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5 ejercicios de geometría: rectas y planos, espacio euclídeo, problemas métricos

En las matemáticas del último curso de bachillerato de ciencias y tecnología, tras hacer un estudio exhaustivo de las matrices, determinantes y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (método de Gauss y Teorema de Rouché-Frobenius), se procede al estudio de la geometría en el espacio. Las matrices, los determinantes, el cálculo de rangos y la resolución de sistemas adquiere todo su sentido en el bloque de geometría afín y euclídea. Una ecuación lineal de primer grado o un sistema de ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas, son representaciones de rectas y planos en el espacio. En esta misma Web hay varios artículos donde se exponen estas cuestiones. En la siguiente lista se puede enlazar a los artículos mencionados.

  1. La ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. La recta en el plano afín.
  2. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas.
  3. La ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas. El plano en el espacio afín.
  4. Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss.
  5. Matrices. Álgebra de matrices.
  6. Determinantes.
  7. Sobre vectores y matrices. Independencia lineal. Rango de una matriz.
  8. Rango de una matriz usando determinantes.
  9. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas.
  10. Sistemas de ecuacione lineales dependientes de un parámetro. El teorema de Rouché-Frobenius.
  11. Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones.
  12. Producto vectorial. Producto mixto de tres vectores. Aplicaciones.

Para atacar los ejercicios de geometría, los problemas de rectas y planos en el espacio, hay que tener mucha costumbre en la discusión de sistemas de ecuaciones lineales y, por tanto, en el cálculo de determinantes y de rangos de matrices. Como en cualquier otra rama de las matemáticas uno adquiere agilidad en la resolución de problemas resolviendo problemas y equivocándose, sobre todo al principio, con cierta frecuencia. Pero no pasa nada. Al cabo de sumergirse durante un tiempo en este tipo de problemas uno empieza a darse cuenta de cómo funcionan las cosas y como "se ve" la geometría en el espacio y su expresión analítica sobre el papel. Os dejo a continuación cinco ejercicios de este tipo que pueden servir de modelo, pues como estos o similares se pueden encontrar en los exámenes de matemáticas de un último curso de bachillerato, o en las pruebas de acceso a la universidad. Al final del artículo los podéis descargar en pdf. En el siguiente enlace puedes encontrar, además, otros 48 ejercicios de geometría en el espacio (los 20 primeros de ellos, completamente resueltos).

Problema 1

Estudia la posición relativa de los planos siguientes según los distintos valores de \(m\):

\[\begin{array}{l}
{\pi _1} \equiv x + y + z = m + 1\\
{\pi _2} \equiv mx + y + \left( {m - 1} \right)z = m\\
{\pi _3} \equiv x + my + z = 1
\end{array}\]

Solución:

Si vemos los tres planos como un sistema de ecuaciones con \(n=3\) incógnitas, la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
m&1&{m - 1}\\
1&m&1
\end{array}} \right)\ ;\ A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{m + 1}\\
m&1&{m - 1}&m\\
1&m&1&1
\end{array}} \right)\]

Su determinante es \(\left| A \right| = \left( {1 + m - 1 + {m^2}} \right) - \left( {1 + m + {m^2} - m} \right) = m - 1\).

Por un lado, si \(m\neq1\), el determinante de \(A\) es distinto de cero, con lo que \(r\left( A \right) = 3 = r\left( {A|b} \right) = n\) (sistema compatible determinado), con lo que los tres planos concurren en un único punto cuyas coordenadas son (resolvemos el sistema por la regla de Cramer):

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{m + 1}&1&1\\
m&1&{m - 1}\\
1&m&1
\end{array}} \right|}}{{m - 1}} = \frac{{\left( {m + 1 + m - 1 + {m^2}} \right) - \left( {1 + m + {m^3} - m} \right)}}{{m - 1}} = \frac{{ - {m^3} + {m^2} + 2m - 1}}{{m - 1}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{m + 1}&1\\
m&m&{m - 1}\\
1&1&1
\end{array}} \right|}}{{m - 1}} = \frac{{\left( {m + {m^2} - 1 + m} \right) - \left( {m + {m^2} + m + m - 1} \right)}}{{m - 1}} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{m + 1}\\
m&1&m\\
1&m&1
\end{array}} \right|}}{{m - 1}} = \frac{{\left( {1 + m + {m^3} + {m^2}} \right) - \left( {m + 1 + m + {m^2}} \right)}}{{m - 1}} = \frac{{{m^3} - m}}{{m - 1}} = m\left( {m + 1} \right)\]

Por otro lado, si \(m=1\), el determinante de \(A\) es igual a cero. La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, en este caso:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right)\ ;\ A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&2\\
1&1&0&1\\
1&1&1&1
\end{array}} \right)\]

Se tiene claramente que \(r(A)=2\) pues \(A\) contiene al menos un menor de orden dos distinto de cero. Además, \(r\left( {A|b} \right) = 3\) pues la matriz ampliada contiene un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2\\
1&0&1\\
1&1&1
\end{array}} \right| = \left( {0 + 1 + 2} \right) - \left( {0 + 1 + 1} \right) = 1\]

De lo anterior se deduce que si \(m=1\) el sistema es incompatible, con lo que los planos no tienen ningún punto en común.

Observando detenidamente los coeficientes de \(\pi_1\), \(\pi_2\) y \(\pi_3\), se deduce que \(\pi_1\) y \(\pi_3\) son paralelos y distintos ya que \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} \ne \frac{2}{1}\). Por tanto, la posición de los tres planos serán la que se representa en la siguiente figura.

5 ejercicios geometria 01

Problema 2

Dada la recta \(r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + z = 1\\
2x + z = 0
\end{array} \right.\), hallar la ecuación de la recta   que corta perpendicularmente a   y pasa por el punto \(P\left( {0,2,2} \right)\).

Solución

El punto \(P\left( {0,2,2} \right)\) no está sobre \(r\) como fácilmente se puede comprobar. La recta buscada vendrá determinada por \(P\) y el punto \(Q\) de intersección de \(r\) con el plano \(\pi\) que pasa por \(P\) y es perpendicular a \(r\) (ver figura siguiente).

5 ejercicios geometria 02

Dicho plano tiene por vector normal al vector director de \(r\), que es

\[\vec v = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
i&j&k\\
1&{ - 2}&1\\
2&0&1
\end{array}} \right| = \left( { - 2i + 2j} \right) - \left( { - 4k + j} \right) =  - 2i + j + 4k \Rightarrow \vec v = \left( { - 2,1,4} \right)\]

Por tanto, el plano \(\pi\) es de la forma \(\pi  \equiv  - 2x + y + 4z + D = 0\) e imponiendo que pasa por el punto \(P\left( {0,2,2} \right)\) obtenemos que \(D=10\), con lo que \(\pi  \equiv  - 2x + y + 4z - 10 = 0\).

Resolviendo el sistema \(r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + z = 1\\
2x + z = 0
\end{array} \right.\) obtenemos las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial de la recta \(r\). Es muy fácil deducir que, si llamamos \(z=\lambda\), entonces \(x =  - \frac{1}{2}\lambda\), \(y =  - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\lambda\), con lo que la ecuación vectorial de la recta \(r\) es:

\[r \equiv \left( {x,y,z} \right) = \left( {0, - \frac{1}{2},0} \right) + \lambda \left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{4},1} \right)\]

Obsérvese que de aquí también se puede deducir que un vector director de \(r\) es \(\left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{4},1} \right)\), y por tanto también lo será el vector \(\vec v = \left( { - 2,1,4} \right)\), por ser proporcional al anterior.

Si sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta \(r\) en la ecuación del plano tenemos:

\[- 2\left( { - \frac{1}{2}\lambda } \right) + \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\lambda } \right) + 4\lambda  - 10 = 0 \Rightarrow \frac{{21}}{4}\lambda  - \frac{{21}}{2} = 0 \Rightarrow \lambda  = 2\]

Por tanto, el punto \(Q\) es

\[Q\left( { - \frac{1}{2} \cdot 2, - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 2,2} \right) = Q\left( { - 1,0,2} \right)\]
La recta \(s\) que se pide y que pasa por \(P\left( {0,2,2} \right)\), se halla precisamente a partir de \(P\) y \(Q\), pues \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 1, - 2,0} \right)\), de donde
\[s \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \lambda \\
y = 2 - 2\lambda \\
z = 2
\end{array} \right.\]

Problema 3

Hallar la proyección \(r'\) de la recta \(r \equiv \frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\) sobre el plano \(\pi  \equiv 2x - y + 3z + 6 = 0\).

Solución

La proyección \(P'\) de un punto \(P\) sobre el plano \(\pi\) (ver figura siguiente) es la intersección con el plano de la perpendicular a \(\pi\) trazada por el punto \(P\). La recta \(r'\), proyección de la recta \(r\) sobre \(\pi\), se obtiene hallando la proyección de dos puntos de \(r\); uno de ellos es el punto de corte \(M\) (caso de que \(r\) y \(\pi\) sean secantes).

5 ejercicios geometria 03

Las ecuaciones paramétricas de \(r\) son

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + \lambda \\
y = 1 + 2\lambda \\
z =  - \lambda
\end{array} \right.\]

Sustituyendo en la ecuación del plano resulta

\[2\left( {2 + \lambda } \right) - \left( {1 + 2\lambda } \right) + 3\left( { - \lambda } \right) + 6 = 0 \Rightarrow  - 3\lambda  + 9 = 0 \Rightarrow \lambda  = 3\]

Llevando \(\lambda\) a las ecuaciones paramétricas de \(r\) se tiene que \(M\left( {5,7, - 3} \right)\). Otro punto de la recta es claramente \(P\left( {2,1,0} \right)\). La ecuación de la recta que pasa por \(P\) y \(P'\), perpendicular a \(\pi\), tiene por vector director el vector normal del plano, que es \(\vec v = \left( {2, - 1,3} \right)\). Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por \(P\) y \(P'\) son las siguientes:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2\lambda \\
y = 1 - \lambda \\
z = 3\lambda
\end{array} \right.\]

El punto \(P'\) de corte con el plano lo hallamos de nuevo sustituyendo en la ecuación del plano:

\[2\left( {2 + 2\lambda } \right) - \left( {1 - \lambda } \right) + 3 \cdot 3\lambda  + 6 = 0 \Rightarrow 14\lambda  + 9 = 0 \Rightarrow \lambda  =  - \frac{9}{{14}}\]

De aquí se obtiene que \(P' = \left( {\frac{{10}}{{14}},\frac{{23}}{{14}}, - \frac{{27}}{{14}}} \right)\). Un vector director de \(r'\) (proyección de \(r\) sobre \(\pi\)) es \(\overrightarrow {MP'}  = \left( { - \frac{{60}}{{14}}, - \frac{{75}}{{14}},\frac{{15}}{{14}}} \right)\), con lo que también los será uno proporcional al anterior: \(\vec u = \left( {4,5, - 1} \right)\). Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas de \(r'\) son:

\[r' \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + 4\lambda \\
y = 7 + 5\lambda \\
z =  - 3 - \lambda
\end{array} \right.\]

Problema 4

Hallar dos puntos, uno de cada una de las rectas

\[r \equiv \frac{{x + 2}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z + 5}}{{ - 3}}\ ;\ s \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \lambda \\
y = 3 + 2\lambda \\
z = 1 + \lambda
\end{array} \right.\]

de manera que la distancia entre ellos sea mínima. Calcula dicha distancia.

Solución

Tenemos las siguientes posibilidades.

  1. \(r\) y \(s\) se cortan en un punto. Entonces la distancia es cero y los puntos buscados coinciden: el punto de corte.
  2. \(r\) y \(s\) son paralelas (si son coincidentes cualquier punto es solución). En este caso hay infinitas soluciones (para cada punto \(A\) de \(r\) consideramos la recta perpendicular a \(r\), y por tanto perpendicular a \(s\), que pasa por \(A\). Esta recta cortará a \(s\) en un punto \(B\). Los puntos \(A\) y \(B\) son la solución al problema).
  3. \(r\) y \(s\) se cruzan. Entonces la solución es única y los puntos buscados son los puntos de intersección de la perpendicular común a \(r\) y a \(s\) con dichas rectas.

Sean \(P\left( { - 2,2, - 5} \right)\) y \(\vec v = \left( { - 5,4,3} \right)\) un punto y un vector director de \(r\); y sean \(Q\left( {0,3,1} \right)\) y \(\vec w = \left( { - 1,2,1} \right)\) un punto y un vector director de \(s\). La posición relativa de \(r\) y \(s\) se puede obtener calculando los rangos de las matrices formadas por \(\vec v\) y \(\vec w\) por un lado, y por \(\vec v\), \(\vec w\) y \(\overrightarrow {PQ}\), por otro. Es muy fácil comprobar que

\[r\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec v}\\
{\vec w}
\end{array}} \right) = r\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 5}&4&{ - 3}\\
{ - 1}&2&1
\end{array}} \right) = 2\ ;\ r\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec v}\\
{\vec w}\\
{\overrightarrow {PQ} }
\end{array}} \right) = r\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 5}&4&{ - 3}\\
{ - 1}&2&1\\
2&1&6
\end{array}} \right) = 3\]

Por tanto las rectas \(r\) y \(s\) se cruzan.

5 ejercicios geometria 04

El vector perpendicular a ambas rectas es

\[\vec u = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
i&j&k\\
{ - 5}&4&{ - 3}\\
{ - 1}&2&1
\end{array}} \right| = \left( {4i + 3j - 10k} \right) - \left( { - 4k - 5j - 6i} \right) = 10i + 8j - 6k \Rightarrow \vec u = \left( {10,8, - 6} \right)\]

Sea \(\pi\) el plano determinado por \(r\) y \(\vec u\):

\[\pi  \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2 - 5\lambda  + 10\mu \\
y = 2 + 4\lambda  + 8\mu \\
z =  - 5 - 3\lambda  - 6\mu
\end{array} \right.\]

Pasemos a la ecuación general:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2}&{ - 5}&{10}\\
{y - 2}&4&8\\
{z + 5}&{ - 3}&{ - 6}
\end{array}} \right| = \left( { - 24x - 48 - 40z - 200 - 30y + 60} \right) - \left( {40z + 200 + 30y - 60 - 24x - 48} \right) =\]

\[=  - 60y - 80z - 280 \Rightarrow \pi  \equiv 3y + 4z + 14 = 0\]

Para hallar \(B\) basta sustituir las ecuaciones paramétricas de \(s\):

\[3\left( {3 + 2\lambda } \right) + 4\left( {1 + \lambda } \right) + 14 = 0 \Rightarrow 10\lambda  + 27 = 0 \Rightarrow \lambda  =  - \frac{{27}}{{10}}\]

de donde

\[\left\{ \begin{array}{l}
x =  - \left( { - \frac{{27}}{{10}}} \right) = \frac{{27}}{{10}}\\
y = 3 + 2 \cdot \left( { - \frac{{27}}{{10}}} \right) =  - \frac{{24}}{{10}}\\
z = 1 + \left( { - \frac{{27}}{{10}}} \right) =  - \frac{{17}}{{10}}
\end{array} \right. \Rightarrow B = \left( {\frac{{27}}{{10}}, - \frac{{24}}{{10}}, - \frac{{17}}{{10}}} \right)\]

Análogamente se halla el plano \(\pi'\) determinado por \(s\) y \(\vec u\), y su intersección con la recta \(r\), que es el punto

\[A\left( {\frac{{31}}{{10}}, - \frac{{52}}{{25}}, - \frac{{97}}{{50}}} \right)\]

La distancia es

\[d\left( {A,B} \right) = \sqrt {{{\left( {\frac{{27}}{{10}} - \frac{{31}}{{10}}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{24}}{{10}} + \frac{{52}}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{17}}{{10}} + \frac{{97}}{{50}}} \right)}^2}}  \cong 0,5656\]

Problema 5

Determinar los valores de \(a\) y \(b\) para que los planos

\[\begin{array}{l}
{\pi _1} \equiv x + 2y - z = 1\\
{\pi _2} \equiv 2x + y + az = 0\\
{\pi _3} \equiv 3x + 3y - 2z = b
\end{array}\]

pasen por una misma recta. Hallar el simétrico del punto \(\left( {0,0,0} \right)\) respecto a la recta común anterior.

Solución

Sean \(A\) y \(A|b\) la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema formado por los tres planos:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}\\
2&1&a\\
3&3&{ - 2}
\end{array}} \right)\ ;\ A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}&1\\
2&1&a&0\\
3&3&{ - 2}&b
\end{array}} \right)\]

Para que los tres planos se corten según una recta, el sistema formado por las tres ecuaciones debe ser compatible indeterminado y para ello tanto el rango de \(A\) como el rango de \(A|b\) deben de ser igual a dos.

Por un lado, el determinante de la matriz de los coeficientes ha de ser igual a cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}\\
2&1&a\\
3&3&{ - 2}
\end{array}} \right| = \left( { - 2 + 6a - 6} \right) - \left( { - 3 - 8 + 3a} \right) \Rightarrow 3a + 3 = 0 \Rightarrow a =  - 1\]

Además, como \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
2&1
\end{array}} \right| \ne 0\), se tiene que para \(a=-1\), el rango de \(A\) es dos. Para que la matriz ampliada sea también de rango dos bastará que sea nulo el determinante que se obtiene de suprimir la tercera columna:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1\\
2&1&0\\
3&3&b
\end{array}} \right| = \left( {b + 6} \right) - \left( {3 + 4b} \right) \Rightarrow  - 3b + 3 = 0 \Rightarrow b = 1\]

Así pues, si \(a=-1\) y \(b=1\), los planos se cortan en una misma recta \(r\) de ecuación general

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - z = 1\\
2x + y - z = 0
\end{array} \right.\]

Hemos suprimido la tercera ecuación que, para \(a=-1\) y \(b=1\), es combinación lineal de las dos primeras (de hecho, es la suma de ambas).

5 ejercicios geometria 05

Sea \(X = \left( {0,0,0} \right)\), y \(X'\left( {a,b,c} \right)\) el simétrico de \(X\) respecto de la recta \(r\). Entonces \(\overrightarrow {XX'}  = \left( {a,b,c} \right)\) debe ser perpendicular al vector director de \(r\). Además, un punto de \(r\) es el punto medio de \(X\) y \(X'\): \(P\left( {\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2}} \right)\).

Un vector director de \(r\) es:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
i&j&k\\
1&2&{ - 1}\\
2&1&{ - 1}
\end{array}} \right| = \left( { - 2i - 2j + k} \right) - \left( {4k - j - i} \right) =  - i - j - 3k \Rightarrow \vec u = \left( { - 1, - 1, - 3} \right)\]

Como, según se ha dicho, \(\overrightarrow {XX'}  \bot \vec u\), entonces:

\[\overrightarrow {XX'}  \cdot \vec u = 0 \Rightarrow  - a - b - 3c = 0 \Rightarrow a + b + 3c = 0\]

Por otra parte, \(P\) debe satisfacer las ecuaciones de \(r\):

\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{2} + 2\frac{b}{2} - \frac{c}{2} = 1\\
2\frac{a}{2} + \frac{b}{2} - \frac{c}{2} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 2b - c = 2\\
2a + b - c = 0
\end{array} \right.\]

Finalmente \(X' = \left( {a,b,c} \right)\) se halla resolviendo el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b + 3c = 0\\
a + 2b - c = 2\\
2a + b - c = 0
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son \(a =  - \frac{8}{{11}}\), \(b = \frac{{14}}{{11}}\) y \(c =  - \frac{2}{{11}}\). Entonces \(X' = \left( { - \frac{8}{{11}},\frac{{14}}{{11}}, - \frac{2}{{11}}} \right)\).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


Leer más ...

Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro

Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que dependan de un parámetro. Recordemos pues, en primer lugar, el enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius.

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\\
{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}\\
\,\,\,.................................\\
{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{mn}}{x_n} = {b_m}
\end{array} \right.\]

un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas y sean también

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\,\,\,\,{a_{12}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}\,\,\,\,{a_{22}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{2n}}}\\
{.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,}\\
{{a_{m1}}\,\,\,\,{a_{m2}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{mn}}}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\,\,\,\,{a_{12}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{1n}}\,\,\,\,{b_1}}\\
{{a_{21}}\,\,\,\,{a_{22}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{2n}}\,\,\,\,{b_2}}\\
{.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,}\\
{{a_{m1}}\,\,\,\,{a_{m2}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{mn}}\,\,\,\,{b_m}}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada, respectivamente, asociadas al sistema. Llamemos \(r(A)\) al rango de la matriz \(A\) y \(r(A|b)\) al rango de la matriz ampliada. Entonces:

1. Si \(r(A)\neq r(A|b)\) el sistema es incompatible (no tiene solución).

2. Si \(r(A)=r(A|b)\) el sistema es compatible. Además:

2.1. Si \(r(A)=r(A|b)=n\), el sistema es compatible determinado (solución única).

2.2. Si \(r(A)=r(A|b)<n\), el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). En este caso, llamando \(r\) al rango, se pueden expresar \(r\) incógnitas en función de las \(n-r\) restantes. Al número \(n-r\) se le llama grado de libertad del sistema.

Ejemplo 1

En el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y + 5z - t = 2\\
2x - y - z + t = 3\\
x + y + 3z - 2t = 4
\end{array} \right.\]

tenemos que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5&{ - 1}\\
2&{ - 1}&{ - 1}&1\\
1&1&3&{ - 2}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5&{ - 1}&2\\
2&{ - 1}&{ - 1}&1&3\\
1&1&3&{ - 2}&4
\end{array}} \right)\]

Ya vimos en otro artículo cómo calcular el rango de una matriz usando los determinantes. En este caso, tanto el rango de la matriz de los coeficientes, como el rango de la matriz ampliada, es al menos tres. Pero es que hay por lo menos un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5\\
2&{ - 1}&{ - 1}\\
1&1&3
\end{array}} \right| = \left( { - 9 - 2 + 10} \right) - \left( { - 5 + 12 - 3} \right) =  - 1 - 4 =  - 5 \ne 0\]

Por tanto \(r = r(A) = r(A|b) = 3 < 4 = n\), con lo que, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Como su grado de libertad es \(n - r = 4 - 3 = 1\), entonces tres de las incógnitas se expresarán en función de una restante. Usando el menor distinto de cero que hemos escogido anteriormente (formado por las tres primeras columnas), tomaremos como incógnita libre la última, que pasaremos al segundo miembro, y aplicaremos la regla de Cramer. Es decir, si llamamos \(t=\lambda\), el sistema se puede escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y + 5z = 2 + \lambda \\
2x - y - z = 3 - \lambda \\
x + y + 3z = 4 + 2\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 + \lambda }&2&5\\
{3 - \lambda }&{ - 1}&{ - 1}\\
{4 + 2\lambda }&1&3
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{5 + 5\lambda }}{{ - 5}} =  - 1 - \lambda \,\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{2 + \lambda }&5\\
2&{3 - \lambda }&{ - 1}\\
1&{4 + 2\lambda }&3
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{50 + 15\lambda }}{{ - 5}} =  - 10 - 3\lambda\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&{2 + \lambda }\\
2&{ - 1}&{3 - \lambda }\\
1&1&{4 + 2\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{ - 25 - 10\lambda }}{{ - 5}} = 5 + 2\lambda\]

Ejemplo 2

Dado el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + y - z = 4\\
x - y + 2z = 1\\
x + 2y + z = 0\\
x + 2y + 5z =  - 3
\end{array} \right.\]

tenemos que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son las siguientes:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
1&2&1\\
1&2&5
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}&4\\
1&{ - 1}&2&1\\
1&2&1&0\\
1&2&5&{ - 3}
\end{array}} \right)\]

En este caso \(r(A)=3\), ya que hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
1&2&1
\end{array}} \right| = \left( { - 2 + 2 - 2} \right) - \left( {1 + 1 + 8} \right) =  - 2 - 10 =  - 12 \ne 0\]

Y también \(r(A|b)=3\), pues el único menor de orden cuatro (el menor principal de orden cuatro) es igual a cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}&4\\
1&{ - 1}&2&1\\
1&2&1&0\\
1&2&5&{ - 3}
\end{array}} \right| = \begin{array}{*{20}{c}}
{{f_1} - 2{f_2}}\\
{{f_2} - {f_3}}\\
{}\\
{{f_4} - {f_3}}
\end{array} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&3&{ - 5}&2\\
0&{ - 3}&1&1\\
1&2&1&0\\
0&0&4&{ - 3}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 5}&2\\
{ - 3}&1&1\\
0&4&{ - 3}
\end{array}} \right| = 0\]

Obsérvese las transformaciones que se han hecho para hallar el determinante. Primero hemos hecho ceros teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes (se pueden hacer de muchas otras formas distintas) y luego hemos desarrollado por los elementos de la primera columna. El último determinante (el de orden tres) es igual a cero porque la última fila es igual a la opuesta de la primera menos la segunda (aunque también se puede calcular aplicando la regla de Sarrus).

