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pi antes de pi

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos", cuyos autores son Fernando Álvarez, Óscar Martín y Cristóbal Pareja.

El pasaje de la Biblia que es quizá el más citado por los matemáticos no proviene, como el lector tal vez pueda esperar, del Libro de los Números, sino del Libro de los Reyes. En la versión clásica de Reina-Valera dice así:

Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos.

Reyes I, 7:23

Si hemos de entender de un lado al otro como la medida del diámetro y que el cordón de alrededor representa la medida de la circunferencia, esos números no pueden ser más que aproximaciones. Un diámetro de \(10\) codos solamente es compatible con una circunferencia de más de \(31\) codos, pues, como sabemos

\[l=\pi\cdot d\]

donde \(l\) es la longitud de la circunferencia, \(d\) el diámetro de la misma y \(\pi=3,14159265358979\ldots\)

El Libro de los Reyes no es, ni pretende ser, un tratado de geometría, de forma que la cita tiene solo un valor descriptivo. No se pueden tomar esos números como literalmente exactos, igual que no se puede tomar con su sentido literal la palabra mar, o los siete días de la creación del mundo, por poner otro ejemplo.

Otros documentos de la época del Libro de los Reyes (hacia el siglo VII a.C.) muestran un mejor conocimiento de las proporciones circulares. Pero quienes escribieron el Libro de los Reyes no estaban interesados en las matemáticas, ni probablemente tenían conciencia de que existiese una relación constante entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

¿Qué se sabía sobre la existencia del número \(\pi\) antes de que la cultura griega clásica empezase a arrojar luz sobre él?

En unas excavaciones en la ciudad de Susa, en lo que fue Mesopotamia, se descubrió una tablilla de barro con unas inscripciones cuneiformes que los expertos han datado en unos 1600 años a.C. Para nuestros intereses, lo que viene a asegurar esa tablilla es que para calcular una circunferencia se debe multiplicar su diámetro por \(3+\dfrac{1}{8}=3,125\).

Para fines prácticos, usar \(3+\dfrac{1}{8}\) da una aproximación muy útil: el error es poco más del \(0,5\,\%\). Incluso usar \(3\) es aceptable en la práctica, y otras tablillas mesopotámicas dan instrucciones para que así se haga. Pero lo realmente interesante es que implícitamente se afirma que la relación entre la circunferencia y el diámetro es constante, es igual para todas las circunferencias, sin que importe su tamaño. Es decir, que saben que existe \(\pi\).

Uno de los documentos matemáticos más antiguos que se conocen es el papiro de Rhind. El egiptólogo escocés Henry Rhind lo compró en un mercado de Luxor en 1858 y hoy se conserva en el Museo Británico. En él se describen soluciones a una serie de problemas con cálculos sencillos y geometría elemental. Fue escrito por el escriba Ahmes en Egipto, alrededor del año 1650 a.C. Lo que hizo Ahmes, sin embargo, fue solo copiar un papiro anterior y su contenido original bien podría ser varios siglos anterior.

El papiro Rhind tiene dos entradas que tratan del área del círculo. Recordemos que para obtener el área \(A\) de un círculo hay que multiplicar el número \(\pi\) por el cuadrado del \(r\):

\[A=\pi\cdot r^2\]

Estamos, por tanto, cambiando no solo de documento, de lugar y de siglo, sino de foco de interés: antes hablábamos de la longitud de la circunferencia y ahora del área del círculo.

En el problema 48 del papiro se describe la siguiente forma de calcular el área de un círculo: considerarla igual a la del octógono de la siguiente figura:

pi antes pi 01

Esta ya no es una mera estimación experimental, es decir, no se puede haber obtenido mediante medidas directas, sino que es un razonamiento geométrico, aunque sea solo aproximado y basado en la intuición visual. Y este no es un método con números, sino con figuras.

¿Hasta qué punto es buena esta aproximación? Calculemos un poco. El octógono consta de \(5\) "cuadraditos" enteros y \(4\) mitades: en total \(7\) "cuadraditos". Así que, si llamamos \(A\) al área del octógono, \(A_c\) al área de un "cuadradito" y \(l\) al lado de un "cuadradito", tenemos:

\[A=7\cdot A_c=7\cdot l^2=7\cdot\left(\dfrac{2r}{3}\right)^2=\dfrac{28}{9}\cdot r^2=3,111\cdot r^2\]

donde hemos utilizado que el diámetro del círculo (el doble del radio) equivale a tres lados de "cuadraditos": \(2r=3l\), o lo que es lo mismo, \(l=\dfrac{2r}{3}\).

