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5. La elipse

Definición

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

A esa constante se la suele designar por \(2a\).

Las órbitas de los planetas en torno al sol y la del electrón en torno al núcleo del átomo son elípticas.

Ecuación reducida

Vamos a averiguar la ecuación de una elipse cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos respecto del origen de coordenadas (ver figura).

conicas 12

Sean \(F(c\,,\,0)\) y \(F'(-c\,,\,0)\) los focos y \(P(x\,,\,y)\) un punto cualquiera de la elipse. La definición nos dice que:

\[d(F\,,\,P)+d(F'\,,\,P)=2a\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}=2a\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Elevando los dos miembros de esta última expresión al cuadrado:

\[(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x^2+c^2+2cx+y^2=4a^2+x^2+c^2-2cx+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Aislamos el radical y simplificamos por \(4\):

\[4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx\Leftrightarrow a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx\]

Elevamos de nuevo al cuadrado:

\[a^2\left((x-c)^2+y^2\right)=(a^2-cx)^2\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow a^2x^2+a^2c^2-2a^2cx+a^2y^2=a^4-c^2x^2-2a^2cx\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\]

Dividiendo los dos miembros por \(a^2(a^2-c^2)\), queda:

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\]

Si llamamos \(b^2=a^2-c^2\) resulta:

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(3)\]

Ejemplo 4

La ecuación de la elipse cuyos focos son \(F(4\,,\,0)\) y \(F(-4\,,\,0)\) y tal que la suma de distancias de un punto cualquiera de ella a los focos es 10 es:

\[\begin{cases}2a=10\Rightarrow a=5\\b^2=a^2-c^2\Rightarrow b^2=25-16=9\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\]

Descripción

En la ecuación \((3)\):

\[y=0\Rightarrow x=\pm a\Rightarrow\begin{cases}A(a\,,\,0)\\A'(-a\,,\,0)\end{cases}\]

\[x=0\Rightarrow y=\pm b\Rightarrow\begin{cases}B(0\,,\,b)\\B'(0\,,\,-b)\end{cases}\]

\(A\), \(A'\), \(B\) y \(B'\) son los vértices de la elipse. \(2a\) es la longitud sel eje mayor de la elipse y \(a\) es el semieje mayor. \(2b\) es la longitud del eje menor y \(b\) es el semieje menor. \(2c\) es la distancia focal y \(c\) es la semidistancia focal. La relación entre estos tres números es, como ya se ha comentado, anteriormente \(b^2=a^2-c^2\) (se cumple el teorema de Pitágoras; lo puedes apreciar en la figura siguiente).

conicas 13

Los segmentos \(PF=r\) y \(PF'=r'\) son los radios vectores del punto \(P\).

Excentricidad

La excentricidad de una elipse es el cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor:

\[e=\frac{c}{a}\]

Como \(c\leq a\), entonces \(0\leq e\leq 1\).

Ejemplo 5

En la elipse del ejemplo 4, la excentricidad es \(e=\dfrac{4}{5}\)

Como el nombre parece indicar, la excentricidad mide el mayor o menor achatamiento de la elipse (obsérvese la figura siguiente).

conicas 14

Ecuación general

Para hallar la ecuación de una elipse cuyo eje mayor no sea el de abscisas o cuyo centro no sea el origen de coordenadas, se ha de tener en cuenta cómo se trasladan y giran los ejes, cuestiones que se trataron en el curso de geometría métrica plana. Observa en todo caso las dos figuras siguientes.

conicas 15              conicas 16

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