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Producto vectorial. Producto mixto de tres vectores. Aplicaciones

Producto vectorial

Para una lectura comprensiva de este artículo se recomienda leer antes este otro: "Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones".

Dados dos vectores de distinta dirección podemos construir, trasladando cada vector al extremo del otro, un paralelogramo. Fíjate en la figura siguiente

 producto vectorial 01

Su área es el producto de la base por la altura y, con un poco de trigonometría básica, tenemos:

\[A = \left| {\vec u} \right|h = \left| {\vec u} \right|\,\,\left| {\vec v} \right|{\rm{sen}}\,\alpha\]

El producto vectorial de dos vectores \(\vec u\) y \(\vec v\), que notaremos \(\vec u \times \vec v\) (en este orden), se define como otro vector que tiene por módulo el área del paralelogramo formado por ambos, por dirección la de la recta perpendicular al plano que contiene a este paralelogramo, y el sentido de girar desde \(\vec u\) hacia \(\vec v\) (regla del sacacorchos).

producto vectorial 02

Es conveniente insistir en que el producto vectorial de dos vectores \(\vec u = \left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right)\) y \(\vec v = \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\), a diferencia del producto escalar, es un vector \(\vec w = \vec u \times \vec v\). Vamos a obtener a continuación la expresión analítica del vector \(\vec w = \left( {z,y,z} \right)\) que será de gran utilidad en la resolución de diversos tipos de problemas.

Como \(\vec u \bot \vec w\) y \(\vec v \bot \vec w\), entonces \(\vec u \cdot \vec w = 0\) y \(\vec v \cdot \vec w = 0\), con lo que podemos formar el siguiente sistema:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_1}x + {u_2}y + {u_3}z = 0\\
{v_1}x + {v_2}y + {v_3}z = 0
\end{array} \right.\]

El sistema anterior es claramente compatible indeterminado ya que si suponemos que los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) tienen distinta dirección, el rango de la matriz \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}&{{v_3}}
\end{array}} \right)\) es dos y el número de incógnitas es tres.

Vamos a resolver el sistema anterior. Para ello vamos a suponer, ya que el rango es dos, que el determinante de orden dos \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|\) es distinto de cero. Ahora llamamos \(z=\lambda\), con lo  que el sistema se convierte en

\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_1}x + {u_2}y =  - {u_3}\lambda \\
{v_1}x + {v_2}y =  - {v_3}\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son, aplicando la regla de Cramer, las siguientes:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {u_3}\lambda }&{{u_2}}\\
{ - {v_3}\lambda }&{{v_2}}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|}} =  - \lambda \frac{{\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_3}}&{{u_2}}\\
{{v_3}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|\,}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|}} = \lambda \frac{{\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_2}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|\,}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|}}\ ;\ y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{ - {u_3}\lambda }\\
{{v_1}}&{ - {v_3}\lambda }
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|}} =  - \lambda \frac{{\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|{\kern 1pt} }}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|}}\ ;\ z=\lambda\]

Tomando \(\lambda  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|\), las soluciones anteriores las podemos escribir así:

\[x = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_2}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|\ ;\ y =  - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|\ ;\ z = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|\]

Esto quiere decir que el producto vectorial de \(\vec u = \left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right)\) y \(\vec v = \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\), \(\vec u \times \vec v\), es otro vector cuyas coordenadas son

\[\vec u \times \vec v = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_2}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|, - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|} \right)\]

Estas coordenadas coinciden exactamente con el desarrollo del siguiente determinante por los elementos de la primera fila:

\[\vec u \times \vec v = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
i&j&k\\
{{u_1}}&{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|\]

La expresión anterior es fácil de recordar y usando la misma podemos hallar con facilidad las coordenadas del producto vectorial de dos vectores dados.

Algunas aplicaciones del producto vectorial

Distancia de un punto a una recta

Dados un punto \(P\) y una recta \(r\), se llama distancia de \(P\) a \(r\), que denotaremos \(d\left( {P,r} \right)\), a la distancia de \(P\) a \(M\), donde \(M\) es el punto de intersección de \(r\) con el plano que pasa por \(P\) y es perpendicular a \(r\). Si \(P\left( {{p_1},{p_2},{p_3}} \right)\) y la recta \(r\) tiene ecuaciones continuas \(r \equiv \frac{{x - {a_1}}}{{{u_1}}} = \frac{{y - {a_2}}}{{{u_2}}} = \frac{{z - {a_3}}}{{{u_3}}}\), entonces la distancia de   a   viene dada por:

