Menu
Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

Distancia entre dos rectas que se c…

En un espacio de tres dim...

La regla de Cramer

La regla de Cramer

Consideremos un sistema d...

¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Prev Next

Expresiones, identidades y ecuaciones trigonométricas

senos y cosenos senos y cosenos

En Matemáticas I (1º de Bachillerato) se trabaja mucho la demostración de identidades trigonométricas, la simplificación de expresiones en las que aparecen razones trigonométricas, la resolución de ecuaciones trigonométricas y de sistemas de ecuaciones trigonométricas. Veamos unos ejemplos.

Identidades trigonométricas

Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:

\[\frac{\cos x+\text{sen}\,x}{\cos x-\text{sen}\,x}-\frac{\cos x-\text{sen}\,x}{\cos x+\text{sen}\,x}=2\text{tg}\,x\]

\[\frac{\cos x+\text{sen}\,x}{\cos x-\text{sen}\,x}-\frac{\cos x-\text{sen}\,x}{\cos x+\text{sen}\,x}=\frac{\left( \cos x+\text{sen}\,x \right)\left( \cos x+\text{sen}\,x \right)}{\left( \cos x-\text{sen}\,x \right)\left( \cos x+\text{sen}\,x \right)}-\frac{\left( \cos x-\text{sen}\,x \right)\left( \cos x-\text{sen}\,x \right)}{\left( \cos x-\text{sen}\,x \right)\left( \cos x+\text{sen}\,x \right)}=\]

\[=\frac{{{\cos }^{2}}x+2\cos x\,\text{sen}\,x+\text{se}{{\text{n}}^{2}}x}{\left( \cos x-\text{sen}\,x \right)\left( \cos x+\text{sen}\,x \right)}-\frac{{{\cos }^{2}}x-2\cos x\,\text{sen}\,x+\text{se}{{\text{n}}^{2}}x}{\left( \cos x-\text{sen}\,x \right)\left( \cos x+\text{sen}\,x \right)}=\frac{2\cos x\,\text{sen}\,x+2\cos x\,\text{sen}\,x}{\left( \cos x-\text{sen}\,x \right)\left( \cos x+\text{sen}\,x \right)}=\]

\[=\frac{\text{sen}\,2x+\text{sen}\,2x}{{{\cos }^{2}}x-\text{se}{{\text{n}}^{2}}x}=\frac{2\,\text{sen}\,2x}{\cos 2x}=2\,\text{tg}\,2x\]

\[\frac{\text{tg}\,x}{\cos^2x}=\frac{1+\text{tg}^2x}{\text{cotg}^2x}\]

\[\frac{1+\text{t}{{\text{g}}^{2}}x}{\text{cotg}\,x}=\frac{1+\displaystyle\frac{\text{se}{{\text{n}}^{2}}\,x}{{{\cos }^{2}}x}}{\displaystyle\frac{\cos x}{\text{sen}\,x}}=\frac{\displaystyle\frac{{{\cos }^{2}}x+\text{se}{{\text{n}}^{2}}\,x}{{{\cos }^{2}}x}}{\displaystyle\frac{\cos x}{\text{sen}\,x}}=\frac{\displaystyle\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}{\displaystyle\frac{\cos x}{\text{sen}\,x}}=\frac{\text{sen}\,x}{\cos x\cdot {{\cos }^{2}}x}=\frac{\text{sen}\,x}{\cos x}\cdot \frac{1}{\cos {{x}^{2}}}=\frac{\text{tg}\,x}{{{\cos }^{2}}x}\]

Expresiones trigonométricas

Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas:

\[\frac{\text{sen}\,\alpha+\text{cotg}\,\alpha}{\text{tg}\,\alpha+\text{cosec}\,\alpha}\]

\[\frac{\text{sen}\,\alpha +\text{cotg}\,\alpha }{\text{tg}\,\alpha +\text{cosec}\,\alpha }=\frac{\text{sen}\,\alpha +\displaystyle\frac{\cos \alpha }{\text{sen}\,\alpha }}{\displaystyle\frac{\text{sen}\,\alpha }{\cos \alpha }+\frac{1}{\text{sen}\,\alpha }}=\frac{\displaystyle\frac{\text{se}{{\text{n}}^{2}}\,\alpha +\cos \alpha }{\text{sen}\,\alpha }}{\displaystyle\frac{\text{se}{{\text{n}}^{2}}\,\alpha +\cos \alpha }{\cos \alpha \,\text{sen}\,\alpha }}=\frac{\left( \text{se}{{\text{n}}^{2}}\,\alpha +\cos \alpha \right)\cos \alpha \,\text{sen}\,\alpha }{\left( \text{se}{{\text{n}}^{2}}\,\alpha +\cos \alpha \right)\,\text{sen}\,\alpha }=\cos \alpha\]

\[2\text{tg}\,\alpha\cdot\cos^2\frac{\alpha}{2}-\text{sen}\,\alpha\]

\[2\,\text{tg}\,\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}-\text{sen}\,\alpha =2\frac{\text{sen}\,\alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{1+\cos \alpha }{2}-\text{sen}\,\alpha =\frac{\text{sen}\,\alpha \left( 1+\cos \alpha \right)}{\cos \alpha }-\text{sen}\,\alpha =\] \[=\frac{\text{sen}\,\alpha +\text{sen}\,\alpha \cos \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\text{sen}\,\alpha \cos \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\text{sen}\,\alpha }{\cos \alpha }=\text{tg}\,\alpha\]

Ecuaciones trigonométricas

Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas y dar las soluciones dentro del intervalo \(\left[ 0{}^\text{o}\,,\,360{}^\text{o} \right)\) (primera vuelta):

\[\text{tg}\,x+2\text{sen}\,x=0\]

\[\text{tg}\,x+2\text{sen}\,x=0\Rightarrow \frac{\text{sen}\,x}{\cos x}+2\text{sen}\,x=0\Rightarrow \text{sen}\,x+2\text{sen}\,x\cos x=0\Rightarrow \text{sen}\,x\left( 1+2\cos x \right)=0\Rightarrow\] \[\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \text{sen}\,x=0\Rightarrow x=0{}^\text{o}\,\,;\,\,x=180{}^\text{o} \\ & \cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=120{}^\text{o}\,\,;\,\,x=240{}^\text{o} \\ \end{align} \right. \]

\[\text{sen}\,x\cdot\text{tg}\,x=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\text{sen }x\cdot \text{tg}\,x=\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \text{sen}\,x\cdot \frac{\text{sen}\,x}{\cos x}=\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow 6\,\text{se}{{\text{n}}^{2}}\,x=\sqrt{3}\cos x\Rightarrow 6\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)=\sqrt{3}\cos x\Rightarrow\] \[\Rightarrow 6-6{{\cos }^{2}}x=\sqrt{3}\cos x\Rightarrow 6{{\cos }^{2}}x+\sqrt{3}\cos x-6=0\]

El discriminante de la ecuación anterior es \(\sqrt{3}^2-4\cdot6\cdot(-6)=3+144=147\). Por tanto:

\[\cos x=\frac{-\sqrt{3}\pm \sqrt{147}}{12}=\frac{-\sqrt{3}\pm \sqrt{{{7}^{2}}\cdot 3}}{12}=\frac{-\sqrt{3}\pm 7\sqrt{3}}{12}=\left\{ \begin{align} & \frac{6\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ & \frac{-8\sqrt{3}}{12}=\frac{-2\sqrt{3}}{3} \\ \end{align} \right. \]

Si \(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), entonces \($x=30{}^\text{o}\,\,;\,\,x=330{}^\text{o}$\).

Si \(\cos x=\frac{-2\sqrt{3}}{3}\), entonces no existe solución para \(x\) pues \(\dfrac{-2\sqrt{3}}{3}\cong -1,15\), y el coseno no puede ser un número menor que \(-1\).

Sistema de ecuaciones trigonométricas

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas, dando las soluciones en el primer cuadrante.

\[\begin{cases}\text{sen}\,x\cdot\text{sen}\,y=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\\ \displaystyle\cos x\cdot\text{sen}\,y=\frac{\sqrt{6}}{4}\end{cases}\]

Dividiendo ambas ecuaciones tenemos:

\[\frac{\text{sen}\,x}{\cos x}=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}}{\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{4}}\Rightarrow \text{tg}\,x=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}\Rightarrow \text{tg}\,x=\sqrt{\frac{2}{6}}\Rightarrow \text{tg}\,x=\sqrt{\frac{1}{3}}\Rightarrow \text{tg}\,x=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=30{}^\text{o}\]

Sustituyendo en la primera ecuación:

\[\text{sen}\,30{}^\text{o}\cdot \text{sen}\,y=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \frac{1}{2}\text{sen}\,y=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \text{sen}\,y=\frac{2\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \text{sen}\,y=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow y=45{}^\text{o}\]

volver arriba

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas