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La paradoja de Zenón

El filósofo griego Zenón de Elea (495-435 a. de C.) precipitó una crisis en la Matemática antigua estableciendo algunas paradojas ingeniosas. Una de ellas, llamada frecuentemente la paradoja del corredor, se puede exponer de la manera siguiente:

Un corredor no puede alcanzar nunca la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que recorrer la otra mitad. Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte y así sucesiva e indefinidamente.

paradoja zenon 01

Zenón pensó, evidentemente, en una situación ideal en la que el corredor es una partícula o punto que se mueve de un extremo a otro de un segmento de recta. Para analizar el razonamiento de Zenón con más detalle se supone que el corredor parte del punto marcado con 1 (ver figura anterior) y corre hacia la meta marcada con 0. Las posiciones indicadas por \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{8}\), \(\ldots\), etc., señalan la fracción de carrera que se ha de recorrer todavía cuando se alcanza el punto marcado. Estas fracciones (cada una de las cuales es la mitad de la anterior) subdividen todo el trayecto en un número indefinido de partes cada vez más pequeñas. Puesto que para recorrer por separado cada una de estas partes se necesita una cantidad positiva de tiempo, parece natural afirmar que el tiempo necesario para el trayecto total ha de ser la suma total de todas estas cantidades de tiempo. Decir que el corredor nunca puede alcanzar la meta equivale a decir que nunca llega a ella en un tiempo finito; o, dicho de otro modo, que la suma de un número finito de intervalos positivos de tiempo no puede ser finita.

La afirmación de Zenón de que un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener suma finita, fue contradicha 2000 años más tarde con la creación de la teoría de series infinitas. En los siglos XVII y XVIII algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos finitos de números a conjuntos infinitos, de manera que en algunos casos la "suma" de un conjunto de infinitos números sea finita. Para ver cómo se puede hacer esta extensión y tener una idea de las dificultades que pueden presentarse para ello, conviene analizar la paradoja de Zenón con más detalle.

Supongamos que el corredor antes mencionado, corre a velocidad constante y que necesita \(t\) segundos para la primera mitad del recorrido. Para el siguiente cuarto de recorrido necesitará \(\frac{t}{2}\) segundos, para el octavo siguiente \(\frac{t}{4}\) segundos y en general para la parte comprendida entre \(\frac{1}{2^n}\) y \(\frac{1}{2^{n+1}}\) necesitará \(\frac{t}{2^n}\) segundos. La "suma" de todos estos intervalos se puede indicar simbólicamente escribiendo la siguiente expresión:

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots\]

Este es un ejemplo de las llamadas series infinitas y el problema aquí está en decidir su es posible encontrar una forma natural de asignarle un número que se pueda llamar suma de la serie.

La experiencia física dice que el corredor que corre a velocidad constante alcanzará su meta en un tiempo doble del que necesitaba para alcanzar su punto medio. Puesto que necesita \(t\) segundos para la mitad del recorrido, tendrá que emplear \(2t\) segundos para el recorrido completo. Este razonamiento sugiere que se debe asignar la "suma" \(2t\) a la serie anterior, esperando que la igualdad

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots=2t\]

pueda ser "valida" en algún sentido.

La teoría de las series infinitas precisa cómo se ha de interpretar esta igualdad. La idea es la siguiente: primero se suman un número finito de términos, los \(n\) primeros, indicando esta suma por \(\{s_n\}\). Así se tiene:

\[\{s_n\}=\left\{t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^{n-1}}\right\}\]

y esta suma se denomina suma parcial n-sima o sucesión de sumas parciales. Se estudia después el comportamiento de \(\{s_n\}\) cuando \(n\) toma valores cada vez más grandes. En particular se trata de determinar si la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\) es convergente, es decir, si tiende a un límite finito.

En este caso es fácil ver que el valor límite de las sumas parciales es \(2t\). En efecto, calculando algunas de estas sumas parciales se tiene:

\[s_1=t\ ,\quad s_2=t+\frac{t}{2}=\frac{3}{2}t\ ,\quad s_3=t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}=\frac{7}{4}t\ ,\quad s_4=t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\frac{t}{8}=\frac{15}{8}t\]

Se observa que estos resultados se pueden expresar como sigue:

\[s_1=(2-1)t\ ,\quad s_2=\left(2-\frac{1}{2}\right)t\ ,\quad s_3=\left(2-\frac{1}{4}\right)t\ ,\quad s_4=\left(2-\frac{1}{8}\right)t\]

lo cual conduce a pensar en una fórmula general de la forma

\[\{s_n\}=\left\{\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)t\right\}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\qquad(1)\]

La fórmula anterior se comprueba fácilmente por inducción. Puesto que \(\{\frac{1}{2^{n-1}}\}\rightarrow0\), resulta que \(\{s_n\}\rightarrow2t\). Por tanto, la igualdad anterior es "cierta" si se interpreta que \(2t\) es el límite de la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\). Este proceso de límite parece invalidar la objeción de Zenón que la suma de un número infinito de intervalos de tiempo no puede ser nunca finita.

Ahora daremos un argumento que proporciona un apoyo considerable al punto de vista de Zenón. Supongamos que en el anterior análisis de la paradoja del corredor se hace un pequeño pero importante cambio. En vez de considerar la velocidad constante, supongamos que decrece gradualmente de manera que necesita \(t\) segundos para de \(1\) a \(\frac{1}{2}\), \(\frac{t}{2}\) para ir de \(\frac{1}{2}\) a \(\frac{1}{4}\), \(\frac{t}{3}\) segundos para ir de \(\frac{1}{4}\) a \(\frac{1}{8}\), y en general \(\frac{t}{n}\) segundos para ir de \(\frac{1}{2^{n-1}}\) a \(\frac{1}{2^n}\). El tiempo total que necesitará para la carrera, vendrá ahora representado por la siguiente serie infinita:

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}+\ldots\]

En este caso, la experiencia física no sugiera ninguna "suma" obvia o natural para asignar a dicha serie y por tanto este ejemplo hay que estudiarlo desde un punto de vista completamente matemático.

Igual que antes, se introduce la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\), es decir:

\[\{s_n\}=\left\{t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}\right\}\qquad(2)\]

y se trata de ver qué ocurre a \(\{s_n\}\) cuando \(n\) crece indefinidamente. Esta suma parcial no es tan fácil de estudiar como la anterior, pues no existe una fórmula análoga a la fórmula \((1)\) que simplifique la expresión del segundo miembro de \((2)\). Sin embargo, por comparación de estas sumas parciales con una integral apropiada se puede ver que toman valores tan grandes como se quiera.

En la figura siguiente se ve parte de la hipérbola \(f(x)=\frac{1}{x}\) para \(x>0\). Los rectángulos dibujados, tienen un área total igual a la suma

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\]

paradoja zenon 02

El área de la región determinada por la hipérbola y el intervalo \([1,n+1]\) es

\[\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx=\ln(n+1)\]

y puesto que esta área no puede exceder la suma de las áreas de los rectángulos, se tiene la desigualdad

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\geqslant\ln(n+1)\]

Multiplicando ambos miembros por \(t\) se obtiene \(s_n\geqslant t\ln(n+1)\). Es decir, si la velocidad del corredor decrece tal como se ha indicado anteriormente, el tiempo necesario para alcanzar el punto \(\frac{1}{2^n}\) es por lo menos \(t\ln(n+1)\) segundos. Puesto que \(\ln(n+1)\) al crecer \(n\) toma valores tan grandes como se quiera (\(\{\ln(n+1)\}\rightarrow+\infty\)), se cumple en este caso la paradoja de Zenón, es decir, que el corredor no alcanzará la meta en un tiempo finito.

La teoría general de series infinitas hace una distinción entre series como

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots\]

cuyas sucesión de sumas parciales tiende a un límite finito, y series como

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}+\ldots\]

cuyas sucesión de sumas parciales no tiene límite finito (no es convergente).

Las primeras se denominan convergentes y las segundas divergentes. Los primeros investigadores en este dominio ponían poca o ninguna atención en las cuestiones de convergencia y divergencia. Trataban las series infinitas como si fueran sumas ordinarias finitas, sujeta a las leyes usuales del Álgebra sin tener en cuenta que estas leyes no pueden extenderse universalmente a las series infinitas. Por eso no es sorprendente que se haya visto más tarde que algunos de los primeros resultados obtenidos fueran incorrectos. Afortunadamente, muchos de aquellos pioneros tenían una intuición y destreza poco frecuentes, que les evitaba llegar a conclusiones falsas, aunque ellos no pudieran justificar sus métodos. Entre los primeros matemáticos que se ocuparon de las series ocupa un lugar preeminente Leonard Euler. Euler descubría fórmula tras fórmula, a cual más interesante, y a la vez utilizaba las series infinitas como concepto unificador de diversas ramas de la Matemática que hasta entonces estaban sin relacionar. La gran cantidad de trabajos de Euler que han sobrevivido al paso del tiempo es un tributo a su notabilísimo instinto de lo matemáticamente correcto.

La extensión del uso de las series infinitas empezó más tarde en el siglo XVII, cerca de cincuenta años después del nacimiento de Euler, coincidiendo con el principio del desarrollo del Cálculo Integral, Nicholas Mercator (1620-1687) y William Brouncker (1620-1684) descubrieron en 1668 una serie infinita para el logaritmo al intentar calcular el área de un segmento hiperbólico. Poco después, Newton descubrió la serie binómica. Estos descubrimientos constituyen un punto fundamental de la historia de la Matemática. Un caso particular de la serie binómica es el conocido teorema del binomio que afirma que:

\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\]

donde \(x\) es un número real arbitrario, \(n\) un entero no negativo, y \(\binom{n}{k}\) es el coeficiente binomial. Newton encontró que esta fórmula, válida para valores enteros de \(n\) se podía extender a exponentes reales cualesquiera, sustituyendo la suma finita del segundo miembro, por una serie finita conveniente, si bien no lo demostró. Efectivamente, en un estudio cuidadoso de la serie binomial surgen algunas cuestiones bastante delicadas de convergencia a las que no se podía responder en la época de Newton.

Poco después de la muerte de Euler en 1783, el caudal de nuevos descubrimientos empezó a disminuir y el período formal en las historia de las series llegó a su término. Un nuevo período, y más crítico, empezó en 1812 cuando Gauss publicó la célebre memoria que contenía, por primera vez en la historia, un estudio riguroso de la convergencia de algunas series infinitas. Pocos años más tarde, Cauchy introdujo una definición analítica del concepto del límite en su tratado Curso de Análisis algebraico (publicado en 1821), y expuso los fundamentos de la teoría moderna de convergencia y divergencia. Dedicaremos algunos artículos a exponer los aspectos básicos de esta teoría.

Referencia bibliográfica. Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).


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Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teorema afirmaba que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene máximo y mínimo absolutos, pero nada nos informa sobre los puntos en los que se alcanzan. Bajo la hipótesis adicional de que la función es inyectiva vamos a ver enseguida que el máximo y el mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo, pero esto no es más que el punto de partida para resultados más importantes.

Lema 1.

Sean \(a\) y \(b\) números reales con \(a<b\), sea \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua e inyectiva y supongamos que \(f(a)<f(b)\). Entonces, para todo número real \(t\) verificando \(a<t<b\) se tiene que \(f(a)<f(t)<f(b)\).

Sea \(t\in(a,b)\) y supongamos, razonando por reducción al absurdo, que se tenga \(f(t)<f(a)\). Entonces, podemos aplicar el teorema del valor intermedio a la restricción de \(f\) al intervalo \([t,b]\), que es una función continua, obteniendo un punto \(c\) del intervalo \([t,b]\) tal que \(f(c)=f(a)\); por ser \(f\) inyectiva tenemos \(c=a\) y \(a\geqslant b\), lo cual es absurdo.

Si suponemos \(f(t)>f(b)\) y aplicamos el teorema del valor intermedio a la restricción de \(f\) al intervalo \([a,t]\), obtenemos un punto \(d\) del intervalo \([a,t]\) tal que \(f(d)=f(b)\), con lo que, otra vez, por ser \(f\) inyectiva tenemos \(b=d\leqslant t\) lo que también es absurdo.