\[d(P,\,\,r) = \frac{{\left| {\left( {{p_1} - {a_1},\,\,{p_2} - {a_2},\,\,{p_3} - {a_3}} \right) \times \left( {{u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3}} \right)} \right|}}{{\sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} }}\]

producto vectorial 03

Para demostrarlo sean \(M\left( {{m_1},\,\,{m_2},\,\,{m_3}} \right)\), \(\vec u = \left( {{u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3}} \right)\), y \(\overrightarrow {AP}\) el vector que une un punto cualquiera \(A\) de la recta con el punto \(P\): \(\overrightarrow {AP}  = \left( {{p_1} - {a_1},\,\,{p_2} - {a_2},\,\,{p_3} - {a_3}} \right)\). Hagamos el producto vectorial de ambos vectores y hallemos su módulo: \(\left| {\overrightarrow {AP}  \times \vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {AP} } \right|\left| {\vec u} \right|\,{\rm{sen}}\,\alpha\). En la figura anterior se observa que la distancia buscada es \(d(P,r) = \left| {\overrightarrow {AP} } \right|{\rm{sen}}\,\alpha\), y sustituyendo en la expresión anterior tenemos \(\left| {\overrightarrow {AP}  \times \vec u} \right| = d(P,r)\left| {\vec u} \right|\), luego

\[d(P,r) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AP}  \times \vec u} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {{p_1} - {a_1},\,\,{p_2} - {a_2},\,\,{p_3} - {a_3}} \right) \times \left( {{u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3}} \right)} \right|}}{{\sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} }}\]

Distancia entre dos rectas paralelas

Se define esta distancia como la distancia de un punto de cualquiera de una recta a la otra. Así, si las rectas tienen ecuaciones continuas: \(r \equiv \frac{{x - {a_1}}}{{{u_1}}} = \frac{{y - {a_2}}}{{{u_2}}} = \frac{{z - {a_3}}}{{{u_3}}}\) y \(s \equiv \frac{{x - {b_1}}}{{{u_1}}} = \frac{{y - {b_2}}}{{{u_2}}} = \frac{{z - {b_3}}}{{{u_3}}}\) (obsérvese que, por ser paralelas, tienen el mismo vector director), basta aplicar la fórmula de la distancia del punto \(\left( {{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} \right)\) a la segunda recta.

Área de un paralelogramo y de un triángulo

producto vectorial 04

Ya se ha comentado al principio que el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo correspondiente. En particular, dado un paralelogramo \(ABCD\) en el espacio, supongamos que las coordenadas de tres vértices son \(A\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\), \(B\left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\) y \(C\left( {{c_1},{c_2},{c_3}} \right)\). Si llamamos \(S\) al área o superficie del paralelogramo, entonces:

\[\overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AC}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k }\\
{{b_1} - {a_1}}&{{b_2} - {a_2}}&{{b_3} - {a_3}}\\
{{c_1} - {a_1}}&{{c_2} - {a_2}}&{{c_3} - {a_3}}
\end{array}} \right| \Rightarrow S = \left| {\overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AC} } \right|\]

El área o superficie del triángulo será la mitad de la del paralelogramo (cualesquiera de las dos diagonales del paralelogramo dividen al mismo en dos triángulos de igual área). Por tanto la superficie \(S\) del triángulo, conocidos sus tres vértices \(A\), \(B\) y \(C\) es:

\[S = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AC} } \right|\]

Producto mixto de vectores

Dados tres vectores \(\vec u\), \(\vec v\) y \(\vec w\) se llama producto mixto de dichos vectores al número obtenido así:

\[\vec u \cdot \left( {\vec v \times \vec w} \right)\]

El producto mixto se denota así: \(\left( {\vec u,\vec v,\vec w} \right)\). Si las coordenadas de los vectores son \(\vec u = \left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right)\), \(\vec v = \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\) y \(\vec w = \left( {{w_1},{w_2},{w_3}} \right)\), entonces:

\[\vec u \cdot \left( {\vec v \times \vec w} \right) = \left( {{u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3}} \right) \cdot \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_2}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|, - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|} \right)=\]

\[={u_1}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_2}}&{{v_3}}
\end{array}} \right| - {u_2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_3}}
\end{array}} \right| + {u_3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}&{{v_3}}\\
{{w_1}}&{{w_2}}&{{w_3}}
\end{array}} \right|\]

Por tanto, el producto mixto de tres vectores viene dado por la siguiente expresión:

\[\left( {\vec u,\,\,\vec v,\,\,\vec w} \right) = \vec u \cdot \left( {\vec v \times \vec w} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}&{{v_3}}\\
{{w_1}}&{{w_2}}&{{w_3}}
\end{array}} \right|\]

El producto mixto se usa, por ejemplo, en el cálculo de volúmenes. A continuación vamos a deducir un par de fórmulas mediante las cuales podamos obtener el volumen de un tetraedro y el volumen de un paralelepípedo o prisma rectangular.

Volumen de un paralelepípedo o prisma rectangular

Observemos la siguiente figura

producto vectorial 05

Sabemos, por la definición de producto escalar que \(\vec u \cdot \left( {\vec v \times \vec w} \right) = \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v \times \vec w} \right| \cdot \cos \alpha\). Pero, tal y como hemos visto, \(\left| {\vec u \times \vec w} \right|\), representa el área \(A\) sombreada en la figura anterior. Además, también tenemos que \(\cos \alpha  = \frac{h}{{\left| {\vec u} \right|}}\), con lo que \(h = \vec u \cdot \cos \alpha\), que representa la altura \(h\) del paralelepípedo dibujado. Resulta por consiguiente que

\[\vec u \cdot \left( {\vec v \times \vec w} \right) = \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v \times \vec w} \right| \cdot \cos \alpha  = A \cdot h\]

Es decir, que el producto mixto \(\vec u \cdot \left( {\vec v \times \vec w} \right)\), representa geométricamente el volumen \(A\cdot h\) del paralelepípedo de lados \(\vec u\), \(\vec v\) y \(\vec w\). En coordenadas, si \(\vec u = \left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right)\), \(\vec v = \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\) y \(\vec w = \left( {{w_1},{w_2},{w_3}} \right)\), el volumen \(V\) lo podemos expresar así:

\[V = \vec u \cdot \left( {\vec v \times \vec w} \right) = \left( {\vec u,\vec v,\vec w} \right) = \left| {\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}&{{v_3}}\\
{{w_1}}&{{w_2}}&{{w_3}}
\end{array}} \right|\,} \right|\]

Obsérvese que escribimos valor absoluto para asegurarnos de que el volumen es positivo.

Si lo que conocemos son los vértices \(A\left( {{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} \right)\), \(B\left( {{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} \right)\), \(C\left( {{c_1},\,\,{c_2},\,\,{c_3}} \right)\) y \(D\left( {{d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}} \right)\), del prisma rectangular de tal manera que \(\overrightarrow {AB}  = \vec u\), \(\overrightarrow {AC}  = \vec v\) y \(\overrightarrow {AD}  = \vec w\), entonces la fórmula del volumen \(V\) del paralelepípedo viene dada por

\[V = \left| {\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1} - {a_1}}&{{b_2} - {a_2}}&{{b_3} - {a_3}}\\
{{c_1} - {a_1}}&{{c_2} - {a_2}}&{{c_3} - {a_3}}\\
{{d_1} - {a_1}}&{{d_2} - {a_2}}&{{d_3} - {a_3}}
\end{array}} \right|\,} \right|\]

Volumen de un tetraedro

Sean \(A\left( {{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} \right)\), \(B\left( {{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} \right)\), \(C\left( {{c_1},\,\,{c_2},\,\,{c_3}} \right)\) y \(D\left( {{d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}} \right)\) cuatro puntos del espacio. Al unirlos entre sí de todas las maneras posibles, determinan un tetraedro cuyo volumen \(V\) es igual a la sexta parte del valor absoluto del producto mixto \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \,\,\overrightarrow {AD} } \right)\), es decir:

\[V = \frac{1}{6}\,\,\left| {\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1} - {a_1}}&{{b_2} - {a_2}}&{{b_3} - {a_3}}\\
{{c_1} - {a_1}}&{{c_2} - {a_2}}&{{c_3} - {a_3}}\\
{{d_1} - {a_1}}&{{d_2} - {a_2}}&{{d_3} - {a_3}}
\end{array}} \right|\,\,} \right|\]

La demostración se basa en que el volumen de un tetraedro es la tercera parte del área de la base por la altura:

\[V = \frac{1}{3}\left( {{\rm{Área}}\,ACD} \right) \cdot h\]

producto vectorial 06

Por un lado, el área del triángulo \(ACD\) sabemos que es igual a \(\frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AC}  \times \overrightarrow {AD} } \right|\) y, por otro (ver figura anterior), \({\rm{sen}}\,\alpha  = \frac{h}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}\), es decir, \(h = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\,{\rm{sen}}\,\alpha  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\). Sustituyendo estos valores en la fórmula del volumen tenemos:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AC}  \times \overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\,\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) =\]

\[=\frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  \cdot \left( {\overrightarrow {AC}  \times \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{6}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1} - {a_1}}&{{b_2} - {a_2}}&{{b_3} - {a_3}}\\
{{c_1} - {a_1}}&{{c_2} - {a_2}}&{{c_3} - {a_3}}\\
{{d_1} - {a_1}}&{{d_2} - {a_2}}&{{d_3} - {a_3}}
\end{array}} \right|\]

Según el orden en que tomemos los vectores ese determinante puede salir positivo o negativo. Por lo tanto, para que el volumen sea positivo, en la fórmula pondremos el valor absoluto del determinante.


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Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones

Proyecciones

La proyección de un punto \(A\) sobre una recta \(r\) es el punto \(B\) donde la recta perpendicular a \(r\) que pasa por \(A\) corta a la recta \(r\). Con un dibujo se entiende muy bien.

producto escalar 01

La proyección de un segmento \(\overline {AB}\) sobre una recta \(r\) es otro segmento \(\overline {CD}\) contenido en la recta \(r\), cuyos extremos son, respectivamente, las proyecciones de los puntos \(A\) y \(B\) sobre la recta \(r\). Veámoslo con otro dibujo.

producto escalar 02

Un vector es un segmento orientado. Por tanto, la proyección de un vector \(\vec u\) sobre una recta se hace, tal y como hemos visto anteriormente, exactamente igual que la proyección de un segmento sobre una recta.

Se define la proyección de un vector \(\vec u\) sobre un vector \(\vec v\) como la proyección del vector \(\vec u\) sobre la recta que contiene al vector \(\vec v\). A la proyección de un vector \(\vec u\) sobre un vector \(\vec v\) la notaremos \({p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\).

producto escalar 03

En la figura anterior se ha realizado la proyección de un vector \(\vec v\) sobre un vector \(\vec u\). Como se puede observar, la proyección es la misma si hacemos coincidir el origen de ambos vectores. Evidentemente, la proyección del vector \(\vec v\) sobre el vector \(\vec u\) no es la misma que la proyección del vector \(\vec u\) sobre el vector \(\vec v\): \({p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) \ne {p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\) (ver figura siguiente).

producto escalar 04

Obsérvese también que todo par de vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) forman entre sí un ángulo \(\alpha\). Recordando que a la longitud o módulo de un vector \(\vec u\) la denotamos por \(|\vec u|\), y haciendo uso de trigonometría básica (razones trigonométricas en un triángulo rectángulo), podemos escribir, si nos fijamos en las dos figuras anteriores, las dos siguientes relaciones:

\[\cos \alpha  = \frac{{{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right)}}{{\left| {\vec v} \right|}} \Rightarrow {p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) = \left| {\vec v} \right|\cos \alpha\quad;\quad\cos \alpha  = \frac{{{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)}}{{\left| {\vec u} \right|}} \Rightarrow {p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right) = \left| {\vec u} \right|\cos \alpha\qquad(1)\]

Producto escalar de vectores

El producto escalar de vectores está íntimamente relacionado con la proyección de un vector sobre otro. De hecho, se define el producto escalar de dos vectores como el producto del módulo de uno de ellos, por la proyección del otro sobre el primero. Es decir:

\[\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right)\quad;\quad\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec v} \right|{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\qquad(2)\]

Obsérvese que si el vector sobre el que hacemos la proyección tiene longitud o módulo igual a uno, entonces el producto escalar es justamente la proyección. De este modo:

\[\left| {\vec u} \right| = 1 \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = {p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right)\quad;\quad\left| {\vec v} \right| = 1 \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = {p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\]

Es más habitual definir el producto escalar de dos vectores de la siguiente manera:

\[\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|\cos \alpha\qquad(3)\]

donde lo único que se ha hecho es sustituir en \((2)\) las relaciones dadas en \((1)\).

Propiedades del producto escalar de vectores

El producto escalar de dos vectores es un número real (por eso recibe el nombre de escalar). Además, el producto escalar de dos vectores es, a la vista de la fórmula (3), claramente conmutativo. Esto nos lleva, por (2), a que la razón entre los módulos de dos vectores es igual a la razón entre sus proyecciones:

\[\left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) = \left| {\vec v} \right|{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {\vec u} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|}} = \frac{{{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)}}{{{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right)}}\]

De aquí se deduce que módulos iguales y proyecciones iguales son cosas equivalentes (como es natural):

\[\left| {\vec u} \right| = \left| {\vec v} \right| \Leftrightarrow \frac{{\left| {\vec u} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|}} = 1 \Leftrightarrow 1 = \frac{{{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)}}{{{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right)}} \Leftrightarrow {p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) = {p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\]

El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a su módulo al cuadrado, pues el ángulo de un vector consigo mismo es cero. O bien porque la proyección de un vector sobre sí mismo es igual a la longitud o módulo de ese vector.

\[\vec u \cdot \vec u = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec u} \right|\cos 0 = {\left| {\vec u} \right|^2}\quad;\quad\vec u \cdot \vec u = \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec u} \right) = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec u} \right| = {\left| {\vec u} \right|^2}\qquad(4)\]

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es igual a cero, ya que el coseno de un ángulo recto es cero. O bien porque la proyección de uno sobre el otro es un punto, que tiene longitud cero.

\[\vec u \bot \vec v \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|\cos 90 = 0\quad;\quad\vec u \bot \vec v \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) = \left| {\vec u} \right| \cdot 0 = 0\]

Recíprocamente, si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, entonces los vectores son perpendiculares.

\[\vec u,\vec v \ne 0\,\,,\,\,\vec u \cdot \vec v = 0 \Rightarrow \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|\cos \alpha  = 0 \Rightarrow \cos \alpha  = 0 \Rightarrow \alpha  = 90 \Rightarrow \vec u \bot \vec v\]

Observa ahora la siguiente figura.

producto escalar 05

De ella se deduce que la proyección de la suma de dos vectores sobre otro es igual a la suma de las proyecciones de los dos vectores por separado. Entonces, usando la fórmula (2):

\[\vec u \cdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec v + \vec w} \right) = \left| {\vec u} \right|\left( {{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) + {p_{\vec u}}\left( {\vec w} \right)} \right) = \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) + \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec w} \right) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\]

Lo que demuestra que el producto escalar cumple la propiedad distributiva respecto de la suma de vectores.

Una última propiedad del producto escalar es la llamada asociativa mixta, que relaciona el producto de números reales con el producto escalar:

\[k\left( {\vec u \cdot \vec v} \right) = k\left( {\left| {\vec u} \right|{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)} \right) = \left( {k\left| {\vec u} \right|} \right){p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right) = \left| {k\vec u} \right|{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right) = \left( {k\vec u} \right) \cdot \vec v\]

Fijemos ahora en el espacio vectorial \(\mathbb{R}^3\) un sistema de referencia ortonormal \(\left\{ {O\,;\,\left\{ {{\rm{i}}\,{\rm{,}}\,{\rm{j}}\,{\rm{,}}\,{\rm{k}}} \right\}} \right\}\), es decir, un origen de coordenadas en \(O\left( {0,0,0} \right)\), y una base de vectores \(\left\{ {{\rm{i}}\,{\rm{,}}\,{\rm{j}}\,{\rm{,}}\,{\rm{k}}} \right\}\) de módulo uno y perpendiculares dos a dos. Observemos que el producto escalar de dos vectores distintos de la base es cero, y que el producto escalar de un vector de la base consigo mismo es igual a uno.

\[{\rm{i}} \cdot {\rm{j}} = {\rm{i}} \cdot {\rm{k}} = {\rm{j}} \cdot {\rm{k}} = 0\ ;\ {\rm{i}} \cdot {\rm{i}} = {\left| {\rm{i}} \right|^2} = 1\ ;\ {\rm{j}} \cdot {\rm{j}} = {\left| {\rm{j}} \right|^2} = 1\ ;\ {\rm{k}} \cdot {\rm{k}} = {\left| {\rm{k}} \right|^2} = 1\]

Entonces, dados dos vectores \(\vec u\) y \(\vec v\), los podemos escribir como combinación lineal de los vectores de la base, es decir, existen \({u_1},{u_2},{u_3} \in \mathbb{R}\), \({v_1},{v_2},{v_3} \in \mathbb{R}\) tales que

\[\vec u = {u_1}{\rm{i}} + {u_2}{\rm{j}} + {u_3}{\rm{k}}\ ,\ \vec v = {v_1}{\rm{i}} + {v_2}{\rm{j}} + {v_3}{\rm{k}}\]

O lo que es lo mismo, un sistema de referencia nos permite escribir los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) en coordenadas respecto de la base:

\[\vec u = \left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right)\ ,\ \vec v = \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\]

Vamos a hacer uso de la propiedad distributiva y de la asociativa mixta para obtener la expresión del producto escalar en función de las coordenadas de los vectores.

