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Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

En un espacio de tres dimensiones dos rectas se cruzan cuando no tienen ningún punto en común y no están contenidas en el mismo plano. Si no tienen ningún punto en común pero sí que están contenidas en un mismo plano las rectas son paralelas.

Distancia entre dos rectas paralelas

Si las rectas son paralelas la distancia entre ambas viene dada por la distancia de un punto de una de ellas a la otra. Se entiende por distancia la distancia mínima del punto a la recta. La construcción requiere hallar el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto. Este plano perpendicular cortará a la recta en cuestión en otro punto. De este modo, la distancia del punto a la recta será igual a la distancia entre los dos puntos mencionados. Vamos a hallar una fórmula que permita hallar esta distancia. Para ello sea \(P(p_1,p_2,p_3)\) un punto y \(r\) una recta que vamos a escribir en su forma continua:

\[r\equiv\frac{x-a_1}{u_1}=\frac{x-a_2}{u_2}=\frac{x-a_3}{u_2}\]

distancia1

Recordemos que \(A(a_1,a_2,a_3)\) y \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) son un punto y un vector director de \(r\), respectivamente. Supongamos también que \(M(m_1,m_2,m_3)\) es el punto en el que el plano perpendicular a \(r\) que contiene a \(P\) corta a la recta \(r\) (ver figura anterior). A la distancia del punto \(P\) a la recta \(r\), que es lo que queremos calcular, la notaremos \(d(P,r)\). El vector que une el punto \(A\) de la recta con el punto \(P\) es \(\overrightarrow{AP}=(p_1-a_1,p_2-a_2,p_3-a_3)\).

Por un lado tenemos que el módulo del producto vectorial de \(\overrightarrow{AP}\) con \(\vec{u}\) es:

\[|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}|=|\overrightarrow{AP}|\cdot|\vec{u}|\cdot\text{sen }\alpha\]

Por otro lado, observando la figura anterior se tiene que:

\[\text{sen }\alpha=\frac{d(P,r)}{|\overrightarrow{AP}|}\Rightarrow d(P,r)=|\overrightarrow{AP}|\cdot\text{sen }\alpha\]

Por tanto, sustituyendo en la primera expresión:

\[|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}|=d(P,r)\cdot|\vec{u}|\]

Y de aquí obtenemos finalmente que la distancia entre un punto y una recta la podemos calcular mediante la siguiente fórmula:

\[d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}=\frac{|(p_1-a_1,p_2-a_2,p_3-a_3)\times(u_1,u_2,u_3)|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}}\]

Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

Supongamos ahora que tenemos dos rectas \(r\) y \(s\) que se cruzan. Para hallar la distancia entre ambas, \(d(r,s)\), lo que se hace es calcular el plano que contienen a una de ellas (por ejemplo a \(s\)) y es paralelo a la otra (en este caso a \(r\)). La distancia entre ambas rectas vendrá dada por la distancia de la recta \(r\) a este plano, distancia que obviamente coincidirá con la distancia de un punto de \(r\) a dicho plano (por ser ambos paralelos). Por cierto, la distancia de un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) a un plano \(\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0\), viene dada por la fórmula siguiente:

\[d(P,\pi)=\frac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

El cálculo de la perpendicular común a \(r\) y a \(s\), es decir, de la recta que corta perpendicularmente a ambas, que llamaremos \(t\), precisa de una construcción en tres pasos. Son los siguientes:

  • Cálculo del plano \(\pi\) que contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\).
  • Cálculo del plano \(\pi'\) que contiene a \(s\) y es perpendicular a \(\pi\).
  • Cálculo del plano \(\pi''\) que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\).

Entonces, tal y como se puede apreciar en la figura siguiente, la perpendicular común \(t\) a \(r\) y a \(s\) será la intersección de los planos \(\pi'\) y \(\pi''\): \(t=\pi'\cap\pi''\). Hemos llamado también \(M\) al punto de corte de \(r\) y \(t\), y \(N\) al punto de corte de \(s\) y \(t\): \(M=r\cap t\), \(N=s\cap t\).

distancia2

Tal y como hemos comentado anteriormente, la distancia entre \(r\) y \(s\) es la misma que la distancia entre \(r\) y \(\pi\), distancia que, obviamente, también ha de coincidir con la distancia entre los puntos \(M\) y \(N\):

\[d(r,s)=d(r,\pi)=d(M,N)\]

Veamos un caso práctico. Consideremos las rectas \(r\) y \(s\) siguientes:

\[r\equiv\begin{cases}x+y-z=1\\x-2z=-1\end{cases}\quad;\quad s\equiv x=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2}\]

Lo primero de todo es comprobar que, efectivamente, ambas rectas se cruzan. Si escribimos la recta \(r\) en paramétricas:

\[r\equiv\begin{cases}
  x=-1+2\lambda\\
  y=2-\lambda\\
  z=\lambda
\end{cases}\]

tenemos que un punto y un vector director de \(r\) son, respectivamente, \(A(-1,2,0)\) y \(\vec{u}=(2,-1,1)\). Del mismo modo, un punto y un vector director de la recta \(s\) son, respectivamente, \(B(0,-2,1)\), \(\vec{v}=(1,-1,2)\).