Hemos probado así que \(f(a)\leqslant f(t)\leqslant f(b)\), pero, siendo \(f\) inyectiva, ambas desigualdades han de ser estrictas, como queríamos demostrar.

Nótese que el lema anterior puede aplicarse sucesivamente. Si \(c\in(a,b)\), tenemos, según el lema, \(f(a)<f(c)<f(b)\), pero podemos volver a aplicar el lema a las restricciones de \(f\) a los intervalos \([a,c]\) y \([c,b]\), obteniendo que

\[a<x<c<y<b\Rightarrow f(a)<f(x)<f(c)<f(y)<f(b)\]

y así sucesivamente. Observamos entonces que \(f\) tiene un comportamiento muy concreto, crece al crecer la variable. Este comportamiento se obtendrá de manera rigurosa en el próximo teorema, incluso en un ambiente más general, pero necesitamos concretar algunos conceptos para el enunciado de dicho teorema.

Definición.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real. Diremos que \(f\) es creciente (respectivamente, decreciente) cuando para cualesquiera dos puntos de \(A\), \(x\) e \(y\), en la situación \(x<y\), se tenga \(f(x)\leqslant f(y)\) (respectivamente, \(f(x)\geqslant f(y)\)). Nótese que las anteriores definiciones extienden a las dadas para sucesiones de números reales. Diremos que \(f\) es estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente), cuando para cualesquiera dos puntos, \(x\) e \(y\), de \(A\), en la situación \(x<y\), se tenga \(f(x)<f(y)\) (respectivamente, \(f(x)>f(y)\)). Finalmente, diremos que \(f\) es monótona cuando sea creciente o decreciente y estrictamente monótona cuando sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Nótese que toda función estrictamente monótona es inyectiva, de hecho, una función monótona es estrictamente monótona si y sólo si es inyectiva. El recíproco de la primera afirmación anterior no es cierto. Por ejemplo, la función \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    x & \text{si} & 0\leqslant x<1 \\
    3-x & \text{si} & 1\leqslant x \leqslant 2
  \end{array}\right.
\]

es inyectiva pero no es estrictamente monótona.

Teorema 1.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua e inyectiva. Entonces \(f\) es estrictamente monótona.

Supongamos primeramente que \(I\) es un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\), con \(a<b\) (si \(a=b\) no hay nada que demostrar). Supongamos también que \(f(a)<f(b)\) (no puede ser \(f(a)=f(b)\) por ser \(f\) inyectiva). Sean \(x,y\in[a,b]\), con \(x<y\). Si \(x=a\) se tiene, aplicando el lema anterior, \(f(x)<f(y)\), e igual ocurre si \(y=b\). Sean entonces \(x,y\in(a,b)\); aplicando el lema anterior tenemos \(f(x)<f(b)\) y aplicando otra vez el lema a la restricción de \(f\) al intervalo \([x,b]\) obtenemos \(f(x)<f(y)<f(b)\). Así pues hemos probado en este caso que \(f\) es estrictamente creciente. Si fuese \(f(a)>f(b)\), el razonamiento anterior, aplicado a la función \(-f\), demuestra que \(-f\) es estrictamente creciente, de donde \(f\) es estrictamente decreciente. Queda así demostrado el teorema en el caso particular de que \(I\) esa un intervalo cerrado y acotado.

Sea ahora \(I\) un intervalo cualquiera y supongamos que \(f\) no es estrictamente monótona, para llegar a una contradicción. Entonces existen \(x_1,\,y_1,\,x_2,\,y_2\in I\) tales que \(x_1<y_1\), \(f(x_1)>f(y_1)\), \(x_2<y_2\), \(f(x_2)<f(y_2)\). Sean \(a=\min\{x_1,x_2\}\) y \(b=\max\{y_1,y_2\}\); claramente \([a,b]\subset I\) y la restricción de \(f\) a \([a,b]\) es continua en inyectiva, luego por lo ya demostrado, es estrictamente monótona. Ello es absurdo pues \(x_1,\,y_1,\,x_2,\,y_2\in[a,b]\).

Como se dijo anteriormente, una función estrictamente monótona es siempre inyectiva. Sin embargo, una función estrictamente monótona no tiene por qué ser continua. Por ejemplo, la función \(g:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\)

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    x & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant1 \\
    1+x & \text{si} & 1<x\leqslant 2
  \end{array}\right.
\]

es estrictamente creciente y no es continua. Damos a continuación un importante teorema que garantiza la continuidad de una función monótona con una hipótesis adicional.

Teorema 2.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función monótona tal que \(f(A)\) es un intervalo. Entonces \(f\) es continua.

Supongamos por ejemplo que \(f\) es creciente. Sea \(x_0\) un punto de \(A\) y \(\{x_n\}\) una sucesión creciente de puntos de \(A\), convergente a \(x_0\). Para cada natural \(n\) se tiene entonces \(x_n\leqslant x_{n+1}\leqslant x_0\) y, por ser \(f\) creciente, \(f(x_n)\leqslant f(x_{n+1})\leqslant f(x_0)\). Así, \(\{f(x_n)\}\) es una sucesión creciente y mayorada, luego convergente (véase el teorema 1 del artículo dedicado a las sucesiones monótonas). Sea \(l=\lim f(x_n)\); por ser \(f(x_n)\leqslant f(x_0)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), se tendrá \(l\leqslant f(x_0)\) (ver el corolario 3 del artículo dedicado a las sucesiones acotada y a las propiedades de las sucesiones convergentes). Supongamos que fuese \(l<f(x_0)\) y sea \(\frac{l+f(x_0)}{2}=y\); se tiene \(f(x_n)<y<f(x_0)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por ser \(f(A)\) un intervalo, existirá un punto \(x\) en \(A\) tal que \(f(x)=y\). Si fuese \(x<x_n\) para algún natural \(n\), se tendría, por ser \(f\) creciente, que \(y=f(x)\leqslant f(x_n)\), cosa que no ocurre, luego \(x\geqslant x_n\) para todo natural \(n\). Entonces \(x\geqslant x_0\), de donde \(f(x)\geqslant f(x_0)\), lo cual es una contradicción. Así, \(L=f(x_0)\) y \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x_0)\), como queríamos.

Un razonamiento enteramente análogo al anterior nos demostraría que si \(\{x_n\}\) es una sucesión decreciente de puntos de \(A\), convergente a \(x_0\), entonces \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(x_0)\). Así pues, para toda sucesión \(\{x_n\}\) monótona, de puntos de \(A\), convergente a \(x_0\) se tiene que \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(x_0)\). Por la caracterización de la continuidad, \(f\) es continua en \(x_0\) y, como \(x_0\) era un punto arbitrario de \(A\), \(f\) es continua en \(A\).

Finalmente, si \(f\) es decreciente, \(-f\) es creciente y \((-f)(A)=\{-y\,:\,y\in f(A)\}\) es, claramente, un intervalo, luego, por lo ya demostrado \(-f\) es continua, esto es, \(f\) es continua.

Lema 2.

Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es una función estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente), entonces \(f^{-1}:f(A)\rightarrow\mathbb{R}\) es también estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente).

Sean \(x\,,y\in f(A)\) con \(x<y\). Si fuese \(f^{-1}(x)\geqslant f^{-1}(y)\), se tendría, por ser \(f\) creciente, \(f(f^{-1}(x))\geqslant f(f^{-1}(y))\), esto es, \(x\geqslant y\), contra lo supuesto. Luego \(f^{-1}(x)<f^{-1}(y)\) y \(f^{-1}\) es estrictamente creciente. Análogo razonamiento se usa para demostrar el caso en que \(f\) sea estrictamente decreciente.

Corolario 1.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función estrictamente monótona. Entonces \(f^{-1}\) es continua.

Por el lema anterior, \(f^{-1}\) es monótona y su imagen es el intervalo \(I\), luego \(f^{-1}\) es continua por el teorema 2.

Corolario 2.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua e inyectiva. Entonces \(f^{-1}\) es continua.

Por el teorema 1, \(f\) es estrictamente monótona luego, por el corolario anterior, \(f^{-1}\) es continua.

Ejercicios

1. Sea \(f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por

\[f(x)=\frac{2x}{1+|x|}\,,\forall\,x\in[-1,1]\]

Determínese la imagen de \(f\).

La función también la podemos escribir así:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  \displaystyle \frac{2x}{1-x} & \text{si} & -1\leqslant x<0\\
                  \displaystyle \frac{2x}{1+x} & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant 1
                \end{array}
  \right.\]

Las restricciones de \(f\) a los intervalos \([-1,0)\) y \([0,1)\) son claramente continuas por ser funciones racionales. Así, \(f\) es continua en todo punto excepto, eventualmente, en cero. Pero si \(\{x_n\}\) es una sucesión de puntos de \([-1,1]\) convergente a cero, cualquiera de las sucesiones \(\{\frac{2x_n}{1-x_n}\}\), \(\{\frac{2x_n}{1+x_n}\}\) también convergen a cero. Por tanto, \(f\) es continua en todo punto del intervalo \([-1,1]\).

Sea ahora \(x\,,y\in[-1,0)\). Entonces

\[f(x)=f(y)\Leftrightarrow\frac{2x}{1-x}=\frac{2y}{1-y}\Leftrightarrow2x(1-y)=2y(1-x)\Leftrightarrow x-xy=y-yx\Leftrightarrow x=y\]

De la misma forma, dados \(x\,,y\in[0,1]\) se tiene que

\[f(x)=f(y)\Leftrightarrow\frac{2x}{1+x}=\frac{2y}{1+y}\Leftrightarrow2x(1+y)=2y(1+x)\Leftrightarrow x+xy=y+yx\Leftrightarrow x=y\]

Lo anterior demuestra que las restricciones de \(f\) a los intervalos \([-1,0)\) y \([0,1)\) son inyectivas, luego ambas estrictamente monótonas (teorema 1). Pero \(f(-1)=-1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\). Esto indica que \(f\) es estrictamente creciente en el intervalo \([-1,1]\) y que la imagen de la función \(f\) es también el intervalo \([-1,1]\).

2. Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \(\mathbb{R}\). Probar que si la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) es monótona, entonces \(f\) es monótona.

Supongamos que la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) es creciente. Sean \(x\,,y\in\mathbb{R}\) en la situación \(x<y\). Entonces existen sucesiones \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\) convergentes a \(x\) e \(y\) respectivamente y cumpliendo que \(x_n\,,y_n\in\mathbb{Q}\,,x_n<x<y<y_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Entonces \(f(x_n)\leqslant f(y_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Al ser \(f\) continua, la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) también lo es y por tanto \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x)\) y \(\{f(y_n)\}\rightarrow f(y)\). Entonces \(f(x)\leqslant f(y)\) (ver proposición 5 del artículo dedicado a las sucesiones acotadas y a las propiedades de las sucesiones convergentes) y, por tanto, \(f\) es creciente.

3. Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función inyectiva. Analícese la relación entre las siguientes afirmaciones.

i) \(f\) es continua.

ii) \(f(I)\) es un intervalo.

iii) \(f\) es estrictamente monótona.

iv) \(f^{-1}\) es continua.

i) \(\Rightarrow\) ii) por el teorema del valor intermedio.

i) \(\Rightarrow\) iii) por el teorema 1.

i) \(\Rightarrow\) iv) por el corolario 2.

La afirmación ii) no implica necesariamente la i) pues la función \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x & \text{si} & 0\leqslant x<1\\
                  3-x & \text{si} & 1\leqslant x\leqslant 2
                \end{array}
  \right.\]

es inyectiva y su imagen es el intervalo \([0,2]\), pero no es continua en \(x_0=1\) (ver figura siguiente).

trozos 01

La afirmación ii) no implica necesariamente la iii). La misma función anterior puede servir de contraejemplo.

La afirmación ii) tampoco implica la iv) y sigue sirviendo la misma función anterior como contraejemplo. Es fácil comprobar que \(f^{-1}=f\), que no es continua en \(x_0=1\).

De iii) no se deduce i). La función \(g:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x & \text{si} & 0\leqslant x<1\\
                  1+x & \text{si} & 1\leqslant x\leqslant 2
                \end{array}
  \right.\]

es estrictamente creciente (luego inyectiva) y no es continua en el punto \(x_0=1\) (ver figura siguiente).

trozos 02

De iii) tampoco se deduce ii) y la misma función anterior sirve de contraejemplo: obsérvese que la imagen de la función \(g\) es el conjunto \([0.1]\cup[2,3]\), que no es un intervalo.

iii) \(\Rightarrow\) iv) por el corolario 1.

La afirmación iv) no implica ninguna de las afirmaciones anteriores.

De las afirmaciones ii) y iii) se deduce la afirmación i) por el teorema 2 y, por tanto, también la afirmación iv), pues i) \(\Rightarrow iv)\).

De las afirmaciones ii) y iv) se deduce la afirmación i) pues si \(f\) es inyectiva también lo es \(f^{-1}\) y al ser ésta continua y estar definida en \(f(I)\), que es un intervalo, se tiene que la inversa de \(f^{-1}\), o sea \(f\), es continua (corolario 1). De estas dos afirmaciones se deduce también iii) ya que i) \(\Rightarrow\) iii).

De iii) y iv) no se deduce necesariamente ni i) ni ii).


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Matemáticas básicas para el acceso a la Universidad

Matemáticas básicas para el acceso a la Universidad es el título de un libro cuyos autores son Ángel Manuel Ramos del Olmo y José María Rey Cabezas, profesores titulares de universidad en el Departamento de Matemática aplicada de la Universidad Complutense de Madrid (UCM).


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Me ha parecido un libro muy completo, en el que se exponen de manera clara y eficaz todos los contenidos matemáticos necesarios para afrontar con matematicas basicasgarantías de éxito un grado de Ciencias, Tecnología o Ingeniería. El libro es altamente recomendable, como referencia matemática básica e integral, para todos aquellos alumos que deseen realizar algunos de los estudios mencionados. Además, el formato del libro es como el de un libro de matemáticas de universidad "de verdad". Lo que quiero decir con esto es que los libros de texto de secundaria y de bachillerato no tienen el aspecto de los libros de matemáticas con los que el alumno se va a encontrar en la universidad. Estos últimos utilizan para su escritura \(\LaTeX\), que es un es un sistema de composición muy adecuado para realizar documentos científicos y matemáticos de alta calidad tipográfica. Con este sistema están escritas también las fórmulas y expresiones que aparecen en los artículos de este sitio Web dedicado a las matemáticas.

En el prefacio del libro se explican muy bien las intenciones del mismo. Por eso me ha parecido una buena idea transcribirlo tal cual.

Prefacio

Al entrar a la universidad los alumnos a menudo se encuentran con material que los profesores suponen que ya han estudiado y con la típica frase "esto ya lo habéis dado, ¿verdad?", con el correspondiente estrés que esto puede generar. Visto desde el otro lado, el profesor suele oír quejas de algunos estudiantes que afirman que no han recibido clases sobre este material en la enseñanza secundaria y/o en Bachillerato. Además, si se le ocurre formular la pregunta antes citada, en muchas ocasiones verá a los estudiantes removiéndose en sus asientos, miradas perdidas, un murmullo general... y algunas tímidas respuestas.

En este volumen estudiantes y profesores encontrarán una recopilación de material matemático de un nivel previo a la universidad que les puede servir para preparar pruebas de acceso a la universidad, como texto de base para (al menos) el primer año de carrera y como texto al que recurrir, a modo enciclopédico, cuando lo precisen, sin necesidad de buscar una colección de libros y apuntes de cursos anteriores.

El origen de esta obra es un curso de preparación para pruebas de acceso a la universidad que los autores estuvieron impartiendo durante varios años en la Universidad Complutense de Madrid. Es en ese curso y en la interacción con sus estudiantes, cuando surge la idea inicial de su redacción. Además, la experiencia de los autores como profesores en clases de Matemáticas en los primeros años de universidad y como correctores en las actuales pruebas de acceso les ha permitido observar las carencias y necesidades a nivel matemático de muchos estudiantes, lo cual ha terminado de perfilar y completar la mencionada idea inicial. En este sentido este libro puede ser de especial ayuda como texto básico de referencia en los cursos introductorios de Matemáticas Básicas que, cada vez más, se imparten en los grados de Ciencias, Tecnología e Ingeniería.

El texto está dividido en tres partes en las que se clasifican los contenidos que se abordan: I) Álgebra y Geometría, II) Análisis, III) Estadística y Probabilidad. Cada parte está dividida en varios capítulos en los que se desgranan los principales resultados y la mayoría de sus demostraciones, junto con numerosas gráficas y ejemplos ilustrativos. Se ha considerado conveniente incluir, para los lectores interesados, demostraciones de la mayoría de los resultados presentados, a pesar de que muchas de ellas no suelen aparecer en los libros de enseñanza secundaria y de Bachillerato. Cada capítulo termina con una sección de problemas y otra sección con las correspondientes soluciones, lo que permitirá al lector comprobar el grado de conocimiento que ha adquirido sobre los contenidos de cada capítulo.

La parte de Álgebra y Geometría se inicia con la introducción a los números reales y se termina con el estudio del espacio euclídeo y de las cónicas, pasando previamente por capítulos sobres sistemas de ecuaciones lineales, trigonometría...

La parte de Análisis se inicia con el estudio de las sucesiones y su convergencia y de las funciones reales de variable real. Se continúa con un capítulo sobre números complejos (que muchos estudiantes de universidad afirman desconocer, a pesar de su enorme utilidad e importancia... y de ser, supuestamente, parte de los contenidos de Bachillerato). Se termina con la parte dedicada al Cálculo (derivadas e integrales) y sus aplicaciones.

Por último, la parte de Estadística y Probabilidad está dividida en tres capítulos. En el primero se estudia el Análisis Combinatorio, y muestra técnicas para facilitar el recuento de casos o cosas, necesario en muchas situaciones científicas y técnicas para facilitar el recuento de casos o cosas, necesario en muchas situaciones científicas cotidianas. El segundo capítulo esta dedicado a la Estadítica Descriptiva (sólo en el caso unidimensional) y presenta herramientas que permitan asimilar de una forma razonable grandes cantidades de información. En el tercer y último capítulo se presentan las nociones básicas de la teoría de la Probabilidad, con el objetivo de disponer de herramientas básicas que sirvan a la hora de intentar sacar conclusiones sobre lo que puede ocurrir en fenómenos o experimentos aleatorios.

Os dejo además, aquí y aquí, dos enlaces donde podréis encontrar más información sobre el libro.

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5 ejercicios diversos sobre cálculo integral

Ejercicio 1

Calcular \(f(x)\) de manera que \(f'(x)=\ln|4x^2-1|\) y \(f(0)=0\).

Ejercicio 2

Consideremos la función \(f:(0\,,2)\longrightarrow\mathbb{R}\) definida por:

\[f(x)=\begin{cases}-\ln x&\text{si}&0<x\leqslant 1\\-\ln(2-x)&\text{si}&1<x<2\end{cases}\]

Se pide:

  1. Estudiar la continuidad y derivabilidad de \(f\) en el punto \(x=1\).
  2. Representar aproximadamente la gráfica de \(f\).
  3. Calcular \(\displaystyle\int^2_0{f(x)\,dx}\).

Ejercicio 3

Encontrar una función \(f\) sabiendo que \(f(1)=0\) y que

\[f'(x)=\begin{cases}x&\text{si}&x<0\\ \displaystyle\frac{1}{x+1}-e^x&\text{si}&x\geqslant0\end{cases}\]

Ejercicio 4

Dada la siguiente función de la que se sabe que es continua:

\[f(x)=\begin{cases}a\ln(2-x)&\text{si}&x<3/2 \\b\,\text{sen}(\pi x)&\text{si}&3/2\leqslant x\leqslant2\\e^{bx/2}-4&\text{si}&x>2\end{cases}\]

Se pide:

  1. Encontrar \(a\) y \(b\).
  2. Estudiar la derivabilidad de \(f\).
  3. Hacer una representación gráfica aproximada de \(f\).
  4. Sea \(R\) el recinto limitado por la gráfica de \(f\) y las rectas verticales \(x=0\) y \(x=3\). Hallar el área de \(R\).

Ejercicio 5

Sea \(f\) una función derivable de la que se sabe que la curva \(y=f(x)\) pasa por los puntos \(\left(\dfrac{1}{2},\,1\right)\) y \((2,\,\ln8)\) y que en cada uno de sus puntos su pendiente es proporcional al valor absoluto del logaritmo neperiano de la absicas. Se pide:

  1. Determinar \(f\).
  2. Calcular \(\displaystyle\int^2_{0,5}{f(x)\,dx}\).
  3. Sea \(R\) el recinto limitado por la citada curva y las rectas \(y=1\), \(x=\dfrac{1}{2}\) y \(x=2\). Hallar el área de \(R\).
  4. Calcular el volumen generado al girar \(R\) alrededor del eje \(OX\).
  5. Calcular el volumen generado al girar \(R\) alrededor del eje \(OY\).

Calculemos las primitivas de \(\ln|4x^2-1|\). Para ello integraremos por partes:

\[\int{\ln|4x^2-1|\,dx}=\begin{bmatrix}u=\ln|4x^2-1|&\text{;}&\displaystyle du=\frac{8x}{4x^2-1}dx\\dv=dx&\text{;}&v=x\end{bmatrix}=\]

\[=x\ln|4x^2-1|-\int{\frac{8x^2}{4x^2-1}\,dx}\]

Para calcular la última intergral, hemos de dividir el numerador entre el denominador, obteniéndose de cociente \(2\) y de resto también \(2\) con lo que, como "dividendo es igual a divisor por cociente más el resto", tenemos:

\[8x^2=(4x^2-1)\cdot2+2\Rightarrow\frac{8x^2}{4x^2-1}=2+\frac{2}{4x^2-1}\]

Entonces:

\[\int{\frac{8x^2}{4x^2-1}dx}=\int{\left(2+\frac{2}{4x^2-1}\right)dx}=\]

\[2x+\int{\frac{2}{4x^2-1}dx}=2x+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{2x-1}{2x+1}\right|+C\]

La resolución de la última integral, \(\displaystyle\int{\frac{2}{4x^2-1}dx}\), la puedes ver aquí.

Por tanto:

\[f(x)=x\ln|4x^2-1|-2x-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{2x-1}{2x+1}\right|+C\]

y como \(f(0)=0\) resulta:

\[f(0)=0-0+0+c\Rightarrow c=0\]

Así, finalmente:

\[f(x)=x\ln|4x^2-1|-2x-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{2x-1}{2x+1}\right|\]

Para estudiar la continuidad en \(x=1\), calculamos los límites laterales:

\[\begin{cases}\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(-\ln x)=-\ln1=0=f(1)\\ \displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(-\ln(2-x))=-\ln1=0\end{cases}\]

Entonces, como \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}=f(1)\), se tiene que \(f\) es continua en \(x=1\).

Veamos las derivadas laterales:

\[f^{'}_{-}(x)=-\frac{1}{x}\Rightarrow f^{'}_{-}(1)=-1\quad\text{;}\quad f^{'}_{+}(x)=\frac{1}{2-x}\Rightarrow f^{'}_{+}(1)=1\]

Como \(f^{'}_-(1)\neq f^{'}_{+}(1)\), se tiene que \(f\) no es derivable en el punto \(x=1\).

La gráfica de la función \(f\) es la siguiente:

ejercicios integrales 01

Obsérvese que en el punto \(x=1\) la función, al no ser derivable, presenta un punto "anguloso" o en pico.

Como \(f(x)\) está definida a trozos, la integramos a trozos:

\[\int_0^2f(x)dx=\int_0^1f(x)dx+\int_1^2f(x)dx=\int_0^1-\ln x\,dx+\int_1^2-\ln(2-x)dx\]

Calculemos la primera de las dos últimas integrales definidas.

\[\int_0^1-\ln x\,dx=\left[x-x\ln x\right]_0^1=(1-1\cdot\ln1)-(0-\lim_{x\to0^+}x\ln x)=(1-0)-(0-0)=1\]

Para entender lo anterior hemos de explicar algunas cosas.

Hemos usado por un lado que \(\int-\ln xdx=x-x\ln x+C\), integral que se puede calcular fácilmente usando el método de integración por partes.

Por otro lado, puesto que el logaritmo neperiano no está definido en cero, hemos calculado el límite correspondiente, usando la regla de L'Hôpital:

\[\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}-x=0\]

Podríamos calcular la segunda integral definida por un procedimiento similar. Sin embargo, vamos a aprovechas el cálculo anterior mediante un cambio de variable.

\[\int-\ln(x-2)dx=\begin{bmatrix}y=2-x &\Rightarrow &dx=-dy \\  x=2&\Rightarrow&y=0 \\ x=1&\Rightarrow&y=1 \end{bmatrix}=\int_1^0-\ln y(-dy)=\int_0^1-\ln y\,dy=1\]

Por tanto, finalmente

\[\int_0^2f(x)dx=1+1\]

Obsérvese que el valor de la integral definida anterior coincide con el área de la región delimitada por la gráfica de la función \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=0\), \(x=2\) .

ejercicios integrales 02

Observemos que \(f\) es derivable en \(x=0\) por estar definida \(f'(0)=0\), de lo cual se deduce que \(f\) es continua en en \(x=0\). Integrando tenemos:

\[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2}{2}+C_1& \text{si}&x<0\\ \ln(x+1)-e^x+C_2&\text{si}&x\geq0 \end{cases}\]

De \(f(1)=0\) se deduce que \(\ln2-e+C_2=0\), o sea, \(C_2=e-\ln2\).

De la continuidad de \(f\) en \(x=0\) resulta que \(C_1=-1+C_2\), es decir, \(C_1=e-\ln2-1\).

Por tanto la función \(f\) que se pide es

\[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2}{2}+e-\ln2-1& \text{si}&x<0\\ \ln(x+1)-e^x+e-\ln2&\text{si}&x\geq0 \end{cases}\]

Como se sabe que \(f\) es continua tenemos que

\[\begin{cases}\displaystyle\lim_{x\to3/2^-}f(x)=\lim_{x\to3/2^-}a\ln(2-x)=a\ln(1/2)=-a\ln2 \\ \displaystyle\lim_{x\to3/2^+}f(x)=\lim_{x\to3/2^+}b\,\text{sen}(\pi x)=-b\end{cases}\Rightarrow a\ln2=b\]

\[\begin{cases}\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}b\,\text{sen}(\pi x)=0 \\ \displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(e^{bx/2}-4)=e^b-4\end{cases}\Rightarrow e^b-4=0\]

De lo anterior se deduce que \(e^b-4=0\Rightarrow e^b=4\Rightarrow b=\ln 4=\ln2^2\Rightarrow b=2\ln 2\), y que \(a\ln2=b\Rightarrow a=2\).

De este modo la función queda de la forma

\[f(x)=\begin{cases}2\ln(2-x)&\text{si}&x<3/2 \\2\ln 2\cdot\text{sen}(\pi x)&\text{si}&3/2\leqslant x\leqslant2\\2^x-4&\text{si}&x>2\end{cases}\]

Si exceptuamos los puntos \(x=\dfrac{3}{2}\) y \(x=2\), la derivada de \(f\) es

\[f'(x)=\begin{cases}\frac{-2}{2-x}&\text{si}&x<3/2 \\2\pi\ln 2\cdot\cos(\pi x)&\text{si}&3/2< x<2\\2^x\cdot\ln2&\text{si}&x>2\end{cases}\]

Es muy fácil darse cuenta de que la derivada por la izquierda en \(\dfrac{3}{2}\) no coincide con la derivada por la derecha en \(\dfrac{3}{2}\). Del mismo modo la derivada por la izquierda en \(x=2\) no coincide con la derivada por la derecha en \(x=2\). Por tanto \(f\) no es derivable ni en \(x=\dfrac{3}{2}\) ni en \(x=2\).

La representación gráfica de \(f\) es:

ejercicios integrales 03

 El recinto \(R\) del que se pide el área queda de la siguiente manera:

ejercicios integrales 04

Obsérvese que el recinto \(R\) queda dividido claramente en cuatro regiones, dos por encima y dos por debajo del eje \(X\). Por tanto su área \(A\) será igual a

\[A=\int_0^1f(x)dx+\left|\int_1^{3/2}f(x)dx\right|+\left|\int_{3/2}^2f(x)dx\right|+\int_2^3f(x)dx\]

Calculemos primero las integrales indefinidas correspondientes:


\[\int2\ln(2-x)dx=2\int\ln(2-x)dx=\begin{bmatrix}
u=\ln(2-x)&\Rightarrow &\displaystyle du=\frac{-1}{2-x}dx \\
dv=dx&\Rightarrow &v=x
\end{bmatrix}=\]

\[=2x\ln(2-x)+2\int\frac{x}{2-x}dx=2x\ln(2-x)+2\int\left(-1+\frac{2}{2-x}\right)dx=\]

\[=2x\ln(2-x)-2x-4\ln(2-x)+C=(2x-4)\ln(2-x)-2x+C\]


\[\int2\ln2\cdot\text{sen}(\pi x)dx=-\frac{2\ln2}{\pi}\cos(\pi x)+C\]


\[\int(2^x-4)dx=\frac{2^x}{\ln 2}-4x+C\]


Por tanto:

\[\int_0^1f(x)dx=\int_0^1 2\ln(2-x)dx=\left[(2x-4)\ln(2-x)-2x\right]_0^1=(0-2)-(-4\ln 2)=4\ln2-2\]

\[\int_1^{3/2}f(x)dx=\int_1^{3/2}2\ln(2-x)dx=\left[(2x-4)\ln(2-x)-2x\right]_1^{3/2}=(\ln2-3)-(0-2)=\ln2-1\]

\[\int_{3/2}^2 2\ln2\cdot\text{sen}(\pi x)dx=\left[-\frac{2\ln2}{\pi}\cos(\pi x)\right]_{3/2}^2=-\frac{2\ln 2}{\pi}\]

\[\int_2^3(2^x-4)dx=\left[\frac{2^x}{\ln 2}-4x\right]_2^3=\left(\frac{8}{\ln2}-12\right)-\left(\frac{4}{\ln2}-8\right)=\frac{4}{\ln2}-4\]

Así pues, el área del recinto \(R\) es

\[A=4\ln2-2+|\ln2-1|+\left|-\frac{2\ln2}{\pi}\right|+\frac{4}{\ln2}-4=\]

\[=4\ln2-2+1-\ln2+\frac{2\ln2}{\pi}+\frac{4}{\ln2}-4=\]

\[=\left(3+\frac{2}{\pi}\right)\ln2+\frac{4}{\ln2}-5\,\text{uds}^2\approx3.29\,\text{uds}^2\]

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Apuntes y ejercicios de derivadas. Matemáticas aplicadas a las CCSS I.

En estos apuntes esquemáticos se desarrollan los contenidos correpondientes a la parte de derivadas en la materia de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I. También se incluye una relación de ejercicios con la solución final de cada uno de ellos. Esta relación contiene aplicaciones de las derivadas a la economía.

Derivadas. Matemáticas aplicadas a las CCSS I

  • Tabla de derivadas.
  • Propiedades de las derivadas. Reglas de derivación.
  • Ejemplos: ejercicios resueltos de cálculo de derivadas.
  • Recta tangente a una función en un punto.
  • Ejemplo: ejercicio resuelto de cálculo de la recta tangente a una función en un punto.
  • Monotonía y extremos relativos de una función.
  • Cálculo práctico del crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de una función.
  • Ejemplo: ejercicio resuelto donde se estudia, entre otras cosas, la monotonía y extremos relativos de una función. Representación gráfica.

Apuntes de derivadas

Relación de ejercicios de derivadas


También puedes hacer clic aquí para obtener más materiales de matemáticas para el bachillerato.

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Integrales indefinidas propuestas en Selectividad

En los exámenes de Selectividad (PAEG) de Matemáticas II que la Universidad de Castilla-La Mancha ha propuesto durante estos últimos años, han aparecido, como es natural, muchos ejercicios de cálculo de integrales indefinidas. Para resolverlas, o bien la integral es inmediata, o bien se utilizan alguno de los métodos vistos durante el curso en Matemáticas II: sustitución o cambio de variable, integración por partes, integración de funciones racionales con raíces simples o múltiples en el denominador, etcétera. Al cálculo de integrales indefinidas también se le llama cálculo de primitivas. Si quieres repasar la teoría puedes estudiar o repasar estos apuntes sobre integral indefinida y métodos de integración.

Pues bien, volviendo a las integrales indefinidas propuestas en Selectividad te dejamos aquí una página Web con muchas de ellas y su solución final.


Integrales indefinidas propuestas en Selectividad

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Integrales indefinidas. Cálculo de primitivas (I)

Utilizando distintos métodos de integración se resuelven muchas integrales al nivel de 2º de Bachillerato Científico-Técnico (en la materia de Matemáticas II).

Las que siguen contienen senos y cosenos y una técnica común es utilizar el método de integración por partes.

\[\int{\cos^2x\,dx=\begin{bmatrix}u=\cos x&\text{;}&du=-\text{sen}\,x\,dx\\dv=\cos x\,dx&\text{;}&v=\text{sen}\,x\end{bmatrix}}=\]

\[=\text{sen}\,x\cos x+\int{\text{sen}^2x\,dx}=\text{sen}\,x\cos x+x-\int{\cos^2x\,dx}\Rightarrow\]

\[2\int{\cos^2x\,dx}=x+\text{sen}\,x\cos x\Rightarrow\int{\cos^2x\,dx}=\frac{x+\text{sen}\,x\cos x}{2}+C\]

Hay otra forma más rápida de hacer esta integral, pero hemos de recordar una fórmula trigonométrica: 

\[\cos 2x=\cos^2x-\text{sen}^2x\Rightarrow\cos 2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\cos2x=2\cos^2x-1\Rightarrow\cos^2x=\frac{\cos2x+1}{2}\]

Entonces:

\[\int{\cos^2x\,dx}=\int{\frac{\cos2x+1}{2}\,dx}=\int{\frac{1}{2}\,dx}+\int{\frac{\cos2x}{2}\,dx}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\int{\cos^2x\,dx}=\frac{x}{2}+\frac{\text{sen}\,2x}{4}+C=\frac{x+\text{sen}\,x\cos x}{2}+C\]

Utilizando lo anterior:

\[\int{\text{sen}^2x\,dx}=\int{(1-\cos^2x)\,dx}=\int{1\,dx}-\int{\cos^2x\,dx}\Rightarrow\]

\[\int{\text{sen}^2x\,dx}=x-\frac{x+\text{sen}\,x\cos x}{2}+C=\frac{x-\text{sen}\,x\cos x}{2}+C\]

Otra integral fácil de hacer por partes es la siguiente:

\[\int{x\cos x\,dx}=\begin{bmatrix}u=x&\text{;}&du=dx\\dv=\cos x\,dx&\text{;}&v=\text{sen}\,x\end{bmatrix}=\]

\[=x\,\text{sen}\,x-\int{\text{sen}\,x\,dx}\Rightarrow\int{x\cos x\,dx}=x\,\text{sen}\,x+\cos x+C\]

De manera completamente análoga a la anterior:

\[\int{x\,\text{sen}\,x\,dx}=-x\cos x+\text{sen}\,x+C\]

Y, de momento, la última. Esta es inmediata.

\[\int{\text{sen}\,x\cos x\,dx}=\frac{\text{sen}^2x}{2}+C\]


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