\[\vec u \cdot \vec v = \left( {{u_1}{\rm{i}} + {u_2}{\rm{j}} + {u_3}{\rm{k}}} \right) \cdot \left( {{v_1}{\rm{i}} + {v_2}{\rm{j}} + {v_3}{\rm{k}}} \right) =\]

\[= \left( {{u_1}{\rm{i}}} \right) \cdot \left( {{v_1}{\rm{i}}} \right) + \left( {{u_1}{\rm{i}}} \right) \cdot \left( {{v_2}{\rm{j}}} \right) + \left( {{u_1}{\rm{i}}} \right) \cdot \left( {{v_3}{\rm{k}}} \right) + \]

\[+ \left( {{u_2}{\rm{j}}} \right) \cdot \left( {{v_1}{\rm{i}}} \right) + \left( {{u_2}{\rm{j}}} \right) \cdot \left( {{v_2}{\rm{j}}} \right) + \left( {{u_2}{\rm{j}}} \right) \cdot \left( {{v_3}{\rm{k}}} \right) +\]

\[+ \left( {{u_3}{\rm{k}}} \right) \cdot \left( {{v_1}{\rm{i}}} \right) + \left( {{u_3}{\rm{k}}} \right) \cdot \left( {{v_2}{\rm{j}}} \right) + \left( {{u_3}{\rm{k}}} \right) \cdot \left( {{v_3}{\rm{k}}} \right) = \]

\[= \left( {{u_1}{v_1}} \right)\left( {{\rm{i}} \cdot {\rm{i}}} \right) + \left( {{u_1}{v_2}} \right)\left( {{\rm{i}} \cdot {\rm{j}}} \right) + \left( {{u_1}{v_3}} \right)\left( {{\rm{i}} \cdot {\rm{k}}} \right) + \]

\[+ \left( {{u_2}{v_1}} \right)\left( {{\rm{j}} \cdot {\rm{i}}} \right) + \left( {{u_2}{v_2}} \right)\left( {{\rm{j}} \cdot {\rm{j}}} \right) + \left( {{u_2}{v_3}} \right)\left( {{\rm{j}} \cdot {\rm{k}}} \right) + \]

\[+ \left( {{u_3}{v_1}} \right)\left( {{\rm{k}} \cdot {\rm{i}}} \right) + \left( {{u_3}{v_2}} \right)\left( {{\rm{k}} \cdot {\rm{j}}} \right) + \left( {{u_3}{v_3}} \right)\left( {{\rm{k}} \cdot {\rm{k}}} \right)\]

Seis de los nueve términos anteriores son cero pues los vectores de la base del sistema de referencia son perpendiculares. Además, el producto escalar de un elemento de la base consigo mismo es igual a uno. Por tanto:

\[\vec u \cdot \vec v = {u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3}\qquad (5)\]

Ahora también podemos escribir el módulo de un vector dependiendo de sus coordenadas:

\[{\left| {\vec u} \right|^2} = \vec u \cdot \vec u \Rightarrow \left| {\vec u} \right| =  + \sqrt {\vec u \cdot \vec u}  \Rightarrow \left| {\vec u} \right| =  + \sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\]

Algunas aplicaciones del producto escalar de vectores

Ángulo de dos rectas

De la definición de producto escalar de dos vectores podemos deducir el ángulo que forman ambos.

\[\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right|\,\,\left| {\vec v} \right|\cos \alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{\left| {\vec u} \right|\,\,\left| {\vec v} \right|}} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{{u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3}}}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \sqrt {v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} }}\]

Si se trata de dos rectas, el ángulo formado entre ellas será el mismo que el que formen sus vectores directores.

Es posible que al hacer los cálculos el valor de   salga positivo o bien su valor sea negativo. En el primer caso el ángulo obtenido es agudo, y en el segundo es obtuso. Por convenio tomaremos como ángulo entre dos vectores o entre dos rectas el ángulo agudo. Para ello reescribiremos nuestra fórmula así:

\[\cos \alpha  = \frac{{\left| {{u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3}} \right|}}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \sqrt {v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} }}\]

Al tomar el valor absoluto en el numerador, el valor de \(\cos\alpha\) siempre será positivo y, por tanto, \(\alpha\) será un ángulo agudo.

Observemos también que dos vectores serán perpendiculares (o dos rectas serán perpendiculares) cuando \(\cos\alpha=0\), es decir, cuando \({u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3} = 0\). Simbólicamente:

\[r \bot s \Leftrightarrow \vec u \bot \vec v \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec v = 0 \Leftrightarrow {u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3} = 0\]

Vector perpendicular a un plano

Un vector \(\vec u\) es perpendicular a un plano \(\pi\) cuando \(\vec u\) es perpendicular a cualquier vector contenido en \(\pi\).

producto escalar 06

Dado el plano \(\pi\) de ecuación \(Ax + By + Cz + D = 0\) se tiene que \(\vec u = \left( {A,B,C} \right)\) son las coordenadas del un vector perpendicular al plano. Es decir: \(\vec u = \left( {A,B,C} \right) \bot \pi\).

Para demostrar que lo anterior es cierto se toman dos puntos cualesquiera \(M\left( {{m_1},{m_2},{m_3}} \right)\) y \(P\left( {{p_1},{p_2},{p_3}} \right)\) del plano \(\pi\), y efectuamos el producto escalar del vector \(\vec u = \left( {A,B,C} \right)\) con el vector \(\overrightarrow {MP}\). Si el resultado es cero, entonces \(\vec u \bot \overrightarrow {MP}\), con lo que \(\vec u \bot \pi\).

\[\vec u \cdot \overrightarrow {MP}  = \left( {A,B,C} \right) \cdot \left( {{p_1} - {m_1},{p_2} - {m_2},{p_3} - {m_3}} \right) = A\left( {{p_1} - {m_1}} \right) + B\left( {{p_2} - {m_2}} \right) + C\left( {{p_3} - {m_3}} \right) =\]

\[= \left( {A{p_1} + B{p_2} + C{p_3}} \right) - \left( {A{m_1} + B{m_2} + C{m_3}} \right) =  - D - \left( { - D} \right) = 0\]

La última igualdad es cierta porque tanto \(M\left( {{m_1},{m_2},{m_3}} \right)\) como \(P\left( {{p_1},{p_2},{p_3}} \right)\) son puntos del plano \(\pi\).

Ángulo de dos planos

Dados dos planos \(\pi\) y \(\pi'\), el ángulo formado por ambos es el que forman dos vectores contenidos en cada uno de los planos respectivos que sean perpendiculares a la recta intersección de los dos planos, es decir, el ángulo de los dos planos es el formado por los vectores \(\vec v\) y \(\vec v'\) de la figura.

Si \(\vec u\) y \(\vec u'\) son dos vectores perpendiculares a cada uno de los planos respectivos, podemos observar que el ángulo que forman  \(\vec u\) y \(\vec u'\) es el mismo que el de \(\vec v\) y \(\vec v'\).

producto escalar 07

Por lo tanto, si las ecuaciones de ambos planos son \(\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\) y \(\pi ' \equiv A'x + B'y + C'z + D' = 0\), entonces los vectores \(\vec u = \left( {A,B,C} \right)\) y \(\vec u' = \left( {A',B',C'} \right)\) son perpendiculares a los planos respectivos, luego:

\[\cos \alpha  = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \sqrt {A'{\,^2} + B'{\,^2} + C'{\,^2}} }}\]

Hemos tomado valor absoluto para obtener el ángulo agudo.

En particular dos planos serán perpendiculares cuando \(\cos\alpha=0\), es decir, cuando \(AA' + BB' + CC' = 0\):

\[\pi  \bot \pi ' \Leftrightarrow \vec u \bot \vec u' \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec u' = 0 \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\]

Ángulo entre recta y plano

Dada una recta \(r\) y un plano \(\pi\), el ángulo formado por ambos es aquel que forman \(r\) y \(r'\), donde \(r'\) es la proyección ortogonal de \(r\) sobre \(\pi\). La recta \(r'\) se obtiene como intersección de \(\pi\) con el plano que contiene a la recta \(r\) y es perpendicular a \(\pi\).

producto escalar 08

Si \(\vec v\) y \(\vec v'\) son dos vectores de \(r\) y \(r'\), el ángulo formado por \(r\) y \(\pi\) es el que forman \(\vec v\) y \(\vec v'\). Si \(\vec u\) es un vector perpendicular a \(\pi\), ese ángulo es complementario del formado por \(\vec u\) y \(\vec v\). Por lo tanto, si las ecuaciones de la recta son \(r \equiv \frac{{x - {a_1}}}{{{v_1}}} = \frac{{y - {a_2}}}{{{v_2}}} = \frac{{z - {a_3}}}{{{v_3}}}\), y la ecuación general o implícita del plano es \(\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\), tenemos que \(\text{sen}\,\alpha  = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\), luego

\[\text{sen}\,\alpha  = \frac{{\left| {A{v_1} + B{v_2} + C{v_3}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \sqrt {{v_1}^2 + {v_2}^2 + {v_3}^2} }}\]

Distancia de un punto a un plano, distancia entre dos planos paralelos y distancia entre una recta y un plano paralelos

Dados un punto \(P\) y un plano \(\pi\), se llama distancia de \(P\) a \(\pi\), \(d(P,\pi)\), a la distancia de \(P\) a \(M\), donde \(M\) es el punto de intersección de \(\pi\) con la recta que pasa por \(P\) y es perpendicular a \(\pi\).

