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Números complejos. Módulo y argumento

Los números complejos

Se llama número complejo a todo par ordenado de números reales. El conjunto de los números complejos se denota por \(\mathbb{C}\),

\[\mathbb{C}=\{(x,y)\ :\ x,y\in\mathbb{R}\}\]

Por consiguiente, en cuanto que conjuntos (considerados sin estructura), \(\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2\). Dado un número complejo \(z=(x,y)\), se llama \emph{parte real} de \(z\), y se denota \(\text{Re}\,z\), a su primera coordenada; mientras que se llama parte imaginaria de \(z\), y se denota por \(\text{Im}\,z\), a su segunda coordenada. Resumiendo,

\[\text{Re}\,z:=x\quad;\quad\text{Im}\,z:=y\]

Dados dos números complejos

\[z_1=(x_1,y_1)\quad;\quad z_2=(x_2,y_2)\]

se define su suma, \(z_1+z_2\), y su producto \(z_1z_2\), por

\[z_1+z_2:=(x_1+x_2,y_1+y_2)\quad;\quad z_1z_2:=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2)\qquad(1)\]

Es sencillo comprobar que la suma y el producto son operaciones que dotan al conjunto \(\mathbb{C}\) de estructura de cuerpo, el denominado cuerpo de los números complejos o, simplemente, cuerpo complejo.

Es importante tener en cuenta que, aunque estén formados por los mismos elementos, \(\mathbb{C}\) y \(\mathbb{R}^2\) poseen diferente estructura algebraica y que por lo tanto \(\mathbb{C}\neq\mathbb{R}^2\), porque al escribir \(\mathbb{R}^2\) siempre se sobreentiende que estamos considerando al conjunto de los pares ordenados de números reales con su conocida estructura de espacio vectorial (o afín), mientras que al escribir \(\mathbb{C}\) estaremos considerando a los pares ordenados de números reales en cuanto que elementos del cuerpo complejo.

A los números complejos con parte imaginaria nula se los denomina reales puros, mientras que aquellos cuya parte real es nula reciben el nombre de imaginarios puros. Denominaciones justificadas por el hecho de que las siguientes relaciones

\[(x_1,0)+(x_2,0)=(x_1+x_2,0)\quad;\quad(x_1,0)(x_2,0)=(x_1x_2,0)\]

demuestran que la aplicación

\[\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\ ,\ x\mapsto(x,0)\]

establece un isomorfismo de cuerpos entre el cuerpo real \(\mathbb{R}\) y el subcuerpo de \(\mathbb{C}\) constituido por los números complejos con parte imaginaria nula. En la práctica, se efectúa la siguiente identificación:

\[x=(x,0)\ ,\ x\in\mathbb{R}\qquad(2)\]

En particular, \(\mathbb{R}\) es un subcuerpo de \(\mathbb{C}\). Obsérvese que, en virtud de la identificación anterior, para cada \(y\in\mathbb{R}\)

\[(0,y)=(0, 1)(y,0)=(0,1)y\]

y que además

\[(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1\qquad(3)\]

propiedad que jamás satisface un número real (no existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a \(-1\)). Gracias a la propiedad anterior el cuerpo complejo es algebraicamente cerrado. Por algebraicamente cerrado queremos decir que cualquier polinomio de grado \(n\geq1\) con coeficientes complejos posee al menos una raíz. Por verificarse (3), al número complejo \((0,1)\) se lo denomina unidad imaginaria compleja. En lo sucesivo lo notaremos por \(i\),

\[i:=(0,1)\]

En términos de la unidad imaginaria, cualquier número complejo admite la siguiente expresión en forma binómica:

\[(x,y)=x+iy\ ,\ (x,y)\in\mathbb{C}\]

que es la habitualmente utilizada cuando se trabaja con números complejos, por ser la más versátil y cómoda desde el punto de vista operacional.

 Al igual que en cualquier cuerpo, en \(\mathbb{C}\) podemos restar y dividir por números no nulos:

\[z-w=z+(-w)\ ,\ z,w\in\mathbb[{C}\]

\[\frac{z}{w}:=zw^{-1}\ ,\ z,w\in\mathbb{C}\ ,\ w\neq0\]

donde \(-w\) es el opuesto de \(w\) y \(w^{-1}\) es su inverso. También podemos elevar números complejos a números enteros, verificándose las consabidas reglas de cálculo.

El conjunto de pares ordenados de números reales dotado con la suma compleja y el producto por números reales posee estructura de espacio vectorial real bidimensional, y por tanto es isomorfo a \(\mathbb{R}^2\). Es muy fácil comprobar que el conjunto \(\{1,\,i\}\) constituye una base de ese espacio. Por consiguiente, también podemos identificar \(\mathbb{C}\) con los vectores libres del plano \(\mathbb{R}^2\). Gracias a esta identificación, a \(\mathbb{R}^2\) se lo suele denominar plano complejo, o plano de Gauss, por atribuirse a Gauss la paternidad de la idea de establecer una correspondencia entre los puntos del plano y los números complejos, aunque esa interpretación de los números complejos como puntos del plano se remonte al Algebra de Wallis, que apareció publicada en 1673, siglo y medio antes que el trabajo de Gauss, que fue publicado en 1831; en el siglo XIX era muy habitual atribuir cualquier nueva idea a Gauss, incluso si no lo era. Los ejes principales del plano complejo, \(y=0\) y \(x=0\), reciben el nombre de \emph{eje real} y \emph{eje imaginario}, respectivamente. Cuando, en vez de \(\mathbb{R}\), se considera a \(\mathbb{C}\) como cuerpo base, \(\mathbb{C}\) es un espacio vectorial complejo unidimensional y \(\{1\}\) es una base de ese espacio.

Módulo y argumento

Dado un número complejo \(z=x+iy\in\mathbb{C}\) se llama módulo de \(z\), y se denota por \(|z|\), a la longitud euclídea del vector libre \((x,y)\in\mathbb{R}^2\)

\[z:=\sqrt{x^2+y^2}\]

Obsérvese que el módulo de un número real es su valor absoluto. Cuando \(z\neq0\), llamaremos argumento principal de \(z\), y denotaremos por \(\text{Arg}\,z\), al único \(\theta\in[-\pi,\pi)\) que cumple

\[\theta=\arctan\frac{y}{x}\]

Evidentemente, \(\theta\) es uno de los posibles ángulos que forma el vector \((x,y)\) con el eje de abscisas en el plano de Gauss. Al conjunto de todos estos ángulos se le denomina \emph{argumento} de \(z\) y se lo denota \(\text{arg}\,z\). Por la propia definición,

\[\text{arg}\,z:=\{\text{Arg}\,z+2n\pi\ :\ n\in\mathbb{Z}\}\]

Obsérvese que el argumento no es una función propiamente dicha, sino una \emph{correspondencia multívoca}; correspondencia que posee una infinidad de determinaciones de entre las que nosotros hemos llamado \emph{principal} a aquella que toma valores en \([-\pi,\pi)\). Además, cuando \(z\neq0\) para cada \(\theta\in\text{arg}\,z\) se verifica que

\[z=|z|(\cos\theta+i\text{sen}\,\theta)\qquad(4)\]

De hecho la igualdad (4) también se cumple si \(z=0\), independientemente del valor de \(\theta\in\mathbb{R}\). Por ser

\[(|z|,\text{arg}\,z)\]

las coordenadas polares de \(z=(x,y)\), a la expresión (4) se la denomina forma polar del número complejo \(z\).

El siguiente resultado nos proporciona una importante propiedad del argumento

Lema (Propiedad del argumento).

Sean \(z,w\in\mathbb{C}-\{0\}\). Entonces,

\[\text{arg}(zw)=\text{arg}\,z+\text{arg}\,w\qquad(5)\]

Hagamos algunas consideraciones previas a la demostración.

La suma en el segundo miembro de (5) es una suma de conjuntos. En lo sucesivo, para cada \(\lambda\in C\) y \(A,B\subset C\) se define:

\[A+B:=\{a+b\,:\,a\in A\,,b\in B\}\quad,\quad \lambda A:=\{\lambda a\,:\,a\in A\}\]

Obsérvese que, en general, \(A+A\neq2A\). En efecto, si consideramos, por ejemplo,

\[A:=\text{arg}\,i=\left\{\frac{\pi}{2}+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\right\}\]

entonces

\[A+A={\pi+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}}\]

mientras que

\[2A={\pi+4n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}}\]

es un subconjunto propio de \(A+A\). En particular, gracias a (5),

\[\text{arg}\,i^2=\text{arg}\,i+\text{arg}\,i\neq2\text{arg}\,i\]

Por consiguiente, a partir de (5) obtenemos que para cada \(z\in\mathbb{C}-\{0\}\)

\[\text{arg}(z^2)=\text{arg}\,z+\text{arg}\,z\]

pero esto no significa que

\[\text{arg}(z^2)=2\text{arg}\,z\]

relación que en general es falsa. Obsérvese también que

\[\text{Arg}(i^2)=\text{Arg}(-1)=-\pi\]

mientras que

\[\text{Arg}\,i+\text{Arg}\,i=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi\]

Por consiguiente, en general

\[\text{Arg}(zw)\neq\text{Arg}\,z+\text{Arg}\,w\]

aunque pueda existir algún caso especial donde esa igualdad sea cierta; por ejemplo, cuando \(z\) y \(w\) son reales positivos.

Sean \(\theta\in\text{arg}\,z\) y \(\varphi\in\text{arg}\,w\). Entonces,

\[\text{arg}\,z=\{\theta+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\}\quad,\quad\text{arg}\,w=\{\varphi+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\}\]

y

\[\begin{array}{rl}
    zw & =|z||w|(\cos\theta+i\text{sen}\,\theta)(\cos\varphi+i\text{sen}\,\varphi) \\
     & =|z||w|\left(\cos(\theta+\varphi)+i\text{sen}\,(\theta+\varphi)\right)
  \end{array}\]

Por lo tanto, \(\theta+\varphi\in\text{arg}(zw)\) y

\[\begin{array}{rl}
  \text{arg}(zw) & =\{\theta+\varphi+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\} \\
   & =\{\theta+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\}+\{\varphi+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\} \\
   & =\text{arg}\,z+\text{arg}\,w
\end{array}\]

Definición (Conjugación).

Para cada \(z=x+iy\in\mathbb{C}\) se llama conjugado de \(z\), y se denota por \(\overline{z}\), al número complejo

\[\overline{z}:=x-iy\]

El conjugado de \(z\), \(\overline{z}\), es el simétrico de \(z\) en el plano complejo con respecto del eje real. Evidentemente, \(\overline{0}=0\) y, si \(z\neq0\), \(\overline{z}\) está caracterizado por las relaciones

\[|\overline{z}|=|z|\quad,\quad\text{Arg}\,\overline{z}=-\text{Arg}\,z\qquad(6)\]

Proposición (Propiedades de la conjugación).

La conjugación verifica las siguientes propiedades:

a) Para cada \(z\in\mathbb{C}\),

\[\text{Re}\,z=\frac{z+\overline{z}}{2}\quad,\quad\text{Im}\,z=\frac{z-\overline{z}}{2i}\]

b) Para cada \(x\in\mathbb{R}\), \(\overline{x}=x\).

c) Para cada \(z\in\mathbb{C}\), \(\overline{\overline{z}}=z\).

d) Para cada \(z,w\in\mathbb{C}\),

\[\overline{zw}=\overline{z}\ \overline{w}\quad,\quad\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}\]

En toda la demostración serán \(z=a+ib\), \(w=c+id\), donde \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\).

a) \(z+\overline{z}=a+ib+a-ib=2a\), de donde \(\text{Re}\,z=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\), ya que \(a=\text{Re}\,z\). Por otro lado, \(z-\overline{z}=a+ib-a+ib=2ib\), de donde \(\text{Im}\,z=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\), ya que \(b=\text{Im}\,z\).

b) Es trivial, pues si \(x\in\mathbb{R}\), entonces \(\ x=x+i0=x-i0=\overline{x}\).

c) Como \(\overline{z}=a-ib\), entonces \(\ \overline{\overline{z}}=a-(-ib)=a+ib=z\).

d) \(zw=(ac-bd)+i(ad+bc)\Rightarrow\overline{zw}=(ac-bd)-i(ad+bc)=(a-ib)(c-id)=\overline{z}\ \overline{w}\).

\(z+w=(a+c)+i(b+d)\Rightarrow\overline(z+w)=(a+c)-i(b+d)=(a-ib)+(c-id)=\overline{z}+\overline{w}\).

La proposición anterior se resume diciendo que la conjugación es un automorfismo idempotente de \(\mathbb{C}\).

Proposición (Propiedades del módulo).

El módulo verifica las siguientes propiedades:

a) Para cada \(z\in\mathbb{C}\), \(|z|^2=z\overline{z}\).

b) Para cada \(z\in\mathbb{C}\), \(|z|\geq0\). Además, \(z=0\) si, y sólo si, \(z=0\).

c) Para cada \(z,w\in\mathbb{C}\), \(|zw|=|z||w|\).

d) Para cada \(z\in\mathbb{C}\) y \(w\in\mathbb{C}-{0}\), \(\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\).

e) Para cada \(z,w\in\mathbb{C}\), \(|z+w|\leq|z|+|w|\).

f) Para cada \(z,w\in\mathbb{C}\), \(||z|-|w||\leq|z-w|\).

Las propiedades b), c) y e), esta última conocida bajo el apelativo de \emph{desigualdad triangular}, por su significado geométrico, establece que \(|\cdot|\) es una norma en el espacio vectorial \(\mathbb{C}\); norma que dota a \(\mathbb{C}\) de estructura de espacio vectorial normado con distancia asociada

\[d(z,w):=|z-w|\ ,\ z,w\in\mathbb{C}\]

que es la distancia euclídea.

a) Sea \(z=x+iy\in\mathbb{C}\). Entonces,

\[z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=|z|^2\]

b) Sea \(z=x+iy\in\mathbb{C}\). Por definición,

\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geq0\]

Además, si \(z=0\) necesariamente \(x=y=0\) y por lo tanto \(z=0\).

c) Sean \(z,w\in\mathbb{C}\). Entonces, gracias a la parte a) y a la proposición anterior, obtenemos

\[|zw|^2=zw\overline{zw}=z\,\overline{z}\,w\,\overline{w}=|z|^2|w|^2\]

Por último, gracias a la parte a) y extrayendo raíces cuadradas,

\[|zw|=|z||w|\]

d) Sean \(z\in\mathbb{C}\) y \(w\in\mathbb{C}-{0}\). Entonces,

\[\left|\frac{z}{w}\right|=\left|\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}\right|=\frac{|z||\overline{w}|}{|w|^2}=\frac{|z|}{|w|}\]

e) Sean \(z,w\in\mathbb{C}\). Entonces,

\[\begin{array}{rl}
        |z+w|^2 & = (z+w)(\overline{z}+\overline{w})=z\overline{z}+w\overline{w}+z\overline{w}+w\overline{z} \\
         & = |z|^2+|w|^2+z\overline{w}+\overline{z\overline{w}}=|z|^2+|w|^2+2\text{Re}(z\overline{w})\\
         & \leq |z|^2+|w|^2+2|z\overline{w}|=\left(|z|+|w|\right)^2
      \end{array}\]

de donde extrayendo raíces cuadradas se obtiene la desigualdad triangular.

f) Sean \(z,w\in\mathbb{C}\). Entonces,

\[|z|=|z-w+w|\leq|z-w|+|w|\quad,\quad|w|=|w-z+z|\leq|w-z|+|z|\]

de donde se concluye que

\[\left||z|-|w|\right|\leq|w-z|=|z-w|\]

Ejercicios

1. Demostrar que para cada \(z\in\mathbb{C}\)

\[|\text{Re}\,z|+|\text{Im}\,z|\leq\sqrt{2}|z|\]

¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea \(z=x+iy\), con \(x,y\in\mathbb{R}\), es decir, \(x=\text{Re}\,z\), \(y=\text{Im}\,z\). Entonces

\[(\sqrt{2}|z|)^2=2|z|^2=2x^2+2y^2\]

Por otra parte

\[(|\text{Re}\,z|+|\text{Im}\,z|)^2=(|x|+|y|)^2=x^2+y^2+2|xy|\]

De lo anterior se deduce que

\[(\sqrt{2}|z|)^2-(|\text{Re}\,z|+|\text{Im}\,z|)^2=x^2+y^2-2|xy|=(|x|-|y|)^2\leq0\]

lo que implica que

\[(\sqrt{2}|z|)^2-(|\text{Re}\,z|+|\text{Im}\,z|)^2=x^2+y^2-2|xy|=(|x|-|y|)^2\leq0\]

2. Encontrar las soluciones de la ecuación \(\overline{z}^2=z^2\).

Sea \(z=x+iy\), con \(x,y\in\mathbb{R}\). Entonces

\[\overline{z}^2=(x-iy)^2=(x-iy)(x-iy)=(x^2-y^2)-2ixy\]

\[z^2=(x+iy)^2=(x+iy)(x+iy)=(x^2-y^2)+2ixy\]

Por tanto:

\[\overline{z}^2=z^2\Leftrightarrow-2ixy=2ixy\Leftrightarrow xy=0\Leftrightarrow x=0\ \ \text{o}\ \ y=0\]

Es decir \(\overline{z}^2=z^2\) si, y sólo si, \(z\) es real puro o imaginario puro.