Por tanto \(r(A) = r(A|b) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única). Para resolverlo podemos eliminar la última ecuación pues, por ser \(r(A|b) = 3\), dependerá linealmente de las demás. Las soluciones son:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
0&2&1
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( { - 4 - 2} \right) - \left( {1 + 16} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{ - 6 - 17}}{{ - 12}} = \frac{{23}}{{12}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&4&{ - 1}\\
1&1&2\\
1&0&1
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( {2 + 8} \right) - \left( { - 1 + 4} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{10 - 3}}{{ - 12}} =  - \frac{7}{{12}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&4\\
1&{ - 1}&1\\
1&2&0
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( {1 + 8} \right) - \left( { - 4 + 4} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{9 - 0}}{{ - 12}} =  - \frac{9}{{12}} =  - \frac{3}{4}\]

Sistemas que dependen de un parámetro

Es corriente que, dado un sistema de ecuaciones lineales, alguno o algunos de los coeficientes o de los términos independientes sean desconocidos y dependan de uno o más parámetros. Discutir un sistema de ecuaciones dependiente de uno o más parámetros es identificar para qué valores de los parámetros el sistema es compatible, distinguiendo los casos en que es determinado o indeterminado.

Es posible discutir sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Aquí veremos cómo hacerlo con la ayuda de los determinantes. Como mejor se entiende es viendo algunos ejemplos.

Ejemplo 3

Discutiremos el sistema de ecuaciones

\[\left\{ \begin{array}{l}
ax + y + z = 2a\\
x - y + z = a - 1\\
x + (a - 1)y + az = a + 3
\end{array} \right.\]

según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1\\
1&{ - 1}&1\\
1&{a - 1}&a
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1&{2a}\\
1&{ - 1}&1&{a - 1}\\
1&{a - 1}&a&{a + 3}
\end{array}} \right)\]

El rango de ambas es al menos dos pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 1 - ( - 1) = 2\]

Además

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1\\
1&{ - 1}&1\\
1&{a - 1}&a
\end{array}} \right| = ( - {a^2} + 1 + a - 1) - ( - 1 + a + {a^2} - a) =\]

\[= ( - {a^2} + a) - ({a^2} - 1) =  - 2{a^2} + a + 1\]

Entonces \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow  - 2{a^2} + a + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - \frac{1}{2}\\
a = 1
\end{array} \right.\,\).

Veamos ahora las distintas opciones que se pueden presentar.

Si \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), \(\left| A \right| \ne 0\) y entonces \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única).

Si \(a =  - \frac{1}{2}\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1/2}&1&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&1&{ - 3/2}\\
1&{ - 3/2}&{ - 1/2}&{5/2}
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es tres, pues hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1/2}&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&{ - 3/2}\\
1&{ - 3/2}&{5/2}
\end{array}} \right| = \left( {\frac{5}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}} \right) - \left( {1 + \frac{5}{2} - \frac{9}{8}} \right) = \frac{5}{4} - \frac{{19}}{8} =  - \frac{9}{8} \ne 0\]

Por tanto, en este caso, \(r\left( A \right) = 2 \ne r\left( {A|b} \right) = 3\), con lo que el sistema es incompatible.

Finalmente, si \(a=1\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&2\\
1&{ - 1}&1&0\\
1&0&1&4
\end{array}} \right)\]

cuyo rango también es tres pues vuelve a haber un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2\\
1&{ - 1}&0\\
1&0&4
\end{array}} \right| = ( - 4 + 0 + 0) - ( - 2 + 4 + 0) =  - 4 - 2 =  - 6 \ne 0\]

Por tanto, otra vez \(r\left( A \right) = 2 \ne r\left( {A|b} \right) = 3\), y el sistema vuelve a ser incompatible.

En el primer caso, cuando \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), podemos hallar la solución única aplicando la regla de Cramer. Recordemos que \(\left| A \right| =  - 2{a^2} + a + 1\). Entonces:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2a}&1&1\\
{a - 1}&{ - 1}&1\\
{a + 3}&{a - 1}&a
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( { - 2{a^2} + a + 3 + {a^2} - 2a + 1} \right) - \left( { - a - 3 + {a^2} - a + 2{a^2} - 2a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \]

\[= \frac{{\left( { - {a^2} - a + 4} \right) - \left( {3{a^2} - 4a - 3} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{ - 4{a^2} + 3a + 7}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&{2a}&1\\
1&{a - 1}&1\\
1&{a + 3}&a
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( {{a^3} - {a^2} + 2a + a + 3} \right) - \left( {a - 1 + 2{a^2} + {a^2} + 3a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \]

\[= \frac{{\left( {{a^3} - {a^2} + 3a + 3} \right) - \left( {3{a^2} + 4a - 1} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&{2a}\\
1&{ - 1}&{a - 1}\\
1&{a - 1}&{a + 3}
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( { - {a^2} - 3a + a - 1 + 2{a^2} - 2a} \right) - \left( { - 2a + a + 3 + {a^3} - 2{a^2} + a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} =\]

\[= \frac{{\left( {{a^2} - 4a - 1} \right) - \left( {{a^3} - 2{a^2} + 3} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{ - {a^3} + 3{a^2} - 4a - 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

Como se puede apreciar, para cada valor del parámetro   hay un sistema distinto y su correspondiente solución única. Por ejemplo, si \(a=-1\), tendríamos que \(x=0\), \(y=0\), \(z=-2\) (¡compruébese!).

