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10. Lugares geométricos

Lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad determinada, de un modo integrante y excluyente.

  • Integrante significa que todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
  • Excluyente, que todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones. Es lo que se hace en los siguientes ejemplos. En ellos veremos dos lugares geométricos básicos: la mediatriz de un segmento y las bisectrices de los ángulos que forman dos rectas.

Lugares geométricos destacables en el plano son las cónicas:

  • Circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.
  • Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamdos focos es constante.
  • Hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
  • Parábola: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamdo foco.

Las cónicas se estudiarán en otra sección.

Ejemplo 18

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB, tal que A(2,2) y B(8,0).


La mediatriz m es el lugar geométrico de todos los puntos que distan lo mismo de los extremos del segmento.

lugaresgeometricos00

O sea, con un punto cualquiera P(x,y) que pertenezca al lugar, se cumple:

lugaresgeometricos01

Entonces

lugaresgeometricos02

lugaresgeometricos03

Ejemplo 19

Calcula la ecuación de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas

lugaresgeometricos04


La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que distan lo mismo de cada uno de los lados del ángulo.

lugaresgeometricos06

O sea, que un punto cualquiera P(x,y) que pertenezca al lugar, se cumple:

lugaresgeometricos05

Utilizando la fórmula de la distancia de un punto a una recta vista en el apartado 7, la relación anterior la podemos escribir así:

lugaresgeometricos07

Con el signo +:

lugaresgeometricos08

Con el signo −:

lugaresgeometricos09

Obsérvese que las bisectrices b1 y b2 son perpendiculares pues el producto escalar de dos vectores directores suyos es nulo. En efecto:

lugaresgeometricos10 

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