Menu
Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

Distancia entre dos rectas que se c…

En un espacio de tres dim...

La regla de Cramer

La regla de Cramer

Consideremos un sistema d...

¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Prev Next

5 ejercicios de geometría: rectas y planos, espacio euclídeo, problemas métricos

En las matemáticas del último curso de bachillerato de ciencias y tecnología, tras hacer un estudio exhaustivo de las matrices, determinantes y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (método de Gauss y Teorema de Rouché-Frobenius), se procede al estudio de la geometría en el espacio. Las matrices, los determinantes, el cálculo de rangos y la resolución de sistemas adquiere todo su sentido en el bloque de geometría afín y euclídea. Una ecuación lineal de primer grado o un sistema de ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas, son representaciones de rectas y planos en el espacio. En esta misma Web hay varios artículos donde se exponen estas cuestiones. En la siguiente lista se puede enlazar a los artículos mencionados.

  1. La ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. La recta en el plano afín.
  2. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas.
  3. La ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas. El plano en el espacio afín.
  4. Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss.
  5. Matrices. Álgebra de matrices.
  6. Determinantes.
  7. Sobre vectores y matrices. Independencia lineal. Rango de una matriz.
  8. Rango de una matriz usando determinantes.
  9. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas.
  10. La regla de Cramer.
  11. Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro. El teorema de Rouché-Frobenius.
  12. Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones.
  13. Producto vectorial. Producto mixto de tres vectores. Aplicaciones.

Para atacar los ejercicios de geometría, los problemas de rectas y planos en el espacio, hay que tener mucha costumbre en la discusión de sistemas de ecuaciones lineales y, por tanto, en el cálculo de determinantes y de rangos de matrices. Como en cualquier otra rama de las matemáticas uno adquiere agilidad en la resolución de problemas resolviendo problemas y equivocándose, sobre todo al principio, con cierta frecuencia. Pero no pasa nada. Al cabo de sumergirse durante un tiempo en este tipo de problemas uno empieza a darse cuenta de cómo funcionan las cosas y como "se ve" la geometría en el espacio y su expresión analítica sobre el papel. Os dejo a continuación cinco ejercicios de este tipo que pueden servir de modelo, pues como estos o similares se pueden encontrar en los exámenes de matemáticas de un último curso de bachillerato, o en las pruebas de acceso a la universidad. Al final del artículo los podéis descargar en pdf. En el siguiente enlace puedes encontrar, además, otros 48 ejercicios de geometría en el espacio (los 20 primeros de ellos, completamente resueltos).

Problema 1

Estudia la posición relativa de los planos siguientes según los distintos valores de \(m\):

\[\begin{array}{l}
{\pi _1} \equiv x + y + z = m + 1\\
{\pi _2} \equiv mx + y + \left( {m - 1} \right)z = m\\
{\pi _3} \equiv x + my + z = 1
\end{array}\]

Solución:

Si vemos los tres planos como un sistema de ecuaciones con \(n=3\) incógnitas, la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
m&1&{m - 1}\\
1&m&1
\end{array}} \right)\ ;\ A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{m + 1}\\
m&1&{m - 1}&m\\
1&m&1&1
\end{array}} \right)\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es \(\left| A \right| = \left( {1 + m - 1 + {m^2}} \right) - \left( {1 + m + {m^2} - m} \right) = m - 1\).

Por un lado, si \(m\neq1\), el determinante de \(A\) es distinto de cero, es decir, \(r\left( A \right) = 3 = r\left( {A|b} \right) = n\) (sistema compatible determinado), con lo que los tres planos concurren en un único punto cuyas coordenadas son (resolvemos el sistema por la regla de Cramer):

