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Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas tiene la siguiente forma

\[\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\qquad(1)\]

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, un plano en el espacio. En este caso tenemos dos en su forma general:

\[\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\quad \text{;}\quad \pi ' \equiv A'x + B'y + C'z + D' = 0\]

Las posibles posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: coincidentes, paralelos y secantes. Utilizaremos el teorema de Rouché para interpretar las soluciones del sistema e identificarlas con la posición relativa correspondiente.

Sean pues, respectivamente,

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right)\quad\text{;}\quad\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema (1). Como hay tres incógnitas escribiremos \(n=3\). Veamos ahora los casos que se pueden presentar.

Caso 1

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 1 < 3 = n\]

El sistema es compatible indeterminado. Es decir, existen infinitas soluciones. En este caso las filas son proporcionales, con lo que los dos planos serán coincidentes. La condición pues para que esto ocurra es

\[\pi  \equiv \pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} = \frac{D}{{D'}}\]

Caso 2

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = 1 \ne {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2\]

El sistema no tiene solución, con lo que los planos serán paralelos. En este caso las filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales, pero no lo son las de la matriz ampliada. Por tanto es fácil deducir que la condición para que los dos planos sean paralelos es la siguiente:

\[\pi\, |\,|\,\pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\]

Caso 3

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2 < 3 = n\]

El sistema vuelve a ser compatible indeterminado. Es decir, hay infinitas soluciones. La única posibilidad es que estas soluciones, al ser el rango dos y no ser las filas proporcionales, estén sobre la recta donde se cortan ambos planos. En este caso los planos son secantes según una recta: \(\pi  \cap \pi ' = r\). Las soluciones, o lo que es lo mismo, la recta de corte de ambos planos, se puede obtener hallando las soluciones del sistema (que dependerán de un parámetro). De este modo obtendríamos las ecuaciones paramétricas de la recta. De hecho, si los planos son secantes según una recta \(r\), al conjunto de las dos ecuaciones del sistema se les llama ecuaciones implícitas de la recta:

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\]

Veamos un ejemplo de este último caso.

Sean los planos \(\pi  \equiv 2x - 3y + z - 1 = 0\) y \(\pi ' \equiv  - x + y - 4z + 1 = 0\). El sistema formado por ambos es:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z - 1 = 0\\
 - x + y - 4z + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z = 1\\
 - x + y - 4z =  - 1
\end{array} \right.\]

Es muy fácil darse cuenta de que

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}&{ - 1}
\end{array}} \right) = 2\]

pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 2 - 3 =  - 1 \ne 0\]

Si llamamos \(z=\lambda\), el sistema lo podemos escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = 1 - \lambda \\
 - x + y =  - 1 + 4\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son, aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - \lambda }&{ - 3}\\
{ - 1 + 4\lambda }&1
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{1 - \lambda  - \left( {3 - 12\lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 11\lambda }}{{ - 1}} = 2 - 11\lambda\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{1 - \lambda }\\
{ - 1}&{ - 1 + 4\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 8\lambda  - \left( { - 1 + \lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 1 + 7\lambda }}{{ - 1}} = 1 - 7\lambda\]

Estas soluciones las podemos escribir así:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {2 - 11\lambda ,1 - 7\lambda ,\lambda } \right) = \left( {2,1,0} \right) + \lambda \left( { - 11,7,1} \right)\]

que no es otra cosa que la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(P\left( {2,1,0} \right)\) y tiene vector director \(\vec u = \left( { - 11,-7,1} \right)\).

En la siguiente figura se pueden apreciar los dos planos y la recta donde se cortan ambos.

sistemas03


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Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma

\[\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + C = 0\\
A'x + B\,'y + C' = 0
\end{array} \right.\quad(1)\]

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, una recta en el plano. En este caso tenemos dos en su forma general:

\[r \equiv Ax + By + C = 0\quad\text{;}\quad  s \equiv A'x + B\,'y + C' = 0\]

Las posibles posiciones relativas de dos rectas en el plano son tres: coincidentes, paralelas y secantes.