Por un lado, tenemos que

\[\text{rango}\left(
         \begin{array}{c}
           \vec{u} \\
           \vec{v} \\
         \end{array}
       \right)=\text{rango}\left(
                      \begin{array}{ccc}
                        2 & -1 & 1 \\
                        1 & -1 & 2 \\
                      \end{array}
                    \right)=2
\]

ya que la matriz anterior contiene al menos un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{cc}
  2 & -1\\
  1 & -1
\end{array}\right|=-2-(-1)=-1\neq0\]

Por otro lado, tenemos que

\[\text{rango}\left(
                \begin{array}{c}
                  \vec{u} \\
                  \vec{v} \\
                  \overrightarrow{AB} \\
                \end{array}
              \right)=\text{rango}\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      2 & -1 & 1 \\
                                      1 & -1 & 2 \\
                                      1 & -4 & 1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=3
\]

ya que

\[\left|\begin{array}{ccc}
  2 & -1 & 1 \\
  1 & -1 & 2 \\
  1 & -4 & 1
\end{array}\right|=(-2-2-4)-(-1-1-16)=-8-(-18)=10\neq0\]

Del razonamiento anterior se deduce que las rectas \(r\) y \(s\) se cruzan. Vamos a dar los pasos mencionados anteriormente para hallar la perpendicular común y la distancia entre \(r\) y \(s\).

En primer lugar vamos a hallar el plano \(\pi\) que contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\). Un punto de dicho plano será un punto de \(s\), por ejemplo el punto \(B(0,-2,1)\) y dos direcciones suyas serán las de \(r\) y las de \(s\), es decir, podemos tomar como vectores directores del plano los vectores \(\vec{u}=(2,-1,1)\), \(\vec{v}=(1,-1,2)\). Así el plano \(\pi\) vendrá dado por

\[\pi\equiv\left|\begin{array}{ccc}
          x & y+2 & z-1 \\
          2 & -1 & 1 \\
          1 & -1 & 2
        \end{array}\right|=0\]

Desarrollando el determinante anterior:

\[(-2x+y+2-2z+2)-(-z+1+4y+8-x)=0\Rightarrow\pi\equiv x+3y+z+5=0\]

Teniendo en cuenta que la ecuación general de la recta \(s\) es:

\[s\equiv\begin{cases}
  x+y+2=0\\
  2x-z+1=0
\end{cases}\]

otra forma de hallar el plano \(\pi\) es hacer uso del haz de planos de arista la recta \(s\):

\[\lambda(x+y+2)+\mu(2x-z+1)=0\Leftrightarrow(\lambda+2\mu)x+\lambda y-\mu z+2\lambda+\mu=0\]

Para que un plano de este haz sea paralelo a la recta \(r\) un vector normal al plano, \((\lambda+2\mu,\lambda,-\mu)\), debe ser perpendicular al vector director de \(r\), \(\vec{u}=(2,-1,1)\), es decir:

\[2(\lambda+2\mu)+(-1)\lambda+1(-\mu)=0\Leftrightarrow\lambda+3\mu=0\]

Esta igualdad se cumple, por ejemplo, para \(\lambda=3\) y \(\mu=-1\), con lo que el plano \(\pi\) que buscamos será:

\[\pi\equiv x+3y+z+5=0\]

Llegados a este punto ya estamos en condiciones de hallar la distancia entre \(r\) y \(s\): \(d(r,s)=d(r,\pi)\). Además, esta última distancia coincidirá con \(d(A,\pi)\):

\[d(r,s)=d(r,\pi)=d(A,\pi)=\frac{|1\cdot(-1)+3\cdot2+1\cdot0+5|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{11}}=\frac{10\sqrt{11}}{11}\]

Continuando con nuestra construcción calcularemos, en segundo lugar, el plano \(\pi'\) que contiene a \(s\) y es perpendicular a \(\pi\). Ya hemos visto que el haz de planos de arista la recta \(s\) es

\[(\lambda+2\mu)x+\lambda y-\mu z+2\lambda+\mu=0\]

Para que un plano de este haz sea perpendicular a \(\pi\) se ha de cumplir que los vectores perpendiculares a ambos planos sea ellos mismos también perpendiculares, es decir:

\[1(\lambda+2\mu)+3\lambda+1(-\mu)=0\Leftrightarrow4\lambda+\mu=0\]

Tomando \(\lambda=-1\) y \(\mu=4\), tenemos que el plano \(\pi'\) es el siguiente:

\[\pi'\equiv 7x-y-4z+2=0\]

En tercer y último lugar vamos a calcular el plano \(\pi''\) que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\). Para ello volveremos a usar la técnica del haz de planos, pero en este caso de arista la recta \(r\):

\[\lambda(x+y-z-1)+\mu(x-2z+1)=0\Leftrightarrow(\lambda+\mu)x+\lambda y+(-\lambda-2\mu)z+(-\lambda+\mu)=0\]

Para que un plano de este haz sea perpendicular a \(\pi\) se tiene que cumplir, al igual que en el caso anterior, que los vectores perpendiculares a ambos planos sean también perpendiculares, es decir:

\[1(\lambda+\mu)+3\lambda+1(-\lambda-2\mu)=0\Leftrightarrow3\lambda-\mu=0\]

Tomando \(\lambda=1\) y \(\mu=3\), obtenemos el plano \(\pi''\):

\[\pi''\equiv4x+y-7z+2=0\]

La recta \(t\), perpendicular común a \(r\) y a \(s\), es la intersección de \(\pi'\) y de \(\pi''\). Por tanto:

\[t=\pi'\cap\pi''\equiv\begin{cases}
  7x-y-4z+2=0\\
  4x+y-7z+2=0
\end{cases}\]

Vamos a mostrar que la distancia hallada anteriormente entre las rectas \(r\) y \(s\) coincide con la distancia entre los puntos \(M\) y \(N\).

Para hallar los puntos \(M\) y \(N\) resolveremos los sistemas formados por \(r\) y \(t\), por un lado, y por \(s\) y \(t\), por otro, ya que \(r\cap t=M\) y \(s\cap t=N\).

El sistema formado por \(r\) y \(t\) tiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Podemos eliminar una de ellas, por ejemplo la última ecuación de la recta \(t\). El sistema queda del siguiente modo:

\[\begin{cases}
  x+y-z=1\\
  x-2z=-1\\
  7x-y-4z=-2
\end{cases}\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & -1 \\
          1 & 0 & -2 \\
          7 & -1 & -4
        \end{array}
\right|=(-14+1)-(-4+2)=-13+2=-11\]

Por tanto, aplicando la regla de Cramer:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -1 \\
                  -1 & 0 & -2 \\
                  -2 & -1 & -4
                \end{array}
\right|}{-11}=\frac{(4-1)-(4+2)}{-11}=\frac{-3}{-11}=\frac{3}{11}\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -1 \\
                  1 & -1 & -2 \\
                  7 & -2 & -4
                \end{array}
\right|}{-11}=\frac{(4-14+2)-(7-4+4)}{-11}=\frac{-15}{-11}=\frac{15}{11}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & 1 \\
                  1 & 0 & -1 \\
                  7 & -1 & -2
                \end{array}
\right|}{-11}=\frac{(-7-1)-(-2+1)}{-11}=\frac{-7}{-11}=\frac{7}{11}\]

De manera similar resolveremos el sistema formado por la recta \(s\) y por la recta \(t\). También eliminaremos la última ecuación de la recta \(t\). El sistema es el siguiente:

\[\begin{cases}
  x+y=-2\\
  2x-z=-1\\
  7x-y-4z=-2
\end{cases}\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & 0 \\
          2 & 0 & -1 \\
          7 & -1 & -4
        \end{array}
\right|=-7-(-8+1)=-7+7=0\]

Esto indica que no podemos eliminar la última ecuación de la recta \(r\). Así que eliminaremos la primera y el sistema quedará de la siguiente manera:

\[\begin{cases}
  x+y=-2\\
  2x-z=-1\\
  4x+y-7z=-2
\end{cases}\]

Ahora el determinante de la matriz de los coeficientes es:

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & 0 \\
          2 & 0 & -1 \\
          4 & 1 & -7
        \end{array}
\right|=-4-(-14-1)=-4+13=11\]

Volviendo a aplicar la regla de Cramer tenemos:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  -2 & 1 & 0 \\
                  -1 & 0 & -1 \\
                  -2 & 1 & -7
                \end{array}
\right|}{11}=\frac{2-(7+2)}{11}=-\frac{7}{11}\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & -2 & 0 \\
                  2 & -1 & -1 \\
                  4 & -2 & -7
                \end{array}
\right|}{11}=\frac{(7+8)-(28+2)}{11}=-\frac{15}{11}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -2 \\
                  2 & 0 & -1 \\
                  4 & 1 & -2
                \end{array}
\right|}{11}=\frac{(-4-4)-(-4-1)}{11}=-\frac{3}{11}\]

De este modo tenemos que

\[M=r\cap t=\left(\frac{3}{11},\frac{15}{11},\frac{7}{11}\right)\quad;\quad N=s\cap t=\left(-\frac{7}{11},-\frac{15}{11},-\frac{3}{11}\right)\]

Y de aquí:

\[\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{7}{11}-\frac{3}{11},-\frac{15}{11}-\frac{15}{11},-\frac{3}{11}-\frac{7}{11}\right)=\left(-\frac{10}{11},-\frac{30}{11},-\frac{10}{11}\right)\]

Así pues, la distancia entre las rectas \(r\) y \(s\) es:

\[d(r,s)=d(M,N)=|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{\left(-\frac{10}{11}\right)^2+\left(-\frac{30}{11}\right)^2+\left(-\frac{10}{11}\right)^2}= \frac{\sqrt{1100}}{11}=\frac{10\sqrt{11}}{11}\]


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


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Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones

Proyecciones

La proyección de un punto \(A\) sobre una recta \(r\) es el punto \(B\) donde la recta perpendicular a \(r\) que pasa por \(A\) corta a la recta \(r\). Con un dibujo se entiende muy bien.

producto escalar 01

La proyección de un segmento \(\overline {AB}\) sobre una recta \(r\) es otro segmento \(\overline {CD}\) contenido en la recta \(r\), cuyos extremos son, respectivamente, las proyecciones de los puntos \(A\) y \(B\) sobre la recta \(r\). Veámoslo con otro dibujo.

producto escalar 02

Un vector es un segmento orientado. Por tanto, la proyección de un vector \(\vec u\) sobre una recta se hace, tal y como hemos visto anteriormente, exactamente igual que la proyección de un segmento sobre una recta.