3. Representar los siguientes conjuntos:

a) \(|z-1+i|=1\),

b) \(|z+i|\leq3\),

c) \(\text{Re}(\overline{z}-i)=2\),

d) \(|2z-i|=4\).

a) Como \(|z-1+i|=1\Leftrightarrow |(x-1)+i(y+1)|=1\Leftrightarrow(x-1)^2+(y+1)^2=1\), se trata de la circunferencia de centro el punto \((1,-1)\) y radio \(1\).

circulo1

b) Como \(|z+i|\leq3\Leftrightarrow|x+i(y+1)|\leq3\Leftrightarrow\sqrt{x^2+(y+1)^2}\leq3\Leftrightarrow x^2+(y+1)^2\leq3^2\), se trata del círculo de centro el punto \((0,-1)\) y radio \(3\).

circulo2

c) Como \(\text{Re}(\overline{z}-i)=2\Leftrightarrow\text{Re}(x-i(y+1))=2\Leftrightarrow x=2\), se trata de la recta vertical que pasa por el punto \((0,2)\), es decir, todos los números complejos de parte real igual a \(2\).

d) \(|2z-i|=4\Leftrightarrow|2x+i(2y-1)|=4\Leftrightarrow4x^2+(2y-1)^2=16\Leftrightarrow x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=4\). Se trata por tanto de la circunferencia de centro el punto \(\left(0,\dfrac{1}{2}\right)\) y radio 2.

circulo3

4. Demostrar que si \(|z|<1\) entonces

\[|\text{Im}(1-\overline{z}+z^2)|<3\]

Tenemos que \(z^2=x^2-y^2+2ixy\). Luego

\[1-\overline{z}+z^2=1-x+iy+x^2-y^2+2ixy=(x^2-y^2-x+1)+i(y+xy)\]

De este modo

\[|\text{Im}(1-\overline{z}+z^2)|=|y+xy|=|y(x+1)|=|y||x+1|\]

Puesto que \(|z|<1\), entonces

\[x^2+y^2<1\Rightarrow\begin{cases}-1<x<1\\-1<y<1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0<x+1<2\\|y|<1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} |x+1|<2\\|y|<1\end{cases}\]

Por tanto,

\[|\text{Im}(1-\overline{z}+z^2)|=|y||x+1|<1\cdot2=2<3\]

5. Determinar el argumento de los números complejos \(\dfrac{i}{-2-2i}\) y \(\dfrac{-2}{1+\sqrt{3}i}\).

a) En primer lugar tenemos que

\[z=\dfrac{i}{-2-2i}=\dfrac{i(-2+2i)}{(-2-2i)(-2+2i)}=\dfrac{-2-2i}{8}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}i\]

De aquí deducimos, teniendo en cuenta que \(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}i\ \) está situado en el tercer cuadrante, que el argumento principal de \(z\) es

\[\theta=\text{arctg}\dfrac{-1/4}{-1/4}=\text{arctg}\,1=-\dfrac{3\pi}{4}\]

Luego el argumento de \(z\) será:

\[\text{arg}\,z=\left\{-\frac{3\pi}{4}+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\right\}\]

b) En este caso

\[z=\dfrac{-2}{1+\sqrt{3}i}=\frac{-2(1-\sqrt{3}i)}{(1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)}=\frac{-2+2\sqrt{3}i}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\]

número complejo que se encuentra en el segundo cuadrante. Por tanto, el argumento principal de \(z\) es:

\[\theta=\text{arctg}\dfrac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=\text{arctg}(-\sqrt{3})=\dfrac{5\pi}{6}\]

Finalmente, el argumento de \(z\) será:

\[\text{arg}\,z=\left\{\frac{5\pi}{6}+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\right\}\]

Exámenes de Matemáticas II - Selectividad (EVAU) UCLM - Junio 2017

El día 8 de junio de 2017 se celebró el examen de Matemáticas II correspondiente a la Evaluación para el Acceso a la Universidad (EVAU o nueva Selectividad) propuesto por la Universidad de Castilla la Mancha. Las dos propuestas se desarrollan a continuación.

En este enlace podrás encontrar más pruebas de Matemáticas II correspondientes a los exámenes de Selectividad de años anteriores. Todas ellas contienen los ejercicios completamente resueltos. También puedes acceder desde el menú superior de esta Web, tal y como se indica en la siguiente imagen.

menu selectividad

Propuesta A

Ejercicio 1

Dada la función

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,\,x \le 2\\
 - {x^2} + bx - 9\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,x > 2
\end{array} \right.\]

a) Calcula razonadamente los parámetros \(a\) y \(b\) para que \(f(x)\) sea derivable en todo \(\mathbb{R}\).

b) Enuncia el teorema de Rolle y comprueba si, para los valores hallados en el apartado anterior, la función \(f(x)\) verifica las hipótesis del teorema en el intervalo \([-2,6]\).

a) Para que \(f\) sea continua en todo \(\mathbb{R}\) ha de ser continua en \(x=2\) (en el resto de puntos es continua por tratarse de funciones polinómicas). Para ello debe existir el límite de la función en \(x=2\) y coincidir con la imagen de la función en dicho punto. Y para que existe el límite en \(x=2\) deben existir los límites laterales y ser iguales. Es decir:

\[\left. \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + a} \right) = 4 + a = f\left( 2 \right)\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - {x^2} + bx - 9} \right) = 2b - 13
\end{array} \right\} \Rightarrow 4 + a = 2b - 13\]

La función derivada de \(f\), exceptuando el punto \(x=2\), es la siguiente:

\[f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,\,x < 2\\
 - 2x + b\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,\,x > 2
\end{array} \right.\]

Para que exista la derivada en \(x=2\) deben existir las derivadas laterales en dicho punto y ser iguales:

\[f'\left( {{2^ - }} \right) = f'\left( {{2^ + }} \right) \Rightarrow 4 =  - 4 + b \Rightarrow b = 8\]

Entonces

\[4 + a = 2 \cdot 8 - 13 \Rightarrow 4 + a = 3 \Rightarrow a =  - 1\]

Resumiento, para que \(f(x)\) sea derivable en todo \(\mathbb{R}\) debe ser \(a=-1\) y \(b=8\).

b) Enunciado del teorema de Rolle.

"Sea \(f\) una función continua en un intervalo cerrado \([a,b]\) y derivable en el abierto \((a,b)\). Si \(f(a)=f(b)\), existe algún punto \(c\in(a,b)\) tal que \(f'(c)=0\)".

Para los valores hallados en el apartado a) la función queda de la siguiente manera:

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,\,x \le 2\\
 - {x^2} + 8x - 9\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,x > 2
\end{array} \right.\]

Según se ha visto, la función anterior es continua y derivable en todo \(\mathbb{R}\), en particular será continua en \([-2,6]\) y derivable en \((-2,6)\). Además, \(f(-2)=3=f(6)\). Entonces se verifican todas las hipótesis del teorema de Rolle, con lo que debe existir \(c\in(-2,6)\) tal que \(f'(c)=0\).

Ejercicio 2

Con una chapa metálica de 8 × 5 metros se desea construir, cortando cuadrados en las esquinas, un cajón sin tapa de volumen máximo. Halla razonadamente las dimensiones de dicho cajón.

caja

Si cortamos cuadrados de lado \(x\) en las esquinas, los lados de la base de la caja medirán \(8-2x\) metros y \(5-2x\) metros, tal y como se aprecia en la figura anterior. La altura de la caja será pues de \(x\) metros. De este modo, el volumen de la caja vendrá dado por

\[V = x\left( {8 - 2x} \right)\left( {5 - 2x} \right) = 4{x^3} - 26{x^2} + 40x\]

Derivemos e igualemos a cero la derivada para extraer los posibles extremos de la función volumen:

\[V' = 12{x^2} - 52x + 40\quad;\quad V' = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 52x + 40 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{10}}{3}\\
x = 1
\end{array} \right.\]

Para decidir cuál de los dos es el máximo evaluemos en la segunda derivada, que es \(V''=24x-52\):

\(V''\left( {\dfrac{{10}}{3}} \right) = 24 \cdot \dfrac{{10}}{3} - 52 = 80 - 52 = 28 > 0\). Entonces \(x=\dfrac{10}{3}\) es un mínimo.

\(V''\left( 1 \right) = 24 \cdot 1 - 52 =  - 28 < 0\). Entonces \(x=1\) es un máximo.

Por tanto, las dimensiones del cajón para que el volumen sea máximo serán 7 × 4 metros de la base y 1 metro de altura.

Ejercicio 3

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lienales en función del parámetro \(a\in\mathbb{R}\)

\[\left. \begin{array}{l}
ax - y + z = a - 4\\
2x + y - az = a - 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y - z =  - 3
\end{array} \right\}\]

b) Resuélvelo razonadamente para el valor \(a=-1\).

a) La matriz de los coeficientes es

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&{ - 1}&1\\
2&1&{ - a}\\
0&1&{ - 1}
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es al menos dos pues contiene un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
0&1
\end{array}} \right| = 2 - 0 = 2 \ne 0\]

Además, \(\left| A \right| = \left( { - a + 2} \right) - \left( {2 - {a^2}} \right) = {a^2} - a\), de donde decucimos que \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 0\\
a = 1
\end{array} \right.\). Ahora podemos hacer las siguientes consideraciones según los valores del parámetro \(a\).

Si \(a\neq0\) y \(a\neq1\) el determinante de la matriz \(A\) es distinto de cero, con lo que \(rg\left( A \right) = 3 = rg\left( {A'} \right) = n\), donde \(A'\) denota la matriz ampliada y \(n\) el número de incógnitas del sistema. En este caso el sistema es compatible determinado (solución única).

Si \(a=0\) la matriz ampliada es \(A' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 1}&1&{ - 4}\\
2&1&0&{ - 1}\\
0&1&{ - 1}&{ - 3}
\end{array}} \right)\). Orlando con el menor \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
0&1
\end{array}} \right| = 2 - 0 = 2 \ne 0\), tenemos que \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 1}&{ - 4}\\
2&1&{ - 1}\\
0&1&{ - 3}
\end{array}} \right| =  - 8 - 6 =  - 14 \ne 0\). Por tanto, en este caso \(rg\left( A \right) = 2 \ne rg\left( {A'} \right) = 3\), con lo que el sistema es incompatible (no tiene soluciones).

Si \(a=1\) la matriz ampliada es \(A' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&1&{ - 3}\\
2&1&{ - 1}&0\\
0&1&{ - 1}&{ - 3}
\end{array}} \right)\). Volviendo a orlar con el menor \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
0&1
\end{array}} \right|\), tenemos que \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&{ - 3}\\
2&1&0\\
0&1&{ - 3}
\end{array}} \right| = \left( { - 3 - 6} \right) - 6 =  - 15 \ne 0\). En este caso volvemos a tener que \(rg\left( A \right) = 2 \ne rg\left( {A'} \right) = 3\), con lo que el sistema vuelve a ser incompatible.

b) Para \(a=-1\) el sistema es compatible determinado. Tenemos que \(\left| A \right| = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = 1 + 1 = 2\). Aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 5}&{ - 1}&1\\
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&{ - 1}
\end{array}} \right|}}{2} = \frac{{\left( {5 + 3 - 2} \right) - \left( { - 3 - 2 - 5} \right)}}{2} = \frac{{6 + 10}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{ - 5}&1\\
2&{ - 2}&1\\
0&{ - 3}&{ - 1}
\end{array}} \right|}}{2} = \frac{{\left( { - 2 - 6} \right) - \left( {10 + 3} \right)}}{2} = \frac{{ - 8 - 13}}{2} =  - \frac{{21}}{2}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{ - 1}&{ - 5}\\
2&1&{ - 2}\\
0&1&{ - 3}
\end{array}} \right|}}{2} = \frac{{\left( {3 - 10} \right) - \left( {6 + 2} \right)}}{2} = \frac{{ - 7 - 8}}{2} =  - \frac{{15}}{2}\]

Ejercicio 4

Dado el punto \(P(2,0,-1)\) y las rectas

\[r \equiv \frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{0}\quad;\quad s \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x - y + 2z + 4 = 0\\
x + z + 1 = 0
\end{array} \right.\]

a) Determina razonadamente la posicion relativa de las rectas \(r\) y \(s\).

b) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por \(P\) es paralelo a \(r\) y a \(s\).

a) Un punto y un vector director de la recta \(r\) son, respectivamente, \(A(2,-1,0)\) y \(\vec u = \left( { - 1,2,0} \right)\).

Las ecuaciones paramétricas de la recta \(s\) son \(s \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1 - \lambda \\
y = 3 + \lambda \\
z = \lambda
\end{array} \right.\). Entonces, un punto y un vector de la recta \(s\) son, respectivamente, \(B(-1,3,0)\) y \(\vec v = \left( { - 1,1,1} \right)\).

El rango de la matriz formada por los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) es \(rg\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec u}\\
{\vec v}
\end{array}} \right) = rg\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&2&0\\
{ - 1}&1&1
\end{array}} \right) = 2\), pues podemos encontrar un menor de orden dos distinto de cero, por ejemplo, \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&2\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| =  - 1 - \left( { - 2} \right) =  - 1 + 2 = 1 \ne 0\). Esto quiere decir que los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) tienen distinta dirección y, por tanto, las rectas \(r\) y \(s\) no pueden ser ni paralelas ni coincidentes.

Estudiemos ahora el rango de la matriz formada por los vectores \(\vec u\), \(\vec v\) y \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3,4,0} \right)\):

\[rg\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec u}\\
{\vec v}\\
{\overrightarrow {AB} }
\end{array}} \right) = rg\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&2&0\\
{ - 1}&1&1\\
{ - 3}&4&0
\end{array}} \right) = 3\]

ya que

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&2&0\\
{ - 1}&1&1\\
{ - 3}&4&0
\end{array}} \right| =  - 6 - \left( { - 4} \right) =  - 6 + 4 =  - 2 \ne 0\]

De lo anterior se deduce que los vectores \(\vec u\), \(\vec v\) y \(\overrightarrow {AB}\) son linealmente independientes, es decir, no pueden ser coplanarios, con lo que las rectas \(r\) y \(s\) no pueden ser secantes

Solamente queda una posiblidad: \(r\) y \(s\) se cruzan.

b) Para que el plano \(\pi\) que pasa por \(P(2,0,-1)\) sea paralelo a \(r\) y a \(s\), basta que tenga las direcciones de \(r\) y de \(s\), es decir:

\[\pi  \equiv \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 2}&y&{z + 1}\\
{ - 1}&2&0\\
{ - 1}&1&1
\end{array}} \right| = \left( {2x - 4 - z - 1} \right) - \left( { - 2z - 2 - y} \right) = 0 \Rightarrow \pi  \equiv 2x + y + z - 3 = 0\]

Ejercicio 5

a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50 %, el 30 % y el 20 % de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6 % de las resistencias producidas por A, el 5 % de las producidas por B y el 3 % de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia:

a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa.

a2) Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A.

b) Las resitencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de:

b1) Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B.

b2) Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B.

a) Llamemos \(A\), \(B\) y \(C\) a los sucesos "elegida una resistencia al azar, es producida por el operario A, B y C, respectivamente". Entonces \(P(A)=0,50\), \(P(B)=0,30\) y \(P(C)=0,20\).

Llamemos ahora \(D\) al suceso "la resistencia elegida es defectuosa". Entonces, según el enunciado, tenemos las siguientes probabilidades condicionadas: \(P\left( {D/A} \right) = 0,06\), \(P\left( {D/B} \right) = 0,05\), \(P\left( {D/C} \right) = 0,03\).