Si son coincidentes es porque una recta es la misma que la otra salvo un factor numérico, es decir,

\[Ax + By + C = k\left( {A'x + B\,'y + C'} \right) = 0 \Rightarrow Ax + By + C = kA'x + kB\,'y + kC' = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}\]

De aquí se deduce que \(A = kA'\,\,,\,\,B = kB\,'\,\,,\,\,C = kC'\) y despejando \(k\) obtenemos una condición para que las dos rectas coincidan:

\[r \equiv s \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}} = \frac{C}{{C'}}\]

Si las dos rectas son paralelas tienen la misma dirección, con lo que los vectores directores de \(r\) y \(s\) son iguales o proporcionales. Es decir, llamando \(\vec u\) al vector director de \(r\), y \(\vec v\) al vector director de \(s\), tenemos que \(\vec u = k\vec v\), donde \(k\) es un número real. Pero recordemos que los vectores directores se podían obtener fácilmente de la ecuación general de la recta: \(\vec u = \left( { - B,A} \right)\) y \(\vec v = \left( { - B\,',A'} \right)\), con lo que:

\[\vec u = k\vec v \Leftrightarrow \left( { - B,A} \right) = k\left( { - B\,',A'} \right) \Leftrightarrow \left( { - B,A} \right) = \left( { - kB\,',kA'} \right) \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- B = - kB\,'\\
A = kA'
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = \frac{B}{{B\,'}}\\
k = \frac{A}{{A'}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}}\]

Así pues para que dos rectas sean paralelas tenemos la siguiente condición:

\[r\,|\,|\,s \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}} \ne \frac{C}{{C'}}\]

En este caso el sistema \((1)\) no tienen ninguna solución (claro: dos rectas paralelas no tienen ningún punto en común, no se cortan en ningún punto).

Por último, si las dos rectas son secantes, han de tener distinta dirección, con lo que sus vectores directores no serán proporcionales. Esto nos lleva a la siguiente condición:

\[r \cap s = \left\{ P \right\} \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} \ne \frac{B}{{B\,'}}\]

En este caso el sistema \((1)\) tienen una única solución. Esta solución es el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\): \(P\left( {a,b} \right)\).

Veamos un ejemplo.

Consideremos el sistema de ecuaciones \(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y - 7 = 0\\
- 5x - y + 3 = 0
\end{array} \right.\). Este sistema está formado por las rectas \(r \equiv 2x - 3y - 7 = 0\) y \(s \equiv - 5x - y + 3 = 0\). Como tenemos que \(\dfrac{2}{{ - 5}} \ne \dfrac{{ - 3}}{{ - 1}}\), entonces las rectas son secantes. Si queremos saber el punto de corte basta resolver el sistema. Por reducción es muy sencillo. Multiplicando la segunda ecuación por \(-3\) tenemos: \(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y - 8 = 0\\
15x + 3y - 9 = 0
\end{array} \right.\) y sumando ambas ecuaciones obtenemos \(17x - 17 = 0 \Rightarrow x = 1\). Sustituyendo en la primera ecuación podemos despejar \(y\): \(2 - 3y - 8 = 0 \Rightarrow - 3y - 6 = 0 \Rightarrow y = - 2\). Entonces el punto de corte de las rectas es \(P\left( {1, - 2} \right)\).

sistemas01

Puede que ahora sea un buen momento de hablar de independencia lineal. Es un concepto muy sencillo. Para ello vamos a pensar en dimensión tres, en un espacio tridimensional como en el que vivimos. Es decir, vamos a fijar un sistema de referencia afín donde cada punto y cada vector tiene tres coordenadas. Este sistema de referencia afín lo podemos escribir así: \(R = \left\{ {O\,,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\) donde \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\) y \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\). Algo así como decir que \(\text{i}\) mide la anchura, \(\text{j}\) la profundidad y \(\text{k}\) la altura. De modo que, por ejemplo, el vector \(\vec u\left( {3,4,2} \right)\) tiene tres unidades de anchura, cuatro de profundidad y dos de altura.

Pues bien, un vector es siempre linealmente independiente y genera una recta (la recta que lo contiene, que es un espacio de dimensión uno). Dos vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección, en cuyo caso generan todo un plano (el plano que los contiene, que es de dimensión dos). Si dos vectores no tienen distinta dirección serán proporcionales (uno se puede poner como el otro multiplicado por un número) y no son linealmente independientes. Tres vectores son linealmente independientes si no están situados en un mismo plano (no coplanarios) y generan todo el espacio, que es de dimensión tres.

¿Qué queremos decir cuando hablamos de que dos vectores linealmente independientes generan el plano que los contiene? Pues que, combinando adecuadamente los dos vectores, podemos llegar a cualquier otro vector del plano.

