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4. Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta

Observemos la figura 5:

pendiente01

En primer lugar vamos a hallar el vector director p=(p1,p2) de la recta r que venga dada en su forma general:

pendiente02

En la figura se ha dibujado la recta r y otra paralela a ella, s, que pasa por el origen de coordenadas. Por tanto la ecuación de será de la forma:

pendiente03

Tomemos un punto cualquiera A(x1,y1) de s distinto del origen de coordenadas, es decir, x1≠0.  Este punto ha de satisfacer la ecuación de la recta s, o sea:

pendiente04

Ahora, dividiendo por x1:

pendiente05

 Observemos ahora que en los triángulos OABOPT se cumple:

pendiente06

Es conocido que la tangente de la inclinación de una recta (ángulo que forma con el eje OX) se le llama pendiente, y se la representa por m. Entonces:

pendiente07

Y, por tanto, un vector director de r es:

pendiente08

Ejemplo 7

Calcula el ángulo que forman las rectas

pendiente09


 

Utilizando lo que hemos visto anteriormente, es fácil darse cuenta de que vectores directores de rs son, respectivamente:

pendiente10

Por tanto:

pendiente11

Por cierto, hay otra manera de calcular el ángulo de dos rectas, sin necesidad de hallar antes vectores directores suyos. Observa la figura 6.

pendiente12

En la figura, las rectas:


pendiente13

se cortan en T bajo un ángulo α, y forman con el eje de abscisas el triángulo TPQ. El ángulo γ es ángulo exterior del triángulo, y es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. O sea:

pendiente14

Las pendientes de r y s son, respectivamente:

pendiente15

Entonces utilizando una conocida identidad trigonométrica:

pendiente16

Fórmula que si la escribirmos en funcón de las pendientes de las rectas, queda de la forma:

pendiente17

Ejemplo 8

Calcula, usando las pendientes, el ángulo que forman las rectas:

pendiente18


Hallemos las pendientes y usemos la fórmula anterior:

pendiente19

Observemos ahora la figura 7. En ella se representa la recta r de inclinación α y de pendiente m=tgα.

pendiente20

Consideremos sobre la recta un punto determinado A(x0,y0), y también, un punto cualquiera de ella X(x,y). En la figura se ha formado el triángulo ABX en el que se cumple:

pendiente21

Es decir:

pendiente22

La ecuación anterior se suele llamar ecuación punto-pendiente de la recta r, y es muy cómoda cuando se conoce un punto de la recta y su pendiente.

Observemos ahora la figura 8:

pendiente23

Si aplicamos la ecuación punto-pendiente al punto Q(0,b), se obtiene:

pendiente24

Es decir:

pendiente25

La ecuación anterior es la llamada forma explícita de la recta r. El término b es la ordenada en el origen.

Otro enfoque es el siguiente. Un vector director de r es:

pendiente26

Considerando el punto P(a,0), la ecuación continua de una recta, nos lleva al siguiente resultado:

pendiente27

Dividiendo todos los términos entre ab:

pendiente28

La ecuación anterior suele llamarse ecuación canónica de la recta. En ella ab son, respectivamente, la abscisa y la ordenada en el origen.

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5. Paralelismo y perpendicularidad →

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