Usando el teorema de la probabilidad total tenemos que la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es:

\[P\left( D \right) = P\left( {D \cap A} \right) + P\left( {D \cap B} \right) + P\left( {D \cap C} \right) =\]

\[=P\left( A \right) \cdot P\left( {D/A} \right) + P\left( B \right) \cdot P\left( {D/B} \right) + P\left( C \right) \cdot P\left( {D/C} \right) =\]

\[ = 0,50 \cdot 0,06 + 0,30 \cdot 0,05 + 0,20 \cdot 0,03 = 0,03 + 0,015 + 0,006 = 0,051\]

Si es defectuosa, la probabilidad de que proceda del operario A viene dada por la siguiente probabilidad condicionada (teorema de Bayes):

\[P\left( {A/D} \right) = \frac{{P\left( {A \cap D} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {D/A} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{0,50 \cdot 0,06}}{{0,051}} = \frac{{0,03}}{{0,051}} \cong 0,588\]

b) Para calcular las probabilidades que se piden supondremos que se trata de un experimento binomial. Solo se pueden dar dos posibilidades: o la pieza está producida por B o no está producida por B. Tomaremos por éxito que la pieza esté producida por B. Entonces \(p=P(B)=0,30\). Además \(n=5\) pues las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Tenemos pues que la variable \(X\) número de éxitos (número de piezas producidas por B) sigue una distribución binomial \(B\left( {n,p} \right) = B\left( {5,\,\,\,0,30} \right)\). En general se tiene que

\[P\left( {X = r} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
r
\end{array}} \right){p^r}{\left( {1 - p} \right)^{n - r}}\]

La probabilidad de que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B es:

\[P\left( {X = 3} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
3
\end{array}} \right){0,3^3} \cdot {0,7^2} = 10 \cdot 0,027 \cdot 0,49 = 0,1323\]

La probabilidad de que en una caja haya al menos dos fabricadas por B es:

\[P\left( {X \ge 2} \right) = 1 - P\left( {X < 2} \right) = 1 - \left[ {P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right)} \right] = \]

\[ =1 - \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
0
\end{array}} \right){{0,3}^0} \cdot {{0,7}^5} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
1
\end{array}} \right){{0,3}^1} \cdot {{0,7}^4}} \right] = 1 - \left[ {0,16807 + 0,36015} \right] = 1 - 0,52822 = 0,47178\]

Propuesta B

Ejercicio 1

Calcula razonadamente los siguientes límites:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^3} + 3{x^2} - 4}}{{{x^3} + 5{x^2} + 8x + 4}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\ln \left( {x + 1} \right)}}{{2 - 2\cos x}}\)

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^3} + 3{x^2} - 4}}{{{x^3} + 5{x^2} + 8x + 4}} = \left[ {{\rm{Indeterminación}}\,\,\dfrac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} =\)

\(=\left[ {{\rm{Indeterminación}}\,\,\dfrac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = \dfrac{{ - 2 - 1}}{{ - 2 + 1}} = \dfrac{{ - 3}}{{ - 1}} = 3\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\ln \left( {x + 1} \right)}}{{2 - 2\cos x}} = \left[ {{\rm{Indeterminación}}\,\,\dfrac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{2\,{\rm{sen}}\,x}} = \left[ {{\rm{Indeterminación}}\,\,\dfrac{0}{0}} \right] = \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}}{{2\cos x}} = \dfrac{{1 + 1}}{{2 \cdot 1}} = \dfrac{2}{2} = 1\)

En este último apartado se ha hecho uso de la regla de L¡Hôpital (dos veces) para calcular el límite.

Ejercicio 2

Dadas las funciones \(f(x)=-x^2\) y \(g(x)=x^2-2x-4\)

a) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por sus gráficas.

b) Calcula razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(g(x)\) en el punto de abscisa \(x=-3\).

a) Calculemos en primer lugar las abscisas de los puntos en los que se cortan las gráficas de \(f(x)\) y \(g(x)\):

\[f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow  - {x^2} = {x^2} - 2x - 4 \Rightarrow 2{x^2} - 2x - 4 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 2
\end{array} \right.\]

Además, entre \(x=-1\) y \(x=2\) es \(f(x)\geqslant g(x)\) pues la inecuación \(-x^2\geqslant x^2-2x-4\) es equivalente a \(2x^2-2x-4\leqslant0\Leftrightarrow2(x+1)(x-2)\leqslant0\), cuya solución es precisamente el intervalo \([-1,2]\). Por tanto, el área \(A\) del recinto cerrado limitado por las gráficas de \(f\) y \(g\) viene dado por la siguiente integral definida:

\[\int_{ - 1}^2 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx}  = \int_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx}  = \left[ {\frac{{ - 2{x^3}}}{3} + {x^2} + 4x} \right]_{ - 1}^2 =\]

\[= \left( {\frac{{ - 16}}{3} + 4 + 8} \right) - \left( {\frac{2}{3} + 1 - 4} \right) = 9\,\,{\rm{ud}}{{\rm{s}}^2}\]

b) La recta normal a la gráfica de \(g(x)\) en el punto de abscisa \(x=-3\) es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. La recta tangente viene dada por \(y - g\left( { - 3} \right) = g'\left( { - 3} \right)\left( {x - \left( { - 3} \right)} \right)\). La derivada de la función \(g\) es \(g'(x)=2x-2\). Por tanto, \(g'(-3)=-8\). Como \(g(-3)=11\), tenemos que la recta tangente en \(x=-3\) es \(y-11=-8(x+3)\Rightarrow y=-8x-13\).

Dos puntos de esta recta son, por ejemplo, el \((-3,11)\) y el \((-2,3)\), luego un vector director suyo es \(\vec u=(1,-8)\). Un vector perpendicular al anterior es fácil de calcular, por ejemplo: \(\vec v=(8,1)\). Por tanto, la recta normal es la que pasa por el punto \((-3,11)\) y tiene dirección la del vector \(\vec v\):

\[\frac{{x + 3}}{8} = \frac{{y - 11}}{1} \Rightarrow 8y - 88 = x + 3 \Rightarrow x - 8y + 91 = 0\]

Este apartado se podría haber resuelto sabiendo que la pendiente de la recta normal es \(-\dfrac{1}{m}\) donde \(m\) es la pendiente de la recta tangente. Es decir, la pendiente de la recta normal en nuestro caso sería \(\dfrac{1}{8}\) y de aquí, la recta normal en \(x=-3\) es de la forma \(y=\dfrac{1}{8}x+n\). Como esta recta pasa por el punto \((-3,11)\) se tiene, sustituyendo, que

\[11 = \frac{1}{8} \cdot \left( { - 3} \right) + n \Rightarrow 88 =  - 3 + 8n \Rightarrow 8n = 91 \Rightarrow n = \frac{{91}}{8}\]

Por tanto, la recta que se busca es \(y=\dfrac{1}{8}x+\dfrac{91}{8}\) (esta es la ecuación afín o explícita de la recta). Si se pasa a general o implícita se obtiene \(x-8y+91=0\).

Ejercicio 3

Dadas las matrices

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&0\\
{ - 1}&0&0\\
1&2&{ - 1}
\end{array}} \right)\quad;\quad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0&1\\
2&{ - 1}&0\\
1&0&0
\end{array}} \right)\quad;\quad C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0\\
0&3&0\\
{ - 1}&0&{ - 1}
\end{array}} \right)\]

a) ¿Tiene inversa la matriz \(2I_3+B\)? Razona la respuesta. \(I_3\) es la matriz identidad de orden 3.

b) Calcula razonadamente la matriz \(X\) que verifica que \(2X+C=A-X\cdot B\).

a) \(2{I_3} + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&0\\
0&2&0\\
0&0&2
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0&1\\
2&{ - 1}&0\\
1&0&0
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
2&1&0\\
1&0&2
\end{array}} \right)\)

Sabemos que una matriz cuadrada tiene inversa si su determinante es distinto de cero. Como

\[\left| {2{I_3} + B} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
2&1&0\\
1&0&2
\end{array}} \right| = 2 - 1 = 1 \ne 0\]

resulta que, efectivamente, la matriz \(2{I_3} + B\) tiene inversa.

b) \(2X + C = A - X \cdot B \Rightarrow 2X + XB = A - C \Rightarrow X\left( {2{I_3} + B} \right) = A - C \Rightarrow\)

\(\Rightarrow X\left( {2{I_3} + B} \right){\left( {2{I_3} + B} \right)^{ - 1}} = \left( {A - C} \right){\left( {2{I_3} + B} \right)^{ - 1}} \Rightarrow X = \left( {A - C} \right){\left( {2{I_3} + B} \right)^{ - 1}}\)

La matriz adjunta de \(2{I_3} + B\) es \({\left( {2{I_3} + B} \right)^d} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 4}&{ - 1}\\
0&1&0\\
{ - 1}&2&1
\end{array}} \right)\).

La traspuesta de la adjunta es \({\left[ {{{\left( {2{I_3} + B} \right)}^d}} \right]^t} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&{ - 1}\\
{ - 4}&1&2\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right)\).

Por tanto, la matriz inversa es

\[{\left( {2{I_3} + B} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| {2{I_3} + B} \right|}}{\left[ {{{\left( {2{I_3} + B} \right)}^d}} \right]^t} = \frac{1}{1} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&{ - 1}\\
{ - 4}&1&2\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&{ - 1}\\
{ - 4}&1&2\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right)\]

Así pues:

\[X = X = \left( {A - C} \right){\left( {2{I_3} + B} \right)^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&0\\
{ - 1}&{ - 3}&0\\
2&2&0
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&{ - 1}\\
{ - 4}&1&2\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4&0&{ - 2}\\
{10}&{ - 3}&{ - 5}\\
{ - 4}&2&2
\end{array}} \right)\]

Ejercicio 4

a) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta, en su forma general o implícita, que contiene a los puntos \(P(0,1,-2)\) y \(Q(4,-3,0)\).

b) Encuentra razonadamente un punto que equidiste de \(P\) y \(Q\) y que pertenezca a la recta

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + \lambda \\
y =  - \lambda \\
z =  - 5
\end{array} \right.\quad\lambda\in\mathbb{R}\]

a) Un vector director de la recta es \(\vec u = \overrightarrow {PQ}  = \left( {4, - 4,2} \right)\). Podemos tomar como vector director uno proporcional al anterior más sencillo de manejar, por ejemplo \(\vec u=(2,-2,1)\). La ecuación de la recta en su forma continua es \(\dfrac{{x - 0}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{1}\), y en su forma general o implícita es

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - 2x = 2y - 2\\
x = 2z + 4
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y - 1 = 0\\
x - 2z - 4 = 0
\end{array} \right.\]

La ecuación general o implícita puede adoptar distintas maneras. Antes hemos eliminado denominadores igualando las razones primera y segunda por un lado, y primera y tercera, por otro. Pero si eliminamos denominadores con la primera y segunda, y con la segunda y tercera obtenemos:

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - 2x = 2y - 2\\
y - 1 =  - 2z - 4
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y - 1 = 0\\
y + 2z + 3 = 0
\end{array} \right.\]

b) Un punto \(A\) de \(r\) es siempre de la forma \(A\left( {2 + \lambda , - \lambda , - 5} \right)\). Si deseamos encontrar un punto de la recta \(r\) que equidiste (estar a la misma distancia) de \(P\) y \(Q\), se ha de cumplir que \(\left| {\overrightarrow {AP} } \right| = \left| {\overrightarrow {AQ} } \right|\). Tenemos que:

\[\overrightarrow {AP}  = \left( {2 + \lambda , - \lambda  - 1, - 3} \right)\quad;\quad \overrightarrow {AQ}  = \left( {\lambda  - 2, - \lambda  + 3, - 5} \right)\]

Por tanto:

\[\left| {\overrightarrow {AP} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 + \lambda } \right)}^2} + {{\left( { - \lambda  - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {4 + 4\lambda  + {\lambda ^2} + {\lambda ^2} + 2\lambda  + 1 + 9}  = \sqrt {2{\lambda ^2} + 6\lambda  + 14} \]

\[\left| {\overrightarrow {AQ} } \right| = \sqrt {{{\left( {\lambda  - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \lambda  + 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}}  = \sqrt {{\lambda ^2} - 4\lambda  + 4 + {\lambda ^2} - 6\lambda  + 9 + 25}  = \sqrt {2{\lambda ^2} - 10\lambda  + 38}\]

Y de aquí deducimos que:

\[\left| {\overrightarrow {AP} } \right| = \left| {\overrightarrow {AQ} } \right| \Rightarrow \sqrt {2{\lambda ^2} + 6\lambda  + 14}  = \sqrt {2{\lambda ^2} - 10\lambda  + 38}  \Rightarrow \]

\[\Rightarrow 2{\lambda ^2} + 6\lambda  + 14 = 2{\lambda ^2} - 10\lambda  + 38 \Rightarrow 16\lambda  = 24 \Rightarrow \lambda  = \frac{{24}}{{16}} = \frac{3}{2}\]

De este modo el punto buscado es:

\[A\left( {2 + \lambda , - \lambda , - 5} \right) = A\left( {2 + \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, - 5} \right) = A\left( {\frac{7}{2}, - \frac{3}{2}, - 5} \right)\]

Ejercicio 5

a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12 novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que:

a1) El libro elegido sea de matemáticas.

a2) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B.

b) El tiempo de espera en una parada del autobús se distribuye según distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos.

b1) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos.

b2) ¿Cuántos minutos de espera son superados por el 33 % de los usuarios? Razona la respuesta.

a) Llamemos \(A\) y \(B\) a los sucesos "elegir la estantería A o B", respectivamente. Entonces \(P(A)=P(B)=0,5\). Llamemos también \(N\), \(E\) y \(M\) a los sucesos "elegir una novela, elegir un ensayo o elegir un libro de matemáticas", respectivamente. Entonces, según el enunciado, tenemos las siguientes probabilidades condicionadas:

\[P\left( {N/A} \right) = \frac{{20}}{{40}} = 0,5\quad;\quad P\left( {E/A} \right) = \frac{{10}}{{40}} = 0,25\quad;\quad P\left( {M/A} \right) = \frac{{10}}{{40}} = 0,25\]

\[P\left( {N/B} \right) = \frac{{12}}{{20}} = 0,6\quad;\quad P\left( {M/B} \right) = \frac{8}{{20}} = 0,4\]

Según el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el libro elegido sea de matemáticas es:

\[P\left( M \right) = P\left( {M \cap A} \right) + P\left( {M \cap B} \right) =\]

\[=P\left( {M/A} \right) \cdot P\left( A \right) + P\left( {M/B} \right) \cdot P\left( B \right) = 0,25 \cdot 0.5 + 0,4 \cdot 0,5 = 0,325\]

Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, la probabilidad de que fuera de la estantería B viene dada por la siguiente probabilidad condicionada (teorema de Bayes):

\[P\left( {B/M} \right) = \frac{{P\left( {B \cap M} \right)}}{{P\left( M \right)}} = \frac{{P\left( {M/B} \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( M \right)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,5}}{{0,325}} = \frac{{0,2}}{{0,325}} \cong 0,615\]

b) Llamemos \(X\) a la variable "tiempo de espera". \(X\) se distribuye según una normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos. Simbólicamente \(X \to N\left( {15,\,\,5} \right)\). Por tanto, la variable \(Z = \dfrac{{X - 15}}{5}\) se distribuye según una normal de media 0 y desviación 1 (tipificación de la variable), cuyas probabilidades \(P\left( {Z \le a} \right)\) se pueden consultar en la tabla correspondiente a la distribución normal tipificada.

La probabilidad de esperar menos de 13 minutos viene dada por:

\[P\left( {X \le 13} \right) = P\left( {Z \le \frac{{13 - 15}}{5}} \right) = P\left( {Z \le  - 0,4} \right) = P\left( {Z \ge 0,4} \right) =\]

\[= 1 - P\left( {Z \le 0,4} \right) = 1 - 0,6554 = 0,3446\]

Para saber los minutos de espera que son superados por el 33 % de los usuarios, llamemos \(x\) al número de minutos y plantearemos la siguiente ecuación: \(P\left( {X \ge x} \right) = 0,33\). Ahora operamos teniendo en cuenta las propiedades de la distribución normal:

\[P\left( {X \ge x} \right) = 0,33 \Rightarrow 1 - P\left( {X \le x} \right) = 0,33 \Rightarrow P\left( {X \le x} \right) = 0,66 \Rightarrow P\left( {Z \le \frac{{x - 15}}{5}} \right) = 0,66 \Rightarrow\]

\[\Rightarrow \frac{{x - 15}}{5} = 0,41 \Rightarrow x - 15 = 2,05 \Rightarrow x = 17,5\]

Esto quiere decir que el 33 % de los usuarios superan los 17,5 minutos de espera.

