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6. La hipérbola

Definición

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

A esa constante se la suele llamar \(2a\).

La hipérbola es también una curva con abundantes aplicaciones. Un ejemplo bastante conocido es la relación entre la presión y el volumen de un gas ideal a temperatura constante, que viene representada por la rama positiva de una hipérbola equilátera. Lo veremos al final de esta entrada.

 Ecuación reducida

Veremos la ecuación de un hipérbola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos respecto del origen de coordenadas. Sean \(F(c\,,\,0)\) y \(F'(-c\,,\,0)\) esos focos y \(P(x\,,\,y)\) un punto cualquiera de la hipérbola (véase la figura siguiente).

conicas 17

Aplicando la definición:

\[d(F'\,,\,P)-d(F\,,\,P)=2a\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}-\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=2a\]

Operando de modo completamente igual a como se hizo en el caso de la elipse llegamos a:

\[(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\]

Dividiendo los dos miembros por \(a^2(c^2-a^2)\), resulta:

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1\]

Si llamamos \(b^2=c^2-a^2\) tenemos:

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(4)\]

Ejemplo 6

La ecuación de la hipérbola cuyos focos son \(F(5\,,\,0)\) y \(F'(-5\,,\,0)\) y tal que la diferencia de distancias de un punto cualquiera de ella a los focos es \(8\) es:

\[\begin{cases}2a=8\Rightarrow a=4\\b^2=c^2-a^2\Rightarrow b^2=25-16=9\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\]

Descripción

En la ecuación \((4)\):

\[y=0\Rightarrow x=\pm a\Rightarrow\begin{cases}A(a\,,\,0)\\A'(-a\,,\,0)\end{cases}\]

\(A\) y \(A'\) son los vértices de la hipérbola.

Por otro lado:

\[x=0\Rightarrow y=\pm\sqrt{-b^2}\notin\mathbb{R}\]

Es decir, la hipérbola no corta al eje de ordenadas. El sentido del número \(b\) nos lo da el teorema de Pitágoras: \(b^2=c^2-a^2\) (ver la figura siguiente).

conicas 18

Si analizamos la figura anterior tenemos que:

  • \(2a\) es la longitud del eje real de la hipérbola; \(a\) es el semieje real.
  • \(2b\) es la longitud del eje imaginario; \(b\) es el semieje imaginario.
  • \(2c\) es la distancia focal; \(c\) es la semidistancia focal.
  • Los segmentos \(PF=r\) y \(PF'=r'\) son los radio vecotes del punto \(P\).
  • Las rectas \(y=\dfrac{b}{a}x\), \(y=-\dfrac{b}{a}x\), que contienen al rectángulo de base \(2a\) y de altura \(2b\) se llaman asíntotas de la hipérbola y cumplen que la curva se va acercando a ellas indefinidamente pero sin llegar nunca a cortarlas.

Excentricidad

La excentricidad de una hipérbola es el cociente entre su semidistancia focal y su semieje real:

\[e=\frac{c}{a}\]

En este caso, como \(c\geq a\), es \(a\geq1\).

Ejemplo 7

La excentricidad de la hipérbola del ejemplo 6 es \(c=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{4}\)

También en este caso la excentricidad nos indica la forma de la curva (ver la figura siguiente).

conicas 19

Ecuación general

Aplicando convenientemente las fórmulas de traslación y el giro de ejes se puede hallar la ecuación de otros tipos de hipérbolas. En la figura siguiente tienes dos casos.

conicas 20           conicas 21

Hipérbola equilátera

La hipérbola equilátera es cualquier hipérbola cuya excentricidad sea igual a \(\sqrt{2}\). También cumple que sus dos semiejes son iguales: \(a=b\).

En efecto:

\[e=\sqrt{2}\Rightarrow\frac{c}{a}=\sqrt{2}\Rightarrow c=a\sqrt{2}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow b^2=c^2-a^2=(a\sqrt{2})^2-a^2=2a^2-a^2=a^2\]

Como \(b^2=a^2\) y tanto \(a\) como \(b\) son positivos, se tiene \(a=b\).

La ecuación de la hipérbola equilátera es:

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\Rightarrow x^2-y^2=a^2\qquad(5)\]

Esta ecuación puede transformarse de una manera interesante si efectuamos un giro de ejes, de modo que los nuevos ejes coincidan con las asíntotas (ver figura).

conicas 22

Utilizando las fórmulas de transformación de coordenadas que se vieron en el curso de geometría métrica plana, tenemos:

\[\begin{cases}x=x'\cos(-45º)-y'\text{sen}(-45º)=x'\frac{\sqrt{2}}{2}+y'\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y')\\y=x'\text{sen}(-45º)+y'\cos(-45º)=-x'\frac{\sqrt{2}}{2}+y'\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(-x'+y')\end{cases}\]

Sustituyendo en la ecuación \((5)\):

\[\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y')\right)^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-x'+y')\right)^2=a^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{1}{2}(x'^2+y'^2+2x'y')-\frac{1}{2}(x'^2+y'^2-2x'y')=a^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \frac{x'^2}{2}+\frac{y'^2}{2}+x'y'-\frac{x'^2}{2}-\frac{y'^2}{2}+x'y'=a^2\Rightarrow2x'y'=a^2\Rightarrow x'y'=\frac{a^2}{2}\]

Si llamamos \(K=\dfrac{a^2}{2}\), obtenemos para la hipérbola equilátera la ecuación (conocida como "ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas"):

\[x\cdot y=k\qquad(6)\]

Ejemplo 8

En la hipérbola equilátera cuya ecuación es \(x^2-y^2=2\), se tiene que \(K=\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{2}{2}=1\). Por tanto, la ecuación reducida referida a sus asíntotas es \(x\cdot y=1\)

Si efectuáramos un giro de \(45^\text{o}\) en los ejes (en vez de un giro de \(-45^\text{o}\)), la hipérbola equilátera, aparecería en el segundo y cuarto cuadrantes y su ecuación sería \(x\cdot y=-1\). En general \(x\cdot y=-\dfrac{a^2}{2}\)

 conicas 23

Las variables que se encuentran relacionadas por una fórmula como la \((6)\) se dice que son inversamente proporcionales.

Es lo que les sucede a la presión y el volumen de un gas ideal que se mantien a temperatura constante. La ley de Boyle-Mariotte afirma que en tales condiciones, presión y volumen son inversamente proporcionales:

\[P\cdot V=K\]

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