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{m + 1}&1&1\\
m&1&{m - 1}\\
1&m&1
\end{array}} \right|}}{{m - 1}} = \frac{{\left( {m + 1 + m - 1 + {m^2}} \right) - \left( {1 + m + {m^3} - m} \right)}}{{m - 1}} = \frac{{ - {m^3} + {m^2} + 2m - 1}}{{m - 1}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{m + 1}&1\\
m&m&{m - 1}\\
1&1&1
\end{array}} \right|}}{{m - 1}} = \frac{{\left( {m + {m^2} - 1 + m} \right) - \left( {m + {m^2} + m + m - 1} \right)}}{{m - 1}} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{m + 1}\\
m&1&m\\
1&m&1
\end{array}} \right|}}{{m - 1}} = \frac{{\left( {1 + m + {m^3} + {m^2}} \right) - \left( {m + 1 + m + {m^2}} \right)}}{{m - 1}} = \frac{{{m^3} - m}}{{m - 1}} = m\left( {m + 1} \right)\]

Por otro lado, si \(m=1\), el determinante de \(A\) es igual a cero. La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, en este caso:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right)\ ;\ A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&2\\
1&1&0&1\\
1&1&1&1
\end{array}} \right)\]

Se tiene claramente que \(r(A)=2\) pues \(A\) contiene al menos un menor de orden dos distinto de cero. Además, \(r\left( {A|b} \right) = 3\) pues la matriz ampliada contiene un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2\\
1&0&1\\
1&1&1
\end{array}} \right| = \left( {0 + 1 + 2} \right) - \left( {0 + 1 + 1} \right) = 1\]

De lo anterior se deduce que si \(m=1\) el sistema es incompatible, con lo que los planos no tienen ningún punto en común.

Observando detenidamente los coeficientes de \(\pi_1\), \(\pi_2\) y \(\pi_3\), se deduce que \(\pi_1\) y \(\pi_3\) son paralelos y distintos ya que \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} \ne \frac{2}{1}\). Por tanto, la posición de los tres planos serán la que se representa en la siguiente figura.

5 ejercicios geometria 01

Problema 2

Dada la recta \(r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + z = 1\\
2x + z = 0
\end{array} \right.\), hallar la ecuación de la recta \(s\) que corta perpendicularmente a \(r\) y pasa por el punto \(P\left( {0,2,2} \right)\).

Solución

El punto \(P\left( {0,2,2} \right)\) no está sobre \(r\) como fácilmente se puede comprobar. La recta buscada vendrá determinada por \(P\) y el punto \(Q\) de intersección de \(r\) con el plano \(\pi\) que pasa por \(P\) y es perpendicular a \(r\) (ver figura siguiente).

5 ejercicios geometria 02

Dicho plano tiene por vector normal al vector director de \(r\), que es

\[\vec v = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
i&j&k\\
1&{ - 2}&1\\
2&0&1
\end{array}} \right| = \left( { - 2i + 2j} \right) - \left( { - 4k + j} \right) =  - 2i + j + 4k \Rightarrow \vec v = \left( { - 2,1,4} \right)\]

Por tanto, el plano \(\pi\) es de la forma \(\pi  \equiv  - 2x + y + 4z + D = 0\) e imponiendo que pasa por el punto \(P\left( {0,2,2} \right)\) obtenemos que \(D=10\), con lo que \(\pi  \equiv  - 2x + y + 4z - 10 = 0\).

Resolviendo el sistema \(r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + z = 1\\
2x + z = 0
\end{array} \right.\) obtenemos las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial de la recta \(r\). Es muy fácil deducir que, si llamamos \(z=\lambda\), entonces \(x =  - \frac{1}{2}\lambda\), \(y =  - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\lambda\), con lo que la ecuación vectorial de la recta \(r\) es:

\[r \equiv \left( {x,y,z} \right) = \left( {0, - \frac{1}{2},0} \right) + \lambda \left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{4},1} \right)\]

Obsérvese que de aquí también se puede deducir que un vector director de \(r\) es \(\left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{4},1} \right)\), y por tanto también lo será el vector \(\vec v = \left( { - 2,1,4} \right)\), por ser proporcional al anterior.