Si deseas descargar las pruebas en formato PDF puedes buscarlas aquí.

Exámenes bachillerato Matemáticas II. Curso 2016-2017

A continuación os dejo unos enlaces con todos los exámenes de la materia Matemáticas II (2º de Bachillerato) que hemos realizado durante el curso 2016-2017. Espero que os sirvan para la preparación de la Selectividad a muchos, así como para preparar también, a otros, el examen extraordinario de septiembre.

  1. Primer examen de la primera evaluación: Límites. Continuidad. Teorema de Bolzano. Derivabilidad.
  2. Segundo examen de la segunda evaluación: Derivación implícita y logarítmica. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Optimización.
  3. Recuperación de la primera evaluación (1): Límites. Continuidad. Derivabilidad. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  4. Recuperación de la primera evaluación (2): Límites. Continuidad. Derivabilidad. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  5. Primer examen de la segunda evaluación: Integral indefinida. Integrales inmediatas. Métodos de integración. Integral definida. Cálculo de áreas.
  6. Segundo examen de la segunda evaluación: Integral indefinida. Matrices. Rangol de una matriz. Ecuaciones matriciales. Determinantes.
  7. Recuperación de la segunda evaluación: Integral indefinida. Matrices. Ecuaciones matriciales.
  8. Primer examen de la tercera evaluación (1): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  9. Primer examen de la tercera evaluación (2): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  10. Primer examen de la tercera evaluación (3): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  11. Primer examen de la tercera evaluación (4): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  12. Segundo examen de la tercera evaluación: Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos. Geometría euclídea en el espacio: problemas métricos.
  13. Suficiencia mayo (primera evaluación): Límites. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  14. Suficiencia mayo (segunda evaluación): Integral indefinida. Integrales inmediatas. Métodos de intergración. Integral definida. Cálculo de áreas. Matrices. Ecuaciones matriciales. Determinantes.
  15. Suficiencia mayo (tercera evaluación): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos. Geometría euclídea en el espacio: problemas métricos.
  16. Examen final para subir nota.

Recordad que podéis encontrar más exámenes aquí:

 

Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

En un espacio de tres dimensiones dos rectas se cruzan cuando no tienen ningún punto en común y no están contenidas en el mismo plano. Si no tienen ningún punto en común pero sí que están contenidas en un mismo plano las rectas son paralelas.

Distancia entre dos rectas paralelas

Si las rectas son paralelas la distancia entre ambas viene dada por la distancia de un punto de una de ellas a la otra. Se entiende por distancia la distancia mínima del punto a la recta. La construcción requiere hallar el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto. Este plano perpendicular cortará a la recta en cuestión en otro punto. De este modo, la distancia del punto a la recta será igual a la distancia entre los dos puntos mencionados. Vamos a hallar una fórmula que permita hallar esta distancia. Para ello sea \(P(p_1,p_2,p_3)\) un punto y \(r\) una recta que vamos a escribir en su forma continua:

\[r\equiv\frac{x-a_1}{u_1}=\frac{x-a_2}{u_2}=\frac{x-a_3}{u_2}\]

distancia1

Recordemos que \(A(a_1,a_2,a_3)\) y \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) son un punto y un vector director de \(r\), respectivamente. Supongamos también que \(M(m_1,m_2,m_3)\) es el punto en el que el plano perpendicular a \(r\) que contiene a \(P\) corta a la recta \(r\) (ver figura anterior). A la distancia del punto \(P\) a la recta \(r\), que es lo que queremos calcular, la notaremos \(d(P,r)\). El vector que une el punto \(A\) de la recta con el punto \(P\) es \(\overrightarrow{AP}=(p_1-a_1,p_2-a_2,p_3-a_3)\).

Por un lado tenemos que el módulo del producto vectorial de \(\overrightarrow{AP}\) con \(\vec{u}\) es:

\[|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}|=|\overrightarrow{AP}|\cdot|\vec{u}|\cdot\text{sen }\alpha\]

Por otro lado, observando la figura anterior se tiene que:

\[\text{sen }\alpha=\frac{d(P,r)}{|\overrightarrow{AP}|}\Rightarrow d(P,r)=|\overrightarrow{AP}|\cdot\text{sen }\alpha\]

Por tanto, sustituyendo en la primera expresión:

\[|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}|=d(P,r)\cdot|\vec{u}|\]

Y de aquí obtenemos finalmente que la distancia entre un punto y una recta la podemos calcular mediante la siguiente fórmula:

\[d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}=\frac{|(p_1-a_1,p_2-a_2,p_3-a_3)\times(u_1,u_2,u_3)|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}}\]

Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

Supongamos ahora que tenemos dos rectas \(r\) y \(s\) que se cruzan. Para hallar la distancia entre ambas, \(d(r,s)\), lo que se hace es calcular el plano que contienen a una de ellas (por ejemplo a \(s\)) y es paralelo a la otra (en este caso a \(r\)). La distancia entre ambas rectas vendrá dada por la distancia de la recta \(r\) a este plano, distancia que obviamente coincidirá con la distancia de un punto de \(r\) a dicho plano (por ser ambos paralelos). Por cierto, la distancia de un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) a un plano \(\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0\), viene dada por la fórmula siguiente:

\[d(P,\pi)=\frac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

El cálculo de la perpendicular común a \(r\) y a \(s\), es decir, de la recta que corta perpendicularmente a ambas, que llamaremos \(t\), precisa de una construcción en tres pasos. Son los siguientes:

  • Cálculo del plano \(\pi\) que contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\).
  • Cálculo del plano \(\pi'\) que contiene a \(s\) y es perpendicular a \(\pi\).
  • Cálculo del plano \(\pi''\) que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\).

Entonces, tal y como se puede apreciar en la figura siguiente, la perpendicular común \(t\) a \(r\) y a \(s\) será la intersección de los planos \(\pi'\) y \(\pi''\): \(t=\pi'\cap\pi''\). Hemos llamado también \(M\) al punto de corte de \(r\) y \(t\), y \(N\) al punto de corte de \(s\) y \(t\): \(M=r\cap t\), \(N=s\cap t\).

distancia2

Tal y como hemos comentado anteriormente, la distancia entre \(r\) y \(s\) es la misma que la distancia entre \(r\) y \(\pi\), distancia que, obviamente, también ha de coincidir con la distancia entre los puntos \(M\) y \(N\):

\[d(r,s)=d(r,\pi)=d(M,N)\]

Veamos un caso práctico. Consideremos las rectas \(r\) y \(s\) siguientes:

\[r\equiv\begin{cases}x+y-z=1\\x-2z=-1\end{cases}\quad;\quad s\equiv x=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2}\]

Lo primero de todo es comprobar que, efectivamente, ambas rectas se cruzan. Si escribimos la recta \(r\) en paramétricas:

\[r\equiv\begin{cases}
  x=-1+2\lambda\\
  y=2-\lambda\\
  z=\lambda
\end{cases}\]

tenemos que un punto y un vector director de \(r\) son, respectivamente, \(A(-1,2,0)\) y \(\vec{u}=(2,-1,1)\). Del mismo modo, un punto y un vector director de la recta \(s\) son, respectivamente, \(B(0,-2,1)\), \(\vec{v}=(1,-1,2)\).

Por un lado, tenemos que

\[\text{rango}\left(
         \begin{array}{c}
           \vec{u} \\
           \vec{v} \\
         \end{array}
       \right)=\text{rango}\left(
                      \begin{array}{ccc}
                        2 & -1 & 1 \\
                        1 & -1 & 2 \\
                      \end{array}
                    \right)=2
\]

ya que la matriz anterior contiene al menos un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{cc}
  2 & -1\\
  1 & -1
\end{array}\right|=-2-(-1)=-1\neq0\]

Por otro lado, tenemos que

\[\text{rango}\left(
                \begin{array}{c}
                  \vec{u} \\
                  \vec{v} \\
                  \overrightarrow{AB} \\
                \end{array}
              \right)=\text{rango}\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      2 & -1 & 1 \\
                                      1 & -1 & 2 \\
                                      1 & -4 & 1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=3
\]

ya que

\[\left|\begin{array}{ccc}
  2 & -1 & 1 \\
  1 & -1 & 2 \\
  1 & -4 & 1
\end{array}\right|=(-2-2-4)-(-1-1-16)=-8-(-18)=10\neq0\]

Del razonamiento anterior se deduce que las rectas \(r\) y \(s\) se cruzan. Vamos a dar los pasos mencionados anteriormente para hallar la perpendicular común y la distancia entre \(r\) y \(s\).

En primer lugar vamos a hallar el plano \(\pi\) que contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\). Un punto de dicho plano será un punto de \(s\), por ejemplo el punto \(B(0,-2,1)\) y dos direcciones suyas serán las de \(r\) y las de \(s\), es decir, podemos tomar como vectores directores del plano los vectores \(\vec{u}=(2,-1,1)\), \(\vec{v}=(1,-1,2)\). Así el plano \(\pi\) vendrá dado por

\[\pi\equiv\left|\begin{array}{ccc}
          x & y+2 & z-1 \\
          2 & -1 & 1 \\
          1 & -1 & 2
        \end{array}\right|=0\]

Desarrollando el determinante anterior:

\[(-2x+y+2-2z+2)-(-z+1+4y+8-x)=0\Rightarrow\pi\equiv x+3y+z+5=0\]

Teniendo en cuenta que la ecuación general de la recta \(s\) es:

\[s\equiv\begin{cases}
  x+y+2=0\\
  2x-z+1=0
\end{cases}\]

otra forma de hallar el plano \(\pi\) es hacer uso del haz de planos de arista la recta \(s\):

\[\lambda(x+y+2)+\mu(2x-z+1)=0\Leftrightarrow(\lambda+2\mu)x+\lambda y-\mu z+2\lambda+\mu=0\]

Para que un plano de este haz sea paralelo a la recta \(r\) un vector normal al plano, \((\lambda+2\mu,\lambda,-\mu)\), debe ser perpendicular al vector director de \(r\), \(\vec{u}=(2,-1,1)\), es decir:

\[2(\lambda+2\mu)+(-1)\lambda+1(-\mu)=0\Leftrightarrow\lambda+3\mu=0\]

Esta igualdad se cumple, por ejemplo, para \(\lambda=3\) y \(\mu=-1\), con lo que el plano \(\pi\) que buscamos será:

\[\pi\equiv x+3y+z+5=0\]

Llegados a este punto ya estamos en condiciones de hallar la distancia entre \(r\) y \(s\): \(d(r,s)=d(r,\pi)\). Además, esta última distancia coincidirá con \(d(A,\pi)\):

\[d(r,s)=d(r,\pi)=d(A,\pi)=\frac{|1\cdot(-1)+3\cdot2+1\cdot0+5|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{11}}=\frac{10\sqrt{11}}{11}\]

Continuando con nuestra construcción calcularemos, en segundo lugar, el plano \(\pi'\) que contiene a \(s\) y es perpendicular a \(\pi\). Ya hemos visto que el haz de planos de arista la recta \(s\) es

\[(\lambda+2\mu)x+\lambda y-\mu z+2\lambda+\mu=0\]

Para que un plano de este haz sea perpendicular a \(\pi\) se ha de cumplir que los vectores perpendiculares a ambos planos sea ellos mismos también perpendiculares, es decir:

\[1(\lambda+2\mu)+3\lambda+1(-\mu)=0\Leftrightarrow4\lambda+\mu=0\]

Tomando \(\lambda=-1\) y \(\mu=4\), tenemos que el plano \(\pi'\) es el siguiente:

\[\pi'\equiv 7x-y-4z+2=0\]

En tercer y último lugar vamos a calcular el plano \(\pi''\) que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\). Para ello volveremos a usar la técnica del haz de planos, pero en este caso de arista la recta \(r\):

\[\lambda(x+y-z-1)+\mu(x-2z+1)=0\Leftrightarrow(\lambda+\mu)x+\lambda y+(-\lambda-2\mu)z+(-\lambda+\mu)=0\]

Para que un plano de este haz sea perpendicular a \(\pi\) se tiene que cumplir, al igual que en el caso anterior, que los vectores perpendiculares a ambos planos sean también perpendiculares, es decir:

\[1(\lambda+\mu)+3\lambda+1(-\lambda-2\mu)=0\Leftrightarrow3\lambda-\mu=0\]

Tomando \(\lambda=1\) y \(\mu=3\), obtenemos el plano \(\pi''\):

\[\pi''\equiv4x+y-7z+2=0\]

La recta \(t\), perpendicular común a \(r\) y a \(s\), es la intersección de \(\pi'\) y de \(\pi''\). Por tanto:

\[t=\pi'\cap\pi''\equiv\begin{cases}
  7x-y-4z+2=0\\
  4x+y-7z+2=0
\end{cases}\]

Vamos a mostrar que la distancia hallada anteriormente entre las rectas \(r\) y \(s\) coincide con la distancia entre los puntos \(M\) y \(N\).

Para hallar los puntos \(M\) y \(N\) resolveremos los sistemas formados por \(r\) y \(t\), por un lado, y por \(s\) y \(t\), por otro, ya que \(r\cap t=M\) y \(s\cap t=N\).

El sistema formado por \(r\) y \(t\) tiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Podemos eliminar una de ellas, por ejemplo la última ecuación de la recta \(t\). El sistema queda del siguiente modo:

\[\begin{cases}
  x+y-z=1\\
  x-2z=-1\\
  7x-y-4z=-2
\end{cases}\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & -1 \\
          1 & 0 & -2 \\
          7 & -1 & -4
        \end{array}
\right|=(-14+1)-(-4+2)=-13+2=-11\]

Por tanto, aplicando la regla de Cramer:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -1 \\
                  -1 & 0 & -2 \\
                  -2 & -1 & -4
                \end{array}
\right|}{-11}=\frac{(4-1)-(4+2)}{-11}=\frac{-3}{-11}=\frac{3}{11}\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -1 \\
                  1 & -1 & -2 \\
                  7 & -2 & -4
                \end{array}
\right|}{-11}=\frac{(4-14+2)-(7-4+4)}{-11}=\frac{-15}{-11}=\frac{15}{11}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & 1 \\
                  1 & 0 & -1 \\
                  7 & -1 & -2
                \end{array}
\right|}{-11}=\frac{(-7-1)-(-2+1)}{-11}=\frac{-7}{-11}=\frac{7}{11}\]

De manera similar resolveremos el sistema formado por la recta \(s\) y por la recta \(t\). También eliminaremos la última ecuación de la recta \(t\). El sistema es el siguiente:

\[\begin{cases}
  x+y=-2\\
  2x-z=-1\\
  7x-y-4z=-2
\end{cases}\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & 0 \\
          2 & 0 & -1 \\
          7 & -1 & -4
        \end{array}
\right|=-7-(-8+1)=-7+7=0\]

Esto indica que no podemos eliminar la última ecuación de la recta \(r\). Así que eliminaremos la primera y el sistema quedará de la siguiente manera:

\[\begin{cases}
  x+y=-2\\
  2x-z=-1\\
  4x+y-7z=-2
\end{cases}\]

Ahora el determinante de la matriz de los coeficientes es:

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & 0 \\
          2 & 0 & -1 \\
          4 & 1 & -7
        \end{array}
\right|=-4-(-14-1)=-4+13=11\]

Volviendo a aplicar la regla de Cramer tenemos:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  -2 & 1 & 0 \\
                  -1 & 0 & -1 \\
                  -2 & 1 & -7
                \end{array}
\right|}{11}=\frac{2-(7+2)}{11}=-\frac{7}{11}\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & -2 & 0 \\
                  2 & -1 & -1 \\
                  4 & -2 & -7
                \end{array}
\right|}{11}=\frac{(7+8)-(28+2)}{11}=-\frac{15}{11}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -2 \\
                  2 & 0 & -1 \\
                  4 & 1 & -2
                \end{array}
\right|}{11}=\frac{(-4-4)-(-4-1)}{11}=-\frac{3}{11}\]

De este modo tenemos que

\[M=r\cap t=\left(\frac{3}{11},\frac{15}{11},\frac{7}{11}\right)\quad;\quad N=s\cap t=\left(-\frac{7}{11},-\frac{15}{11},-\frac{3}{11}\right)\]

Y de aquí:

\[\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{7}{11}-\frac{3}{11},-\frac{15}{11}-\frac{15}{11},-\frac{3}{11}-\frac{7}{11}\right)=\left(-\frac{10}{11},-\frac{30}{11},-\frac{10}{11}\right)\]

Así pues, la distancia entre las rectas \(r\) y \(s\) es:

\[d(r,s)=d(M,N)=|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{\left(-\frac{10}{11}\right)^2+\left(-\frac{30}{11}\right)^2+\left(-\frac{10}{11}\right)^2}= \frac{\sqrt{1100}}{11}=\frac{10\sqrt{11}}{11}\]


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


6 ejercicios de geometría: rectas y planos, espacio euclídeo, problemas métricos

En otro artículo de esta Web se proponían y se resolvían 5 problemas de geometría. Los problemas del bloque dedicado a la Geometría en las matemáticas de 2º de Bachillerato los podemos dividir, fundamentalmente, en problemas de dos tipos: los problemas sobre posiciones relativas entre rectas y planos, y los problemas métricos. Los primeros no son difíciles de resolver si se entiende bien el Teorema de Rouché (aunque hay otras formas de resolverlos). Los segundos, y quizá más interesantes, son problemas en los que entra en escena el producto escalar y el producto vectorial, es decir, los problemas de ángulos, distancias y perpendicularidad. Por eso es muy importante entender con claridad los conceptos de producto escalar y de producto vectorial así como sus aplicaciones. Se recomienda para ello una lectura atenta y comprensiva de los dos artículos siguientes:

  1. Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones.
  2. Producto vectorial. Producto mixto de tres vectores. Aplicaciones.

