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9. Cambio de sistema de referencia ortonormal

Traslación de ejes

Consideremos las referencias ortonormales R1={O;{i,j}} y R2={O';{i,j}} que aparecen en la figura 12. Obsérvese que la segunda referencia, R2, tiene los ejes paralelos a los de la primera, R1.

Supongamos que las coordenadas del nuevo origen, respecto de la referencia R1 son O'(a, b) y que las coordenadas de un punto A son, respecto de R1, A(x,y) y, respecto de R2, A(x',y').

girostraslaciones00

Se verifica que

girostraslaciones01

Es decir

girostraslaciones02

Entonces

girostraslaciones03

Las ecuaciones anteriores dan las coordenadas de A en cada una de las referencias, en función de las de la otra.

Ejemplo 16

Calcula la ecuación de la recta rx-2y+3=0, cuando se traslada la referencia ortonormal hasta un origen de coordenadas O'(2,5).


 Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación de r, queda

girostraslaciones04

Giro de ejes

Ahora el origen de coordenadas no se mueve, pero la segunda referencia, R2={O';{v,w}}, es el resultado de girar la primera referencia, R1={O;{i,j}}, un ángulo α (o sea, el ángulo que forma el vector i con el vector v es α). Al igual que en anteriormente, las coordenadas de un punto A son, respecto de R1, A(x,y) y, respecto de R2, A(x',y') (ver figura 13).

 girostraslaciones05

En R1 se verifica

girostraslaciones06

con lo que el vector de posición del punto A en las referencias R1 y R2 es

girostraslaciones07

Si sutituimos en la expresión anterior las fórmulas

girostraslaciones06

resulta, en coordenadas

girostraslaciones08

Al igualar componentes se obtiene

girostraslaciones09

Las ecuaciones anteriores dan las coordenadas de A en cada una de las referencias en función de las de la otra.

Ejemplo 17

Calcula la ecuación de la recta rx+y+1=0, cuando la referencia ortonormal se gira α=60º.


 

Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuación de r, queda

girostraslaciones10

girostraslaciones11

girostraslaciones12

girostraslaciones13

Traslación y giro de ejes

Si se aplican sucesivamente ambos cambios, las coordenadas del punto se transforman según el siguiente esquema:

girostraslaciones14

girostraslaciones15

Sustituyendo x' e y' en las segundas igualdades, resulta

girostraslaciones16

O bien, despejando de aquí las iniciales

girostraslaciones17

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