Si sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta \(r\) en la ecuación del plano tenemos:

\[- 2\left( { - \frac{1}{2}\lambda } \right) + \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\lambda } \right) + 4\lambda  - 10 = 0 \Rightarrow \frac{{21}}{4}\lambda  - \frac{{21}}{2} = 0 \Rightarrow \lambda  = 2\]

Por tanto, el punto \(Q\) es

\[Q\left( { - \frac{1}{2} \cdot 2, - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 2,2} \right) = Q\left( { - 1,0,2} \right)\]
La recta \(s\) que se pide y que pasa por \(P\left( {0,2,2} \right)\), se halla precisamente a partir de \(P\) y \(Q\), pues \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 1, - 2,0} \right)\), de donde
\[s \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \lambda \\
y = 2 - 2\lambda \\
z = 2
\end{array} \right.\]

Problema 3

Hallar la proyección \(r'\) de la recta \(r \equiv \frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\) sobre el plano \(\pi  \equiv 2x - y + 3z + 6 = 0\).

Solución

La proyección \(P'\) de un punto \(P\) sobre el plano \(\pi\) (ver figura siguiente) es la intersección con el plano de la perpendicular a \(\pi\) trazada por el punto \(P\). La recta \(r'\), proyección de la recta \(r\) sobre \(\pi\), se obtiene hallando la proyección de dos puntos de \(r\); uno de ellos es el punto de corte \(M\) (caso de que \(r\) y \(\pi\) sean secantes).

5 ejercicios geometria 03

Las ecuaciones paramétricas de \(r\) son

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + \lambda \\
y = 1 + 2\lambda \\
z =  - \lambda
\end{array} \right.\]

Sustituyendo en la ecuación del plano resulta

\[2\left( {2 + \lambda } \right) - \left( {1 + 2\lambda } \right) + 3\left( { - \lambda } \right) + 6 = 0 \Rightarrow  - 3\lambda  + 9 = 0 \Rightarrow \lambda  = 3\]

Llevando \(\lambda\) a las ecuaciones paramétricas de \(r\) se tiene que \(M\left( {5,7, - 3} \right)\). Otro punto de la recta es claramente \(P\left( {2,1,0} \right)\). La ecuación de la recta que pasa por \(P\) y \(P'\), perpendicular a \(\pi\), tiene por vector director el vector normal del plano, que es \(\vec v = \left( {2, - 1,3} \right)\). Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por \(P\) y \(P'\) son las siguientes:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2\lambda \\
y = 1 - \lambda \\
z = 3\lambda
\end{array} \right.\]

El punto \(P'\) de corte con el plano lo hallamos de nuevo sustituyendo en la ecuación del plano:

\[2\left( {2 + 2\lambda } \right) - \left( {1 - \lambda } \right) + 3 \cdot 3\lambda  + 6 = 0 \Rightarrow 14\lambda  + 9 = 0 \Rightarrow \lambda  =  - \frac{9}{{14}}\]

De aquí se obtiene que \(P' = \left( {\frac{{10}}{{14}},\frac{{23}}{{14}}, - \frac{{27}}{{14}}} \right)\). Un vector director de \(r'\) (proyección de \(r\) sobre \(\pi\)) es \(\overrightarrow {MP'}  = \left( { - \frac{{60}}{{14}}, - \frac{{75}}{{14}},\frac{{15}}{{14}}} \right)\), con lo que también los será uno proporcional al anterior: \(\vec u = \left( {4,5, - 1} \right)\). Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas de \(r'\) son:

\[r' \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + 4\lambda \\
y = 7 + 5\lambda \\
z =  - 3 - \lambda
\end{array} \right.\]

Problema 4

Hallar dos puntos, uno de cada una de las rectas

\[r \equiv \frac{{x + 2}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z + 5}}{{ - 3}}\ ;\ s \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \lambda \\
y = 3 + 2\lambda \\
z = 1 + \lambda
\end{array} \right.\]

de manera que la distancia entre ellos sea mínima. Calcula dicha distancia.

Solución

Tenemos las siguientes posibilidades.

  1. \(r\) y \(s\) se cortan en un punto. Entonces la distancia es cero y los puntos buscados coinciden: el punto de corte.
  2. \(r\) y \(s\) son paralelas (si son coincidentes cualquier punto es solución). En este caso hay infinitas soluciones (para cada punto \(A\) de \(r\) consideramos la recta perpendicular a \(r\), y por tanto perpendicular a \(s\), que pasa por \(A\). Esta recta cortará a \(s\) en un punto \(B\). Los puntos \(A\) y \(B\) son la solución al problema).
  3. \(r\) y \(s\) se cruzan. Entonces la solución es única y los puntos buscados son los puntos de intersección de la perpendicular común a \(r\) y a \(s\) con dichas rectas.