Si tomamos esto como aproximación al valor de \(\pi\), es algo peor que la usada por los babilonios, ya que \(3,125\) está un poco más cerca de \(\pi\) que \(3,111\ldots\) Sin embargo, como modo de razonamiento, la geometría es mejor que la mera aproximación experimental, y será clave, siglos después, para mejorar el cálculo del área del círculo y el cálculo del valor de \(\pi\).

En otra parte del papiro Rhind, en el problema 50, se da otra regla para hallar el área de un círculo: eliminar \(\dfrac{1}{9}\) del diámetro, levantar un cuadrado con dicho segmento como lado y hallar su área. Es decir, se considera que el área \(A\) del círculo (en gris en la figura siguiente) es igual a la del cuadrado (cuyas esquinas están marcadas en rojo)

pi antes pi 02

Así, el área del cuadrado sería \(\left(\dfrac{8}{9}\cdot d\right)^2\). Como el diámetro es el doble del radio (\(d=2\cdot r\)), la fórmula es:

\[A=\left(\frac{8}{9}\cdot2\cdot r\right)^2=\left(\frac{16}{9}\right)^2r^2=3,16049\cdot r^2\]

Así que este método del escriba Ahmes equivale a multiplicar \(r^2\) por \(3,16049\ldots\), que es ligeramente superior a \(\pi\).

Hoy sabemos que los números \(\pi\) que aparecen en las fórmulas para la longitud de la circunferencia y para el área del círculo

\[l=2\pi r\qquad\text{;}\qquad A=\pi r^2\]

son el mismo número. ¿Lo sabían hace 4000 años? Nada nos hace pensar que así fuera.

La tablilla de Susa nos habla claramente de una relación constante entre circunferencia y diámetro. Además, esa relación se puede medir con instrumentos sencillos: cójase una cuerda del tamaño del diámetro y véase cuántas veces cabe en la circunferencia.

Por contra, solo de forma indirecta podemos deducir en los escritos de Ahmes una relación entre el área del círculo y el cuadrado del radio. E incluso si hubieran sospechado esa relación, su medición directa se antoja complicada. Y parece del todo fuera de lugar preguntar a aquellos nuestros antepasados si es el mismo número el que aparece en esos dos cálculos.

Aunque, en realidad... no era tan complicado. La figura siguiente es una reproducción de un documento japonés del siglo XVII d.C., el Tengen Shinan. Hemos saltado en el tiempo y hemos cambiado de continente porque el documento es tan bonito y tan claro que no nos hemos resistido a presentarlo al lector.

pi antes pi 03

Lo que muestra la figura es cómo un círculo se puede dividir en finos gajos (que se muestran alternativamente en blanco y negro) que, recompuestos, forman un rectángulo. Bueno, casi. Cuanto más finos sean los gajos, más cerca estaremos de un rectángulo. Un matemático actual dirá que en el límite eso es un rectángulo. Ese rectángulo tiene como base el radio del círculo, y como altura, la mitad de la longitud de la circunferencia. Así que el área del rectángulo (y, por tanto, la del círculo) es

\[A=\text{base}\cdot\text{altura}=r\cdot\frac{l}{2}=r\cdot\frac{2\pi r}{2}=\pi r^2\]

pi antes pi 04

En el siglo III a.C., Arquímedes había llegado a la misma conclusión usando un método distinto (lo dejó en Sobre la medida del círculo). Antes de los maestros griegos, seguramente nadie.

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8. Intersección de una cónica y una recta

Resolviendo el sistema correspondiente a la ecuación de la recta y de la cónica se obtienen los puntos donde la recta corta a la cónica.

La ecuación de una cónica es una ecuación de segundo grado y la de una recta es de primer grado.

Entonces, para hallar los puntos comunes a una y otra tendremos que resolver el sistema formado por ambas ecuaciones. Normalmente este sistema lo resolveremos por sustitución, despejando la incógnita \(y\) en la ecuación de la recta, y sustituyendo su expresión en la ecuación de la cónica.

Este proceso nos llevará a una ecuación de segundo grado, que podrá tener dos, una o ninguna solución.

Lo mejor es verlo con un ejemplo.

Ejemplo 13

La circunferencia \(x^2+y^2-2x-3=0\) y la recta \(3x+y-5=0\) se cortan enn los puntos solución del sistema

\[\begin{cases}x^2+y^2-2x-3=0\\3x+y-5=0\end{cases}\]

Sustituyendo \(y=5-3x\) en la primera ecuación se tiene:

\[x^2+(5-3x)^2-2x-3=0\Rightarrow 10x^2-32x+22=0\Rightarrow 5x^2-16x+11=0\]

Resolviendo esta ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{16\pm\sqrt{256-220}}{10}=\frac{16\pm6}{10}=\begin{cases}x_1=\frac{11}{5}\\x_2=1\end{cases}\]

Por tanto los puntos de intersección son \(\left(\dfrac{11}{5}\,,\,-\dfrac{8}{5}\right)\) y \((1\,,\,2)\).