Hay una interpretación geométrica de todo esto. Sabemos que una ecuación lineal del primer grado con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Pues bien, si \(a=-\frac{1}{2}\) o \(a=1\), los tres planos no tienen ningún punto en común.

Sin embargo, si \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), los tres planos tienen un punto en común, el punto de coordenadas

\[\left( {\frac{{ - 4{a^2} + 3a + 7}}{{ - 2{a^2} + a + 1}},\frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}},\frac{{ - {a^3} + 3{a^2} - 4a - 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}} \right)\]

Ejemplo 4

Dados los planos \(\alpha  \equiv x + y + z = 1\), \(\beta  \equiv ax + y = 1\), \(\gamma  \equiv x + (a + 1)z = 0\), determinar la posición relativa de los mismos según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

Planteemos el sistema formado por los tres planos:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
ax + y = 1\\
x + (a + 1)z = 0
\end{array} \right.\]

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
a&1&0&1\\
1&0&{a + 1}&0
\end{array}} \right)\]

El rango de ambas es al menos dos pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&0
\end{array}} \right| = 0 - 1 =  - 1 \ne 0\]

Además, el determinante de \(A\) es

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right| = (a + 1 + 0 + 0) - (1 + a(a + 1) + 0) = (a + 1) - (1 + {a^2} + a) =  - {a^2}\]

Entonces \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow  - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0\).

Los distintos casos que se pueden dar los analizamos a continuación.

Si \(a\ne0\), entonces \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única). Esta solución es:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&1&0\\
0&0&{a + 1}
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = 0\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = \frac{{\left( {a + 1} \right) - \left( {1 + {a^2} + a} \right)}}{{ - {a^2}}} = \frac{{ - {a^2}}}{{ - {a^2}}} = 1\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&1\\
1&0&0
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = 0\]

Si \(a=0\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&0&1\\
1&0&1&0
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es dos pues todos los menores de orden tres son iguales a cero. También es fácil decidir que el rango es dos argumentando que la tercera fila es la primera menos la segunda.

Por tanto, en este caso, \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 2 < 3 = n\), con lo que el sistema es compatible indeterminado, es decir,  hay infinitas soluciones. Vamos a hallarlas. El grado de libertad del sistema es \(3-2=1\), con lo que una incógnita va libre y las otras dos dependen de ella. Pongamos pues \(z=\lambda\) y eliminemos la última ecuación. El sistema es el siguiente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
y = 1
\end{array} \right.\]

Rápidamente vemos que las soluciones del sistema anterior son \(x=-\lambda\), \(y=1\), \(z=\lambda\).

La interpretación geométrica de los dos casos anteriores es la siguiente.

Si \(a\ne0\) los tres planos se cortan en un punto de coordenadas

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,1,0} \right)\]

Si \(a=0\) los tres planos se cortan según una recta de ecuación vectorial

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { - \lambda ,1,\lambda } \right) = \left( {0,1,0} \right) + \lambda \left( { - 1,0,1} \right)\]

Ejemplo 5

Discutamos por último el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 5\\
y + z = a\\
x - 2z = 3\\
2x - 3z = a
\end{array} \right.\]

para los diferentes valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}\\
2&0&{ - 3}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
0&1&1&a\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right)\]

El rango de la matriz \(A\) es tres, pues hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right| =  - 2 - 1 =  - 3\]

Hallemos el determinante de la matriz \(A|b\), que es cuadrada de orden cuatro:

\[\left| {A|b} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
0&1&1&a\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
1&0&1&{a + 5}\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{a + 5}\\
1&{ - 2}&3\\
2&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \]

\[ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{a + 5}\\
0&{ - 3}&{ - a - 2}\\
0&{ - 5}&{ - a - 10}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}&{ - a - 2}\\
{ - 5}&{ - a - 10}
\end{array}} \right| = (3a + 30) - (5a + 10) =  - 2a + 20\]

Se deja al lector que analice las propiedades de los determinantes que se han utilizado para calcular el determinante anterior. Por tanto \(\left| B \right| = 0 \Leftrightarrow a = 10\), con lo que podemos hacer la siguiente discusión:

Si \(a \ne 10 \Rightarrow r\left( {A|b} \right) = 4 \ne r\left( A \right) = 3\) y el sistema es incompatible.

Si \(a = 10 \Rightarrow r\left( {A|b} \right) = r\left( A \right) = 3\) y el sistema es compatible determinado (solución única). En este caso el sistema adopta la forma siguiente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 5\\
y + z = 10\\
x - 2z = 3\\
2x - 3z = 10
\end{array} \right.\]

Podemos eliminar la última ecuación y aplicar la regla de Cramer para obtener la solución del sistema.

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5&{ - 1}&0\\
{10}&1&1\\
3&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{( - 10 - 3 + 0) - (0 + 20 + 0)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 33}}{{ - 3}} = 11\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&5&0\\
0&{10}&1\\
1&3&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{( - 20 + 5 + 0) - (0 + 0 + 3)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 18}}{{ - 3}} = 6\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&5\\
0&1&{10}\\
1&0&3
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{(3 - 10 + 0) - (5 + 0 + 0)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 12}}{{ - 3}} = 4\]


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Leer más ...

