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El árbelos

Escultura de un árbelos en Kaatsheuvel, Holanda Escultura de un árbelos en Kaatsheuvel, Holanda

Leyendo algunos textos de matemáticas en busca de problemas para poner a mis alumnos de secundaria y de bachillerato, me topé con una figura geométrica que ya estaba lejana en mi memoria, pero que me encantó reencontrarme con ella: el árbelos. En concreto, el libro que consultaba en ese momento tiene por título Expediciones Matemáticas, su autor es Frank J. Swetz y está publicado en la editorial "La esfera de los libros". En la página 85 me encuentro con el árbelos. Así que os transmito el contenido y los problemas relacionados con el árbelos y sus correspondientes soluciones.

arbelos2

En el Libro de Lemmas, Arquímedes introduce una figura que, debido a su forma se conoce históricamente como el "cuchillo de zapatero" o árbelos. Si en un semicírculo de radio \(R\) y diámetro \(AB\) se construyen dos semicírculos con radios \(r_1\) y \(r_2\), donde \(r_1\neq r_2\) y \(r_1+r_2=R\), sobre el diámetro \(AB\), de tal modo que se encuentren en el punto \(C\) sobre \(AB\), la región limitada por estas tres circunferencias se denomina árbelos (véase la figura de arriba).

El árbelos fascinaba a Arquímedes por sus propiedades matemáticas. Se propone demostrar un par de ellas.

a) Demuestra que la longitud del arco \(AC\) más la longitud del arco \(CB\) es igual a la longitud del arco \(AB\).

La longitud \(L\) del arco \(AB\) es la de la mitad de una circunferencia de radio \(R\) (recuérdese que el radio \(R\) correspondía al diámetro \(AB\)). Por tanto \(L=\pi R\). Del mismo modo, las longitudes de los arcos \(AC\) y \(CB\) son, respectivamente, \(l_1=\pi r_1\) y \(l_2=\pi r_2\). Como \(R=r_1+r_2\), tenemos:

\[L=\pi R=L=\pi(r_1+r_2)=\pi r_1+\pi r_2=l_1+l_2\]

Justamente lo que queríamos demostrar.

b) Demuestra que, si se construye una línea perpendicular desde \(C\) que corte al arco \(AB\) en un punto \(P\), entonces \(\overline{CP}\) es el diámetro de un círculo cuya área es igual a la del árbelos.

arbelos3

Observemos en primer lugar la figura anterior y recordemos la notación empleada:

\[R=\frac{\overline{AB}}{2}\Rightarrow\overline{AB}=2R\ \ ;\ \ r_1=\frac{\overline{AC}}{2}\Rightarrow\overline{AC}=2r_1\ \ ;\ \ r_2=\frac{\overline{BC}}{2}\Rightarrow\overline{BC}=2r_2\ \ ;\ \ R=r_1+r_2\]

Introduciremos ahora también las siguientes notaciones (ver figura):

\[\overline{AP}=x\ \ ;\ \ \overline{BP}=y\ \ ;\ \ \frac{\overline{CP}}{2}=r_3\Rightarrow\overline{CP}=2r_3\] 

Llamemos por último \(S_1\) al área del árbelos y \(S_2\) al área del círculo de diámetro \(\overline{CP}\), o lo que es lo mismo, de radio \(r_3\). Hemos de demostrar que \(S_1=S_2\).

Los triángulos \(APC\) y \(BPC\) son claramente rectángulos ya que \(\overline{CP}\) es perpendicular a \(\overline{AB}\). El triángulo \(APB\) también es rectángulo porque el ángulo \(\widehat{APB}\) es recto, ya que es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro \(\overline{AB}\). Recuérdese que si un ángulo inscrito de una circunferencia subtiende un diámetro, entonces es un ángulo recto. Utilizando por tanto el teorema de Pitágoras, se cumplen las siguientes igualdades:

\[\overline{AP}^2=\overline{AC}^2+\overline{CP}^2\Rightarrow x^2=(2r_1)^2+(2r_3)^2=4r_1^2+4r_3^2\quad (1)\]

\[\overline{BP}^2=\overline{BC}^2+\overline{CP}^2\Rightarrow y^2=(2r_2)^2+(2r_3)^2=4r_2^2+4r_3^2\quad (2)\]

\[\overline{AB}^2=\overline{AP}^2+\overline{BP}^2\Rightarrow(2R)^2=x^2+y^2\Rightarrow 4(r_1+r_2)^2=x^2+y^2\quad (3)\]

Desarrollando el primer miembro de \((3)\), y sustituyendo en el segundo por los valores correspondientes obtenidos en \((1)\) y \((2)\), tenemos:

\[4r_1^2+4r_2^2+8r_1r_2=4r_1^2+4r_3^2+4r_2^2+4r_3^2\Rightarrow8r_1r_2=r_3^2\Rightarrow r_1r_2=r_3^2\quad (4)\]

El área del árbelos es:

\[S_1=\frac{\pi R^2}{2}-\frac{\pi r_1^2}{2}-\frac{\pi r_2^2}{2}=\frac{\pi(r_1+r_2)^2-\pi r_1^2-\pi r_2^2}{2}=\]

\[=\frac{\pi r_1^2+\pi r_2^2+2\pi r_1r_2-\pi r_1^2-\pi r_2^2}{2}=\frac{2\pi r_1r_2}{2}=\pi r_1r_2\]

Utilizando ahora lo obtenido en \((4)\) tenemos:

\[S_1=\pi r_1r_2=\pi r_3^2=S_2\]

Justamente lo que queríamos demostrar.

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