En general, tal y como se ha visto, al resolver el sistema por sustitución, se obtiene una ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\), que tendrá (dependiendo del signo del discriminante \(\Delta=b^2-4ac\)):

  1. Dos soluciones (si \(\Delta>0\): la recta y la cónica son secantes.
  2. Una solución (si \(\Delta=0\)): la recta y la cónica son tangentes.
  3. Ninguna solución (si \(\Delta<0\)): la recta y la cónica son exteriores.

conicas 29

Esta regla general tiene dos excepciones: en los casos que nos muestran las dos figuras siguientes, a pesar de cónica y recta se cortan en un solo punto, la recta no es tangente a la cónica. La recta \(r\) paralela a una asíntota de la hipérbola corta a ésta en un sólo punto \(P\). Sin embargo no es tangente a la hipérbola en \(P\) (la tangente es la recta \(t\). Esto nos indica que la definición tradicional de tangente a una curva en un punto como «recta que corta a la curva solamente en ese punto», no es suficiente. Una definición correcta de tangente precisa del concepto de derivada.

conicas 30

En el caso de la figura siguiente, la recta \(r\) paralela al eje de la parábola, corta a ésta en un solo punto \(P\). Sin embargo no es la tangente a la parábola en \(P\) (la tangente es la recta \(t\)).

conicas 31

Teniendo en cuenta todo lo anterior es posible resolver algunos problemas de tangencia como el cálculo de las tangentes desde un punto exterior de una cónica y el cálculo de la tangente en un punto perteneciente a la cónica, aunque en este último caso, el uso de propiedades geométricas y sobre todo de la derivada, simplifican enormemente los cálculos. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 14

Encontrar las tangentes a la circunferencia \(x^2+y^2=4\) desde el punto exterior \(P(3\,,\,0)\)

Cualquier recta que pasa por \(P(3\,,\,0)\) cumple la ecuación

\[y=m(x-3)\]

Así pues, para hallar su intersección con la circunferencia resolvemos el sistema:

\[\begin{cases}x^2+y^2=4\\y=m(x-3)\end{cases}\Rightarrow x^2+m^2(x-3)^2=4\Rightarrow x^2+m^2x^2+9m^2-6m^2x=4\Rightarrow\]

\[\Rightarrow(1+m^2)x^2-6m^2x+9m^2-4=0\]

Para que esta ecuación de segundo grado tenga una sola solución, y que por tanto la recta y la circunferencia sean tangentes, se necesita que

\[\Delta=b^2-4ac=(-6m^2)^2-4(1+m^2)(9m^2-4)=0\Rightarrow36m^4-36m^2-36m^4+16+16m^2=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow -20m^2+16=0\Rightarrow m^2=\frac{4}{5}\Rightarrow m=\pm\sqrt{\frac{4}{5}}=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Por tanto las tangentes son las rectas

\[y=\frac{2\sqrt{5}}{5}(x-3)\quad;\quad y=-\frac{2\sqrt{5}}{5}(x-3)\]

Ejemplo 15

Hallar la ecvuación de la tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=4\) en el punto \(P(1\,,\,\sqrt{3})\)

El punto \(P\) pertenece a la circunferencia.

Podría seguirse el método del ejemplo anterior, pero resulta muy engorroso; en cambio si tenemos en cuenta que la tangente es perpendicualr al radio en el punto de tangencia tendremos lo siguiente.

Como el centro es el punto \(C(0\,,\,0)\), la ecuación del radio \(CP\) es:

\[\dfrac{x-0}{1-0}=\dfrac{y-0}{\sqrt{3}-0}\Rightarrow x=\dfrac{y}{\sqrt{3}}\]

Utilizando la condición de perpendicularidad, la ecuación de la tangente en \(P\) es:

\[\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{y}{-1}\]

Para terminar, vamos a fijarnos en un caso de particular interés. Se trata de hallar la intersección de una hipérbola con una recta que pase por el origen de coordenadas (ver figura siguiente).

conicas 32

Ecuación de la hipérbola: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\).

Ecuación de la recta: \(y=mx\).

Entonces:

\[\begin{cases}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\y=mx\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}-\frac{m^2x^2}{b^2}=1\Rightarrow b^2x^2-a^2m^2x^2=a^2b^2\Rightarrow (b^2-a^2m^2)x^2=a^2b^2\]

Caben tres posibilidades:

  1. \(b^2-a^2m^2=0\). En este caso resulta \(0=a^2b^2\), lo cual es imposible.
  2. \(b^2-a^2m^2<0\). En este caso \(x^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2m^2}<0\), lo cual es así mismo imposible, pues un cuadrado no puede ser negativo.
  3. \(b^2-a^2m^2>0\). En este caso \(x^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2m^2}>0\), y \(x\) tiene dos soluciones.