producto escalar 09

Supongamos que el punto \(P\) tiene coordenadas \(P\left( {{p_1},\,\,{p_2},\,\,{p_3}} \right)\) y que el plano \(\pi\) tiene ecuación implícita \(\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\). Entonces la distancia de \(P\) a \(\pi\) viene dada por:

\[d\left( {P,\pi } \right) = \frac{{\left| {A{p_1} + B{p_2} + C{p_3} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Para demostrarlo supongamos que \(M\left( {{m_1},\,\,{m_2},\,\,{m_3}} \right)\), \(\overrightarrow {MP}  = \left( {{p_1} - {m_1},\,\,{p_2} - {m_2},\,\,{p_3} - {m_3}} \right)\) y que \(\vec u = \left( {A,B,C} \right)\) es el vector perpendicular al plano. Obviamente \(d\left( {P,\,\,\pi } \right) = \left| {\overrightarrow {MP} } \right|\).

Pero, por un lado

\[\vec u \cdot \overrightarrow {MP}  = A\left( {{p_1} - {m_1}} \right) + B\left( {{p_2} - {m_2}} \right) + C\left( {{p_3} - {m_3}} \right)\]

y, por otro,

\[\vec u \cdot \overrightarrow {MP}  = \left| {\vec u} \right|\left| {\overrightarrow {MP} } \right|\cos \alpha  = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \left| {\overrightarrow {MP} } \right|\left( { \pm 1} \right)\]

(el ángulo \(\alpha\) que forman \(\vec u\) y \(\overrightarrow {MP}\) es \(0\) o \(180\)).

Entonces, igualando ambas expresiones:

\[\pm \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \left| {\overrightarrow {MP} } \right| = A\left( {{p_1} - {m_1}} \right) + B\left( {{p_2} - {m_2}} \right) + C\left( {{p_3} - {m_3}} \right) \Rightarrow\]

\[\Rightarrow \left| {\overrightarrow {MP} } \right| =  \pm \frac{{A\left( {{p_1} - {m_1}} \right) + B\left( {{p_2} - {m_2}} \right) + C\left( {{p_3} - {m_3}} \right)}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} =  \pm \frac{{A{p_1} + B{p_2} + C{p_3} - \left( {A{m_1} + B{m_2} + C{m_3}} \right)}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Pero \(M \in \pi\), por lo que

\[A{m_1} + B{m_2} + C{m_3} + D = 0 \Rightarrow A{m_1} + B{m_2} + C{m_3} =  - D \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MP} } \right| =  \pm \frac{{A{p_1} + B{p_2} + C{p_3} + D}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

y como la distancia es siempre un número no negativo, entonces

\[\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = d(P,\pi ) = \frac{{\left| {A{p_1} + B{p_2} + C{p_3} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Si dos planos son paralelos la distancia entre ambos será la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro. Del mismo modo, si una recta un plano son paralelos, la distancia de la recta al plano será la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano.


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Apuntes de Geometría para Matemáticas II

En los apuntes siguientes se trata, de manera esquemática (son "sólo" 13 páginas), todo el bloque de geometría de la materia Matemáticas II, de 2º de Bachillerato (modalidad de Ciencias y Tecnología). Los contenidos están divididos de la siguiente manera.

Matemáticas II - Geometría

  1. Coordenadas o componentes de un vector.
  2. División de un segmento en n partes iguales.
  3. Vector director de una recta y ecuaciones de la recta.
  4. Ecuaciones de un plano.
  5. Posiciones relativas de dos rectas.
  6. Posiciones relativas de una recta y un plano.
  7. Posiciones relativas de dos planos.
  8. Ecuaciones implícitas de la recta.
  9. Haz de planos.
  10. Producto escalar de dos vectores.
  11. Producto vectorial de dos vectores.
  12. Producto mixto de tres vectores.
  13. Ángulo de dos vectores.
  14. Vector perpendicular a un plano.
  15. Ángulo de dos rectas.
  16. Ángulo de dos planos.
  17. Ángulo de recta y plano.
  18. Distancia entre dos puntos.
  19. Ecuación normal de un plano.
  20. Distancia de un punto a un plano.
  21. Distancia entre dos planos paralelos.
  22. Distancia de un punto a una recta.
  23. Distancia entre una recta y un plano paralelos.
  24. Distancia entre dos rectas paralelas.
  25. Distancia entre dos rectas que se cruzan.
  26. Área de un triángulo.
  27. Área de un paralelogramo.
  28. Volumen de un tetraedro.
  29. Volumen de un paralelepípedo.

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Apuntes de geometría. Matemáticas II. 2º Bachillerato.

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