Veamos un ejemplo. Para ello volvamos a la dimensión dos. Consideremos los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\), que tienen distinta dirección. Por tanto, según hemos definido anteriormente, son linealmente independientes, y generan todo el plano de dimensión dos. Esto quiere decir que cualquier otro vector se puede poner como combinación de ellos. Pensemos, por ejemplo en el vector \(\left( {3,-5} \right)\). ¿Podremos llegar a él usando los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\)? Es decir, ¿existirán números reales \(x\), \(y\) tales que \(x\left( {1,3} \right) + y\left( { - 2,1} \right) = \left( {3, - 5} \right)\)? Seguro que sí. Veamos:

\[x\left( {1,3} \right) + y\left( { - 2,1} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow \left( {x,3x} \right) + \left( { - 2y,y} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\left( {x - 2y,3x + y} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3\\
3x + y = - 5
\end{array} \right.\]

Resolviendo el sistema anterior se obtiene \(x =  - 1\), \(y=-2\). Esto quiere decir que si el vector \(\left( {1,3} \right)\) lo multiplicamos por \(-1\) (o sea, le cambiamos el sentido), el vector \(\left( {-2,1} \right)\) lo multiplicamos por \(-2\) (o sea, lo duplicamos en longitud y le cambiamos el sentido) y, finalmente, sumamos ambos resultados, obtenemos como resultado el vector \(\left( {3,-5} \right)\). Esto, en matemáticas, se resume diciendo que el vector \(\left( {3,-5} \right)\) se puede poner como combinación lineal de los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\):

\[\left( {3, - 5} \right) =  - 1\left( {1,3} \right) + \left( { - 2} \right)\left( { - 2,1} \right)\]

Podemos ver el resultado en la figura siguiente:

sistemas02

Si en el sistema \(\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + C = 0\\
A'x + B\,'y + C' = 0
\end{array} \right.\) escribimos los términos independientes en el segundo miembro, lo podemos reescribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}x + {a_{12}}y = {b_1}\\
{a_{21}}x + {a_{22}}y = {b_2}
\end{array} \right.\]

Una vez escrito así vamos incluso a disponer de una forma más cómoda el sistema. Llamaremos \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right)\) matriz de los coeficientes del sistema y \(A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{b_1}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{b_2}}
\end{array}} \right)\) a la matriz ampliada del sistema. No descubrimos nada nuevo si pensamos en una matriz como una disposición de elementos en filas y en columnas. Obsérvese que al escribir la matriz ampliada \(A|b\) tenemos completamente definido el sistema sin necesidad de escribir las incógnitas.
Ahora, la posición relativa de las dos rectas depende del carácter de la matriz de los coeficientes \(A\) y del de la matriz ampliada \(A|b\), en el siguiente sentido:

  • Si las rectas son coincidentes, las filas de la matriz \(A\) son proporcionales y las de la matriz \(A|b\) también.
  • Si las rectas son paralelas, las filas de la matriz \(A\) son proporcionales, pero no los son las de la matriz \(A|b\).
  • Si las rectas son secantes, las filas de la matriz \(A\) no son proporcionales y, por tanto, tampoco lo son los de la matriz \(A|b\).

Este carácter de las matrices en matemáticas se conoce con el nombre de rango de una matriz. Hemos de observar que las filas de las matrices las podemos ver como vectores (con dos, tres, cuatro,\(\ldots\,\) coordenadas). Se define el rango de una matriz como el número de filas (vectores) linealmente independientes. Esto nos lleva a reescribir la posición relativa de dos rectas, en función de los rangos de la matriz de los coeficientes \(A\) y de la matriz ampliada \(A|b\), del siguiente modo:

  • Si las rectas son coincidentes, entonces \(\text{rango}A=\text{rango}A|b=1\).
  • Si las rectas son paralelas, entonces \(\text{rango}A=1\neq\text{rango}A|b=2\).
  • Si las rectas son secantes, entonces \(\text{rango}A=\text{rango}A|b=2\).

Estas ideas se pueden generalizar a un sistema de \(m\) ecuaciones y \(n\) incógnitas. Según el teorema de Rouché-Frobenius, para que un sistema del tipo anterior tenga solución se ha de cumplir que el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser igual al rango de la matriz ampliada: \(\text{rango}A=\text{rango}A|b\). Además, si este número es igual al número de incógnitas \(n\), el sistema tiene solución única (sistema compatible determinado). Sin embargo, si este número es menor que el número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado). Por último, si \(\text{rango}A\neq\text{rango}A|b\). el sistema no tiene solución (sistema incompatible).

Seguiremos dándole vueltas a todo esto en un artículo que dedicaremos a los sistemas de ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas.


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La ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. La recta en el plano afín

Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.

Si la ecuación solamente tiene una incógnita la ecuación es de la forma

\[ax+b=0\]

donde \(a\) y \(b\) son números reales con \(a\neq0\) , y \(x\) es la incógnita.

Como \(a\neq0\) , \(a\) tiene inverso, con lo que podemos despejar la incógnita con facilidad.

\[ax + b = 0\, \Rightarrow {a^{ - 1}} \cdot \left( {ax + b} \right) = {a^{ - 1}} \cdot 0 \Rightarrow {a^{ - 1}}ax + {a^{ - 1}}b = 0 \Rightarrow x + {a^{ - 1}}b = 0 \Rightarrow x =  - {a^{ - 1}}b\]

Así por ejemplo, la solución de \(3x+4=0\) es \(x =  - {3^{ - 1}} \cdot 4 =  - \dfrac{1}{3} \cdot 4 =  - \dfrac{4}{3}\).

Si la ecuación tiene dos incógnitas la ecuación adopta la forma

\[ax+by+c=0\]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales con \(a\neq0\) y \(b\neq0\), y las incógnitas son \(x\) e \(y\). Llamando por ejemplo \(x=\lambda\), podemos despejar la incógnita \(y\).

\[ax + by + c = 0 \Rightarrow by =  - a\lambda  - c \Rightarrow y =  - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}\]

El hecho de llamar \(\lambda\) a la incógnita \(x\) viene a decir que la incógnita \(x\) puede tomar cualquier valor real, al que llamaremos parámetro. Por tanto, la incógnita \(y\) depende del valor que le demos al parámetro \(\lambda\).

Podemos escribir las soluciones para \(x\) y para \(y\) en forma de par ordenado, de la siguiente manera:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}} \right)\]

Veamos un ejemplo. Sea la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas dada por \(2x-y+3=0\). En este caso \(a=2\), \(b=-1\) y \(c=3\). Por tanto las soluciones son de la forma:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{2}{{ - 1}}\lambda  - \frac{3}{{ - 1}}} \right) = \left( {\lambda ,2\lambda  + 3} \right)\]

Ahora, si damos valores a \(\lambda\) podemos hacer una tabla de valores:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  x & \lambda & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
  \hline
  y & 2\lambda+3 & -7 & -5 & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 & 7\\
  \hline
\end{array}\]

Incluso podemos representar los valores anteriores usando unos ejes de coordenadas.

recta01

No es difícil darse cuenta de que podemos colocar infinitos puntos y que todos ellos formarán una recta. Por eso, a la expresión de una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas, también se la conoce como ecuación general de una recta.

Además ya sabíamos que, si de la ecuación \(ax+by+c=0\), despejamos la incógnita \(y\) tenemos otra ecuación con la forma \(y=mx+n\), llamada ecuación afín de la recta. En nuestro ejemplo la ecuación afín de la recta es \(y=2x+3\). Y en esta ecuación es donde podemos con facilidad realizar también la tabla de valores anterior con el objetivo de representar gráficamente la recta dada.

Con algo de conocimiento de geometría en el plano afín podemos hacer más cosas con la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. Ya hemos visto que las soluciones las podemos escribir en forma de par ordenado:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}} \right)\]

Recordemos que, dados dos pares ordenados \(\left( {a,b} \right)\), \(\left( {c,d} \right)\), y un número real \(\lambda\), la suma de pares ordenados y el producto de un número real por un par ordenado, vienen dadas por las fórmulas:

\[\left( {a,b} \right) + \left( {c,d} \right) = \left( {a + c,b + d} \right)\quad\text{;}\quad\lambda \left( {a,b} \right) = \left( {\lambda a,\lambda b} \right)\]

Si se establecen unos ejes cartesianos sobre un plano, un par ordenado \(\left( {a,b} \right)\) tiene una visualización gráfica: un punto en el plano. O también: el par ordenado lo podemos ver como un vector con origen en el punto \(\left( {0,0} \right)\) (origen de coordenadas) y extremo el punto \(\left( {a,b} \right)\).