Se define la proyección de un vector \(\vec u\) sobre un vector \(\vec v\) como la proyección del vector \(\vec u\) sobre la recta que contiene al vector \(\vec v\). A la proyección de un vector \(\vec u\) sobre un vector \(\vec v\) la notaremos \({p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\).

producto escalar 03

En la figura anterior se ha realizado la proyección de un vector \(\vec v\) sobre un vector \(\vec u\). Como se puede observar, la proyección es la misma si hacemos coincidir el origen de ambos vectores. Evidentemente, la proyección del vector \(\vec v\) sobre el vector \(\vec u\) no es la misma que la proyección del vector \(\vec u\) sobre el vector \(\vec v\): \({p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) \ne {p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\) (ver figura siguiente).

producto escalar 04

Obsérvese también que todo par de vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) forman entre sí un ángulo \(\alpha\). Recordando que a la longitud o módulo de un vector \(\vec u\) la denotamos por \(|\vec u|\), y haciendo uso de trigonometría básica (razones trigonométricas en un triángulo rectángulo), podemos escribir, si nos fijamos en las dos figuras anteriores, las dos siguientes relaciones:

\[\cos \alpha  = \frac{{{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right)}}{{\left| {\vec v} \right|}} \Rightarrow {p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) = \left| {\vec v} \right|\cos \alpha\quad;\quad\cos \alpha  = \frac{{{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)}}{{\left| {\vec u} \right|}} \Rightarrow {p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right) = \left| {\vec u} \right|\cos \alpha\qquad(1)\]

Producto escalar de vectores

El producto escalar de vectores está íntimamente relacionado con la proyección de un vector sobre otro. De hecho, se define el producto escalar de dos vectores como el producto del módulo de uno de ellos, por la proyección del otro sobre el primero. Es decir:

\[\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right)\quad;\quad\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec v} \right|{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\qquad(2)\]

Obsérvese que si el vector sobre el que hacemos la proyección tiene longitud o módulo igual a uno, entonces el producto escalar es justamente la proyección. De este modo:

\[\left| {\vec u} \right| = 1 \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = {p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right)\quad;\quad\left| {\vec v} \right| = 1 \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = {p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\]

Es más habitual definir el producto escalar de dos vectores de la siguiente manera:

\[\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|\cos \alpha\qquad(3)\]

donde lo único que se ha hecho es sustituir en \((2)\) las relaciones dadas en \((1)\).

Propiedades del producto escalar de vectores

El producto escalar de dos vectores es un número real (por eso recibe el nombre de escalar). Además, el producto escalar de dos vectores es, a la vista de la fórmula (3), claramente conmutativo. Esto nos lleva, por (2), a que la razón entre los módulos de dos vectores es igual a la razón entre sus proyecciones:

\[\left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) = \left| {\vec v} \right|{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {\vec u} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|}} = \frac{{{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)}}{{{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right)}}\]

De aquí se deduce que módulos iguales y proyecciones iguales son cosas equivalentes (como es natural):

\[\left| {\vec u} \right| = \left| {\vec v} \right| \Leftrightarrow \frac{{\left| {\vec u} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|}} = 1 \Leftrightarrow 1 = \frac{{{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)}}{{{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right)}} \Leftrightarrow {p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) = {p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\]

El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a su módulo al cuadrado, pues el ángulo de un vector consigo mismo es cero. O bien porque la proyección de un vector sobre sí mismo es igual a la longitud o módulo de ese vector.

\[\vec u \cdot \vec u = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec u} \right|\cos 0 = {\left| {\vec u} \right|^2}\quad;\quad\vec u \cdot \vec u = \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec u} \right) = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec u} \right| = {\left| {\vec u} \right|^2}\qquad(4)\]

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es igual a cero, ya que el coseno de un ángulo recto es cero. O bien porque la proyección de uno sobre el otro es un punto, que tiene longitud cero.

\[\vec u \bot \vec v \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|\cos 90 = 0\quad;\quad\vec u \bot \vec v \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) = \left| {\vec u} \right| \cdot 0 = 0\]

Recíprocamente, si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, entonces los vectores son perpendiculares.

\[\vec u,\vec v \ne 0\,\,,\,\,\vec u \cdot \vec v = 0 \Rightarrow \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|\cos \alpha  = 0 \Rightarrow \cos \alpha  = 0 \Rightarrow \alpha  = 90 \Rightarrow \vec u \bot \vec v\]

Observa ahora la siguiente figura.

producto escalar 05

De ella se deduce que la proyección de la suma de dos vectores sobre otro es igual a la suma de las proyecciones de los dos vectores por separado. Entonces, usando la fórmula (2):

\[\vec u \cdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec v + \vec w} \right) = \left| {\vec u} \right|\left( {{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) + {p_{\vec u}}\left( {\vec w} \right)} \right) = \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec v} \right) + \left| {\vec u} \right|{p_{\vec u}}\left( {\vec w} \right) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\]

Lo que demuestra que el producto escalar cumple la propiedad distributiva respecto de la suma de vectores.