A continuación se proponen y se resuelven completamente otros seis ejercicios de geometría, lo que viene a completar, con los otros cinco ejercicios comentados al principio, una serie de ejercicios de geometría que pueden servir de modelo para el aprendizaje de esta parte de las matemáticas en un segundo curso de Bachillerato y, por tanto, para afrontar con éxito los problemas de geometría que puedan aparecer en las pruebas de acceso a la universidad (selectividad).

Problema 1

a) Dados los puntos \(P(4,2,3)\) y \(Q(2,0,-5)\), da la ecuación implícita del plano \(\pi\) de modo que el punto simétrico de \(P\) respecto a \(\pi\) es \(Q\).

b) Calcula el valor del parámetro \(\lambda\in\mathbb{R}\) para que el plano determinado por los puntos \(P\), \(Q\) y \(R(\lambda,1,0)\) pase por el origen de coordenadas.

Solución

a) El plano \(\pi\) que se pide es el que pasa por el punto medio de \(P\) y \(Q\) (punto que podemos llamar \(M\)) y es perpendicular al vector que une \(P\) con \(Q\):

\[\overrightarrow{PQ}=(-2,-2,-8)\]

06 ejercicios geometria 01

El punto medio \(M\) de \(P\) y \(Q\) es fácil de calcular:

\[M\left(\frac{4+2}{2},\frac{2+0}{2},\frac{3+(-5)}{2}\right)=M(3,1,-1)\]

El plano \(\pi\) que buscamos, por ser \(\overrightarrow{PQ}=(-2,-2,-8)\) un vector perpendicular al mismo, tiene ecuación implícita

\[\pi\equiv-2x-2y-8z+D=0\]

Como el plano pasa por el punto \(M\), tenemos:

\[-2\cdot3-2\cdot1-8\cdot(-1)+D=0\Rightarrow-6-2+8+D=0\Rightarrow D=8\]

Por tanto el plano \(\pi\) que buscamos tiene ecuación implícita

\[\pi\equiv-2x-2y-8z=0\]

b) Recordemos que los puntos \(P\) y \(Q\) son \(P(4,2,3)\) y \(Q(2,0,-5)\). Podemos tomar como uno de los vectores directores del plano el vector \(\overrightarrow{PQ}=(-2,-2,-8)\), o bien este otro: \(\vec{u}=(1,1,4)\), que tiene la misma dirección que el anterior. Puesto que el plano también debe pasar por \(R(\lambda,1,0)\), otro vector director de tal plano será \(\vec{v}=\overrightarrow{PR}=(4-\lambda,1,3)\). De este modo disponemos de un punto \(P\) y de dos vectores, \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) que definen el plano determinado por los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\). Sus ecuaciones paramétricas son:

\[\begin{cases}
        x=4+\alpha+(4-\lambda)\beta\\
        y=2+\alpha+\beta\\
        z=3+4\alpha+3\beta
      \end{cases}\]

La ecuación general o implícita del plano se obtiene desarrollando la siguiente ecuación:

\[\left|\begin{array}{ccc}
                x-4 & 1 & 4-\lambda \\
                y-2 & 1 & 1 \\
                z-3 & 4 & 3
              \end{array}
      \right|=0\]

Como el plano anterior ha de pasar por el origen de coordenadas la ecuación debe cumplirse para \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\). Es decir:

\[\left|\begin{array}{ccc}
                -4 & 1 & 4-\lambda \\
                -2 & 1 & 1 \\
                -3 & 4 & 3
              \end{array}
      \right|=0\Rightarrow(-12-3-32+8\lambda)-(-12+3\lambda-6-16)=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 5\lambda-13=0\Rightarrow\lambda=\frac{13}{5}\]

Problema 2

Dados los planos \(\pi\equiv ax+2y+z=4\), \(a\in\mathbb{R}\), y \(\pi'\equiv 2x-4y-2z=b\), \(b\in\mathbb{R}\):

a) Razona para qué valores de \(a\,,b\in\mathbb{R}\) son \(\pi\) y \(\pi'\) coincidentes.

b) Razona para qué valores de \(a\,,b\in\mathbb{R}\) son \(\pi\) y \(\pi'\) paralelos no coincidentes.

c) Razona para qué valores de \(a\,,b\in\mathbb{R}\) son \(\pi\) y \(\pi'\) perpendiculares.

Solución

Consideremos el sistema formado por ambos planos:

\[\begin{cases}
  ax+2y+z=4\\
  2x-4y-2z=b
\end{cases}\]

La matriz \(A\) de los coeficientes y la matriz ampliada \(A|b\) son, respectivamente:

\[A=\left(\begin{array}{ccc}
            a & 2 & 1 \\
            2 & -4 & -2
          \end{array}
\right)\quad;\quad
A|b=\left(\begin{array}{cccc}
            a & 2 & 1 & 4 \\
            2 & -4 & -2 & b
          \end{array}
\right)\]

a) Para que ambos planos sean coincidentes los rangos de ambas matrices deben ser igual a uno y, por tanto, las dos filas de ambas matrices han de ser proporcionales, lo que nos lleva a la siguiente expresión:

\[\frac{a}{2}=\frac{2}{-4}=\frac{1}{-2}=\frac{4}{b}\]

De donde claramente han de ser \(a=-1\) y \(b=-8\).

b) Para que ambos planos sean paralelos no coincidentes el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser igual a uno y el de la ampliada igual a dos, lo que nos lleva ahora a la siguiente expresión:

\[\frac{a}{2}=\frac{2}{-4}=\frac{1}{-2}\neq\frac{4}{b}\]

Luego en este caso debe ser \(a=-1\) y \(b\neq-8\).

c) Para que ambos planos sean perpendiculares basta que también lo sean sus vectores normales o perpendiculares. El vector normal del plano \(\pi\) es \(\vec{u}=(a,2,1)\) y el vector normal del plano \(\pi'\) es \(\vec{v}=(2,-4,-2)\). Por tanto:

\[\pi\perp\pi'\Leftrightarrow\vec{u}\perp\vec{v}\]

Si \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son perpendiculares, su producto escalar ha de ser igual a cero:

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=0\Rightarrow 2a-8-2=0\Rightarrow a=5\]

Por tanto, para que \(\pi\) y \(\pi'\) sean perpendiculares debe ser \(a=5\) y \(b\) puede tomar cualquier valor.

Problema 3

Dado el plano \(\pi\equiv x-z=0\) y las rectas

\[r\equiv\begin{cases}
x=1+\lambda\\
y=2\\
z=-1-\lambda
\end{cases},\,\lambda\in\mathbb{R}\quad;\quad
s\equiv\begin{cases}
x+y=2\\
4y+2z=6
\end{cases}\]

a) Halla el ángulo que forman \(\pi\) y \(r\). Razona cuántos planos hay perpendiculares a \(\pi\) que contengan a la recta \(r\).

b) Halla la posición relativa de \(\pi\) y \(s\). Razona cuántos planos hay perpendiculares a \(\pi\) que contengan a la recta \(s\).

Solución

a) Es fácil demostrar que el plano \(\pi\) y la recta \(r\) se cortan en un punto. Si sustituimos las ecuaciones de \(r\) en el plano \(\pi\) tenemos:

\[1+\lambda-(-1-\lambda)=0\Rightarrow2+2\lambda=0\Rightarrow\lambda=-1\]

Además el punto de corte de \(\pi\) y \(r\) será el punto \(P(0,2,0)\).

El ángulo de la recta y el plano ha de ser el complementario del ángulo que formen la recta y un vector perpendicular del plano. Es decir, el complementario del ángulo que forman un vector director de la recta y un vector perpendicular al plano.

06 ejercicios geometria 02

Pero es que, en este caso, un vector director de la recta es \(\vec{u}=(1,0,-1)\) y un vector perpendicular al plano es \(\vec{v}=(1,0,-1)\). Como los vectores son iguales el ángulo que forman es cero, es decir, el plano \(\pi\) y la recta \(r\) son perpendiculares.

De lo anterior se deduce que hay infinitos planos perpendiculares a \(\pi\) que contienen a la recta \(r\), precisamente todos los planos del haz de base la recta \(r\).

b) Consideremos el sistema formado conjuntamente por el plano \(\pi\) y la recta \(s\):

\[\begin{cases}
    x-z=0\\
    x+y=2\\
    4y+2z=6
  \end{cases}\]

La matriz de los coeficientes del sistema anterior es:

\[A=\left(\begin{array}{ccc}
               1 & 0 & -1 \\
               1 & 1 & 0 \\
               0 & 4 & 2
             \end{array}
  \right)\]

Se tiene que \(|A|=2-4=-2\neq0\), con lo que el rango de la matriz de los coeficientes es igual a tres, que coincidirá también con el de la matriz ampliada y con el número de incógnitas. Por tanto, el sistema es compatible determinado (solución única), lo que quiere decir que el plano \(\pi\) y la recta \(s\) son secantes: se cortan en un punto \(P\) (nos podemos hacer una idea observando la figura anterior).

En este caso solamente hay un plano perpendicular a \(\pi\) que contenga a la recta \(s\). Precisamente el plano determinado por \(P\), un vector normal del plano \(\pi\) y un vector director de la recta \(s\). Todos los demás planos del haz de base la recta \(s\) ya no son perpendiculares al plano \(\pi\).

Problema 4

a) Determina el valor del parámetro \(k\in\mathbb{R}\) para que la recta

\[\begin{cases}
    x=1+\lambda\\
    y=k-\lambda\\
    z=\lambda
  \end{cases}\quad\lambda\in\mathbb{R}\]

esté contenida en el plano \(\pi\equiv x+2y+z=7\).

b) Para el valor de \(k\) obtenido en el apartado anterior, obtén la ecuación implícita de un plano \(\pi'\) que corte perpendicularmente a \(\pi\), de modo que la intersección de ambos planos sea \(r\).

Solución

a) Las ecuaciones continuas de la recta son

\[x-1=\frac{y-k}{-1}=z\]

Y de aquí obtenemos las ecuaciones implícitas de la recta:

\[\begin{cases}
    -x+1=y-k\\
    x-1=z
  \end{cases}\Rightarrow
  \begin{cases}
  x+y=1+k\\
  x-z=1
  \end{cases}\]

Si a estas ecuaciones añadimos la ecuación del plano tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

\[\begin{cases}
    x+y=1+k\\
    x-z=1\\
    x+2y+z=7
  \end{cases}\]

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada asociadas a este sistema son, respectivamente:

\[A=\left(\begin{array}{ccc}
              1 & 1 & 0 \\
              1 & 0 & -1 \\
              1 & 2 & 1
            \end{array}
  \right)\quad;\quad A|b=\left(\begin{array}{cccc}
                                 1 & 1 & 0 & 1+k \\
                                 1 & 0 & -1 & 1 \\
                                 1 & 2 & 1 & 7
                               \end{array}
  \right)\]

El rango de la matriz de los coeficientes es al menos dos pues contiene un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{cc}
            1 & 1 \\
            1 & 0
          \end{array}
  \right|=0-1=-1\neq0\]

Pero además se tiene que

\[\left|\begin{array}{ccc}
            1 & 1 & 0 \\
            1 & 0 & -1 \\
            1 & 2 & 1
          \end{array}
  \right|=0\]

pues la tercera columna es igual a la segunda menos la primera. De aquí se deduce que el rango de la matriz de los coeficientes es igual a dos: \(r(A)=2\). Pero es que, además,

\[\left|\begin{array}{ccc}
            1 & 1 & 1+k \\
            1 & 0 & 1 \\
            1 & 2 & 7
          \end{array}
  \right|=(1+2+2k)-(7+2)=2k-6\]

De aquí se deduce que si \(k\neq3\), el rango de la matriz ampliada es tres: \(r(A|b)=3\). En este caso el sistema es incompatible (no tiene solución). Sin embargo, si \(k=3\), \(r(A|b)=r(A)=2<3=n\) y el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones).

De lo anterior hemos de deducir que la recta estará contenida en el plano en el caso de que haya infinitas soluciones (la propia recta) y esto ocurre, como hemos visto, cuando \(k=3\).


Hay otra forma de hacer este apartado. Además es mucho más rápida que la anterior.

Para que la recta esté contenida en el plano, cualquier punto de la recta debe satisfacer la ecuación del plano, es decir, sea quien sea \(\lambda\in\mathbb{R}\), se ha de cumplir:

\[1+\lambda+2(k-\lambda)+\lambda=7\Leftrightarrow1+\lambda+2k-2\lambda+\lambda=7\Leftrightarrow2k=6\Leftrightarrow k=3\]

Por tanto, para este valor de \(k\) la recta está contenida en el plano. Para cualquier otro valor de \(k\) la ecuación \(2k=6\) daría lugar a una contradicción y, en ese caso, no existe ningún punto en común entre la recta y el plano, es decir, son paralelos.

b) Sea un punto \(P\) de \(r\) (que también lo será de \(\pi\)): \(P(1,3,0)\). Sea también un vector director de \(r\): \(\vec{u}=(1,-1,1)\). Tomemos también un vector normal o perpendicular al plano \(\pi\): \(\vec{v}=(1,2,1)\). El plano \(\pi'\) determinado por el punto \(P\) y los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) es claramente perpendicular a \(\pi\) y su intersección con éste es claramente la recta \(r\) pues pasa por \(P\in r\) y tiene la dirección de un vector director de \(r\). Hallemos pues la ecuación implícita de \(\pi'\):

\[\left|\begin{array}{ccc}
                x-1 & 1 & 1 \\
                y-3 & -1 & 2 \\
                z & 1 & 1
              \end{array}
      \right|=0\Rightarrow(-x+1+2z+y-3)-(-z+y-3+2x-2)=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow -3x+3z+3=0\Rightarrow \pi'\equiv x-z-1=0\]

06 ejercicios geometria 03

Problema 5

a) Estudia la posición relativa de las rectas

\[r\equiv x=-y=z\quad;\quad s\equiv x=y=z-2\]

b) Calcular la distancia entre \(r\) y \(s\).

