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Longitudes, áreas y semejanza de triángulos

El otro día me encontré en Twitter con un problema de matemáticas en el que se involucraban longitudes y áreas. Me pareció atractivo y pensé en mis alumnos de secundaria. Hemos trabajado en clase suficientes "cosas" de matemáticas como para que un alumno que ha terminado la secundaria obligatoria (incluso antes) sea capaz de atacar y solucionar este problema. ¿Te atreves con él?

El enunciado es el siguiente (puedes ver la versión original aquí):

La línea divide al triángulo en dos partes de igual área. ¿Cuál es la longitud de la línea?

semejanza 01

La figura anterior la he retocado un poco para poder "meterle mano" al problema con más facilidad.

semejanza 02

Como ves, el objetivo es hallar la longitud del segmento de color rojo, o sea, \(x\).

El triángulo \(ABC\) es rectángulo. Por tanto es muy fácil, haciendo uso del teorema de Pitágoras, hallar el lado \(\overline{BC}\):

\[25^2=15^2+\overline{BC}^2\Rightarrow\overline{BC}=\sqrt{25^2-15^2}\Rightarrow\overline{BC}=20\,\text{cm}\]

También es muy fácil darse cuenta de que los triángulos \(ABC\) y \(AB'C'\) son semejantes (están en posición de Tales). Por tanto:

\[\frac{x}{y}=\frac{20}{15}\Rightarrow y=\frac{15x}{20}\Rightarrow y=\frac{3x}{4}\qquad(1)\]

Ahora vamos a hacer uso del dato que nos da el enunciado: el área del triángulo \(AB'C'\) es igual que el área del cuadrilátero \(B'BCC'\).

El área del triángulo \(AB'C'\) es

\[\dfrac{xy}{2}\]

El área del cuadrilátero \(B'BCC'\) es la del triángulo \(ABC\) menos la del triángulo \(AB'C'\):

\[\frac{20\cdot15}{2}-\frac{xy}{2}\]

Como las dos áreas son iguales:

\[\dfrac{xy}{2}=\frac{20\cdot15}{2}-\frac{xy}{2}\Rightarrow150=xy\]

Sustituyendo \(y\) por el valor obtenido en \((1)\) tenemos:

\[150=x\frac{3x}{4}\Rightarrow x^2=200\Rightarrow x=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx14,14\,\text{cm}\]

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