Con las ideas anteriores, las soluciones de una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas, \(ax+by+c=0\), las podemos escribir así:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda } \right) + \left( {0, - \frac{c}{b}} \right) = \lambda \left( {1, - \frac{a}{b}} \right) + \left( {0, - \frac{c}{b}} \right)\]

Siguiendo con el ejemplo visto anteriormente podemos escribir las soluciones de la ecuación \(2x-y+3=0\) del siguiente modo:

\[\left( {x,y} \right) = \lambda \left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right)\]

La interpretación geométrica de la expresión anterior es la siguiente: la recta \(2x-y+3=0\) es la recta paralela al vector \(\left( {1,2} \right)\) que pasa por el punto \(\left( {0,3} \right)\). Dicho de otro modo: todos los puntos de esta recta son los extremos de los vectores que se obtienen al sumar cualquier vector proporcional al vector \(\left( {1,2} \right)\) con el vector \(\left( {0,3} \right)\).

Por ejemplo, si \(\lambda=1\), entonces \(\left( {x,y} \right) =  - 1\left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right) = \left( { - 1, - 2} \right) + \left( {0,3} \right) = \left( { - 1,1} \right)\). Véase la figura siguiente:

recta02

Analizando todo lo anterior llegamos a una conclusión: una recta viene completamente determinada por un vector y un punto. O lo que es lo mismo, existe una única recta que pasa por un punto dado y en una dirección determinada. Al vector que determina la recta se le llama vector de dirección o vector director de la recta.

Generalicemos esta situación desde el punto de vista vectorial. Para ello llamaremos \(O\), al origen de coordenadas, \(A\) a un punto cualquiera del plano, \(\overrightarrow {OA}\) al vector de posición con origen en \(O\) y extremo en \(A\) y \(\vec e\) a un vector. La ecuación de la recta que pasa por el punto \(A\) con la dirección del vector \(\vec e\) viene dada por

\[\overrightarrow {OX}  = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec e\,,\,\,\lambda  \in \mathbb{R}\]

donde \(\overrightarrow {OX}\) es el vector de posición con origen en \(O\) generado al dar un determinado valor al parámetro \(\lambda\).

Naturalmente, las coordenadas de los vectores están escritas en base a un sistema de referencia pues, en caso contrario, no podríamos trabajar con éstas. Habitualmente, y tal y como hemos hecho en el ejemplo anterior, esto es algo a lo que estamos acostumbrados cuando instalamos en el plano unos ejes cartesianos (el eje de abscisas y el eje de ordenadas). Pero es conveniente poner énfasis en esto. Cuando hablamos de tomar, por ejemplo, el vector \(\vec e = \left( { - 2,3} \right)\), y lo visualizamos en el plano como un segmento orientado desde el origen de coordenadas \(O = \left( {0,0} \right)\) hasta el extremo en el punto de coordenadas \(\left( { - 2,3} \right)\), lo que estamos haciendo realmente es la siguiente operación:

\[\left( { - 2,3} \right) =  - 2\left( {1,0} \right) + 3\left( {0,1} \right)\]

Si ahora visualizamos los vectores \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\) nos daremos cuenta rápidamente de que el primero está sobre el eje \(X\), el segundo sobre el eje \(Y\) y ambos tienen longitud o módulo \(1\). Además son claramente perpendiculares. En este caso se dice que la pareja de vectores son ortonormales o que forman una base ortonormal del plano.

Pero es que cualquier vector \(\left( {a,b} \right)\) lo podemos escribir así:

\[\left( {a,b} \right) = a\left( {1,0} \right) + b\left( {0,1} \right)\]

La igualdad anterior expresa que todo vector del plano, o lo que es lo mismo, todo el plano, se puede generar a partir de los vectores \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\). A veces se dice que todo vector del plano es una combinación lineal de \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\). Estos dos vectores, junto con el origen de coordenadas \(O\), forman lo que se conoce como sistema de referencia afín. Además, si los dos vectores del sistema son ortonormales hablaremos de un sistema de referencia ortonormal. Suele nombrarse a los dos vectores del sistema así: \(\textbf{i} = \left( {1\,,\,0} \right)\), \(\textbf{j} = \left( {0\,,\,1} \right)\).