Solución

a) Un punto y un vector director de \(r\) son \(A(0,0,0)\) y \(\vec{u}=(1,-1,1)\). Un punto y un vector director de \(s\) son \(B(0,0,2)\) y \(\vec{v}=(1,1,1)\). Consideremos el vector \(\overrightarrow{AB}=(0,0,2)\) y las matrices

\[\left(\begin{array}{c}
                \vec{u} \\
                \vec{v}
              \end{array}
      \right)=\left(\begin{array}{ccc}
                       1 & -1 & 1 \\
                       1 & 1 & 1
                     \end{array}
      \right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}
                                \vec{u} \\
                                \vec{v} \\
                                \overrightarrow{AB}
                              \end{array}
      \right)=\left(\begin{array}{ccc}
                      1 & -1 & 1 \\
                      1 & 1 & 1 \\
                      0 & 0 & 2
                    \end{array}
      \right)\]

El rango de la primera matriz es dos porque contiene un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{cc}
                1 & -1 \\
                1 & 1
              \end{array}
      \right|=1-(-1)=2\neq0\]

El rango de la segunda matriz es tres porque su determinante es distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{ccc}
                1 & -1 & 1 \\
                1 & 1 & 1 \\
                0 & 0 & 2
              \end{array}
      \right|=2\cdot\left|\begin{array}{cc}
                            1 & -1 \\
                            1 & 1
                          \end{array}
      \right|=2\cdot2=4\neq0\]

Por tanto las rectas \(r\) y \(s\) se cruzan.

b) Para hallar la distancia entre \(r\) y \(s\) hallaremos el plano \(\pi\) que  contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\). Las ecuaciones implícitas de la recta \(s\) son:

\[\begin{cases}
        x-y=0\\
        x-z+2=0
      \end{cases}\]

El haz de planos de arista la recta \(s\) será entonces:

\[\lambda(x-y)+\mu(x-z+2)=0\Leftrightarrow(\lambda+\mu)x-\lambda y-\mu z+2\mu=0\]

Para que un plano de este haz sea paralelo a la recta \(r\) se debe cumplir que el vector perpendicular al plano \((\lambda+\mu,-\lambda,-\mu)\) sea perpendicular al vector director de \(r\), es decir, que el producto escalar de ambos sea cero:

\[(\lambda+\mu,-\lambda,-\mu)\cdot(1,-1,1)=0\Leftrightarrow \lambda+\mu+\lambda-\mu=0\Leftrightarrow \lambda=0\]

Así, podemos elegir \(\lambda=0\), \(\mu=1\), con lo que \(\pi\equiv x-z+2=0\).

06 ejercicios geometria 04

La distancia entre las dos rectas será igual a la distancia entre la recta \(r\) y el plano \(\pi\) recién hallado. Esta distancia coincide con la distancia entre cualquier punto \(P\) de \(r\) y el plano \(\pi\). En general, la distancia de un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y un plano \(\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0\) viene dada por la fórmula:

\[d(P,\pi)=\frac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

Por tanto, en nuestro caso, teniendo en cuenta que \(A(0,0,0)\in r\):

\[d(r,s)=d(r,\pi)=d(A,\pi)=\frac{|2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]

Problema 6

a) Calcula la distancia del punto \(P(-1,2,0)\) a la recta

\[r\equiv\begin{cases}
  -x+y+2z=0\\
  y+z=1
  \end{cases}\]

b) Calcula el punto simétrico de \(P\) respecto de \(r\).

Solución

a) No es difícil obtener las ecuaciones paramétricas de \(r\):

\[\begin{cases}
     x=1+\lambda\\
     y=1-\lambda\\
     z=\lambda
   \end{cases}\]

Hallaremos el plano \(\pi\), perpendicular a \(r\) que contiene al punto \(P\). Evidentemente, un vector normal de este plano será un vector director de \(r\), que es \(\vec{u}=(1,-1,1)\). Por tanto, la ecuación general del plano será de la forma \(x-y+z+D=0\). Además, como este plano ha de contener al punto \(P(-1,2,0)\), tenemos que: \(-1-2+D=0\Rightarrow D=3\). Entonces:

\[\pi\equiv x-y+z+3=0\]

Este plano debe cortar a la recta \(r\) en un punto \(M\). Entonces, la distancia del punto \(P\) a la recta \(r\) coincidirá con la distancia del punto \(P\) al punto \(M\), o lo que es lo mismo, con el módulo del vector \(\overrightarrow{PM}\) (ver figura siguiente).

06 ejercicios geometria 05

Sustituyendo un punto cualquiera de la recta en el plano, tenemos:

\[1+\lambda-1+\lambda+\lambda+3=0\Rightarrow3\lambda+3=0\Rightarrow\lambda=-1\]

Sustituyendo tenemos que el punto de corte de la recta \(r\) con el plano \(\pi\) es \(M(0,2,-1)\), con lo que \(\overrightarrow{PM}=(1,0,-1)\). Finalmente, la distancia de \(P\) a \(r\) será:

\[d(P,r)=d(P,M)=|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\]

Hay otra forma de hallar la distancia entre un punto \(P\) y una recta \(r\), que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

\[d(P,r)=\frac{|(p_1-a_1,p_2-a_2,p_3-a_3)\times(u_1,u_2,u_3)|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}}\]

donde \(P(p_1,p_2,p_3)\) es el punto en cuestión y \(A(a_1,a_2,a_3)\) y \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) son un punto y un vector director de la recta, respectivamente.

En nuestro caso \(P(-1,2,0)\) y un punto y un vector director de \(r\) son, respectivamente: \(A(1,1,0)\), \(\vec{u}=(1,-1,1)\). De este modo:

\[(p_1-a_1,p_2-a_2,p_3-a_3)\times(u_1,u_2,u_3)=(-2,1,0)\times(1,-1,1)=\left|\begin{array}{ccc}
                                                                                 i & j & k \\
                                                                                 -2 & 1 & 0 \\
                                                                                 1 & -1 & 1
                                                                               \end{array}\right|\rightarrow\]

\[(p_1-a_1,p_2-a_2,p_3-a_3)\times(u_1,u_2,u_3)=(i+2k)-(k-2j)=i+2j-k\]

Por tanto:

\[d(P,r)=\frac{|(1,2,-1)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}\]

b) Llamemos \(R\) al punto simétrico de \(P\) respecto de \(r\). Está claro entonces que \(M\) es el punto medio de \(R\) y \(P\) (ver figura anterior). Por tanto, si notamos \(R(a,b,c)\) tenemos que:

\[\frac{a-1}{2}=0\quad;\quad\frac{b+2}{2}=2\quad;\quad\frac{c}{2}=-1\]

De donde rápidamente se deduce que \(a=1\), \(b=2\) y \(c=-2\) con lo que el punto simétrico de \(P\) respecto de \(r\) es \(R(1,2,-2)\).


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La regla de Cramer

Consideremos un sistema de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas como el siguiente:

\[\left\{\begin{array}{c}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\
    .................................... \\
    a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\ldots+a_{nn}x_n=b_n
  \end{array}
\right.\]

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema son las siguientes:

\[A=\left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
    \end{array}
  \right)\quad;\quad
  A|b=\left(
    \begin{array}{cccc|c}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
      a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\
    \end{array}
  \right)
\]

Según el teorema de Rouché, si el rango de la matriz de los coeficientes es igual que el rango de la matriz ampliada el sistema es compatible. Si además, dicho rango coincide con el número de incógnitas, es decir, si \(r(A)=r(A|b)=n\), entonces el sistema es compatible determinado, o sea, que tiene solución única. La condición necesaria y suficiente para que se cumpla lo anterior es que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero, es decir:

\[|A|\neq0\Leftrightarrow r(A)=r(A|B)=n\]

En este caso, la solución del sistema viene dada por según una serie de identidades que se conocen con el nombre de regla de Cramer:

\[x_1=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
              b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              b_n & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

\[x_2=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n} \\
              a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n} \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              a_{n1} & b_n & \ldots & a_{nn}
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

\[\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\]

\[x_n=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1 \\
              a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2 \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              a_{n1} & a_{n2} & \ldots & b_n
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

Obsérvese que, en la práctica, para obtener la incógnita \(x_i\) se dividen los valores de dos determinantes. El del numerador es el mismo que el de la matriz de los coeficientes, con la salvedad de que la columna \(i\) se sustituye por la columna de los términos independientes. El denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes en todos los casos.

Veamos algunos ejemplos de aplicación de la regla de Cramer.

Ejemplo 1

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases}
  8x-6y+2z=-1\\
  3x+y-z=10\\
  -x+3y-2z=5
\end{cases}\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es:

\[|A|=\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -6 & 2 \\
              3 & 1 & -1\\
              -1 & 3 & -2
            \end{array}
\right|=(-16-6+18)-(-2+36-24)=-4-10=-14\]

Como el determinante anterior es distinto de cero el sistema es compatible determinando (rango de la matriz de los coeficientes, igual al rango de la matriz ampliada, igual a tres, que es el número de incógnitas). Aplicando la regla de Cramer obtenemos las soluciones:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              -1 & -6 & 2 \\
              10 & 1 & -1\\
              5 & 3 & -2
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(2+30+60)-(10+120+3)}{-14}=\frac{92-133}{-14}=\frac{-41}{-14}=\frac{41}{14}\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -1 & 2 \\
              3 & 10 & -1\\
              -1 & 5 & -2
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(-160-1+30)-(-20+6-40)}{-14}=\frac{-131+54}{-14}=\frac{-77}{-14}=\frac{77}{14}=\frac{11}{2}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -6 & -1 \\
              3 & 1 & 10\\
              -1 & 3 & 5
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(40+60-9)-(1-90+240)}{-14}=\frac{91-151}{-14}=\frac{-60}{-14}=\frac{30}{7}\]

Ejemplo 2

La regla de Cramer también es útil cuando el sistema es compatible indeterminado. Consideremos el sistema siguiente:

\[\begin{cases}
  x+y+z+t=4\\
  x-y+z=1\\
  y-z+t=1
\end{cases}\]

La matriz de los coeficientes es

\[A=\left(\begin{array}{cccc}
            1 & 1 & 1 & 1 \\
            1 & -1 & 1 & 0 \\
            0 & 1 & -1 & 1
          \end{array}
\right)\]

cuyo rango es 3 porque contienen un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & 1 \\
          1 & -1 & 1 \\
          0 & 1 & -1
        \end{array}
\right|=(1+1)-(-1+1)=2-0=2\]

Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 3 (el menor anterior nos serviría para demostrarlo) y, como el número de incógnitas es 4, el sistema es compatible determinado. El grado de libertad del sistema es igual al número de incógnitas menos el rango, en este caso, es igual a 1. Si llamamos \(t=\lambda\) el sistema lo podemos reescribir así:

\[\begin{cases}
  x+y+z=4-\lambda\\
  x-y+z=1\\
  y-z=1-\lambda
\end{cases}\]

El determinante hallado anteriormente es el determinante de la matriz de los coeficientes de este sistema, es decir, \(|A|=2\). Aplicando la regla de Cramer tenemos:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              4-\lambda & 1 & 1 \\
              1 & -1 & 1\\
              1-\lambda & 1 & -1
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(4-\lambda+1-\lambda+1)-(-1+\lambda-1+4-\lambda)}{2}=\frac{4-2\lambda}{2}=2-\lambda\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              1 & 4-\lambda & 1 \\
              1 & 1 & 1\\
              0 & 1-\lambda & -1
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(-1+1+\lambda)-(-4+\lambda+1-\lambda)}{2}=\frac{3-\lambda}{2}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              1 & 1 & 4-\lambda \\
              1 & -1 & 1\\
              0 & 1 & 1-\lambda
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(-1+\lambda+4-\lambda)-(1-\lambda+1)}{2}=\frac{1+\lambda}{2}\]

Por tanto, las soluciones son:

\[(x,y,z,t)=\left(2-\lambda,\frac{3-\lambda}{2},\frac{1+\lambda}{2},\lambda\right)\]

Soluciones que también podemos escribir del siguiente modo:

\[(x,y,z,t)=\left(2,\frac{3}{2},\frac{1}{2},0\right)+\lambda\left(-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)\]

Desde el punto de vista geométrico, la igualdad anterior viene ser la ecuación vectorial de una recta en un espacio de dimensión cuatro. O sea, que el sistema de ecuaciones del cual hemos extraído las soluciones no es otra cosa que una recta en el hiperespacio.

Ejemplo 3

Usando la regla de Cramer también podemos hallar el punto de corte de dos rectas. Por ejemplo, sean las rectas

\[r\equiv\begin{cases}
x+2y-z=1\\
-x+y-3z=2
\end{cases}\quad;\quad
s\equiv\begin{cases}
x+y=0\\
3x+2y+z=a
\end{cases}\]

Vamos a hallar el valor del parámetro \(a\) para el que ambas rectas son secantes y, para ese valor de \(a\), hallaremos el punto de corte. El sistema de ecuaciones formado por ambas rectas es

\[\begin{cases}
  x+2y-z=1\\
  -x+y-3z=2\\
  x+y=0\\
  3x+2y+z=a
\end{cases}\]

La matriz de los coeficientes es

\[A=\left(\begin{array}{ccc}
                   1 & 2 & -1 \\
                   -1 & 1 & -3 \\
                   1 & 1 & 0 \\
                   3 & 2 & 1
                 \end{array}\right)\]

cuyo rango es 3 ya que contiene un menor de orden tres distinto de cero, por ejemplo

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 2 & -1 \\
          -1 & 1 & -3 \\
          1 & 1 & 0
        \end{array}
\right|=(-6+1)-(-1-3)=-5+4=-1\neq0\]

La matriz ampliada \(A|b\) es una matriz cuadrada de orden 4. Hallemos su determinante:

\[\left|\begin{array}{cccc}
          1 & 2 & -1 & 1 \\
          -1 & 1 & -3 & 2 \\
          1 & 1 & 0 & 0 \\
          3 & 2 & 1 & a
        \end{array}\right|=
\left|\begin{array}{cccc}
          1 & 1 & -1 & 1 \\
          -1 & 2 & -3 & 2 \\
          1 & 0 & 0 & 0 \\
          3 & -1 & 1 & a
        \end{array}\right|=\]

\[=\left|\begin{array}{ccc}
        1 & -1 & 1 \\
        2 & -3 & 2 \\
        -1 & 1 & a
      \end{array}
\right|=\left|\begin{array}{ccc}
        1 & -1 & 1 \\
        0 & -1 & 0 \\
        0 & 0 & a+1
      \end{array}
\right|=-a-1\]

De lo anterior se deduce que si \(a\neq-1\), el determinante anterior es distinto de cero, o lo que es lo mismo, el rango de la matriz ampliada es \(4\). Y como el rango de la matriz de los coeficientes es \(3\), el sistema será incompatible. En este caso las rectas no serán secantes (serán paralelas o se cruzarán).

Sin embargo, si \(a=-1\), el determinante anterior es igual a cero, con lo que el rango de la matriz ampliada y el de la matriz de los coeficientes es tres, igual que el número de incógnitas. Se trata pues de un sistema compatible determinado (solución única). Es decir, ambas rectas se cortan en un punto. Para hallar el punto de corte resolvemos el sistema. Como el rango es tres, podemos eliminar una de las ecuaciones y usar la regla de Cramer. Es decir, resolveremos el sistema siguiente:

\[\begin{cases}
  x+2y-z=1\\
  -x+y-3z=2\\
  x+y=0\\
\end{cases}\]

Ya hemos visto que el determinante de la matriz de los coeficientes es igual a \(-1\). Por tanto, por la regla de Cramer:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 2 & -1 \\
                  2 & 1 & -3 \\
                  0 & 1 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(-2)-(-3)}{-1}=\frac{1}{-1}=-1\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -1 \\
                  -1 & 2 & -3 \\
                  1 & 0 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(-3)-(-2)}{-1}=\frac{-1}{-1}=1\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 2 & 1 \\
                  -1 & 1 & 2 \\
                  1 & 1 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(4-1)-(1+2)}{-1}=\frac{0}{-1}=0\]

Resumiendo, si \(a=1\), las rectas son secantes y el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\) es el punto \((-1,1,0)\).


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Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Supongamos que me piden calcular una primitva de la función \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x+5}\). O lo que es lo mismo, me piden calcular la siguiente integral indefinida:

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx\]

Naturalmente intentaré descomponer la fracción \(\dfrac{1}{x^2-3x+5}\) en fracciones simples. Pero esto no es posible porque el polinomio \(x^2-3x+5\) no tiene raíces reales (al intentar resolver la ecuación de segundo grado el discriminante es menor que cero).

En estos casos se procede a utilizar una técnica conocida como "completar cuadrados". Veamos cómo funciona.

Se trata de escribir el polinomio \(x^2-3x+5\) como un cuadrado más una cierta cantidad. Es decir, tenemos que conseguir el polinomio \(x^2-3x+5\) "completando un cuadrado". Eso, como veremos, nos permitirá calcular la intergral indefinida.

Observemos que los coeficientes del polinomio \(x^2-3x+5\) son \(a=1\), \(b=-3\) y \(c=5\).

En un primer paso lo que haremos es multiplicar por \(4a\), que en este caso es \(4\). De este modo el polinomio se convierte en \(4x^2-12x+20\). Obsérvese que el primer término es el cuadrado de \(2x\). En general si multiplicamos por \(4a\) el primer término se convertirá en \(4a^2\) que es el cuadrado de \(2a\).

