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El teorema de Tales

Enunciado del Teorema de Tales

El teorema de Tales dice que si dos rectas cualesquiera se cortan por una serie de rectas paralelas, los lados o segmentos homólogos son proporcionales.

tales 01

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{DF}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{BE}}\]

Triángulos semejantes y triángulos en posición de Tales

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales.

El teorema de Tales también se puede enunciar así: si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

En la siguiente figura tenemos un triángulo \(ABC\) y hemos trazado una paralela al lado \(BC\) formando el triángulo \(ADE\).

tales 02

Entonces los triángulos \(ABC\) y \(ADE\) son semejantes y se cumple que

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{EC}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}\]

En realidad este es el enunciado original del teorema de Tales (o primer teorema de Tales) y en este caso se dice que los dos triángulos están en posición de Tales.

Ejercicio resuelto

Los siguientes triángulos están en posición de Tales. Calcula las longitudes \(x\) e \(y\).

tales 03

Solución

Como los triángulos están en posición de Tales tenemos que:

\[\frac{8}{10}=\frac{3}{x}\]

Despejando \(x\):

\[8x=3\cdot10\Rightarrow8x=30\Rightarrow x=\frac{30}{8}\Rightarrow x=3,75\,\text{cm}\]

Observemos que también podríamos haber obtenido la longitud \(x\) así:

\[\frac{8}{10}=\frac{8+3}{10+x}\Rightarrow\frac{8}{10}=\frac{11}{10+x}\]

Nuevamente, despejando \(x\):

\[8(10+x)=11\cdot10\Rightarrow80+8x=110\Rightarrow8x=30\Rightarrow x=\frac{30}{8}\Rightarrow x=3,75\,\text{cm}\]

Procediendo de manera similar calcularemos la longitud de \(y\):

\[\frac{8}{10}=\frac{5}{y}\Rightarrow8y=50\Rightarrow y=\frac{50}{8}\Rightarrow y=6,25\,\text{cm}\]

También podríamos haber obtenido \(y\) así:

\[\frac{3}{3,75}=\frac{5}{y}\Rightarrow3y=18,75\Rightarrow y=\frac{18,75}{3}\Rightarrow y=6,25\,\text{cm}\]

O así:

\[\frac{11}{13,75}=\frac{5}{y}\Rightarrow11y=68,75\Rightarrow y=\frac{68,75}{11}\Rightarrow y=6,25\,\text{cm}\]

Más sobre semejanza y el teorema de Tales

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