tanto debería ser posible encajar en ese hueco un número que fuera mayor que \(0,9999\ldots\) e inferior a \(1\). ¿Qué número podría ser ese? No hay número más cercano a \(1\) que \(0,9999\ldots\) Así pues, si \(0,9999\ldots\) y \(1\) no pueden ser diferentes, tienen que ser el mismo. Aunque nuestra intuición lo niegue, \(0,9999\ldots=1\).

Matemáticamente lo podemos demostrar de la siguiente manera. Llamemos \(x=0,9999\ldots\) Entonces \(10x=9,9999\ldots\) Restando esta segunda igualdad de la primera tenemos: \(10x-x=9,9999\ldots-0,9999\ldots\Rightarrow9x=9\). Con lo que \(x=1\).

Entonces, ¿cuál es el mayor número menor que \(1\)? La única conclusión satisfactoria de esta paradoja es que el número más grande inferior a \(1\) no existe. (Lo mismo ocurre con \(2\), con \(3\) y, en definitiva, con cualquier número.)

La paradoja de la carrera de Aquiles contra la tortuga se resolvió escribiendo las duraciones de sus carreras como una suma con una cantidad infinita de términos, lo que también se conoce como serie infinita. La suma de los elementos de una sucesión se denomina serie, y esta puede ser finita o infinita. Por ejemplo, si sumas los cinco primeros números naturales, obtendrás la serie finita:

\[1+2+3+4+5=15\]

Esta operación se puede efectuar mentalmente, pero cuando una serie se compone de muchos términos, el reto está en encontrar un atajo. Hay un célebre ejemplo protagonizado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss cuando áun era un muchacho. Según se cuenta, su profesor le pidió que calculara la suma de la serie formada por los cien primeros números naturales:

\[1+2+3+\ldots+98+99+100\]

Ante la incredulidad del profesor, Gauss contestó casi al instante: «cinco mil cincuenta». El joven prodigio había utilizado la siguiente fórmula. Si se empareja el primer número con el último, el segundo con el penúltimo, etc., la serie puede reescribirse como:

\[(1+100)+(2+99)+(3+98)+\ldots+(49+52)+(50+51)\]

Que es:

\[101+101+101+\ldots+101+101\]

Hay cincuenta términos, cada uno de ellos con un valor de \(101\), luego la suma equivale a \(50\cdot101=5050\). Podemos generalizar este resultado para cualquier número \(n\); la suma de los \(n\) primeros números es \(n+1\) sumado \(\dfrac{n}{2}\) veces, que es igual a \(\dfrac{n(n+1)}{2}\). En el caso anterior, \(n=100\), luego la solución es \(\dfrac{100(100+1)}{2}=5050\).

Cuando se suman los términos de una sucesión finita siempre se obtiene un número finito, esto es evidente. Sin embargo, cuando se suman los términos de una serie infinita surgen dos escenarios posibles. El límite, que es el valor al que se aproxima la suma a medida que se añaden términos, puede ser un número finito o puede ser infinito. Si el límite es finito, la serie se denomina convergente. De lo contrario, la serie es divergente (en realidad, hay un tercer escenario: cuando el límite no existe; en este caso, la serie sería oscilante).

Por ejemplo, ya hemos visto que la serie

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots\]

es convergente, y tiende a \(2\).

Por otra parte la serie

\[1+2+3+4+5+\ldots\]

es divergente, se encamina hacia infinito.

Quizá los griegos  recelasen del infinito, pero los matemáticos del siglo XVII estaban encantados con él. La comprensión de las series infinitas fue indispensable para que Isaac Newton inventara el cálculo diferencial e integral, uno de los desarrollos más importantes de las matemáticas.

Un ejercicio muy común para el estudiante de un primer curso universitario de matemáticas, es aquel en que te dan una serie infinita y te piden que descubras si es convergente o divergente. Es verdaderamente alucinante que la diferencia entre convergente y divergente sea tan brutal (la diferencia entre un número finito y el infinito es infinita) y que, sin embargo, los elementos que decidan el camino que toma la serie a menudo parezcan insignificantes.

Observa la serie armónica:

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\,\ldots\]

El numerador de cada término es \(1\), y los denominadores son los números naturales. A simple vista, la serie armónica debería converger. Cada elemento de la serie disminuye progresivamente, luego cabría pensar que la suma de todos los términos está acotada por una cantidad fija. Pero, singularmente, la serie armónica es divergente: un caracol que va aminorando la marcha pero que nunca se detiene. Tras cien términos de la serie, el total está ligeramente por encima de \(5\). Hacen falta

\[15.092.688.622.113.788.323.693.563.264.538.101.449.859.497\]

términos para que la suma sobrepase por primera vez la barrera de \(100\). Pero este obstinado caracol continuará en su empeño por escapar y superará cualquier distancia delimitada. La serie finalmente llegará a un millón, después a mil millones, aproximándose cada vez más a infinito.

Para demostrar matemáticamente que la se armónica diverge, en otras palabras, que

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\,\ldots\]

tiende infinito, demostraremos que la serie armónica es mayor que la siguiente serie, cuyor términos suma infinito:

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\,\ldots\]

Comparemos los términos de la serie armónica en grupos de dos, cuatro, ocho, etc., a partir del tercero.

• Términos \(3\) y \(4\): \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)

• Términos \(5\) a \(8\): \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=4\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\)

• Términos \(9\) a \(16\): \(\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{16}>8\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{2}\)

• Términos \(17\) a \(32\): \(\dfrac{1}{17}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{19}+\ldots+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}>16\cdot\dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{2}\)

• Y así sucesivamente\(\ldots\)

En la lista anterior se aprecia que, como \(\dfrac{1}{3}\) es mayor que \(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\) debe ser mayor que \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\), que es igual a \(\dfrac{1}{2}\). Asimismo, como \(\dfrac{1}{5}\), \(\dfrac{1}{6}\) y \(\dfrac{1}{7}\) son mayores que \(\dfrac{1}{8}\), eso significa que \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}\) es mayor que cuatro octavos, es decir, \(\dfrac{1}{2}\). Si continuamos el proceso, considerando cada vez el doble de términos, veremos que es posible sumar cada grupo de términos para obtener un valor mayor que \(\dfrac{1}{2}\).

La serie armónica, por tanto, es mayor que

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\,\ldots\]

que es infinitas veces un medio, que es igual a infinito. Luego la serie armónica es mayor que infinito; en otras palabras, es infinito.

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