Una última propiedad del producto escalar es la llamada asociativa mixta, que relaciona el producto de números reales con el producto escalar:

\[k\left( {\vec u \cdot \vec v} \right) = k\left( {\left| {\vec u} \right|{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right)} \right) = \left( {k\left| {\vec u} \right|} \right){p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right) = \left| {k\vec u} \right|{p_{\vec v}}\left( {\vec u} \right) = \left( {k\vec u} \right) \cdot \vec v\]

Fijemos ahora en el espacio vectorial \(\mathbb{R}^3\) un sistema de referencia ortonormal \(\left\{ {O\,;\,\left\{ {{\rm{i}}\,{\rm{,}}\,{\rm{j}}\,{\rm{,}}\,{\rm{k}}} \right\}} \right\}\), es decir, un origen de coordenadas en \(O\left( {0,0,0} \right)\), y una base de vectores \(\left\{ {{\rm{i}}\,{\rm{,}}\,{\rm{j}}\,{\rm{,}}\,{\rm{k}}} \right\}\) de módulo uno y perpendiculares dos a dos. Observemos que el producto escalar de dos vectores distintos de la base es cero, y que el producto escalar de un vector de la base consigo mismo es igual a uno.

\[{\rm{i}} \cdot {\rm{j}} = {\rm{i}} \cdot {\rm{k}} = {\rm{j}} \cdot {\rm{k}} = 0\ ;\ {\rm{i}} \cdot {\rm{i}} = {\left| {\rm{i}} \right|^2} = 1\ ;\ {\rm{j}} \cdot {\rm{j}} = {\left| {\rm{j}} \right|^2} = 1\ ;\ {\rm{k}} \cdot {\rm{k}} = {\left| {\rm{k}} \right|^2} = 1\]

Entonces, dados dos vectores \(\vec u\) y \(\vec v\), los podemos escribir como combinación lineal de los vectores de la base, es decir, existen \({u_1},{u_2},{u_3} \in \mathbb{R}\), \({v_1},{v_2},{v_3} \in \mathbb{R}\) tales que

\[\vec u = {u_1}{\rm{i}} + {u_2}{\rm{j}} + {u_3}{\rm{k}}\ ,\ \vec v = {v_1}{\rm{i}} + {v_2}{\rm{j}} + {v_3}{\rm{k}}\]

O lo que es lo mismo, un sistema de referencia nos permite escribir los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) en coordenadas respecto de la base:

\[\vec u = \left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right)\ ,\ \vec v = \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\]

Vamos a hacer uso de la propiedad distributiva y de la asociativa mixta para obtener la expresión del producto escalar en función de las coordenadas de los vectores.

\[\vec u \cdot \vec v = \left( {{u_1}{\rm{i}} + {u_2}{\rm{j}} + {u_3}{\rm{k}}} \right) \cdot \left( {{v_1}{\rm{i}} + {v_2}{\rm{j}} + {v_3}{\rm{k}}} \right) =\]

\[= \left( {{u_1}{\rm{i}}} \right) \cdot \left( {{v_1}{\rm{i}}} \right) + \left( {{u_1}{\rm{i}}} \right) \cdot \left( {{v_2}{\rm{j}}} \right) + \left( {{u_1}{\rm{i}}} \right) \cdot \left( {{v_3}{\rm{k}}} \right) + \]

\[+ \left( {{u_2}{\rm{j}}} \right) \cdot \left( {{v_1}{\rm{i}}} \right) + \left( {{u_2}{\rm{j}}} \right) \cdot \left( {{v_2}{\rm{j}}} \right) + \left( {{u_2}{\rm{j}}} \right) \cdot \left( {{v_3}{\rm{k}}} \right) +\]

\[+ \left( {{u_3}{\rm{k}}} \right) \cdot \left( {{v_1}{\rm{i}}} \right) + \left( {{u_3}{\rm{k}}} \right) \cdot \left( {{v_2}{\rm{j}}} \right) + \left( {{u_3}{\rm{k}}} \right) \cdot \left( {{v_3}{\rm{k}}} \right) = \]

\[= \left( {{u_1}{v_1}} \right)\left( {{\rm{i}} \cdot {\rm{i}}} \right) + \left( {{u_1}{v_2}} \right)\left( {{\rm{i}} \cdot {\rm{j}}} \right) + \left( {{u_1}{v_3}} \right)\left( {{\rm{i}} \cdot {\rm{k}}} \right) + \]

\[+ \left( {{u_2}{v_1}} \right)\left( {{\rm{j}} \cdot {\rm{i}}} \right) + \left( {{u_2}{v_2}} \right)\left( {{\rm{j}} \cdot {\rm{j}}} \right) + \left( {{u_2}{v_3}} \right)\left( {{\rm{j}} \cdot {\rm{k}}} \right) + \]

\[+ \left( {{u_3}{v_1}} \right)\left( {{\rm{k}} \cdot {\rm{i}}} \right) + \left( {{u_3}{v_2}} \right)\left( {{\rm{k}} \cdot {\rm{j}}} \right) + \left( {{u_3}{v_3}} \right)\left( {{\rm{k}} \cdot {\rm{k}}} \right)\]

Seis de los nueve términos anteriores son cero pues los vectores de la base del sistema de referencia son perpendiculares. Además, el producto escalar de un elemento de la base consigo mismo es igual a uno. Por tanto:

\[\vec u \cdot \vec v = {u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3}\qquad (5)\]

Ahora también podemos escribir el módulo de un vector dependiendo de sus coordenadas:

\[{\left| {\vec u} \right|^2} = \vec u \cdot \vec u \Rightarrow \left| {\vec u} \right| =  + \sqrt {\vec u \cdot \vec u}  \Rightarrow \left| {\vec u} \right| =  + \sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\]

Algunas aplicaciones del producto escalar de vectores

Ángulo de dos rectas

De la definición de producto escalar de dos vectores podemos deducir el ángulo que forman ambos.

\[\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right|\,\,\left| {\vec v} \right|\cos \alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{\left| {\vec u} \right|\,\,\left| {\vec v} \right|}} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{{u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3}}}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \sqrt {v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} }}\]

Si se trata de dos rectas, el ángulo formado entre ellas será el mismo que el que formen sus vectores directores.

Es posible que al hacer los cálculos el valor de   salga positivo o bien su valor sea negativo. En el primer caso el ángulo obtenido es agudo, y en el segundo es obtuso. Por convenio tomaremos como ángulo entre dos vectores o entre dos rectas el ángulo agudo. Para ello reescribiremos nuestra fórmula así:

\[\cos \alpha  = \frac{{\left| {{u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3}} \right|}}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \sqrt {v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} }}\]

Al tomar el valor absoluto en el numerador, el valor de \(\cos\alpha\) siempre será positivo y, por tanto, \(\alpha\) será un ángulo agudo.

Observemos también que dos vectores serán perpendiculares (o dos rectas serán perpendiculares) cuando \(\cos\alpha=0\), es decir, cuando \({u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3} = 0\). Simbólicamente:

\[r \bot s \Leftrightarrow \vec u \bot \vec v \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec v = 0 \Leftrightarrow {u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3} = 0\]

Vector perpendicular a un plano

Un vector \(\vec u\) es perpendicular a un plano \(\pi\) cuando \(\vec u\) es perpendicular a cualquier vector contenido en \(\pi\).

producto escalar 06

Dado el plano \(\pi\) de ecuación \(Ax + By + Cz + D = 0\) se tiene que \(\vec u = \left( {A,B,C} \right)\) son las coordenadas del un vector perpendicular al plano. Es decir: \(\vec u = \left( {A,B,C} \right) \bot \pi\).

Para demostrar que lo anterior es cierto se toman dos puntos cualesquiera \(M\left( {{m_1},{m_2},{m_3}} \right)\) y \(P\left( {{p_1},{p_2},{p_3}} \right)\) del plano \(\pi\), y efectuamos el producto escalar del vector \(\vec u = \left( {A,B,C} \right)\) con el vector \(\overrightarrow {MP}\). Si el resultado es cero, entonces \(\vec u \bot \overrightarrow {MP}\), con lo que \(\vec u \bot \pi\).

\[\vec u \cdot \overrightarrow {MP}  = \left( {A,B,C} \right) \cdot \left( {{p_1} - {m_1},{p_2} - {m_2},{p_3} - {m_3}} \right) = A\left( {{p_1} - {m_1}} \right) + B\left( {{p_2} - {m_2}} \right) + C\left( {{p_3} - {m_3}} \right) =\]

\[= \left( {A{p_1} + B{p_2} + C{p_3}} \right) - \left( {A{m_1} + B{m_2} + C{m_3}} \right) =  - D - \left( { - D} \right) = 0\]

La última igualdad es cierta porque tanto \(M\left( {{m_1},{m_2},{m_3}} \right)\) como \(P\left( {{p_1},{p_2},{p_3}} \right)\) son puntos del plano \(\pi\).

Ángulo de dos planos

Dados dos planos \(\pi\) y \(\pi'\), el ángulo formado por ambos es el que forman dos vectores contenidos en cada uno de los planos respectivos que sean perpendiculares a la recta intersección de los dos planos, es decir, el ángulo de los dos planos es el formado por los vectores \(\vec v\) y \(\vec v'\) de la figura.

Si \(\vec u\) y \(\vec u'\) son dos vectores perpendiculares a cada uno de los planos respectivos, podemos observar que el ángulo que forman  \(\vec u\) y \(\vec u'\) es el mismo que el de \(\vec v\) y \(\vec v'\).

producto escalar 07

Por lo tanto, si las ecuaciones de ambos planos son \(\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\) y \(\pi ' \equiv A'x + B'y + C'z + D' = 0\), entonces los vectores \(\vec u = \left( {A,B,C} \right)\) y \(\vec u' = \left( {A',B',C'} \right)\) son perpendiculares a los planos respectivos, luego:

\[\cos \alpha  = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \sqrt {A'{\,^2} + B'{\,^2} + C'{\,^2}} }}\]

Hemos tomado valor absoluto para obtener el ángulo agudo.

En particular dos planos serán perpendiculares cuando \(\cos\alpha=0\), es decir, cuando \(AA' + BB' + CC' = 0\):

\[\pi  \bot \pi ' \Leftrightarrow \vec u \bot \vec u' \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec u' = 0 \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\]

Ángulo entre recta y plano

Dada una recta \(r\) y un plano \(\pi\), el ángulo formado por ambos es aquel que forman \(r\) y \(r'\), donde \(r'\) es la proyección ortogonal de \(r\) sobre \(\pi\). La recta \(r'\) se obtiene como intersección de \(\pi\) con el plano que contiene a la recta \(r\) y es perpendicular a \(\pi\).

producto escalar 08

Si \(\vec v\) y \(\vec v'\) son dos vectores de \(r\) y \(r'\), el ángulo formado por \(r\) y \(\pi\) es el que forman \(\vec v\) y \(\vec v'\). Si \(\vec u\) es un vector perpendicular a \(\pi\), ese ángulo es complementario del formado por \(\vec u\) y \(\vec v\). Por lo tanto, si las ecuaciones de la recta son \(r \equiv \frac{{x - {a_1}}}{{{v_1}}} = \frac{{y - {a_2}}}{{{v_2}}} = \frac{{z - {a_3}}}{{{v_3}}}\), y la ecuación general o implícita del plano es \(\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\), tenemos que \(\text{sen}\,\alpha  = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\), luego

\[\text{sen}\,\alpha  = \frac{{\left| {A{v_1} + B{v_2} + C{v_3}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \sqrt {{v_1}^2 + {v_2}^2 + {v_3}^2} }}\]

Distancia de un punto a un plano, distancia entre dos planos paralelos y distancia entre una recta y un plano paralelos

Dados un punto \(P\) y un plano \(\pi\), se llama distancia de \(P\) a \(\pi\), \(d(P,\pi)\), a la distancia de \(P\) a \(M\), donde \(M\) es el punto de intersección de \(\pi\) con la recta que pasa por \(P\) y es perpendicular a \(\pi\).

producto escalar 09

Supongamos que el punto \(P\) tiene coordenadas \(P\left( {{p_1},\,\,{p_2},\,\,{p_3}} \right)\) y que el plano \(\pi\) tiene ecuación implícita \(\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\). Entonces la distancia de \(P\) a \(\pi\) viene dada por:

\[d\left( {P,\pi } \right) = \frac{{\left| {A{p_1} + B{p_2} + C{p_3} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Para demostrarlo supongamos que \(M\left( {{m_1},\,\,{m_2},\,\,{m_3}} \right)\), \(\overrightarrow {MP}  = \left( {{p_1} - {m_1},\,\,{p_2} - {m_2},\,\,{p_3} - {m_3}} \right)\) y que \(\vec u = \left( {A,B,C} \right)\) es el vector perpendicular al plano. Obviamente \(d\left( {P,\,\,\pi } \right) = \left| {\overrightarrow {MP} } \right|\).

Pero, por un lado

\[\vec u \cdot \overrightarrow {MP}  = A\left( {{p_1} - {m_1}} \right) + B\left( {{p_2} - {m_2}} \right) + C\left( {{p_3} - {m_3}} \right)\]

y, por otro,

\[\vec u \cdot \overrightarrow {MP}  = \left| {\vec u} \right|\left| {\overrightarrow {MP} } \right|\cos \alpha  = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \left| {\overrightarrow {MP} } \right|\left( { \pm 1} \right)\]

(el ángulo \(\alpha\) que forman \(\vec u\) y \(\overrightarrow {MP}\) es \(0\) o \(180\)).

Entonces, igualando ambas expresiones:

\[\pm \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \left| {\overrightarrow {MP} } \right| = A\left( {{p_1} - {m_1}} \right) + B\left( {{p_2} - {m_2}} \right) + C\left( {{p_3} - {m_3}} \right) \Rightarrow\]

\[\Rightarrow \left| {\overrightarrow {MP} } \right| =  \pm \frac{{A\left( {{p_1} - {m_1}} \right) + B\left( {{p_2} - {m_2}} \right) + C\left( {{p_3} - {m_3}} \right)}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} =  \pm \frac{{A{p_1} + B{p_2} + C{p_3} - \left( {A{m_1} + B{m_2} + C{m_3}} \right)}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Pero \(M \in \pi\), por lo que

\[A{m_1} + B{m_2} + C{m_3} + D = 0 \Rightarrow A{m_1} + B{m_2} + C{m_3} =  - D \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MP} } \right| =  \pm \frac{{A{p_1} + B{p_2} + C{p_3} + D}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

y como la distancia es siempre un número no negativo, entonces

\[\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = d(P,\pi ) = \frac{{\left| {A{p_1} + B{p_2} + C{p_3} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Si dos planos son paralelos la distancia entre ambos será la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro. Del mismo modo, si una recta un plano son paralelos, la distancia de la recta al plano será la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano.


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7. Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto P(p1,p2) a una recta r≡Ax+By+C=0 es la longitud del segmento de perpendicular a la recta, trazada por el punto P, comprendido entre éste y aquella. En la figura 10, d(P,r)=d(P,M).

distpuntorecta01

Para calcularla podemos hallar la recta s perpendicular a r que pasa por P, resolver el sistema formado por ambas  rectas para hallar el punto M y, finalmente calcular la longitud del segmento PM, es decir, d(P,M).

De todas formas lo que haremos es seguir unos pasos para deducir una fórmula general que permita hallar la distancia entre el punto P y la recta r.

  • En primer lugar, se toma un punto cualquiera de r, A(a1,a2) y se considera el vector que une el punto con el punto A, PA=(a1p1,a2p2).
  • En segundo lugar, se construye el vector z, que es el normalizado del vector que une P con M, es decir, aquel que tiene su misma dirección y sentido y de módulo la unidad. Sabemos por el apartado anterior que es de la forma:
    distpuntorecta02
  • Por úlimo, se hace el producto escalar del vector PA por el vector z:
    distpuntorecta03

Ahora hemos de igualar los dos últimos resultados teniendo en cuenta que, al tratarse de una distancia, siempre es positiva o nula. Por ello siempre es posible cambiar el signo y poner valores absolutos:

distpuntorecta04

Y como el punto A pertenece a la recta r se tiene que:

distpuntorecta05

Por tanto:

distpuntorecta06

Cuando la distancia que se busca, es la del origen de coordenadas O(0,0) a la recta Ax+By+C=0, la fórmula anterior queda de la siguiente forma:

distpuntorecta07

Llamando

distpuntorecta08

la ecuación normal de la recta, con los cosenos directores, toma la forma:

distpuntorecta09

Ejemplo 14

Calcula los cosenos directores, la distancia al origen y la ecuación normal de la recta

ecnormal10


 