Por tanto, el sistema sólo tiene solución si:

\[b^2-a^2m^2>0\Rightarrow b^2>am^2\Rightarrow\frac{b^2}{a^2}>m^2\Rightarrow \frac{b}{a}>|m|\Rightarrow \frac{b}{a}>m>-\frac{b}{a}\]

Si recordamos que las asíntotas de la hipérbola tenían pendientes respectivamente iguales a \(\dfrac{b}{a}\) y \(-\dfrac{b}{a}\), concluimos que las rectas que pasen por el origen de coordenadas y corten a la hipérbola son las de pendiente comprendida entre las pendientes de las dos asíntotas, o dicho de modo más intuitivo: las asíntotas son las «primeras» rectas que pasan por el origen y no cortan a la hipérbola.

← 7. La parábola

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4. Eje radical de dos circunferencias

Si tenemos dos circunferencias y buscamos los puntos cuya potencia respecto de las dos circunferencias es la misma, obtendremos una recta: el eje radical.

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de las dos circunferencias

Vamos a comprobar que, en efecto, dicho lugar geométrico es una recta.

Si \(P(x_0\,,\,y_0)\) es un punto del lugar geométrico y

\[c\equiv x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\quad;\quad c'\equiv x^2+y^2+D'x+E'y+F'=0\]

son las dos circunferencias, se ha de tener:

\[\text{Pot}_c(P)=\text{Pot}_c'(P)\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F=x_0^2+y_0^2+D'x_0+E'y_0+F'\]

Pasando al primer miembro:

\[Dx_0+Ey_0+F-D'x_0-E'y_0-F=0\]

Sacando factor común:

\[(D-D')x_0+(E-E')y_0+F-F'=0\]

Por tanto, los puntos como \(P\) que tienen la misma potencia respecto de \(c\) y de \(c'\) cumplen la ecuación

\[(D-D')x+(E-E')y+F-F'=0\]

que es la ecuación de una recta. Esta recta tienes dos propiedades.

Propiedad 1.

El eje radical es la secante común (si existe) de las dos circunferencias.

Demostración.

Suponemos la existencia de la secante común, que la llamaremos \(e\). Llamamos \(P_1(x_1\,,\,y_1)\) y \(P_2(x_2\,,\,y_2)\) a los puntos pertenecientes a las dos circunferencias \(c\) y \(c'\) (ver figura).

conicas 10

\[\begin{cases}P_1\in c\Rightarrow\text{Pot}_c(P_1)=0\\P_1\in c'\Rightarrow\text{Pot}_c'(P_1)=0\end{cases}\Rightarrow \text{Pot}_c(P_1)=\text{Pot}_c'(P_1)\Rightarrow P_1\in e\]

Razonando del mismo modo se tiene que \(P_2\in e\). Como el eje radical es una recta, queda determinado por \(P_1\) y \(P_2\), es decir, el eje radical es la secante común \(e\).

Propiedad 2.

El eje radical es perpendicular a la recta que pasa por los centros.

Demostración.

La ecuación del eje radical es \((D-D')x+(E-E')y+F-F'=0\), de donde se deduce que la pendiente del eje radical es

\[m=-\frac{D-D'}{E-E'}=-\frac{-2a+2a'}{-2b+2b'}=\frac{a-a'}{b'-b}\]

La ecuación de la recta que pasa por los centros es

\[\frac{x-a}{a'-a}=\frac{y-b}{b'-b}\Rightarrow y-b=\frac{b'-b}{a'-a}\cdot(x-a)\]

Es decir, la pendiente de la recta que pasa por los centros es \(m'=\dfrac{b'-b}{a'-a}\). Es muy fácil darse cuenta de que \(m'=-\dfrac{1}{m}\), con lo que queda propada la perpendicularidad de las dos rectas.

Gracias a las dos propiedades anteriores es posible dibujar con facilidad el eje radical de dos circunferencias (véase la figura siguiente).

conicas 11

En el tercer caso (circunferencias exteriores) se utiliza una circunferencia auxiliar \(c''\) que corta a \(c\) y a \(c'\), según el siguiente procedimiento.

  1. Se traza una circunferencia auxiliar \(c''\) secante a \(c\) y a \(c'\).
  2. Se determina el eje radical de \(c''\) con las otras dos circunferencias obteniéndose el punto \(P\) perteneciente a los dos ejes radicales.
  3. Se traza una perpendicular al segmento \(\overline{CC'}\), que une los dos centros, por el punto de corte \(P\), obteniéndose el eje radical.

El punto \(P\) tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias y se llama centro radical.

← 3. Potencia de un punto respecto de una circunferencia

5. La elipse →

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3. Potencia de un punto respecto de una circunferencia

En la siguiente figura se han trazado, desde un punto \(P\), dos rectas secantes a la circunferencia, que la cortan en los puntos \(A_1\) y \(B_1\), \(A_2\) y \(B_2\), respectivamente.

conicas 07

Los triángulos \(PB_1A_2\) y \(PB_2A_1\) son semejantes porque tienen un ángulo común (el ángulo \(\widehat{P}\)) y dos ángulos iguales (\(\widehat{A_1}\) y \(\widehat{A_2}\) por ser ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan el mismo arco \(B_1B_2\)).

Entonces, como triángulos semejantes tienen sus lados homólogos proporcionales, se cumple que \(\dfrac{\overline{PA_1}}{\overline{PA_2}}=\dfrac{\overline{PB_2}}{\overline{PB_1}}\). Por tanto \(\overline{PA_1}\cdot\overline{PB_1}=\overline{PA_2}\cdot\overline{PB_2}\).

Con cualquier otra secante sucedería lo mismo. Por eso, si \(A\) y \(B\) son los puntos de corte de cualquier secante, que pase por \(P\), con la circunferencia, el producto \(\overline{PA}\cdot\overline{PB}\) es constante y se llama potencia del punto \(P\) respecto de la circunferencia \(c\). Lo escribiremos así:

\[\text{Pot}_c(P)=\overline{PA}\cdot\overline{PB}\]

Si ahora tomamos para calcular la potencia, de entre todas las secantes, aquella que pasa por el centro de la circunferencia, como en la figura siguiente, tendremos:

conicas 08

\[\text{Pot}_c(P)=\overline{PA}\cdot\overline{PB}=(d+r)\cdot(d-r)=d^2-r^2\]

donde \(d\) es la distancia entre \(P(x_0\,,\,y_0)\) y \(C(a\,,\,b)\), o sea:

\[d=\sqrt{\left(x_0-a\right)^2+\left(y_0-b\right)^2}\]

Por tanto:

\[\text{Pot}_c(P)=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2\]

O también:

\[\text{Pot}_c(P)=x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F\]

donde \(D\), \(E\) y \(F\) son los mismos valores que se tomaron al desarrollar la ecuación general de la circunferencia. Por tanto podemos hacer la siguiente afirmación.

Para calcular la potencia del punto \(P(x_0\,,\,y_0)\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\), se halla el valor del primer miembro de la ecuación sustituyendo \(x\) por \(x_0\) e \(y\) por \(y_0\).

Ejemplo 3

La potencia del punto \(P(3\,,\,5)\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2-4x+6y-37=0\) es:

\[\text{Pot}_c(P)=9+25-12+30-37=15\]

La potencia de un punto respecto de una circunferencia nos indica la posición relativa del punto y la circunferencia, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.

conicas 09

← 2. La circunferencia

4. Eje radical de dos circunferencias →

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2. La circunferencia

Definición

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.

La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es el radio \(r\).

Ecuación general

Consideramos en el plano un sistema de referencia ortonormal \(\{O\,;\,\{\textbf{i},\,\textbf{j}\}\}\) (obsérvese la figura siguiente).

 conicas 06

Si \(C(a\,,\,b)\) es el centro de la circunferencia y \(P(x\,,\,y)\), un punto cualquiera de la misma, la definición nos dice (utilizamos la distancia entre dos puntos):

\[d(C\,,\,P)=r\Leftrightarrow\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\]

Elevando ambos miembros al cuadrado:

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\qquad(1)\]

Esta última es la ecuación de la circunferencia, o sea, la condición que deben cumplir las coordenadas \((x\,,\,y)\) de cualquier punto que esté en la circunferencia de centro \((a\,,\,b)\) y radio \(r\).

Ejemplo 1

La ecuación de la circunferencia cuyo centro es \(C(2\,,\,-3)\) y que pasa por el punto \(P(-1\,,\,4)\) es:

\[(x-2)^2+(y+3)^2=r^2\]

Para hallar el radio hay que tener en cuenta que \(r=d(C\,,\,P)\):

\[r=d(C\,,\,P)=\sqrt{(1-2)^2+(4+3)^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}\]

Por tanto, la ecuación buscada es \((x-2)^2+(y+3)^2=50\)

Desarrollando la ecuación \((1)\) podemos escribir de otra manera la ecuación de la circunferencia:

\[x^2+a^2-2ax+y^2+b^2-2by=r^2\Leftrightarrow x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0\]

Si llamamos \(-2a=D\), \(-2b=E\), \(a^2+b^2-r^2=F\), tenemos otra expresión para la ecuación general de la circunferencia:

\[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\qquad(2)\]

Ejemplo 2

La ecuación de la circunferencia obtenida en el ejemplo 1 podemos transformarla:

\[x^2+4-4x+y^2+9+6y=50\Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y-37=0\]

Obsérvese que:

\[\begin{cases}D=-2a=-4\Rightarrow a=2\\E=-2b=6\Rightarrow b=-3\end{cases}\Rightarrow C=(2\,,\,-3)\]

\[F=a^2+b^2-r^2=27\Rightarrow 2^2+(-3)^2-r^2=37\Rightarrow r^2=50\]

Ecuación reducida

La ecuación reducida es la que corresponde a una cónica cuyo centro es el origen de coordenadas. En el caso de la circunferencia la ecuación reducida es:

\[x^2+y^2=r^2\]

← 1. Secciones planas de una superficie cónica

3. Potencia de un punto respecto de una circunferencia →

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1. Secciones planas de una superficie cónica

Una superficie cónica está engendrada por el giro de una recta \(g\) (llamada generatriz) alrededor de otra recta \(e\) (llamada eje) con la cual se corta en un punto \(V\) (vértice). La podemos ver representada en la siguiente figura.

conicas 01

Si a una superficie cónica la cortamos por un plano que no pasa por el vértice, la intersección que resulta es una curva que recibe el nombre de cónica.

Pueden presentarse tres casos dependiendo de cómo sean los ángulos \(\alpha\) (formado por la generatriz y el eje) y \(\beta\) (formado por el plano y el eje). En las siguientes figuras, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, se representan respectivamente la elipse (cuando \(\alpha<\beta\)), la parábola (cuando \(\alpha=\beta\)), y la hipérbola (cuando \(\alpha>\beta\)).

conicas 02     conicas 03     conicas 04

Una circunferencia es un caso particular de elipse que se obtiene cuando el ángulo \(\beta=90^{\text{o}}\)(véase la figura siguiente).

conicas 05

Estas curvas que fueron ampliamente conocidas y estudiadas, utilizando métodos puramente geométricos, por los matemáticos griegos de la antigüedad, las estudiaremos en los siguientes artículos como ya hicimos con las rectas en el curso de geometría métrica plana.

2. La circunferencia →

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El radián

Cuando se comienza a trabajar la trigonometría, la medida de los ángulos que se utiliza es el grado sexagesimal. Esta medida proviene de la antigua Babilonia. Los babilonios supusieron, en un principio, que el año tenía 360 días y tomaron como medida angular "el recorrido diario del sol alrededor de la Tierra". Esta forma de medir ha perdurado hasta nuestros días y su influencia se ha dejado notar, también, en la medición del tiempo.

Un grado sexagesimal es, por tanto, cada una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia. Cada grado se divide en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos.

Otra medida de los ángulos es el radián.

Definición

Si se toma cualquier circunferencia de radio \(r=\overline{OA}\) y se lleva esta longitud \(r\) sobre un arco de la circunferencia, es decir, \(r=\overline{OA}=\text{longitud}\,AB\), el ángulo central \(\alpha\) determinado por el arco y sus radios mide un radián: \(1\,\text{rad}\).

radian01

Relación entre grados sexagesimales y radianes

Para calcular a cuántos radianes equivale un ángulo completo de \(360^{\text{o}}\), basta con aplicar una sencilla relación de proporcionalidad directa. Dibujamos una circunferencia de radio \(r\) . Si a un arco de longitud \(r\) le corresponde un radián, a un arco de longitud la longitud de la circunferencia, \(2\pi r\) , le corresponderán \(x\) radianes. Es decir:

\[\frac{r}{2\pi r}=\frac{1}{x}\Rightarrow x=\frac{2\pi r}{r}=2\pi\]

Esto quiere decir que a un ángulo completo de \(360^{\text{o}}\) le corresponden \(2\pi\) radianes, o lo que es lo mismo, a un ángulo de \(180^{\text{o}}\) le corresponden \(\pi\) radianes. De este modo, para convertir un ángulo dado en grados, \(\alpha^{\text{o}}\), en radianes, \(\alpha\,\text{rad}\), o viceversa, basta con utilizar la siguiente proporción:

\[\frac{\alpha^{\text{o}}}{\alpha\,\text{rad}}=\frac{180^{\text{o}}}{\pi}\]

Veamos como ejemplo a cuantos grados sexagesimales equivale un radián:

\[\frac{\alpha^{\text{o}}}{1\,\text{rad}}=\frac{180^{\text{o}}}{\pi}\Rightarrow \alpha=\frac{1\cdot180}{\pi}\approx57,296^{\text{o}}\]

O sea, un radián es igual, aproximadamente, a \(57,296^{\text{o}}\), que expresado en grados minutos y segundos es:

\[1\,\text{rad}\approx57^{\text{o}}\,15'\,45''\]

Uso de la calculadora

Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo dado en radianes hay que empezar poniendo la calculadora en el modo radianes: MODE RAD. Cada calculadora tiene una combinación de teclas propia para pasar al modo radianes. Normalmente una calculadora viene en modo grados sexagesimales: MODE DEG, que suele venir indicado con una D, o la abreviatura DEG en la parte superior. Cuando pasamos al modo radianes con la combinación de teclas adecuada, en la parte superior aparecerá una R o la abreviatura RAD. En estos momentos ya está lista la calculadora para hacer cálculos en radianes. Veamos un ejemplo.

Con la calculadora en el modo grados sexagesimales es muy fácil obtener que \(\text{sen}\,72^{\text{o}}\approx0,951\). Para ver que obtenemos el mismo valor en radianes, pasaremos \(72^{\text{o}}\) a radianes, y luego calcularemos el seno del valor obtenido, ya con la calculadora en el modo radianes.

\[\frac{72^{\text{o}}}{x\,\text{rad}}=\frac{180^{\text{o}}}{\pi}\Rightarrow x=\frac{72\cdot\pi}{180}=\frac{2\pi}{5}\text{rad}\]

Ahora, con la calculadora en modo radianes, podemos comprobar también que \(\text{sen}\dfrac{2\pi}{5}\approx0,951\).

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El árbelos

Leyendo algunos textos de matemáticas en busca de problemas para poner a mis alumnos de secundaria y de bachillerato, me topé con una figura geométrica que ya estaba lejana en mi memoria, pero que me encantó reencontrarme con ella: el árbelos. En concreto, el libro que consultaba en ese momento tiene por título Expediciones Matemáticas, su autor es Frank J. Swetz y está publicado en la editorial "La esfera de los libros". En la página 85 me encuentro con el árbelos. Así que os transmito el contenido y los problemas relacionados con el árbelos y sus correspondientes soluciones.

arbelos2

En el Libro de Lemmas, Arquímedes introduce una figura que, debido a su forma se conoce históricamente como el "cuchillo de zapatero" o árbelos. Si en un semicírculo de radio \(R\) y diámetro \(AB\) se construyen dos semicírculos con radios \(r_1\) y \(r_2\), donde \(r_1\neq r_2\) y \(r_1+r_2=R\), sobre el diámetro \(AB\), de tal modo que se encuentren en el punto \(C\) sobre \(AB\), la región limitada por estas tres circunferencias se denomina árbelos (véase la figura de arriba).

El árbelos fascinaba a Arquímedes por sus propiedades matemáticas. Se propone demostrar un par de ellas.

a) Demuestra que la longitud del arco \(AC\) más la longitud del arco \(CB\) es igual a la longitud del arco \(AB\).

La longitud \(L\) del arco \(AB\) es la de la mitad de una circunferencia de radio \(R\) (recuérdese que el radio \(R\) correspondía al diámetro \(AB\)). Por tanto \(L=\pi R\). Del mismo modo, las longitudes de los arcos \(AC\) y \(CB\) son, respectivamente, \(l_1=\pi r_1\) y \(l_2=\pi r_2\). Como \(R=r_1+r_2\), tenemos:

\[L=\pi R=L=\pi(r_1+r_2)=\pi r_1+\pi r_2=l_1+l_2\]

Justamente lo que queríamos demostrar.

b) Demuestra que, si se construye una línea perpendicular desde \(C\) que corte al arco \(AB\) en un punto \(P\), entonces \(\overline{CP}\) es el diámetro de un círculo cuya área es igual a la del árbelos.

arbelos3

Observemos en primer lugar la figura anterior y recordemos la notación empleada:

\[R=\frac{\overline{AB}}{2}\Rightarrow\overline{AB}=2R\ \ ;\ \ r_1=\frac{\overline{AC}}{2}\Rightarrow\overline{AC}=2r_1\ \ ;\ \ r_2=\frac{\overline{BC}}{2}\Rightarrow\overline{BC}=2r_2\ \ ;\ \ R=r_1+r_2\]

Introduciremos ahora también las siguientes notaciones (ver figura):

\[\overline{AP}=x\ \ ;\ \ \overline{BP}=y\ \ ;\ \ \frac{\overline{CP}}{2}=r_3\Rightarrow\overline{CP}=2r_3\] 

Llamemos por último \(S_1\) al área del árbelos y \(S_2\) al área del círculo de diámetro \(\overline{CP}\), o lo que es lo mismo, de radio \(r_3\). Hemos de demostrar que \(S_1=S_2\).

Los triángulos \(APC\) y \(BPC\) son claramente rectángulos ya que \(\overline{CP}\) es perpendicular a \(\overline{AB}\). El triángulo \(APB\) también es rectángulo porque el ángulo \(\widehat{APB}\) es recto, ya que es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro \(\overline{AB}\). Recuérdese que si un ángulo inscrito de una circunferencia subtiende un diámetro, entonces es un ángulo recto. Utilizando por tanto el teorema de Pitágoras, se cumplen las siguientes igualdades:

\[\overline{AP}^2=\overline{AC}^2+\overline{CP}^2\Rightarrow x^2=(2r_1)^2+(2r_3)^2=4r_1^2+4r_3^2\quad (1)\]

\[\overline{BP}^2=\overline{BC}^2+\overline{CP}^2\Rightarrow y^2=(2r_2)^2+(2r_3)^2=4r_2^2+4r_3^2\quad (2)\]

\[\overline{AB}^2=\overline{AP}^2+\overline{BP}^2\Rightarrow(2R)^2=x^2+y^2\Rightarrow 4(r_1+r_2)^2=x^2+y^2\quad (3)\]

Desarrollando el primer miembro de \((3)\), y sustituyendo en el segundo por los valores correspondientes obtenidos en \((1)\) y \((2)\), tenemos:

\[4r_1^2+4r_2^2+8r_1r_2=4r_1^2+4r_3^2+4r_2^2+4r_3^2\Rightarrow8r_1r_2=r_3^2\Rightarrow r_1r_2=r_3^2\quad (4)\]

El área del árbelos es:

\[S_1=\frac{\pi R^2}{2}-\frac{\pi r_1^2}{2}-\frac{\pi r_2^2}{2}=\frac{\pi(r_1+r_2)^2-\pi r_1^2-\pi r_2^2}{2}=\]

\[=\frac{\pi r_1^2+\pi r_2^2+2\pi r_1r_2-\pi r_1^2-\pi r_2^2}{2}=\frac{2\pi r_1r_2}{2}=\pi r_1r_2\]

Utilizando ahora lo obtenido en \((4)\) tenemos:

\[S_1=\pi r_1r_2=\pi r_3^2=S_2\]

Justamente lo que queríamos demostrar.

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El teorema de los senos

El teorema de los senos dice:

En todo triángulo las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos respectivos, siendo la constante de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

thsenos01     thsenos02

Dibujando en los triángulos ABC de las figuras anteriores, la altura h, aparecen dos triángulos rectángulos CHACHB, en los que se cumple (se han dibujado triángulos acutángulo y obtusángulo, en el rectángulo también se cumple):

 thsenos04

Si hubiéramos trabajado con la altura correspondiente al vértice B, por el mismo procedimiento:

 thsenos05

Igualando (1) y (2), se obtiene:

 thsenos06

Esta es la fórmula conocida por teorema de los senos.

Ahora, en la figura siguiente, hemos dibujado la circunferencia circunscrita al triángulo anterior; luego trazamos el diámetro BA' y unimos con C, formándose el triángulo BCA', que es rectángulo en (recuerda que el ángulo BCA' es inscrito, y abarca 180º, el arco que va de A' B; por tanto el ángulo BCA' vale 180º/2=90º).

thsenos03

Entonces, aplicando la fórmula del teorema de los senos en el triángulo BCA', obtenemos:

thsenos07

Pero el ángulo A es igual que el ángulo A', por ser inscritos y abarcar el mismo arco BC, luego:

thsenos08

Este resultado lo incorporamos a la fórmula del teorema de los senos y resulta finalmente la expresión completa del teorema de los senos:

thsenos09

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Circunferencias tangentes

  • Publicado en Retos

Tenemos dos circunferencias con radios \(a\) y \(b\), respectivamente, que son tangentes a la misma línea recta, así como una a la otra (véase la figura de más abajo). Los puntos donde las circunferencias tocan a la línea recta son \(D\) y \(E\). ¿Cuál es la longitud del segmento \(\overline{DE}\)?

Circunferencias tangentes y tangentes a una recta exterior

Circunferencias tangentes y tangentes a una recta exterior

El único triángulo que se ve en la figura es claramente rectángulo. Su hipotenusa es igual, también claramente, a la suma de los radios de las circunferencias. Aplicando el teorema de Pitágoras:

circulos3

Y de aquí:

circulos4

Por tanto:

circulos5

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