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El teorema de los senos

El teorema de los senos

El teorema de los senos dice:

En todo triángulo las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos respectivos, siendo la constante de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

thsenos01     thsenos02

Dibujando en los triángulos ABC de las figuras anteriores, la altura h, aparecen dos triángulos rectángulos CHACHB, en los que se cumple (se han dibujado triángulos acutángulo y obtusángulo, en el rectángulo también se cumple):

 thsenos04

Si hubiéramos trabajado con la altura correspondiente al vértice B, por el mismo procedimiento:

 thsenos05

Igualando (1) y (2), se obtiene:

 thsenos06

Esta es la fórmula conocida por teorema de los senos.

Ahora, en la figura siguiente, hemos dibujado la circunferencia circunscrita al triángulo anterior; luego trazamos el diámetro BA' y unimos con C, formándose el triángulo BCA', que es rectángulo en (recuerda que el ángulo BCA' es inscrito, y abarca 180º, el arco que va de A' B; por tanto el ángulo BCA' vale 180º/2=90º).

thsenos03

Entonces, aplicando la fórmula del teorema de los senos en el triángulo BCA', obtenemos:

thsenos07

Pero el ángulo A es igual que el ángulo A', por ser inscritos y abarcar el mismo arco BC, luego:

thsenos08

Este resultado lo incorporamos a la fórmula del teorema de los senos y resulta finalmente la expresión completa del teorema de los senos:

thsenos09

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