En un segundo paso vamos a sumar y a restar \(b^2\). En nuestro caso \(b^2=9\), con lo que tenemos \(4x^2-12x+9-9+20\). Esta última expresión la podemos escribir también así \((2x-3)^2+11\).

¿Qué hemos hecho? En realidad hemos escrito el polinomio de \(x^2-3x+5\) de otra manera:

\[x^2-3x+5=\frac{1}{4}(4x^2-12x+9-9+20)=\frac{1}{4}((2x-3)^2+11)\]

Ahora podemos escribir la integral indefinida así:

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx=\int\frac{1}{\frac{1}{4}((2x-3)^2)+11)}\,dx=4\int\frac{1}{(2x-3)^2+11}\,dx\]

Esta última integral la podemos retocar hasta conseguir resolverla:

\[4\int\frac{1}{(2x-3)^2+11}\,dx=4\int\frac{\displaystyle\frac{1}{11}}{\displaystyle\frac{(2x-3)^2}{11}+1}\,dx=\]

\[=\frac{4}{11}\int\frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)^2+1}\,dx=\frac{4}{11}\cdot\frac{\sqrt{11}}{2}\int\frac{\displaystyle\frac{2}{\sqrt{11}}}{\displaystyle\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)^2+1}\,dx\]

Por tanto

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx=\frac{2\sqrt{11}}{11}\cdot\text{arctg}\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)+C\]

Donde hemos utilizado que

\[\int\frac{f'(x}{f(x)^2+1}\,dx=\text{arctg}\,f(x)+C\]

En general si el polinomio \(ax^2+bx+cx\) no tiene raíces reales, es posible demostrar que

\[\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\cdot\text{arctg}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C\]

Puedes ver el desarrollo completo aquí.

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (UEM) es una universidad privada cuya oferta académica es muy variada. Los Grados Universitarios que se pueden estudiar estan relacionados con las siguientes áreas: Arquitectura y Edificación, Arte y Diseño; Artes Escénicas, Danza y Música; Biotecnología; Comunicación; Criminología; Deporte; Derecho; Educación; Empresa; Enfermería; Farmacia; Fisioterapia; Imagen, Animación y Videojuegos; Ingeniería Biomédica, Informática y Telecomunicaciones; Ingeniería Civil; Ingeniería Industrical y Aeroespacial; Lenguas y Traducción; Marketing y Dirección Comercial; Medicina; Odontología; Óptica y Optometría; Psicología; Relaciones Internacionales.

En cuanto a los grados relacionados con la opción de Ciencias e Ingeniería, se puede observar que el abanico es amplio con bastantes salidas al mundo profesional.

Los grados de ingeniería son muy interesantes, pudiéndose optar por Ingeniería Biomédica, en Sistemas de Telecomunicación, Informática, Civil, Aeroespacial en Aeronaves, Energía, Electrónica Industrial y Automática, Organización Industrial.

También se pueden hacer dobles grados, cuyo estudio garantizan una titulación con salidas profesionales prácticamente inmediatas.

Al finalizar el grado queda la posibilidad de cursar algún Máster, cuya oferta también es muy amplia. Para verlo puedes hacer clic aquí.

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Espero que esta información sea de ayuda a todos aquellos que queréis comenzar un grado en Madrid el curso próximo.

Cuadratura de un segmento de parábola

Una forma de acercarse al cálculo del área bajo una curva es calcular el área de la región \(R\) comprendida por la parábola \(y=x^2\), el eje de abscisas y la recta \(x=1\). Este problema, como veremos, es equivalente a la cuadratura de un segmento de parábola.

cuadratura segmento parabola 02

En primer lugar, aproximaremos el área de la región \(R\) anterior mediante la suma de las áreas de colecciones de rectángulos contenidos y que contienen a dicha región, como se puede apreciar en la figura siguiente.

cuadratura segmento parabola 01

Lo que hemos hecho es dividir el intervalo \([0,1]\) en \(20\) partes, cada una de ellas de longitud \(0,05\). Evidentemente, la aproximación será tanto mejor cuanto mayor sea el número de rectángulos o, lo que es lo mismo, cuanto más fina sea la partición del intervalo \([0,1]\). Así pues, en nuestro caso disponemos de \(20\) rectángulos cuyos extremos son los puntos

\[x_0=0\ ,\ x_1=\frac{1}{20}\ ,\ x_2=\frac{2}{20}\ ,\ x_3=\frac{3}{20}\, ,\ldots,\ x_{19}=\frac{19}{20}\ ,\ x_{20}=\frac{20}{20}=1\]

Evidentemente, la base de cada uno de los rectángulos, tanto los contenidos como los que contienen a nuestra de región es \(\frac{1}{20}=0,05\).

La altura de cada uno de los rectángulos contenidos en la región es el mínimo de la función \(y=x^2\) sobre el intervalo \([x_{k-1},x_k]\). Al ser la función creciente el mínimo se alcanza en el extremo inferior del intervalo, es decir, la altura de cada rectángulo es \(\left(\frac{k-1}{20}\right)^2\). De este modo, el área \(a_k\) de cada rectángulo contenido en nuestra región es

\[a_k=\frac{1}{20}\left(\frac{k-1}{20}\right)^2=\frac{(k-1)^2}{20^3}=\frac{(k-1)^2}{8000}\]

donde \(k\) recorre todos los números naturales desde \(1\) hasta \(20\). Más explícitamente, las áreas de los veinte rectángulos contenidos en nuestra región son los siguientes:

\[a_1=0\ ,\ a_2=\frac{1^2}{8000}\ ,\ a_3=\frac{2^2}{8000}\ ,\ldots\ ,\ a_{19}=\frac{18^2}{8000}\ ,\ a_{20}=\frac{19^2}{8000} \]

La suma de estas áreas será una aproximación por defecto del área de nuestra región \(R\). Llamemos \(s_{20}\) a la suma de estas áreas. Entonces:

\[s_{20}=\frac{1}{8000}(1^2+2^2+3^2+\ldots+18^2+19^2)\]

Entre paréntesis aparecen la suma de los cuadrados de los 19 primeros números naturales cuya suma podemos calcular (ver el artículo dedicado a la suma de los cuadrados de los primeros números naturales), ya que

\[1^2+2^2+3^2+\ldots+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

En nuestro caso:

\[1^2+2^2+3^2+\ldots+18^2+19^2=\frac{19\cdot20\cdot39}{6}=2470\]

Por tanto, la suma \(s_{20}\) de los 20 rectángulos contenidos en nuestra región es

\[s_{20}=\frac{1}{8000}(1^2+2^2+3^2+\ldots+18^2+19^2)=\frac{2470}{8000}=0,30875\]

De un modo similar a como se ha hecho con los rectángulos contenidos, se puede demostrar que la suma \(S_{20}\) de las áreas de los 20 rectángulos que contienen a la región \(R\) es

\[S_{20}=\frac{1}{8000}(1^2+2^2+3^2+\ldots+19^2+20^2)=\frac{2870}{8000}=0,35875\]

Si llamamos \(A_R\) al área de nuestra región \(R\), hemos demostrado que

\[s_{20}=0,30875<A_R<S_{20}=0,35875\]

De manera general, si el intervalo \([0,1]\) lo dividimos en \(n\) partes, las áreas \(a_k\) y \(A_k\) de cada rectángulo contenido y continente son, respectivamente,

\[a_k=\frac{(k-1)^2}{n^3}\quad;\quad A_k=\frac{k^2}{n^3}\]

Por tanto, la suma de las áreas de los rectángulos contenidos y continentes y el área \(A_R\) de nuestra región cumplen la siguiente relación:

\[\sum_{k=1}^n\frac{(k-1)^2}{n^3}\leqslant A_R\leqslant\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^3}\]

O lo que es lo mismo:

\[\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+(n-1)^2}{n^3}\leqslant A_R\leqslant\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n^3}\]

Aplicando la fórmula de la suma de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales la doble desigualdad anterior se puede escribir así:

\[\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\leqslant A_R\leqslant\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\]

Evidentemente, el sentido común nos dice que si hacemos tender \(n\) a infinito, entonces tendremos aproximaciones por defecto y por exceso cada vez más cercanas al área de nuestra región. El truco final consiste en pasar al límite de las sucesiones que aparecen en la doble desigualdad anterior:

\[\lim\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}=\lim\frac{2n^3-3n^2+n}{6n^3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

\[\lim\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\lim\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

De lo anterior deducimos que

\[\frac{1}{3}\leqslant A_R\leqslant\frac{1}{3}\]

Es decir

\[A_R=\frac{1}{3}\]

Un segmento de parábola es el área comprendida entre la cuerda que une dos puntos de la parábola y el arco de parábola correspondiente a esos dos puntos. Si tomamos la parábola anterior \(y=x^2\) definida en el el intervalo \([0,1]\) y trazamos la cuerda que une a los puntos de coordenadas \((0,0)\) y \((1,1)\) obtenemos el segmento de parábola siguiente.

 cuadratura segmento parabola 03

El área de este segmento de parábola, llamémosla \(A_S\), es claramente igual al área \(A_T\) del triángulo de vértices \((0,0)\), \((1,0)\) y \((1,1)\) menos el área \(A_R\), que hemos hallado anteriormente. Es decir:

\[A_S=A_T-A_R=\frac{1\cdot1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\]

Este artículo lleva por título cuadratura de un segmento de parábola porque para hallar el área de un segmento de parábola sólo hemos utilizado áreas de triángulos y rectángulos. Es verdad que hemos utilizado la fórmula de la suma de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales (que no es nada fácil de deducir en principio) y el truco del paso al límite. Pero hemos conseguido hallar el área de una figura en la que uno de sus lados no es recto, sino curvo. Esto ya lo hizo Arquímedes. De hecho, halló el área de un segmento de parábola, aunque no utilizó el método que hemos utilizado aquí. Si quieres saber cómo lo hizo puedes consultar en este enlace. En todo caso, nos hemos aproximado al cálculo de áreas de regiones encerradas por un trozo de curva, el eje de abscisas y una o dos rectas verticales. Esta es una de las aplicaciones del cálculo integral. De hecho el área del segmento de parábola, usando el cálculo integral, se podría haber hallado así:

\[A_S=\int_0^1(x-x^2)dx=\left.\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\]

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Se proponen a continuación varios ejercicios relacionados con las derivadas y sus aplicaciones (por ejemplo, cálculo de extremos, monotonía, cálculo de la imagen de una función, soluciones de ciertas ecuaciones,...).

Muchos de estos ejercicios requieren la aplicación del teorema de Rolle y del teorema del valor medio.

Alguno de ellos (el número 12, por ejemplo) es de especial interés, pues haciendo uso del teorema del valor medio se pueden demostrar ciertas desigualdades muy útiles en las matemáticas en general y en el análisis matemático en particular.

Estos ejercicios son de nivel universitario, aunque alguno se podría proponer en bachillerato.

Cada uno de los ejercicios contiene la solución más o menos detallada.

Ejercicio 1

Determinar la imagen de las siguientes funciones:

a) \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^4-8x^3-6x^2+24x+1\,,\forall\,x\in[0,2]\).

b) \(f:[1,2\text{e}]\rightarrow\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\,,\forall\,x\in[1,2\text{e}]\).

c) \(f:[-2,2]\cup\{3\}\rightarrow\mathbb{R}\), \(f(x)=1-\sqrt{2|x|-x^2}\,,\forall\,x\in[-2,2]\), \(f(3)=2\).

Solución.

a) La función \(f\) es continua y derivable por ser polinómica. Además \(f(0)=1\), \(f(2)=9\) y \(f'(x)=12x^3-24x^2-12x+24\). También tenemos que \(f'(x)=0\) si, y sólo si, \(x=-1\), \(x=1\) o \(x=2\). Esto es equivalente a decir que \(f'(x)\neq0\) si, y sólo si \(x\neq-1\), \(x\neq1\) y \(x\neq2\). Luego \(f\), salvo en \(x=1\), no puede alcanzar ningún extremo relativo en ningún punto del intervalo \([0,2]\). Como \(f(1)=14\) y la imagen por una función continua de un intervalo cerrado y acotado es un intervalo cerrado y acotado (propiedad de compacidad), la imagen de \(f\) es el intervalo \([1,14]\).

b) La función es continua y derivable en el intervalo \([1,2\text{e}]\) por ser cociente de derivables y no anularse nunca el denominador en dicho intervalo. Por otro lado, \(f(1)=0\) y \(f(2\text{e})=\frac{\ln2\text{e}}{2\text{e}}=\frac{\ln2+1}{2\text{e}}\cong0.31\). Además \(f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\), con lo que \(f'(x)=0\) si, y sólo si, \(1-\ln x=0\Leftrightarrow x=\text{e}\). Como \(f(\text{e})=\frac{1}{\text{e}}\cong0.368\), entonces la imagen de \(f\) es el intervalo \(\left[0,\frac{1}{\text{e}}\right]=[0,\,0.368]\).

c) Escribamos de una forma equivalente la función \(f\):

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    1-\sqrt{-2x-x^2} & \text{si} & -2\leqslant x<0 \\
                    1-\sqrt{2x-x^2} & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant 2\\
                    2 & \text{si} & x=3
                  \end{array}
    \right.\]

Claramente \(f\) es continua en \([-2,2]\). Observemos además que

\[\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-\sqrt{2x-x^2}}{x}= \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-2x+x^2}{x\sqrt{2x-x^2}}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-2+x}{\sqrt{2x-x^2}}=-\infty\]

Por tanto, \(f\) es derivable en \([-2,2]-\{0\}\).De este modo, si \(x\in[-2,2]-\{0\}\), se tiene:

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    \displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{-2x-x^2}} & \text{si} & -2\leqslant x<0 \\
                    \displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{2x-x^2}} & \text{si} & 0<x\leqslant 2\\
                  \end{array}
    \right.\]

Entonces \(f'(x)=0\) si, y sólo si, \(x=-1\) o \(x=1\). Por tanto, los únicos puntos en los que \(f\) puede alcanzar un extremo relativo en el intervalo \([-2,2]\) y en los que \(f\) sea además derivable son \(x=-1\) y \(x=1\). Haremos las imágenes de estos últimos, de los extremos del intervalo, de los puntos donde \(f\) no es derivable y del punto aislado \(x=3\), para decidir la imagen de \(f\).

\[f(-2)=1\ ,\ f(-1)=0\ ,\ f(0)=1\ ,\ f(1)=0\ ,\ f(2)=1\ ,\ f(3)=2\]

Por tanto, la imagen de \(f\) es \([0,1]\cup\{2\}\)

Ejercicio 2

Sean \(a\) y \(b\) números reales con \(a<b\). Dar un ejemplo de una función \(f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}\), no constante, que alcance un máximo relativo en todo punto de \((a,b)\).

Solución.

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    1 & \text{si} &\displaystyle -a<x\leqslant\frac{a+b}{2} \\
                    2 & \text{si} &\displaystyle \frac{a+b}{2}<x<b
                  \end{array}
    \right.\]

Ejercicio 3

Demuéstrese la versión, aparentemente más general, del teorema de Rolle: sea \(f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \((a,b)\) y supongamos que \(f\) tiene límites en los puntos \(a\) y \(b\) con \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow b}f(x)\). Entonces existe un punto \(c\in(a,b)\) tal que \(f'(c)=0\).

Solución.

Sea la función \(g:(a.b)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x) & \text{si} &x=a \\
                    f(x) & \text{si} & a<x<b\\
                    \displaystyle\lim_{x\rightarrow b}f(x) & \text{si} &x=b
                  \end{array}
    \right.\]

Es claro que \(g\) es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\). Además, por hipótesis \(g(a)=g(b)\). Por el teorema de Rolle, existe \(c\in(a,b)\) tal que \(g'(c)=f'(c)=0\).

Ejercicio 4

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(I\). Sean \(x\in I\), \(h\in\mathbb{R^*}\) tales que \(x+h\in I\). Probar que existe un número \(\theta\in(0,1)\) tal que \(f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)\). Póngase un ejemplo que demuestre que \(\theta\) no tiene por qué ser único. Compruébese que en los casos \(I=\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\) y \(f(x)=\text{e}^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\), ocurre que, fijados \(x\) y \(h\), el número \(\theta\) que aparece sí es único y es independiente de \(x\).

Solución.

Aplicando el teorema del valor medio al intervalo \([x,x+h]\), se tiene que existe un punto \(c\in(x,x+h)\) tal que \(f(x+h)-f(x)=f'(c)h\). Como \(c\in(x,x+h)\), entonces existe \(\theta\in(0,1)\) tal que \(c=x+\theta h\) y así \(f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)\), como queríamos.

Para probar que \smallskip\(\theta\) no tiene por qué ser único considérese la función \(f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=2\). Entonces \(f'(x)=0\,,\forall\,x\in[0,1]\) y por tanto dados \(x\in[0,1]\), \(h\in\mathbb{R^*}\) tales que \(x+h\in[0,1]\), es claro que \(hf'(x+\theta h)=0=f(x+h)-f(x)\,,\forall\,\theta\in(0,1)\).

Si \(I=\mathbb{R}\) y \(f(x)=x^2\), existe \(\theta\in(0,1)\) tal que \(f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)\). Pero

\[f(x+h)-f(x)=x^2+h^2+2xh-x^2=h^2+2xh\]

\[hf'(x+\theta h)=h2(x+\theta h)=2xh+2\theta h^2\]

Entonces

\[h^2+2xh=2xh+2\theta h^2\Rightarrow h^2-2\theta h^2=0\Rightarrow1-2\theta=0\Rightarrow\theta=\frac{1}{2}\]

y por tanto \(\theta\) es único.

Ahora, si \(f(x)=\text{e}^x\), entonces:

\[f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)\Leftrightarrow\text{e}^{x+h}-\text{e}^x=h\text{e}^{x+\theta h}\Leftrightarrow\text{e}^x(\text{e}^h-1)=h\text{e}^x\text{e}^{\theta h}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\text{e}^h-1=h\text{e}^{\theta h}\Leftrightarrow\ln(\text{e}^h-1)=\ln h+\theta h\Leftrightarrow\theta=\frac{1}{h}\ln\frac{\text{e}^h-1}{h}\]

Por tanto, \(\theta\) es único.

Ejercicio 5

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(I\). Supongamos que existe un número real positivo \(M\) tal que \(|f'(x)|\leqslant M\,,\forall\,x\in I\). Probar que \(f\) es uniformemente continua.

Solución.

Sean \(x\,,y\in I\), y supongamos \(x<y\). Aplicando el teorema del valor medio a la restricción de \(f\) al intervalo \([x,y]\), se tiene que \(\exists\, c\in(x,y)\) tal que \(f(y)-f(x)=f'(c)(x-y)\). Por tanto, \(|f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|\leqslant M|x-y|\). Entonces, dado un número real y positivo \(\varepsilon>0\) y tomando \(\delta=\frac{\varepsilon}{M}\), tenemos:

\[x\,,y\in I\,,|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|\leqslant M|x-y|<M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon\]

con lo que \(f\) es uniformemente continua.

Ejercicio 6

Sea \(f:\mathbb{R^+}\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(\mathbb{R^+}\). Supongamos que \(f\) y \(f'\) tienen límite en \(+\infty\). Probar que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0\).

Solución:

Sea \(x>0\) y \(n\in\mathbb{N}\). Entonces existe \(\theta\in(0,1)\) cumpliendo \(f(x+n)-f(x)=f'(x+\theta n)n\), o lo que es lo mismo, \(f'(x+\theta n)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}\) (ver ejercicio 4). Sea \(\{x_n\}=\{x+\theta n\}\rightarrow+\infty\). Por hipótesis \(f\) tiene límite en infinito con lo que

\[\{f'(x+\theta n)\}=\{f'(x_n)\}=\left\{\frac{f(x+n)-f(x)}{n}\right\}\rightarrow0\Rightarrow\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0\]

tal y como queríamos demostrar.

Ejercicio 7

Sea \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\) verificando \(f(a)=f(b)=0\). Probar que para todo real \(\lambda\) existe un punto \(c\in(a,b)\) tal que \(f'(c)=\lambda f(c)\).

Indicación: considérese la función \(g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(g(x)=\text{e}^{-\lambda x}f(x)\,,\forall\,x\in[a,b]\).

Solución.

Apliquemos el teorema del valor medio a la función \(g\):

\[\exists\,c\in(a,b)\,:\,g(b)-g(a)=g'(c)(b-a)\]

O sea:

\[\text{e}^{-\lambda b}f(b)-\text{e}^{-\lambda a}f(a)=\left(-\lambda\text{e}^{-\lambda c}f(c)+\text{e}^{-\lambda c}f'(c)\right)(b-a)\]

Como \(f(a)=f(b)=0\), entonces:

\[-\lambda\text{e}^{-\lambda c}f(c)+\text{e}^{-\lambda c}f'(c)=0\Leftrightarrow \lambda\text{e}^{-\lambda c}f(c)=\text{e}^{-\lambda c}f'(c)\Leftrightarrow f'(c)=\lambda f(c)\]

Ejercicio 8

Sean \(a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\) con \(a^2<3b\). Probar que la ecuación \(x^3+ax^2+bx+c=0\) tiene solución real única.

Solución.

Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\). Razonando por reducción al absurdo, si existieran \(r,\,t\in\mathbb{R}\) (\(r<t\)) tales que \(f(r)=f(t)=0\), aplicando el teorema del valor medio al intervalo \([r,t]\) tenemos que existe \(s\in(r,t)\) tal que \(f'(s)=0\), es decir, tal que \(3s^2+2as+b=0\). Y esto último ocurrirá siempre que el discriminante de la ecuación \(3x^2+2ax+b=0\) sea mayor o igual que cero: \(4a^2-12b\geqslant0\Leftrightarrow a^2\geqslant3b\), lo cual contradice que \(a^2<3b\). Por tanto la ecuación \(x^3+ax^2+bx+c=0\) tiene solución real única.

Ejercicio 9

Determinar el número de raíces de la ecuación \(3x^5+5x^3-30x=m\) según el valor del número \(m\).

Solución.

Sea \(f(x)=3x^5+5x^3-30x-m\). Entonces

\[f'(x)=15x^4+15x^2-30=15(x^4+x^2-2)=15(x-1)(x+1)(x^2+2)\]

De este modo:

\[f'(x)>0\Leftrightarrow x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\quad;\quad f'(x)<0\Leftrightarrow x\in(-1,1)\]

Esto quiere decir que \(f\) es estrictamente creciente en \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\) y estrictamente decreciente en \((-1,1)\). Por tanto, \(x=-1\) es un máximo relativo y \(x=1\) es un mínimo relativo. Como \(f(-1)=22-m\) y \(f(1)=-22-m\), y teniendo en cuenta además que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty\), pueden ocurrir las siguientes situaciones:

  • Si \(m<-22\), \(f(-1)>0\) y \(f(1)>0\), con lo que \(f\) tiene solo una raíz real situada a la izquierda de \(-1\).
  • Si \(m=-22\), \(f(-1)>0\) y \(f(1)=0\), con lo que \(f\) tiene dos raíces reales, una de ellas en \(x=1\) y otra menor que \(-1\).
  • Si \(-22<m<22\), \(f(-1)>0\) y \(f(1)<0\), con lo que \(f\) tiene tres raíces reales, una menor que \(-1\), otra situada entre \(-1\) y \(1\) y la tercera mayor que \(1\).
  • Si \(m=22\), \(f(-1)=0\) y \(f(1)<0\), con lo que \(f\) tiene dos raíces reales, una de ellas en \(x=-1\) y otra mayor que \(1\).
  • Si \(m>22\), \(f(-1)<0\) y \(f(1)<0\), con lo que \(f\) tiene solo una raíz real situada a la derecha de \(1\).

Ejercicio 10

Sea \(f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) derivable y verificando \(f(0)=0\). Supongamos que la función \(f'\) es creciente. Probar que la función \(g:(0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(g(x)=\frac{f(x)}{x}\,,\forall\,x\in(0,1]\) también es creciente.

Solución.

La función \(g\) es creciente en el intervalo \((0,1]\) si, y sólo si, para todo \(x\in(0,1]\):

\[\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}\geqslant0\Leftrightarrow xf'(x)-f(x)\geqslant0\]

Sea \(0<x\leqslant1\) y apliquemos el teorema del valor medio a la función \(f\) en el intervalo \([0,x]\). Existe pues \(c\in(0,x)\) tal que:

\[f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)\Leftrightarrow f(x)=f'(c)x\leqslant f'(x)x\Leftrightarrow xf'(x)-f(x)\geqslant0\]

que es justo lo que queríamos demostrar (obsérvese que la penúltima desigualdad se justifica por la hipótesis de que \(f'\) es creciente).

Ejercicio 11

Sea \(f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable, verificando que \(f(0)=0\) y \(|f'(x)|\leqslant|f(x)|\) para todo \(x\in[0,1]\). Probar que \(f(x)=0\,,\forall\,x\in[0,1]\).

Solución.

Sea \(0<x\leqslant1\). Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo \([0,x]\) tenemos que existe \(c\in(0,x)\) tal que \(f(x)=f'(c)x\), es decir, tal que \(f'(c)=\frac{f(x)}{x}\). Como \(0<x\leqslant1\), \(|f(x)|\leqslant\frac{|f(x)|}{x}\) y entonces, para todo \(x\in(0,1]\), existe \(c\in(0,1]\) tal que \(|f(x)|\leqslant f'(c)\leqslant|f(c)|\). Por tanto, no queda más remedio que \(f(x)=0\,,\forall\,x\in[0,1]\).

Ejercicio 12

Probar las dobles desigualdades siguientes:

\[1+x\leqslant\text{e}^x\leqslant 1+x\text{e}^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\quad;\quad\frac{x}{1+x}\leqslant\ln(1+x)\leqslant x\,,\forall\,x\in(-1,+\infty)\]

Solución.

Sea \(f(x)=\text{e}^x\) y \(x>0\). Aplicando el teorema del valor medio al intervalo \([0,x]\), existe \(c\in(0,x)\) tal que

\[f(x)-1=f'(c)x\Leftrightarrow \text{e}^x-1=\text{e}^cx\Leftrightarrow\text{e}^x=1+\text{e}^cx\]

Por otro lado, como \(0<c<x\), entonces, al ser la función exponencial estrictamente creciente tenemos que \(\text{e}^0<\text{e}^c<\text{e}^x\), y como \(x>0\) tenemos también que

\[x<x\text{e}^c<x\text{e}^x\Leftrightarrow 1+x<1+x\text{e}^c<1+x\text{e}^x\Leftrightarrow1+x<\text{e}^x<1+x\text{e}^x\]

tal y como queríamos demostrar. Si \(x<0\) basta aplicar el teorema del valor medio al intervalo \([x,0]\) y proceder como anteriormente. Si \(x=0\), la doble desigualdad es doble igualdad. Por tanto \(1+x\leqslant\text{e}^x\leqslant 1+x\text{e}^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

Sea ahora \(f(x)=\ln(1+x)\) y \(x>0\). Volviendo a aplicar el teorema del valor medio al intervalo \([0,x]\), existe \(c\in(0,x)\) tal que \(\ln(1+x)=\frac{1}{1+c}x\). Pero:

\[0<c<x\Leftrightarrow1<1+c<1+x\Leftrightarrow\frac{1}{1+x}<\frac{1}{1+c}<1\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\frac{x}{1+x}<\frac{1}{1+c}x<x\Leftrightarrow \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x\]

tal y como queríamos demostrar. Si \(-1<x<0\) se aplica el teorema del valor medio al intervalo \([x,0]\). Si \(x=0\) la doble desigualdad es claramente una doble igualdad. Por tanto, \(\frac{x}{1+x}\leqslant\ln(1+x)\leqslant x\,,\forall\,x\in(-1,+\infty)\).

Ejercicio 13

robar que \(x^{\text{e}}\leqslant \text{e}^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R^+}\).

Indicación: estudiar la función \(f:\mathbb{R^+}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\,,\forall\,x\in\mathbb{R^+}\).

Solución.

Derivando la función dada en la indicación tenemos \(f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\). Entonces:

\[f'(x)=0\Leftrightarrow1-\ln x=0\Leftrightarrow\ln x=1\Leftrightarrow x=\text{e}\]

Por tanto, todo punto de \(\mathbb{R^+}\) distinto de \(\text{e}\) no puede ser extremo relativo. Además, por un lado:

\[f'(x)\geqslant0\Leftrightarrow1-\ln x\geqslant0\Leftrightarrow\ln x\leqslant1\Leftrightarrow x\leqslant\text{e}\]

Y, por otro lado,

\[f'(x)\leqslant0\Leftrightarrow1-\ln x\leqslant0\Leftrightarrow\ln x\geqslant1\Leftrightarrow x\geqslant\text{e}\]

Esto quiere decir que la función \(f\) alcanza un máximo relativo en el punto \(x=\text{e}\), y éste es único (será pues un máximo absoluto). Por tanto, para todo \(x\in\mathbb{R^+}\) tenemos:

\[f(x)\leqslant f(\text{e})\Leftrightarrow\frac{\ln x}{x}\leqslant\frac{1}{\text{e}}\Leftrightarrow\text{e}\ln x\leqslant x\Leftrightarrow\ln x^{\text{e}}\leqslant \ln\text{e}^x\Leftrightarrow x^{\text{e}}\leqslant\text{e}^x\]

tal y como queríamos demostrar.

Ejercicio 14

Sea \(f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(I=[0,1]\) verificando \(f(0)=f'(0)=0\) y que \(f(1)=1\). Probar que \([0,1]\subset f'(I)\).

Solución.

Como \(f'(0)=0\), entonces \(0\in f'(I)\). Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo \([0,1]\), existe \(c\in(0,1)\) tal que

\[f(1)-f(0)=f'(c)(1-0)\Leftrightarrow f(1)=f'(c)\Leftrightarrow f'(c)=1\]

De lo anterior se deduce que también \(1\in f'(I)\). Por tanto, al ser \(f'(I)\) un intervalo (ver parte v) del teorema 3 del artículo dedicado al teorema del valor medio), todo punto comprendido entre \(0\) y \(1\) también pertenece a \(f'(I)\). Es decir, \([0,1]\subset f'(I)\).

Ejercicio 15

Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(\mathbb{R}\). Sea \(a\) un número real tal que \(f'(a)>0\) y supongamos que \(f'\) es continua en \(a\). Probar que \(f\) es estrictamente creciente en un cierto intervalo abierto de centro \(a\).

Solución.

Como \(f'\) es continua en \(a\) y \(f'(a)>0\), utilizando el lema de conservación del signo, existe un número real y positivo \(\delta\) tal que si \(x\) es cualquier punto de \(\mathbb{R}\) verificando \(|x-a|<\delta\), se tiene que \(f'(x)f'(a)>0\) (\(f'(x)\) tiene el mismo signo que \(f'(a)\)). Como \(f'(a)>0\), entonces \(f'(x)>0\,,\forall\,x\in(a-\delta,a+\delta)\), es decir, \(f\) es estrictamente creciente en un cierto intervalo abierto de centro \(a\).

Ejercicio 16

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales que no tenga puntos aislados. Probar que si \(A\) no es un intervalo existe una función de \(A\) en \(\mathbb{R}\) derivable con derivada nula en todo punto de \(A\) y que no es constante.

Solución.

Si \(A\) no es un intervalo, existen \(a\,,b\in A\) con \(a<b\), de forma que \((a,b)\) no está contenido en \(A\). Luego existe \(c\in(a,b)\) tal que \(c\notin A\). Así \(A=A_1\cup A_2\), donde \(A_1=\{a\in A\,:\,a<c\}\) y \(A_2=\{a\in A\,:\,a>c\}\). Tomemos pues

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    1 & \text{si} & x\in A_1 \\
                    0 & \text{si} & x\in A_2
                  \end{array}
    \right.\]

Es claro que \(f'(x)=0\,,\forall x\in A\) y \(f\) no es constante.

Ejercicio 17

Dar un ejemplo de una función \(f:\mathbb{R^*}\rightarrow\mathbb{R}\) derivable en \(\mathbb{R^*}\), con \(f'(x)\neq0\) para todo \(x\in\mathbb{R^*}\), que no sea monótona.

Solución.

Sea \(f:\mathbb{R^*}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2\). Entonces \(f'(x)=2x\neq0\,,\forall x\in\mathbb{R^*}\). Además, \(f\) decrece estrictamente en \((-\infty,0)\) y crece estrictamente \((0,+\infty)\), luego no es monótona.

Referencia bibliográfica.

Aparicio C., Payá R. (1985) Análisis Matemático I (Secretariado de Publicaciones. Universidad de Granada).


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