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5. Paralelismo y perpendicularidad

5. Paralelismo y perpendicularidad

Si dos rectas rs de pendientes respectivas m1 y m2 son paralelas, forman un ángulo de 0º. En ese caso:

parpend01

Esto nos lleva a un resultado conocido: dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

parpend02

Este resultado está de acuerdo con la fórmula que veíamos en la sección 1 pues, efectivamente, si consideramos dos rectas

recta06

tenemos que:

parpend03

Ejemplo 9

Calcula k para que las rectas

 parpend04

sean paralelas.


parpend05

Ejemplo 10

Calcula la ecuación de la recta s paralela a la recta ≡ x+3y−5=0, y que pasa por el punto A(2,5).


parpend06

Usando la eucación punto-pendiente:

parpend07

Si dos rectas son perpendiculares, forman un ángulo de 90º. En ese caso, la fórmula

pendiente17

exige que tg90º→∞. Para ello, el denominador ha de ser nulo. O sea:

parpend09

Es decir:

parpend10

Así pues, dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y cambiadas de signo.

Observando la expresión de la sección 4:

pendiente07

se puede comprender esta interesante interpretación de los coeficientes de los términos lineales de la ecuación general de una recta. Veamos, sea r una recta:

parpend11

Un vector director de r es:

parpend12

Si consideramos ahora el vector

parpend13

y hacemos el producto escalar de ambos vectores

parpend14

La conclusión de todo lo anterior es, por tanto, la siguiente:

parpend15

Ejemplo 11

Calcula la ecuación de la recta s, perpendicular a ≡ x+2y+3=0, por el punto A(3,5).


Calculamos la pendiente de la recta r y obtenemos así la de s (la inversa de la de r cambiada de signo):

parpend16

Entonces:

parpend17

Ejemplo 12

Haz el ejercicio anterior, usando vectores directores y la forma continua de la recta.


 

Un vector director de r es:

parpend18

y un vector perpendicular a r será pues :

parpend19

Por tanto, este último vector, será un vector director de la recta s. Entonces:

parpend20

← 4. Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta

6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores →

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