Menu
Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales.…

Las sucesiones de n&uacut...

La paradoja de Zenón

La paradoja de Zenón

El filósofo griego...

Funciones continuas e inyectivas

Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teo...

El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

El problema de la velocidad. Deriva…

Un problema relativo a ve...

Prev Next

7. La parábola

Definición

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.

Entre las muchas aplicaciones de la parábola es destacable el hecho de que la trayectoria de cualquier proyectil es parabólica.

Ecuación reducida

Hallaremos la ecuación de una parábola cuyo foco se encuentre en el eje de abscisas y cuya directriz sea una recta vertical a la misma distancia del origen que el foco.

conicas 25

Como la distancia entre foco y directriz se suele designar por \(p\) (parámetro) tendremos que el foco es el punto \(F\left(\dfrac{p}{2}\,,\,0\right)\) y la directriz tendrá ecuación \(x=-\dfrac{p}{2}\) (ver figura anterior).

Por la definición de parábola tenemos:

\[d(F\,,\,p)=d(P\,,\,d)\]

Recordemos, en primer lugar, que para hallar la distancia de un punto a una recta se utiliza la ecuación normal de la recta \(\dfrac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+b^2}}\). En este caso, para la directriz \(d\), se tiene que \(A=1\), \(B=0\), \(C=\dfrac{p}{2}\).

Por tanto:

\[\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+(y-0)^2}=\frac{\displaystyle x+\frac{p}{2}}{\sqrt{1+0}}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \sqrt{x^2+\frac{p^2}{4}-px+y^2}=x+\frac{p}{2}\]

Elevando los dos miembros de esta última expresión al cuadrado:

\[x^2+\frac{p^2}{4}-px+y^2=x^2+\frac{p^2}{4}+px\]

y reduciendo términos semejantes tenemos la ecuación reducida de la parábola:

\[y^2=2px\qquad(7)\]

Ejemplo 9

La parábola cuyo foco es el punto \(P(3\,,\,0)\) y cuya directriz es la recta vertical \(x=-3\) tiene la ecuación

\[y^2=12x\]

ya que \(p=d(F\,,\,d)=6\)

Efectuando sucesivos giros de ejes de amplitud \(-90^{\text{o}}\), o bien a partir de la definición se obtienen las ecuaciones de las parábolas de la figura siguiente:

conicas 26

Descripción

A parte del foco y de la directriz son elementos importantes de la parábola el eje y el vértice. El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. El vértice de la parábola es el punto de ella que está en el eje. El segmento \(PF\) es el radio vector del punto \(P\) (véase la figura siguiente).

conicas 27

Ejemplo 10

En la parábola de la primera de las figuras de este artículo, el eje de la parábola es el eje de abscisas \(y=0\) y el vértice de la parábola es el origen de coordenadas.

Ecuación general

Para hallar la ecuación de una parábola de eje oblicuo como la de la figura anterior se debe aplicar la definición de parábola (suponiendo conocidos el foco y la directriz). Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo 11

Averiguar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto \((2\,,\,3)\) y cuya directriz es la recta \(x-y=0\) (bisectriz del primer y tercer cuadrantes)

Se trata de aplicar correctamente la definición de parábola. Tenemos que partir de que si \(P(x\,,\,y)\) es un punto cualquiera de la parábola, entonces:

\[d(F\,,\,P)=d(P\,,\,d)\Leftrightarrow\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}=\frac{x-y}{\sqrt{2}}\]

Elevando al cuadrado y operando:

\[(x-2)^2+(y-3)^2=\frac{(x-y)^2}{2}\Leftrightarrow x^2+4-4x+y^2+9-6y=\frac{x^2+y^2-2xy}{2}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow2x^2+8-8x+2y^2+18-12y=x^2+y^2-2xy\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-8x-12y+26=0\]

Aplicando a esta ecuación una traslación y un giro de ejes adecuados, obtendríamos una ecuación como las que estamos acostumbrados a ver representando a una parábola

Normalmente las parábolas que utilizaremos tendrán el eje horizontal o vertical y para obtener su ecuación basta hacer una traslación de ejes, como se puede ver en la figura siguiente.

conicas 28

Ejemplo 12

Calculemos la ecuación de un parábola cuyo foco es el punto \((2\,,\,3)\) y cuyo vértice es el punto \((3\,,\,5)\)

Se trata de una parábola vertical cuyo vértice está por encima del foco, con lo que se "abrirá" hacia abajo. Calculemos su ecuación, según la segunda fórmula de la figura anterior: \((x-a)^2=-2p(y-b)\). Como \(V(a\,,\,b)=(2\,,\,3)\), y \(p=2\cdot d(F\,,\,V)=6\), tenemos que la ecuación de la parábola es:

\[(x-3)^2=-12(y-5)\]

Si desarrollamos tenemos:

\[x^2-6x+9=-12y+60\]

Y despejando la variable \(y\):

\[y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{51}{12}\]

Esta es la ecuación de una parábola de las que se trabajan habitualmente en 3º o 4º de Educación Secundaria Obligatoria.

← 6. La hipérbola

8. Intersección de una cónica y una recta →

volver arriba

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas