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Pitágoras

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Releyendo el libro Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas de Antonio J. Durán, el cual recomiendo, me encuentro con un pasaje importante para ver el gran paso que, en las matemáticas, se dio en el mundo griego, en particular en la época de Pitágoras. Lo expongo a continuación.

Los matemáticos babilónicos habían descubierto el secreto que liga las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo muchos siglos antes de Pitágoras.

Sabían que si los catetos de un triángulo rectángulo miden \(3\) y \(4\) entonces su hipotenusa mide \(5\); y si estos miden \(119\) y \(120\), entonces la hipotenusa mide \(169\); o si miden \(65\) y \(42\), entonces la hipotenusa mide \(97\).

Sin embargo, a partir de los primeros matemáticos griegos, y Pitágoras fue el más importante de ellos, además de descubrir secretos ocultos, el matemático tiene que hacer algo más: tiene que "demostrar" la veracidad de ese secreto que dice haber encontrado. Pitágoras y sus seguidores propusieron algo que no se ha encontrado en las matemáticas babilónicas: primero afirmaron que la relación entre los catetos y la hipotenusa no sólo se da en unos cuantos triángulos rectángulos, sino en todos los triángulos rectángulos que puedan existir y, segundo, proporcionaron una "demostración" de ese hecho.

Es muy posible que los matemáticos babilónicos midieran, de manera más o menos aproximada, los dos catetos y luego la hipotenusa para verificar la relación entre ellos. Pitágoras, en cambio, se cuestionó si esa propiedad era cierta en todos los triángulos rectángulos. Esto es algo muy ambicioso; y hay, además, algo raro y pretencioso en plantearse si la propiedad vale o no en "todos" los triángulos rectángulos. Puesto que es evidente que no puedo dibujar y medir todos los triángulos rectángulos, ¿cómo saber entonces que la propiedad se verifica en todos? Pitágoras hizo entonces otra propuesta ciertamente singular, aunque consecuente con su pretensión: para que este tipo de afirmaciones ambiciosas se puedan tomar en serio, hay que justificarlas adecuadamente, dar algún tipo de razón que vaya más allá de comprobar lo que ocurre en unos cuantos casos particulares.

Y una justificación adecuada es un razonamiento que nos convenza, fuera de toda duda, de la verdad de nuestra afirmación. Es algo cualitativamente muy diferente a la comprobación de unos cuantos casos. Esa exigencia que los matemáticos griegos se impusieron hace que sus matemáticas tengan un olor y un sabor muy distinto al que tenían las matemáticas de babilonios y egipcios. Y ese oler y ese saber distinto nos está señalando algo fundamental: que los griegos parieron unas matemáticas distintas, cualitativamente distintas, a las que hicieron otras culturas anteriores. Unas matemáticas muchísimo más sofisticadas y ambiciosas, y cuyas características son prácticamente idénticas a las que nosotros seguimos haciendo hoy en día.

Esto quedará más claro con un ejemplo, con una justificación adecuada del teorema de Pitágoras. O con una "demostración", que es la palabra que empleamos los matemáticos para referirnos a una "justificación adecuada". En esta presentación, sin palabras, sólo imágenes, tienes una demostración del teorema de Pitágoras.

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