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Aplicación de las progresiones geométricas a la cuadratura de hipérbolas infinitas

Aplicación de las progresiones geométricas a la cuadratura de hipérbolas infinitas

Consideremos la función \(y=\dfrac{1}{x^2}\), definida en el intervalo \([0,5\,,\,+\infty)\). Su gráfica es la siguiente:

cuadrando hiperbolas 01

 El área limitada por la curva anterior, el eje \(X\) y la recta \(x=\dfrac{1}{2}\) se puede ver representada en la figura dada a continuación.

cuadrando hiperbolas 02 Con una suficiente formación en análisis matemático, se puede hallar el área anterior mediante el cálculo de la integral impropia

\[\int_{1/2}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx\]

De hecho, si llamamos \(A\) al área mencionada se tiene que

\[A=\int_{1/2}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1/2}^{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)-\lim_{x\rightarrow1/2}\left(-\frac{1}{x}\right)=0-\left(-\frac{1}{1/2}\right)=2\]

Pierre Fermat (1601-1665), abogado de profesión pero matemático vocacional, contribuyó al desarrollo del álgebra, de la geometría, del cálculo diferencial e integral, de la teoría de números y del cálculo de probabilidades. En vida de Fermat sus investigaciones circulaban preferentemente en forma de cartas. Sus obras completas fueron publicadas en 1679 por su hijo mayor Clément-Samuel.

Fermat escribió sobre el cálculo del área mencionada más arriba. En general, escribió sobre la aplicación de las progresiones geométricas a la cuadratura de parábolas e hipérbolas infinitas. Demostró que todas las hipérbolas infinitas, excepto la de Apolonio (\(x\cdot y=a^2\)), se pueden cuadrar por el método de la progresión geométrica de acuerdo con un procedimiento uniforme y general.

Cuadrar significa que el área de la figura es igual al área de una determinada figura cuadrangular (un cuadrado o un rectángulo).

Veamos, con la notación actual, o sea, con el lenguaje matemático moderno, el proceso que siguió Fermat para calcular el área \(A\) encerrada por la gráfica de nuestra hipérbola \(\dfrac{1}{x^2}\), la recta vertical \(x=\dfrac{1}{2}\) y el eje \(X\).

Observemos la siguiente figura.

cuadrando hiperbolas 03

Es fácil darse cuenta de que las abscisas \(0,5\), \(1\), \(2\), \(4\), \(8\),\(\ldots\) están en progresión geométrica de razón \(2\) (es decir, cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por \(2\)).

Por otro lado, las ordenadas de los puntos de la curva \(y=\dfrac{1}{x^2}\) correspondientes a las abscisas anteriores: \(4\), \(1\), \(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{1}{16}\), \(\dfrac{1}{64}\), \(\ldots\) están en progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{4}\).

Además las áreas de los rectángulos trazados (circunscritos a la curva): \(2\), \(1\), \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{4}\), \(\ldots\) están en progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{2}\), que es menor que \(1\).

Se sabe que la suma \(S\) de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor que \(1\) es

\[S=\frac{a_1}{1-r}\]

donde \(a_1\) es el primer término de la progresión y \(r\) la razón de la misma.

Consecuentemente, la suma \(S\) de las áreas de los infinitos rectángulos de este tipo es igual a

\[S=\frac{2}{\displaystyle1-\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{1/2}=4\]

Es decir, \(4\) es la suma de las áreas de los infinitos rectángulos circunscritos a la curva \(y=\dfrac{1}{x^2}\). Área claramente superior al área que buscamos. Véase la figura siguiente:

cuadrando hiperbolas 04

En general, si \(r>1\), las abscisas \(a\), \(ar\), \(ar^2\), \(ar^3\), \(ar^4\),\(\ldots\) están en progresión geométrica de razón \(r\). Las ordenadas de los puntos de la curva \(y=\dfrac{1}{x^2}\) correspondientes a las abscisas anteriores: \(\dfrac{1}{a^2}\), \(\dfrac{1}{a^2r^2}\), \(\dfrac{1}{a^2r^4}\), \(\dfrac{1}{a^2r^6}\),\(\ldots\) están en progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{r^2}\).

