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7. Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto P(p1,p2) a una recta r≡Ax+By+C=0 es la longitud del segmento de perpendicular a la recta, trazada por el punto P, comprendido entre éste y aquella. En la figura 10, d(P,r)=d(P,M).

distpuntorecta01

Para calcularla podemos hallar la recta s perpendicular a r que pasa por P, resolver el sistema formado por ambas  rectas para hallar el punto M y, finalmente calcular la longitud del segmento PM, es decir, d(P,M).

De todas formas lo que haremos es seguir unos pasos para deducir una fórmula general que permita hallar la distancia entre el punto P y la recta r.

  • En primer lugar, se toma un punto cualquiera de r, A(a1,a2) y se considera el vector que une el punto con el punto A, PA=(a1p1,a2p2).
  • En segundo lugar, se construye el vector z, que es el normalizado del vector que une P con M, es decir, aquel que tiene su misma dirección y sentido y de módulo la unidad. Sabemos por el apartado anterior que es de la forma:
    distpuntorecta02
  • Por úlimo, se hace el producto escalar del vector PA por el vector z:
    distpuntorecta03

Ahora hemos de igualar los dos últimos resultados teniendo en cuenta que, al tratarse de una distancia, siempre es positiva o nula. Por ello siempre es posible cambiar el signo y poner valores absolutos:

distpuntorecta04

Y como el punto A pertenece a la recta r se tiene que:

distpuntorecta05

Por tanto:

distpuntorecta06

Cuando la distancia que se busca, es la del origen de coordenadas O(0,0) a la recta Ax+By+C=0, la fórmula anterior queda de la siguiente forma:

distpuntorecta07

Llamando

distpuntorecta08

la ecuación normal de la recta, con los cosenos directores, toma la forma:

distpuntorecta09

Ejemplo 14

Calcula los cosenos directores, la distancia al origen y la ecuación normal de la recta

ecnormal10


 

Ya hemos visto en el ejemplo 13 del apartado anterior que los csenos directores son:

ecnormal11

La distancia al origen es:

distpuntorecta10

Como C<0, entonces:

distpuntorecta11

Así pues la ecuación normal de la recta es:

ecnormal12

 6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

8. Área del triángulo →

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