Ya hemos visto en el ejemplo 13 del apartado anterior que los csenos directores son:

ecnormal11

La distancia al origen es:

distpuntorecta10

Como C<0, entonces:

distpuntorecta11

Así pues la ecuación normal de la recta es:

ecnormal12

 6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

8. Área del triángulo →

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6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

ecnormal01

En la figura 9 hemos tomado la recta

parpend11

Sobre ella se consideran los puntos A(a1,a2) y X(x,y) que determinan el vector

ecnormal02

El vector z se ha construido unitario y perpendicular a r. Por tanto tiene la misma dirección que el vector v=(A,B). Para obtener z basta multiplicar v por el inverso de su módulo:

ecnormal03

Ahora bien:

ecnormal04

O sea:

ecnormal05

Pero si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, resulta:

ecnormal06

Sustituyendo en (*):

ecnormal07

La ecuación anterior es la ecuación normal de la recta. Surge una pregunta: ¿qué significado tienen los coeficientes de la x y de la y de esa ecuación normal de la recta? Obsérvese que son las componentes del vector unitario z. Tales componentes de un vector unitario en una base ortonormal {i,j}, son el coseno y el seno del ángulo que forma con el vector i de la base. Así pues:

ecnormal08

Esas expresiones reciben el nombre de cosenos directores de r, pues la segunda también puede escribirse:

ecnormal09

Ejemplo 13

Halla los cosenos directores y escribe en forma normal la recta

ecnormal10


 Los cosenos directores son:

ecnormal11

Entonces:

ecnormal12

← 5. Paralelismo y perpendicularidad

7. Distancia de un punto a una recta →

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5. Paralelismo y perpendicularidad

Si dos rectas rs de pendientes respectivas m1 y m2 son paralelas, forman un ángulo de 0º. En ese caso:

parpend01

Esto nos lleva a un resultado conocido: dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

parpend02

Este resultado está de acuerdo con la fórmula que veíamos en la sección 1 pues, efectivamente, si consideramos dos rectas

recta06

tenemos que:

parpend03

Ejemplo 9

Calcula k para que las rectas

 parpend04

sean paralelas.


parpend05

Ejemplo 10

Calcula la ecuación de la recta s paralela a la recta ≡ x+3y−5=0, y que pasa por el punto A(2,5).


parpend06

Usando la eucación punto-pendiente:

parpend07

Si dos rectas son perpendiculares, forman un ángulo de 90º. En ese caso, la fórmula

pendiente17

exige que tg90º→∞. Para ello, el denominador ha de ser nulo. O sea:

parpend09

Es decir:

parpend10

Así pues, dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y cambiadas de signo.

Observando la expresión de la sección 4:

pendiente07

se puede comprender esta interesante interpretación de los coeficientes de los términos lineales de la ecuación general de una recta. Veamos, sea r una recta:

parpend11

Un vector director de r es:

parpend12

Si consideramos ahora el vector

parpend13

y hacemos el producto escalar de ambos vectores

parpend14

La conclusión de todo lo anterior es, por tanto, la siguiente:

parpend15

Ejemplo 11

Calcula la ecuación de la recta s, perpendicular a ≡ x+2y+3=0, por el punto A(3,5).


Calculamos la pendiente de la recta r y obtenemos así la de s (la inversa de la de r cambiada de signo):

parpend16

Entonces:

parpend17

Ejemplo 12

Haz el ejercicio anterior, usando vectores directores y la forma continua de la recta.


 

Un vector director de r es:

parpend18

y un vector perpendicular a r será pues :

parpend19

Por tanto, este último vector, será un vector director de la recta s. Entonces:

parpend20

← 4. Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta

6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores →

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Apuntes de Geometría para Matemáticas II

En los apuntes siguientes se trata, de manera esquemática (son "sólo" 13 páginas), todo el bloque de geometría de la materia Matemáticas II, de 2º de Bachillerato (modalidad de Ciencias y Tecnología). Los contenidos están divididos de la siguiente manera.

Matemáticas II - Geometría

  1. Coordenadas o componentes de un vector.
  2. División de un segmento en n partes iguales.
  3. Vector director de una recta y ecuaciones de la recta.
  4. Ecuaciones de un plano.
  5. Posiciones relativas de dos rectas.
  6. Posiciones relativas de una recta y un plano.
  7. Posiciones relativas de dos planos.
  8. Ecuaciones implícitas de la recta.
  9. Haz de planos.
  10. Producto escalar de dos vectores.
  11. Producto vectorial de dos vectores.
  12. Producto mixto de tres vectores.
  13. Ángulo de dos vectores.
  14. Vector perpendicular a un plano.
  15. Ángulo de dos rectas.
  16. Ángulo de dos planos.
  17. Ángulo de recta y plano.
  18. Distancia entre dos puntos.
  19. Ecuación normal de un plano.
  20. Distancia de un punto a un plano.
  21. Distancia entre dos planos paralelos.
  22. Distancia de un punto a una recta.
  23. Distancia entre una recta y un plano paralelos.
  24. Distancia entre dos rectas paralelas.
  25. Distancia entre dos rectas que se cruzan.
  26. Área de un triángulo.
  27. Área de un paralelogramo.
  28. Volumen de un tetraedro.
  29. Volumen de un paralelepípedo.

Descárgalos aquí:

Apuntes de geometría. Matemáticas II. 2º Bachillerato.

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