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El teorema del coseno

El teorema del coseno

En la figura de abajo se representa un triángulo cualquiera, en el que vamos a considerar sus lados como representantes de vectores libres.

thcoseno02

Hagamos el siguiente producto escalar:

thcoseno03

Por distributividad se puede escribir:

thcoseno04

Por tanto, utilizando la definición de módulo de un vector y de producto escalar de dos vectores:

thcoseno05

La expresión anterior, usando la medida de los lados del triángulo, toma la forma:

thcoseno06

Fórmula que constituye el llamado teorema del coseno, que dice:

En cualquier triángulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ángulo que forman.

Como caso particular del teorema del coseno, resulta el conocido teorema de Pitágoras. Cuando A=90o, el teorema del coseno se convierte en:

thcoseno07

Es decir:

thcoseno08

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