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pi antes de pi

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos", cuyos autores son Fernando Álvarez, Óscar Martín y Cristóbal Pareja.

El pasaje de la Biblia que es quizá el más citado por los matemáticos no proviene, como el lector tal vez pueda esperar, del Libro de los Números, sino del Libro de los Reyes. En la versión clásica de Reina-Valera dice así:

Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos.

Reyes I, 7:23

Si hemos de entender de un lado al otro como la medida del diámetro y que el cordón de alrededor representa la medida de la circunferencia, esos números no pueden ser más que aproximaciones. Un diámetro de \(10\) codos solamente es compatible con una circunferencia de más de \(31\) codos, pues, como sabemos

\[l=\pi\cdot d\]

donde \(l\) es la longitud de la circunferencia, \(d\) el diámetro de la misma y \(\pi=3,14159265358979\ldots\)

El Libro de los Reyes no es, ni pretende ser, un tratado de geometría, de forma que la cita tiene solo un valor descriptivo. No se pueden tomar esos números como literalmente exactos, igual que no se puede tomar con su sentido literal la palabra mar, o los siete días de la creación del mundo, por poner otro ejemplo.

Otros documentos de la época del Libro de los Reyes (hacia el siglo VII a.C.) muestran un mejor conocimiento de las proporciones circulares. Pero quienes escribieron el Libro de los Reyes no estaban interesados en las matemáticas, ni probablemente tenían conciencia de que existiese una relación constante entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

¿Qué se sabía sobre la existencia del número \(\pi\) antes de que la cultura griega clásica empezase a arrojar luz sobre él?

En unas excavaciones en la ciudad de Susa, en lo que fue Mesopotamia, se descubrió una tablilla de barro con unas inscripciones cuneiformes que los expertos han datado en unos 1600 años a.C. Para nuestros intereses, lo que viene a asegurar esa tablilla es que para calcular una circunferencia se debe multiplicar su diámetro por \(3+\dfrac{1}{8}=3,125\).

Para fines prácticos, usar \(3+\dfrac{1}{8}\) da una aproximación muy útil: el error es poco más del \(0,5\,\%\). Incluso usar \(3\) es aceptable en la práctica, y otras tablillas mesopotámicas dan instrucciones para que así se haga. Pero lo realmente interesante es que implícitamente se afirma que la relación entre la circunferencia y el diámetro es constante, es igual para todas las circunferencias, sin que importe su tamaño. Es decir, que saben que existe \(\pi\).

Uno de los documentos matemáticos más antiguos que se conocen es el papiro de Rhind. El egiptólogo escocés Henry Rhind lo compró en un mercado de Luxor en 1858 y hoy se conserva en el Museo Británico. En él se describen soluciones a una serie de problemas con cálculos sencillos y geometría elemental. Fue escrito por el escriba Ahmes en Egipto, alrededor del año 1650 a.C. Lo que hizo Ahmes, sin embargo, fue solo copiar un papiro anterior y su contenido original bien podría ser varios siglos anterior.

El papiro Rhind tiene dos entradas que tratan del área del círculo. Recordemos que para obtener el área \(A\) de un círculo hay que multiplicar el número \(\pi\) por el cuadrado del \(r\):

\[A=\pi\cdot r^2\]

Estamos, por tanto, cambiando no solo de documento, de lugar y de siglo, sino de foco de interés: antes hablábamos de la longitud de la circunferencia y ahora del área del círculo.

En el problema 48 del papiro se describe la siguiente forma de calcular el área de un círculo: considerarla igual a la del octógono de la siguiente figura:

pi antes pi 01

Esta ya no es una mera estimación experimental, es decir, no se puede haber obtenido mediante medidas directas, sino que es un razonamiento geométrico, aunque sea solo aproximado y basado en la intuición visual. Y este no es un método con números, sino con figuras.

¿Hasta qué punto es buena esta aproximación? Calculemos un poco. El octógono consta de \(5\) "cuadraditos" enteros y \(4\) mitades: en total \(7\) "cuadraditos". Así que, si llamamos \(A\) al área del octógono, \(A_c\) al área de un "cuadradito" y \(l\) al lado de un "cuadradito", tenemos:

\[A=7\cdot A_c=7\cdot l^2=7\cdot\left(\dfrac{2r}{3}\right)^2=\dfrac{28}{9}\cdot r^2=3,111\cdot r^2\]

donde hemos utilizado que el diámetro del círculo (el doble del radio) equivale a tres lados de "cuadraditos": \(2r=3l\), o lo que es lo mismo, \(l=\dfrac{2r}{3}\).

Si tomamos esto como aproximación al valor de \(\pi\), es algo peor que la usada por los babilonios, ya que \(3,125\) está un poco más cerca de \(\pi\) que \(3,111\ldots\) Sin embargo, como modo de razonamiento, la geometría es mejor que la mera aproximación experimental, y será clave, siglos después, para mejorar el cálculo del área del círculo y el cálculo del valor de \(\pi\).

En otra parte del papiro Rhind, en el problema 50, se da otra regla para hallar el área de un círculo: eliminar \(\dfrac{1}{9}\) del diámetro, levantar un cuadrado con dicho segmento como lado y hallar su área. Es decir, se considera que el área \(A\) del círculo (en gris en la figura siguiente) es igual a la del cuadrado (cuyas esquinas están marcadas en rojo)

pi antes pi 02

Así, el área del cuadrado sería \(\left(\dfrac{8}{9}\cdot d\right)^2\). Como el diámetro es el doble del radio (\(d=2\cdot r\)), la fórmula es:

\[A=\left(\frac{8}{9}\cdot2\cdot r\right)^2=\left(\frac{16}{9}\right)^2r^2=3,16049\cdot r^2\]

Así que este método del escriba Ahmes equivale a multiplicar \(r^2\) por \(3,16049\ldots\), que es ligeramente superior a \(\pi\).

Hoy sabemos que los números \(\pi\) que aparecen en las fórmulas para la longitud de la circunferencia y para el área del círculo

\[l=2\pi r\qquad\text{;}\qquad A=\pi r^2\]

son el mismo número. ¿Lo sabían hace 4000 años? Nada nos hace pensar que así fuera.

La tablilla de Susa nos habla claramente de una relación constante entre circunferencia y diámetro. Además, esa relación se puede medir con instrumentos sencillos: cójase una cuerda del tamaño del diámetro y véase cuántas veces cabe en la circunferencia.

Por contra, solo de forma indirecta podemos deducir en los escritos de Ahmes una relación entre el área del círculo y el cuadrado del radio. E incluso si hubieran sospechado esa relación, su medición directa se antoja complicada. Y parece del todo fuera de lugar preguntar a aquellos nuestros antepasados si es el mismo número el que aparece en esos dos cálculos.

Aunque, en realidad... no era tan complicado. La figura siguiente es una reproducción de un documento japonés del siglo XVII d.C., el Tengen Shinan. Hemos saltado en el tiempo y hemos cambiado de continente porque el documento es tan bonito y tan claro que no nos hemos resistido a presentarlo al lector.

pi antes pi 03

Lo que muestra la figura es cómo un círculo se puede dividir en finos gajos (que se muestran alternativamente en blanco y negro) que, recompuestos, forman un rectángulo. Bueno, casi. Cuanto más finos sean los gajos, más cerca estaremos de un rectángulo. Un matemático actual dirá que en el límite eso es un rectángulo. Ese rectángulo tiene como base el radio del círculo, y como altura, la mitad de la longitud de la circunferencia. Así que el área del rectángulo (y, por tanto, la del círculo) es

\[A=\text{base}\cdot\text{altura}=r\cdot\frac{l}{2}=r\cdot\frac{2\pi r}{2}=\pi r^2\]

pi antes pi 04

En el siglo III a.C., Arquímedes había llegado a la misma conclusión usando un método distinto (lo dejó en Sobre la medida del círculo). Antes de los maestros griegos, seguramente nadie.

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Lúnulas y el problema de la cuadratura del círculo. Cuadrando áreas limitadas por líneas curvas

Una lúnula es cualquiera de las dos figuras semejantes a una luna creciente (o menguante, según la que se tome) que se obtienen mediante la intersección de dos círculos.

Como el área \(A\) de un círculo es \(A=\pi\cdot r^2\), donde \(r\) es el radio del círculo, entonces el número \(\pi\) es la razón entre el área del círculo y su radio al cuadrado. Es decir: \(\pi=\dfrac{A}{r^2}\). Si llamamos \(d\) al diámetro del círculo, entonces \(d=2r\Rightarrow r=\dfrac{d}{2}\). Sustituyendo en la expresión anterior:

\[\pi=\frac{A}{\left(\frac{d}{2}\right)^2}=\frac{A}{\frac{d^2}{4}}=\frac{4A}{d^2}\Rightarrow\frac{\pi}{4}=\frac{A}{d^2}\]

O sea, la razón entre el área del círculo y el cuadrado levantado sobre su diámentro es una cantidad constantemente igual a \(\dfrac{\pi}{4}\). Como \(\pi<4\), entonces \(\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{A}{d^2}<1\Rightarrow A<d^2\)lo que demuestra también que el área del círculo es menor que el área del cuadrado levantado sobre su diámetro.

Hipócrates de Quíos, preocupado con el problema de la cuadratura del círculo (problema que ahora sabemos que es irresoluble), usó las razones anteriores, constatemente iguales a los números \(\pi\) y \(\dfrac{\pi}{4}\), para mostrar cómo se podía cuadrar un área limitada por líneas curvas.

En la figura siguiente se muestra una lúnula \(L\). Demostraremos que el área de la lúnula es igual al área del triángulo \(T\).

lunula

La lúnula \(L\), junto con el segmento circular \(S\) delimitado por el lado \(l\) del triángulo, forma un semicírculo de diámetro precisamente \(l\). A su vez, el sector \(S\) y el triángulo \(T\) forman un cuadrante del círculo de diámetro \(d\). Ahora bien, las áreas de esos círculos tienen la misma razón con las áreas de los cuadrados levantados sobre sus diámetros:

\[\frac{L+S}{l^2}=\frac{2\cdot(S+T)}{d^2}\]

Pero sabemos que el triángulo inscrito en el semicírculo es rectángulo, de manera que, por el teorema de Pitágoras, \(d^2=l^2+l^2=2l^2\). Lo que insertado en la fórmula anterior da:

\[\frac{L+S}{l^2}=\frac{2\cdot(S+T)}{2l^2}=\frac{S+T}{l^2}\]

Y, por tanto, \(L+S=S+T\Rightarrow L=T\). O sea, el área \(L\) de la lúnula es igual al área \(T\) del triángulo.

El que el área de una lúnula, con sus límites curvos, sea igual al área de un triángulo, con sus lados rectos, construido de manera precisa (usando regla y compás) a partir de la misma lúnula, hizo concebir esperanzas de que dado un círculo sería posible construir a partir de él un cuadrado, o un triángulo, de igual área. Y a buscar esa construcción se dedicaron los matemáticos griegos. Con ningún éxito, porque cuadrar el círculo (con regla y compás) es misión imposible, pero eso no se supo hasta finales del siglo XIX, aunque se sospechó mucho antes. 


Fuente:

Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas, de Antonio J. Durán

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El árbelos

Leyendo algunos textos de matemáticas en busca de problemas para poner a mis alumnos de secundaria y de bachillerato, me topé con una figura geométrica que ya estaba lejana en mi memoria, pero que me encantó reencontrarme con ella: el árbelos. En concreto, el libro que consultaba en ese momento tiene por título Expediciones Matemáticas, su autor es Frank J. Swetz y está publicado en la editorial "La esfera de los libros". En la página 85 me encuentro con el árbelos. Así que os transmito el contenido y los problemas relacionados con el árbelos y sus correspondientes soluciones.

arbelos2

En el Libro de Lemmas, Arquímedes introduce una figura que, debido a su forma se conoce históricamente como el "cuchillo de zapatero" o árbelos. Si en un semicírculo de radio \(R\) y diámetro \(AB\) se construyen dos semicírculos con radios \(r_1\) y \(r_2\), donde \(r_1\neq r_2\) y \(r_1+r_2=R\), sobre el diámetro \(AB\), de tal modo que se encuentren en el punto \(C\) sobre \(AB\), la región limitada por estas tres circunferencias se denomina árbelos (véase la figura de arriba).

El árbelos fascinaba a Arquímedes por sus propiedades matemáticas. Se propone demostrar un par de ellas.

a) Demuestra que la longitud del arco \(AC\) más la longitud del arco \(CB\) es igual a la longitud del arco \(AB\).

La longitud \(L\) del arco \(AB\) es la de la mitad de una circunferencia de radio \(R\) (recuérdese que el radio \(R\) correspondía al diámetro \(AB\)). Por tanto \(L=\pi R\). Del mismo modo, las longitudes de los arcos \(AC\) y \(CB\) son, respectivamente, \(l_1=\pi r_1\) y \(l_2=\pi r_2\). Como \(R=r_1+r_2\), tenemos:

\[L=\pi R=L=\pi(r_1+r_2)=\pi r_1+\pi r_2=l_1+l_2\]

Justamente lo que queríamos demostrar.

b) Demuestra que, si se construye una línea perpendicular desde \(C\) que corte al arco \(AB\) en un punto \(P\), entonces \(\overline{CP}\) es el diámetro de un círculo cuya área es igual a la del árbelos.

arbelos3

Observemos en primer lugar la figura anterior y recordemos la notación empleada:

\[R=\frac{\overline{AB}}{2}\Rightarrow\overline{AB}=2R\ \ ;\ \ r_1=\frac{\overline{AC}}{2}\Rightarrow\overline{AC}=2r_1\ \ ;\ \ r_2=\frac{\overline{BC}}{2}\Rightarrow\overline{BC}=2r_2\ \ ;\ \ R=r_1+r_2\]

Introduciremos ahora también las siguientes notaciones (ver figura):

\[\overline{AP}=x\ \ ;\ \ \overline{BP}=y\ \ ;\ \ \frac{\overline{CP}}{2}=r_3\Rightarrow\overline{CP}=2r_3\] 

Llamemos por último \(S_1\) al área del árbelos y \(S_2\) al área del círculo de diámetro \(\overline{CP}\), o lo que es lo mismo, de radio \(r_3\). Hemos de demostrar que \(S_1=S_2\).

Los triángulos \(APC\) y \(BPC\) son claramente rectángulos ya que \(\overline{CP}\) es perpendicular a \(\overline{AB}\). El triángulo \(APB\) también es rectángulo porque el ángulo \(\widehat{APB}\) es recto, ya que es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro \(\overline{AB}\). Recuérdese que si un ángulo inscrito de una circunferencia subtiende un diámetro, entonces es un ángulo recto. Utilizando por tanto el teorema de Pitágoras, se cumplen las siguientes igualdades:

\[\overline{AP}^2=\overline{AC}^2+\overline{CP}^2\Rightarrow x^2=(2r_1)^2+(2r_3)^2=4r_1^2+4r_3^2\quad (1)\]

\[\overline{BP}^2=\overline{BC}^2+\overline{CP}^2\Rightarrow y^2=(2r_2)^2+(2r_3)^2=4r_2^2+4r_3^2\quad (2)\]

\[\overline{AB}^2=\overline{AP}^2+\overline{BP}^2\Rightarrow(2R)^2=x^2+y^2\Rightarrow 4(r_1+r_2)^2=x^2+y^2\quad (3)\]

Desarrollando el primer miembro de \((3)\), y sustituyendo en el segundo por los valores correspondientes obtenidos en \((1)\) y \((2)\), tenemos:

\[4r_1^2+4r_2^2+8r_1r_2=4r_1^2+4r_3^2+4r_2^2+4r_3^2\Rightarrow8r_1r_2=r_3^2\Rightarrow r_1r_2=r_3^2\quad (4)\]

El área del árbelos es:

\[S_1=\frac{\pi R^2}{2}-\frac{\pi r_1^2}{2}-\frac{\pi r_2^2}{2}=\frac{\pi(r_1+r_2)^2-\pi r_1^2-\pi r_2^2}{2}=\]

\[=\frac{\pi r_1^2+\pi r_2^2+2\pi r_1r_2-\pi r_1^2-\pi r_2^2}{2}=\frac{2\pi r_1r_2}{2}=\pi r_1r_2\]

Utilizando ahora lo obtenido en \((4)\) tenemos:

\[S_1=\pi r_1r_2=\pi r_3^2=S_2\]

Justamente lo que queríamos demostrar.

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El teorema de los senos

El teorema de los senos dice:

En todo triángulo las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos respectivos, siendo la constante de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

thsenos01     thsenos02

Dibujando en los triángulos ABC de las figuras anteriores, la altura h, aparecen dos triángulos rectángulos CHACHB, en los que se cumple (se han dibujado triángulos acutángulo y obtusángulo, en el rectángulo también se cumple):

 thsenos04

Si hubiéramos trabajado con la altura correspondiente al vértice B, por el mismo procedimiento:

 thsenos05

Igualando (1) y (2), se obtiene:

 thsenos06

Esta es la fórmula conocida por teorema de los senos.

Ahora, en la figura siguiente, hemos dibujado la circunferencia circunscrita al triángulo anterior; luego trazamos el diámetro BA' y unimos con C, formándose el triángulo BCA', que es rectángulo en (recuerda que el ángulo BCA' es inscrito, y abarca 180º, el arco que va de A' B; por tanto el ángulo BCA' vale 180º/2=90º).

thsenos03

Entonces, aplicando la fórmula del teorema de los senos en el triángulo BCA', obtenemos:

thsenos07

Pero el ángulo A es igual que el ángulo A', por ser inscritos y abarcar el mismo arco BC, luego:

thsenos08

Este resultado lo incorporamos a la fórmula del teorema de los senos y resulta finalmente la expresión completa del teorema de los senos:

thsenos09

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Triángulo equilátero inscrito en un círculo

  • Publicado en Retos

En un círculo se inscribe un triángulo equilátero de área 12 unidades cuadradas. ¿Cuál es el área de la región sombreada de azul?

triangulo-circulo-01

Os aseguro que no es difícil. Con algo de imaginación, el área del triángulo, el área del círculo y ¡Pitágoras!, se puede dar con la solución.

El triángulo \(ABC\), de área \(12\), se puede dividir en tres triángulos iguales: \(AOB\), \(AOC\) y \(BOC\) de área \(4\) cada uno de ellos. El triángulo \(BOD\) tendrá pues área \(2\) por ser justo la mitad del triángulo \(BOC\).

triangulo-circulo-02

Si llamamos \(l\) al lado del triángulo \(ABC\) su área será:

triangulo-circulo-03

Obsérvese que su altura es \(r+\dfrac{r}{2}\) pues \(BOD\) y \(BED\) también son triángulos iguales. Así pues:

triangulo-circulo-04

Por otro lado, en el triángulo \(BOD\), aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

triangulo-circulo-05

Sustituyendo el valor de \(l^2\):

triangulo-circulo-06

El área del la región sombreada de azul es el área del círculo menos la del triángulo:

triangulo-circulo-07

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Radio del círculo inscrito en un triángulo rectángulo

  • Publicado en Retos

En un triángulo rectángulo se suponen conocidas las longitudes de sus dos catetos, a y b, y de la hipotenusa, c. Hallar la longitud del radio, r, del círculo inscrito en este mismo triángulo.

inscrito1

Para hallar el valor del radio del círculo inscrito en el triángulo vamos a “trocear” tal triángulo del modo que se indica en la figura siguiente:

inscrito2

El área del triángulo ABC es igual a la suma de las áreas de los triángulos AOEAOBBOD, y del cuadrado CDOE. Esto nos lleva a la siguiente igualdad:

inscrito3

Eliminando denominadores y paréntesis se tiene:

inscrito4

Igualdad esta última de la que se deduce que el valor del radio es:

inscrito5

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