En realidad, la geometría en el plano afín empieza por aquí. Se considera un sistema de referencia afín ortonormal \(R = \left\{ {O\,,\,\left\{ {\textbf{i}\,,\,\textbf{j}} \right\}} \right\}\). Se sabe que todo vector que se apoye en \(O\) se puede poner como combinación lineal de \(\textbf{i}\) y de \(\textbf{j}\): \(X = \overrightarrow {OX}  = {x_1}{\textbf{i}} + {x_2}{\textbf{j}} = \left( {{x_1},{x_2}} \right)\). Por tanto un vector cualquiera del plano lo podemos "atrapar" en nuestro sistema de referencia. ¿Cómo? Es sencillo. Todo vector \(\vec e\) del plano tiene un origen \(A\left( {{a_1},{a_2}} \right)\) y un extremo \(B\left( {{b_1},{b_2}} \right)\) y por tanto \(\vec e = \overrightarrow {AB} \). Pero además es que (ver figura de más abajo):

\[\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  \Rightarrow \]

\[\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{b_1},{b_2}} \right) - \left( {{a_1},{a_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{b_1} - {a_1},{b_2} - {a_2}} \right)\]

recta03

Por ejemplo, el vector \(\vec e\) que une el punto \(P\left( { - 2\,,\,1} \right)\) con el punto \(Q\left( { 1\,,\,3} \right)\) es

\[\vec e = \overrightarrow {PQ}  = \left( {1 - \left( { - 2} \right),3 - 1} \right) = \left( {3,2} \right)\]

Nuestro vector \(\vec e\) acaba de ser escrito en base a nuestro sistema de referencia. Hay infinitos vectores en el plano con el mismo módulo, dirección y sentido, pero sólo uno que se apoya en el origen \(O\) de nuestro sistema de referencia. Al conjunto de todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido se le llama vector libre.

Con las consideraciones anteriores la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(A\) con la dirección de un vector \(\vec e\), \(\overrightarrow {OX}  = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec e\,,\,\,\lambda  \in\mathbb{R} \), adquiere todo su sentido.

recta04

Si la ecuación vectorial la expresamos en coordenadas tenemos:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {a,b} \right) + \lambda \left( {{e_1},{e_2}} \right) \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {a,b} \right) + \left( {\lambda {e_1},\lambda {e_2}} \right) \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {a + \lambda {e_1},b + \lambda {e_2}} \right)\]

Igualando coordenadas:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = a + \lambda {e_1}\\
y = b + \lambda {e_2}
\end{array} \right.\]

Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta. De éstas, si despejamos el parámetro \(\lambda\) en ambas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\lambda  = \dfrac{{x - a}}{{{e_1}}}\\
\lambda  = \dfrac{{y - b}}{{{e_2}}}
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{x - a}}{{{e_1}}} = \frac{{y - b}}{{{e_2}}}\]

Si ahora eliminamos denominadores y pasamos todo al primer miembro tenemos:

\[{e_2}x - {e_2}a = {e_1}y - {e_1}b \Rightarrow {e_2}x - {e_1}y + {e_1}b - {e_2}a = 0\]

Si llamamos \(A = {e_2}\), \(B =  - {e_1}\) y \(C = {e_1}b - {e_2}a\) tenemos la ecuación general o implícita de la recta:

\[Ax + By + C = 0\]

Obsérvese que un vector director de la recta es \(\left( {{e_1},{e_2}} \right) = \left( { - B,A} \right)\) y que haciendo \(x=0\) se obtiene \(y=-\dfrac{C}{B}\) (conocida como ordenada en el origen), con lo que un punto de la recta (el que corta al eje \(Y\)) es \(\left( {0, - \dfrac{C}{B}} \right)\).

Volviendo a nuestro primer ejemplo, en el que considerábamos la recta \(2x-y+3=0\), tenemos que un vector director suyo es \(\left( { - B,A} \right) = \left( {1,2} \right)\) y que un punto suyo es \(\left( {0, - \dfrac{C}{B}} \right) = \left( {0,3} \right)\). Así obtenemos la ecuación vectorial \(\left( {x,y} \right) = \lambda \left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right)\), ecuación que ya habíamos deducido en su momento.


Para saber más puedes seguir este curso de geometría métrica plana en 10 sencillas lecciones.

Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


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6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

ecnormal01

En la figura 9 hemos tomado la recta

parpend11

Sobre ella se consideran los puntos A(a1,a2) y X(x,y) que determinan el vector

ecnormal02

El vector z se ha construido unitario y perpendicular a r. Por tanto tiene la misma dirección que el vector v=(A,B). Para obtener z basta multiplicar v por el inverso de su módulo:

ecnormal03

Ahora bien:

ecnormal04

O sea:

ecnormal05

Pero si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, resulta:

ecnormal06

Sustituyendo en (*):

ecnormal07

La ecuación anterior es la ecuación normal de la recta. Surge una pregunta: ¿qué significado tienen los coeficientes de la x y de la y de esa ecuación normal de la recta? Obsérvese que son las componentes del vector unitario z. Tales componentes de un vector unitario en una base ortonormal {i,j}, son el coseno y el seno del ángulo que forma con el vector i de la base. Así pues:

ecnormal08

Esas expresiones reciben el nombre de cosenos directores de r, pues la segunda también puede escribirse:

ecnormal09

Ejemplo 13

Halla los cosenos directores y escribe en forma normal la recta

ecnormal10


 Los cosenos directores son:

ecnormal11

Entonces:

ecnormal12

← 5. Paralelismo y perpendicularidad

7. Distancia de un punto a una recta →

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4. Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta

Observemos la figura 5:

pendiente01

En primer lugar vamos a hallar el vector director p=(p1,p2) de la recta r que venga dada en su forma general:

pendiente02

En la figura se ha dibujado la recta r y otra paralela a ella, s, que pasa por el origen de coordenadas. Por tanto la ecuación de será de la forma:

pendiente03

Tomemos un punto cualquiera A(x1,y1) de s distinto del origen de coordenadas, es decir, x1≠0.  Este punto ha de satisfacer la ecuación de la recta s, o sea:

pendiente04

Ahora, dividiendo por x1:

pendiente05

 Observemos ahora que en los triángulos OABOPT se cumple:

pendiente06

Es conocido que la tangente de la inclinación de una recta (ángulo que forma con el eje OX) se le llama pendiente, y se la representa por m. Entonces:

pendiente07

Y, por tanto, un vector director de r es:

pendiente08

Ejemplo 7

Calcula el ángulo que forman las rectas

pendiente09


 

Utilizando lo que hemos visto anteriormente, es fácil darse cuenta de que vectores directores de rs son, respectivamente:

pendiente10

Por tanto:

pendiente11

Por cierto, hay otra manera de calcular el ángulo de dos rectas, sin necesidad de hallar antes vectores directores suyos. Observa la figura 6.

pendiente12

En la figura, las rectas:


pendiente13

se cortan en T bajo un ángulo α, y forman con el eje de abscisas el triángulo TPQ. El ángulo γ es ángulo exterior del triángulo, y es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. O sea:

pendiente14

Las pendientes de r y s son, respectivamente:

pendiente15

Entonces utilizando una conocida identidad trigonométrica:

pendiente16

Fórmula que si la escribirmos en funcón de las pendientes de las rectas, queda de la forma:

pendiente17

Ejemplo 8

Calcula, usando las pendientes, el ángulo que forman las rectas:

pendiente18


Hallemos las pendientes y usemos la fórmula anterior:

pendiente19

Observemos ahora la figura 7. En ella se representa la recta r de inclinación α y de pendiente m=tgα.

pendiente20

Consideremos sobre la recta un punto determinado A(x0,y0), y también, un punto cualquiera de ella X(x,y). En la figura se ha formado el triángulo ABX en el que se cumple:

pendiente21

Es decir:

pendiente22

La ecuación anterior se suele llamar ecuación punto-pendiente de la recta r, y es muy cómoda cuando se conoce un punto de la recta y su pendiente.

Observemos ahora la figura 8:

pendiente23

Si aplicamos la ecuación punto-pendiente al punto Q(0,b), se obtiene:

pendiente24

Es decir:

pendiente25

La ecuación anterior es la llamada forma explícita de la recta r. El término b es la ordenada en el origen.

Otro enfoque es el siguiente. Un vector director de r es:

pendiente26

Considerando el punto P(a,0), la ecuación continua de una recta, nos lleva al siguiente resultado:

pendiente27

Dividiendo todos los términos entre ab:

pendiente28

La ecuación anterior suele llamarse ecuación canónica de la recta. En ella ab son, respectivamente, la abscisa y la ordenada en el origen.

← 3. Ángulo de dos rectas

5. Paralelismo y perpendicularidad →

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1. Repaso de la recta en el plano afín

Sobre la figura 1 recordamos las distintas formas de la recta en el plano afín.

recta 01 

Dado un punto \(A(a,\,b)\) siempre podemos trazar una recta \(r\) que pase por \(A\) en una determinada dirección. Si llamamos \(\vec{e}\) a la dirección de la recta o vector director de la recta, podremos generar cualquier punto \(X(x,\,y)\) de la recta mediante la ecuación

\[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\vec{e}\]

donde \(k\) es un número real y \(O\) es el origen de coordenadas (ver figura 1). Esta es la llamada ecuación vectorial de la recta.

Escribiendo en coordenadas la ecuación anterior, tenemos que \((x,\,y)=(a,\,b)+k\cdot(e_1,\,e_2)\), o lo que es lo mismo, \((x,\,y)=(a+k\cdot e_1,\,b+k\cdot e_2)\), de donde, igualando coordenadas, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta:

\[\begin{cases}x=a+k\cdot e_1\\ y=b+k\cdot e_2\end{cases}\]

Despejando \(k\) de las ecuaciones paramétricas e igualando obtenemos la ecuación continua de la recta:

\[\frac{x-a}{e_1}=\frac{y-b}{e_2}\]

Si en la ecuación anterior eliminamos denominadores y pasamos todos los términos al primer miembro obtenemos la ecuación general de la recta:

\[Ax+By+Cz+D=0\]

Tomemos ahora dos rectas \(r\) y \(s\) en su forma general:

\[r\equiv Ax+By+Cz+D=0\quad\text{;}\quad s\equiv A'x+B'y+C'z+D'=0\]

Vamos a resumir las condiciones de corte (incidencia) y paralelismo.

Las rectas \(r\) y \(s\) son secantes, es decir se cortan en un punto \(P\) si:

\[r\cap s=\{P\}\Leftrightarrow\frac{A}{A'}\neq\frac{B}{B'}\]

Las rectas \(r\) y \(s\) son paralelas si:

\[r\left|\right|s\Leftrightarrow\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}\neq\frac{C}{C'}\]

Las rectas \(r\) y \(s\) son coincidentes si:

\[r\equiv s\Leftrightarrow\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\]

Ejemplo 1

Escribe en forma paramétrica, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por el punto \(A(−1,3)\) y tiene un vector director \(\vec{e}=(2,5)\).


Las ecuaciones paramétricas son:

\[\begin{cases}x=-1+2k\\y=3+5k\end{cases}\]

Despejando \(k\) obtenemos las ecuación continua y eleminando denominadores y pasando todos los términos al primer miembro, la ecuación general de la recta:

\[r\equiv\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{5}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv5(x+1)=2(y-3)\Leftrightarrow r\equiv5x-2y+11=0\]

Ejemplo 2

Escribe en forma paramétrica, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por los puntos \(A(3,1)\) y \(B(-2,4)\).


 Un vector director de ella es:

\[\vec{e}=\overrightarrow{AB}=(-2-3,\,4-1)=(-5,\,3)\]

Entonces, usando el punto \(A\), por ejemplo:

\[r\equiv\begin{cases}x=3-5k\\y=1+3k\end{cases}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv\frac{x-3}{-5}=\frac{y-1}{3}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv3(x-3)=-5(y-1)\Leftrightarrow r\equiv3x+5y-14=0\]

Ejemplo 3

Dadas las rectas:

\[r\equiv x+3y+m=0\quad\text{;}\quad s\equiv2x-ny+5=0\]

halla \(m\) y \(n\), para que:

• Sean paralelas.

• Se corten en el punto \(P(1,2)\).

• Sean coincidentes.


 Aplicaremos las condiciones de incidencia y paralelismo:

• Para que sean paralelas:

\[r\left|\right|s\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{3}{-n}\neq\frac{m}{5}\Rightarrow n=-6\ \text{;} \ m\neq\frac{5}{2}\]

• Para que se corten en el punto \(P(1,2)\):

\[r\cap s=P(2,\,1)\Rightarrow\begin{cases}2+3\cdot1+m=0\Rightarrow m=-5\\ 4-n\cdot1+5=0\Rightarrow n=9\end{cases}\]

• Para que sean coincidentes:

\[r\equiv s\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{3}{-n}=\frac{m}{5}\Rightarrow n=-6\ \text{;}\ m=\frac{5}{2}\]

2. Distancias entre puntos →

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