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas tiene la siguiente forma

\[\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\qquad(1)\]

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, un plano en el espacio. En este caso tenemos dos en su forma general:

\[\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\quad \text{;}\quad \pi ' \equiv A'x + B'y + C'z + D' = 0\]

Las posibles posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: coincidentes, paralelos y secantes. Utilizaremos el teorema de Rouché para interpretar las soluciones del sistema e identificarlas con la posición relativa correspondiente.

Sean pues, respectivamente,

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right)\quad\text{;}\quad\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema (1). Como hay tres incógnitas escribiremos \(n=3\). Veamos ahora los casos que se pueden presentar.

Caso 1

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 1 < 3 = n\]

El sistema es compatible indeterminado. Es decir, existen infinitas soluciones. En este caso las filas son proporcionales, con lo que los dos planos serán coincidentes. La condición pues para que esto ocurra es

\[\pi  \equiv \pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} = \frac{D}{{D'}}\]

Caso 2

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = 1 \ne {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2\]

El sistema no tiene solución, con lo que los planos serán paralelos. En este caso las filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales, pero no lo son las de la matriz ampliada. Por tanto es fácil deducir que la condición para que los dos planos sean paralelos es la siguiente:

\[\pi\, |\,|\,\pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\]

Caso 3

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2 < 3 = n\]

El sistema vuelve a ser compatible indeterminado. Es decir, hay infinitas soluciones. La única posibilidad es que estas soluciones, al ser el rango dos y no ser las filas proporcionales, estén sobre la recta donde se cortan ambos planos. En este caso los planos son secantes según una recta: \(\pi  \cap \pi ' = r\). Las soluciones, o lo que es lo mismo, la recta de corte de ambos planos, se puede obtener hallando las soluciones del sistema (que dependerán de un parámetro). De este modo obtendríamos las ecuaciones paramétricas de la recta. De hecho, si los planos son secantes según una recta \(r\), al conjunto de las dos ecuaciones del sistema se les llama ecuaciones implícitas de la recta:

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\]

Veamos un ejemplo de este último caso.

Sean los planos \(\pi  \equiv 2x - 3y + z - 1 = 0\) y \(\pi ' \equiv  - x + y - 4z + 1 = 0\). El sistema formado por ambos es:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z - 1 = 0\\
 - x + y - 4z + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z = 1\\
 - x + y - 4z =  - 1
\end{array} \right.\]

Es muy fácil darse cuenta de que

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}&{ - 1}
\end{array}} \right) = 2\]

pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 2 - 3 =  - 1 \ne 0\]

Si llamamos \(z=\lambda\), el sistema lo podemos escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = 1 - \lambda \\
 - x + y =  - 1 + 4\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son, aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - \lambda }&{ - 3}\\
{ - 1 + 4\lambda }&1
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{1 - \lambda  - \left( {3 - 12\lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 11\lambda }}{{ - 1}} = 2 - 11\lambda\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{1 - \lambda }\\
{ - 1}&{ - 1 + 4\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 8\lambda  - \left( { - 1 + \lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 1 + 7\lambda }}{{ - 1}} = 1 - 7\lambda\]

Estas soluciones las podemos escribir así:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {2 - 11\lambda ,1 - 7\lambda ,\lambda } \right) = \left( {2,1,0} \right) + \lambda \left( { - 11,7,1} \right)\]

que no es otra cosa que la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(P\left( {2,1,0} \right)\) y tiene vector director \(\vec u = \left( { - 11,-7,1} \right)\).

En la siguiente figura se pueden apreciar los dos planos y la recta donde se cortan ambos.

sistemas03


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Apuntes de Geometría para Matemáticas II

En los apuntes siguientes se trata, de manera esquemática (son "sólo" 13 páginas), todo el bloque de geometría de la materia Matemáticas II, de 2º de Bachillerato (modalidad de Ciencias y Tecnología). Los contenidos están divididos de la siguiente manera.

Matemáticas II - Geometría

  1. Coordenadas o componentes de un vector.
  2. División de un segmento en n partes iguales.
  3. Vector director de una recta y ecuaciones de la recta.
  4. Ecuaciones de un plano.
  5. Posiciones relativas de dos rectas.
  6. Posiciones relativas de una recta y un plano.
  7. Posiciones relativas de dos planos.
  8. Ecuaciones implícitas de la recta.
  9. Haz de planos.
  10. Producto escalar de dos vectores.
  11. Producto vectorial de dos vectores.
  12. Producto mixto de tres vectores.
  13. Ángulo de dos vectores.
  14. Vector perpendicular a un plano.
  15. Ángulo de dos rectas.
  16. Ángulo de dos planos.
  17. Ángulo de recta y plano.
  18. Distancia entre dos puntos.
  19. Ecuación normal de un plano.
  20. Distancia de un punto a un plano.
  21. Distancia entre dos planos paralelos.
  22. Distancia de un punto a una recta.
  23. Distancia entre una recta y un plano paralelos.
  24. Distancia entre dos rectas paralelas.
  25. Distancia entre dos rectas que se cruzan.
  26. Área de un triángulo.
  27. Área de un paralelogramo.
  28. Volumen de un tetraedro.
  29. Volumen de un paralelepípedo.

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Apuntes de geometría. Matemáticas II. 2º Bachillerato.

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