Calculemos, en general, las áreas de los cuatro primeros rectángulos que las vamos a llamar, respectivamente, \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) y \(S_4\) (ni que decir tiene que el área de un rectángulo es lado por lado, o base por altura).

\[S_1=(ar-a)\frac{1}{a^2}=\frac{r-1}{a}\quad\text{;}\quad S_2=(ar^2-ar)\frac{1}{a^2r^2}=\frac{r-1}{ar}\]

\[S_3=(ar^3-ar^2)\frac{1}{a^2r^4}=\frac{r-1}{ar^2}\quad\text{;}\quad S_4=(ar^4-ar^3)\frac{1}{a^2r^6}=\frac{r-1}{ar^3}\]

De lo anterior se deduce que las áreas de los rectángulos circunscritos a la curva \(y=\dfrac{1}{x^2}\) están en progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{r}<1\) (habíamos supuesto \(r>1\)).

Por tanto, la suma \(S\) de las áreas de los infinitos rectángulos de este tipo es igual a

\[S=\frac{\displaystyle\frac{r-1}{a}}{1-\displaystyle\frac{1}{r}}=\frac{\displaystyle\frac{r-1}{a}}{\displaystyle\frac{r-1}{r}}=\frac{r}{a}\]

Resulta claro que cuando \(r\) toma valores muy próximos a \(1\), entonces las longitudes de las bases de los rectángulos tienden a cero, y la diferencia entre \(S\) y nuestra área \(A\), que queremos calcular, es tan pequeña como se desee. En otras palabras:

\[A=\lim_{r\rightarrow1}S=\lim_{r\rightarrow1}\frac{r}{a}=\frac{1}{a}\]

Pero resulta que \(\dfrac{1}{a}=a\cdot\dfrac{1}{a^2}\), con lo que el resultado anterior pone de manifiesto que el área indefinida limitada por la gráfica de la función \(y=\dfrac{1}{x^2}\), la recta \(x=a\) y el eje de abscisas, es igual a la del rectángulo de lados \(a\) y \(\dfrac{1}{a^2}\), es decir, hemos "cuadrado" el área \(A\). En nuestro caso particular, como \(a=\dfrac{1}{2}\), entonces

\[A=a\cdot\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot4=2\]

tal y como se puede apreciar en la figura siguiente, donde \(A=\dfrac{1}{2}\cdot4\) es justo el área del rectángulo de color gris.

cuadrando hiperbolas 05

¡El área del rectángulo es igual que el área bajo la hipérbola! ¿A que no deja de sorprender?

El problema anterior da una idea de cómo se introduce el concepto de integral definida. Una integral definida es un área, el área comprendida entre la gráfica de una función, dos rectas verticales y el eje de abscisas. El cálculo de esta área se hace en general como hemos hecho aquí, tomando “rectángulos circunscritos” a la gráfica de la función, y haciendo la base cada vez más pequeña, con lo que el área se reduce al cálculo de un límite (llamado también suma integral). Lo curioso (y sorprendente) es la relación que existe entre la integral y la derivada, pero eso será cuestión de otro artículo. 

La potencia de la notación matemática actual hace que el problema sea mucho menos farragoso comparado con la forma en que lo resolvió Fermat utilizando la notación matemática de su época, mucho menos avanzada. Una demostración se puede ver en el libro Aprendiendo matemáticas con los grandes maestros (Editorial Almuzara), cuyo autor es Vicente Meavilla. De hecho, este artículo está inspirado en la sexta lección de este libro.

El uso adecuado del lenguaje matemático, de la notación matemática, es de una importancia decisiva en la resolución de problemas. El avance en la simbología y en la notación matemática hace que los problemas matemáticos (y no tan matemáticos) sean más fáciles de atacar.

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