Sean \(P\left( { - 2,2, - 5} \right)\) y \(\vec v = \left( { - 5,4,3} \right)\) un punto y un vector director de \(r\); y sean \(Q\left( {0,3,1} \right)\) y \(\vec w = \left( { - 1,2,1} \right)\) un punto y un vector director de \(s\). La posición relativa de \(r\) y \(s\) se puede obtener calculando los rangos de las matrices formadas por \(\vec v\) y \(\vec w\) por un lado, y por \(\vec v\), \(\vec w\) y \(\overrightarrow {PQ}\), por otro. Es muy fácil comprobar que

\[r\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec v}\\
{\vec w}
\end{array}} \right) = r\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 5}&4&{ - 3}\\
{ - 1}&2&1
\end{array}} \right) = 2\ ;\ r\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec v}\\
{\vec w}\\
{\overrightarrow {PQ} }
\end{array}} \right) = r\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 5}&4&{ - 3}\\
{ - 1}&2&1\\
2&1&6
\end{array}} \right) = 3\]

Por tanto las rectas \(r\) y \(s\) se cruzan.

5 ejercicios geometria 04

El vector perpendicular a ambas rectas es

\[\vec u = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
i&j&k\\
{ - 5}&4&{ - 3}\\
{ - 1}&2&1
\end{array}} \right| = \left( {4i + 3j - 10k} \right) - \left( { - 4k - 5j - 6i} \right) = 10i + 8j - 6k \Rightarrow \vec u = \left( {10,8, - 6} \right)\]

Sea \(\pi\) el plano determinado por \(r\) y \(\vec u\):

\[\pi  \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2 - 5\lambda  + 10\mu \\
y = 2 + 4\lambda  + 8\mu \\
z =  - 5 - 3\lambda  - 6\mu
\end{array} \right.\]

Pasemos a la ecuación general:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2}&{ - 5}&{10}\\
{y - 2}&4&8\\
{z + 5}&{ - 3}&{ - 6}
\end{array}} \right| = \left( { - 24x - 48 - 40z - 200 - 30y + 60} \right) - \left( {40z + 200 + 30y - 60 - 24x - 48} \right) =\]

\[=  - 60y - 80z - 280 \Rightarrow \pi  \equiv 3y + 4z + 14 = 0\]

Para hallar \(B\) basta sustituir las ecuaciones paramétricas de \(s\):

\[3\left( {3 + 2\lambda } \right) + 4\left( {1 + \lambda } \right) + 14 = 0 \Rightarrow 10\lambda  + 27 = 0 \Rightarrow \lambda  =  - \frac{{27}}{{10}}\]

de donde

\[\left\{ \begin{array}{l}
x =  - \left( { - \frac{{27}}{{10}}} \right) = \frac{{27}}{{10}}\\
y = 3 + 2 \cdot \left( { - \frac{{27}}{{10}}} \right) =  - \frac{{24}}{{10}}\\
z = 1 + \left( { - \frac{{27}}{{10}}} \right) =  - \frac{{17}}{{10}}
\end{array} \right. \Rightarrow B = \left( {\frac{{27}}{{10}}, - \frac{{24}}{{10}}, - \frac{{17}}{{10}}} \right)\]

Análogamente se halla el plano \(\pi'\) determinado por \(s\) y \(\vec u\), y su intersección con la recta \(r\), que es el punto

\[A\left( {\frac{{31}}{{10}}, - \frac{{52}}{{25}}, - \frac{{97}}{{50}}} \right)\]

La distancia es

\[d\left( {A,B} \right) = \sqrt {{{\left( {\frac{{27}}{{10}} - \frac{{31}}{{10}}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{24}}{{10}} + \frac{{52}}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{17}}{{10}} + \frac{{97}}{{50}}} \right)}^2}}  \cong 0,5656\]

Problema 5

Determinar los valores de \(a\) y \(b\) para que los planos

\[\begin{array}{l}
{\pi _1} \equiv x + 2y - z = 1\\
{\pi _2} \equiv 2x + y + az = 0\\
{\pi _3} \equiv 3x + 3y - 2z = b
\end{array}\]

pasen por una misma recta. Hallar el simétrico del punto \(\left( {0,0,0} \right)\) respecto a la recta común anterior.

Solución

Sean \(A\) y \(A|b\) la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema formado por los tres planos:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}\\
2&1&a\\
3&3&{ - 2}
\end{array}} \right)\ ;\ A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}&1\\
2&1&a&0\\
3&3&{ - 2}&b
\end{array}} \right)\]

Para que los tres planos se corten según una recta, el sistema formado por las tres ecuaciones debe ser compatible indeterminado y para ello tanto el rango de \(A\) como el rango de \(A|b\) deben de ser igual a dos.

Por un lado, el determinante de la matriz de los coeficientes ha de ser igual a cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}\\
2&1&a\\
3&3&{ - 2}
\end{array}} \right| = \left( { - 2 + 6a - 6} \right) - \left( { - 3 - 8 + 3a} \right) \Rightarrow 3a + 3 = 0 \Rightarrow a =  - 1\]

Además, como \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
2&1
\end{array}} \right| \ne 0\), se tiene que para \(a=-1\), el rango de \(A\) es dos. Para que la matriz ampliada sea también de rango dos bastará que sea nulo el determinante que se obtiene de suprimir la tercera columna:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1\\
2&1&0\\
3&3&b
\end{array}} \right| = \left( {b + 6} \right) - \left( {3 + 4b} \right) \Rightarrow  - 3b + 3 = 0 \Rightarrow b = 1\]

Así pues, si \(a=-1\) y \(b=1\), los planos se cortan en una misma recta \(r\) de ecuación general

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - z = 1\\
2x + y - z = 0
\end{array} \right.\]

Hemos suprimido la tercera ecuación que, para \(a=-1\) y \(b=1\), es combinación lineal de las dos primeras (de hecho, es la suma de ambas).

5 ejercicios geometria 05

Sea \(X = \left( {0,0,0} \right)\), y \(X'\left( {a,b,c} \right)\) el simétrico de \(X\) respecto de la recta \(r\). Entonces \(\overrightarrow {XX'}  = \left( {a,b,c} \right)\) debe ser perpendicular al vector director de \(r\). Además, un punto de \(r\) es el punto medio de \(X\) y \(X'\): \(P\left( {\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2}} \right)\).

Un vector director de \(r\) es:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
i&j&k\\
1&2&{ - 1}\\
2&1&{ - 1}
\end{array}} \right| = \left( { - 2i - 2j + k} \right) - \left( {4k - j - i} \right) =  - i - j - 3k \Rightarrow \vec u = \left( { - 1, - 1, - 3} \right)\]

Como, según se ha dicho, \(\overrightarrow {XX'}  \bot \vec u\), entonces:

\[\overrightarrow {XX'}  \cdot \vec u = 0 \Rightarrow  - a - b - 3c = 0 \Rightarrow a + b + 3c = 0\]

Por otra parte, \(P\) debe satisfacer las ecuaciones de \(r\):

\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{2} + 2\frac{b}{2} - \frac{c}{2} = 1\\
2\frac{a}{2} + \frac{b}{2} - \frac{c}{2} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 2b - c = 2\\
2a + b - c = 0
\end{array} \right.\]

Finalmente \(X' = \left( {a,b,c} \right)\) se halla resolviendo el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b + 3c = 0\\
a + 2b - c = 2\\
2a + b - c = 0
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son \(a =  - \frac{8}{{11}}\), \(b = \frac{{14}}{{11}}\) y \(c =  - \frac{2}{{11}}\). Entonces \(X' = \left( { - \frac{8}{{11}},\frac{{14}}{{11}}, - \frac{2}{{11}}} \right)\).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


volver arriba

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas