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Operaciones con fracciones - 2

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios de operaciones combinadas con fracciones te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente.

¡A trabajar!

Enunciado:

Efectuar las siguientes operaciones combinadas con fracciones y simplificar, si es posible, el resultado.


\(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[\left(-\dfrac{2}{9}\right):4-\dfrac{2}{3}\right]\)

Para efectuar operaciones con fracciones debemos respetar siempre la siguiente jerarquía:

Primero: efectuar las operaciones que hay en el interior de corchetes y paréntesis.

Segundo: potencias y raíces (si las hubiera).

Tercero: productos y divisiones (de izquierda a derecha).

Cuarto: sumas y restas (de izquierda a derecha).

\(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[\left(-\dfrac{2}{9}\right):4\right]-\dfrac{2}{3}=\)

Comenzamos con el corchete. Para ello efectuamos en primer lugar la división que hay en el interior del mismo.

\(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{2}{36}-\dfrac{2}{3}\right]=\)

Simplificamos la fracción \(-\dfrac{2}{36}\) y efectuamos la resta que hay en el interior del corchete.

\(=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{1}{18}-\dfrac{2}{3}\right]=\)

\(=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{1}{18}-\dfrac{12}{18}\right]=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{13}{18}\right]=\)

Efectuamos el producto (tenemos en cuenta la regla de los signos: en este caso "más por menos igual menos").

\(=\dfrac{5}{2}-\dfrac{39}{72}=\)

Simplificamos la fracción \(\dfrac{39}{72}\) y efectuamos la resta.

\(=\dfrac{5}{2}-\dfrac{13}{24}=\dfrac{60}{24}-\dfrac{13}{24}=\dfrac{47}{24}\)


\(\left(\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{6}\right):\left[8+\dfrac{1}{3}:\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]\)

\(\left(\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{6}\right):\left[8+\dfrac{1}{3}:\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]=\)

Podemos ir haciendo simultáneamente las operaciones que hay en el interior del paréntesis y del corchete. En el caso del corchete comenzamos por la división.

\(=\left(\dfrac{27}{6}-\dfrac{1}{6}\right):\left[8-\dfrac{2}{3}\right]=\dfrac{26}{6}:\left[8-\dfrac{2}{3}\right]=\)

Simplificamos la fracción \(\dfrac{27}{6}\) y efectuamos la resta que queda en el interior del corchete.

\(=\dfrac{13}{3}:\left[\dfrac{24}{3}-\dfrac{2}{3}\right]=\dfrac{13}{3}:\dfrac{22}{3}=\)

Ya solo nos queda efectuar la división.

\(=\dfrac{13\cdot3}{22\cdot3}=\dfrac{13}{22}\)

Por cierto, la operación anterior es equivalente a la siguiente, si sustituimos los dos puntos de la división por la línea de fracción:

\[\dfrac{\displaystyle\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{6}}{8+\dfrac{\dfrac{1}{3}}{-\dfrac{1}{2}}}\]


\(\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+4\right)\right]:\dfrac{2}{3}\)

Procederemos de manera similar a como lo hemos hecho en los dos ejercicios anteriores, respetando la jerarquía de las operaciones.

\(\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+4\right)\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+\dfrac{8}{2}\right)\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{5}{16}\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{16}{80}+\dfrac{25}{80}\right]:\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{80}:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\dfrac{27}{160}\)

También podríamos hacer hecho esta operación utilizando la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis que hay en el interior del corchete.

\(\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+4\right)\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{16}+\dfrac{4}{8}\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{16}{80}-\dfrac{15}{80}+\dfrac{40}{80}\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\dfrac{9}{80}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{27}{160}\)


\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}\right)}{\displaystyle-7:\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)}\)

Efectuamos primero los dos paréntesis, el del numerador y el del denominador.

\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}\right)}{\displaystyle-7:\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(\dfrac{3}{15}-\dfrac{10}{15}\right)}{\displaystyle-7:\left(\dfrac{15}{20}-\dfrac{8}{20}\right)}=\)

Ahora el producto del numerador y la división del denominador.

\(=\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(-\dfrac{7}{15}\right)}{\displaystyle-7:\dfrac{7}{20}}=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{20}{15}}{\displaystyle-\dfrac{140}{7}}=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{4}{3}}{\displaystyle-\dfrac{20}{1}}=\)

Por último la división de las dos fracciones (el resultado es positivo porque "menos entre menos igual más").

\(=\dfrac{4\cdot1}{3\cdot20}=\dfrac{4}{60}=\dfrac{1}{15}\)


\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{25}{6}-2:\dfrac{4}{9}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{1}{5}-2\right)-\dfrac{1}{3}}\)

Procederemos de manera similar a como hemos hecho en el ejercicio anterior.

\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{25}{6}-2:\dfrac{4}{9}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{1}{5}-2\right)-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{75}{30}-\dfrac{18}{4}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{1}{5}-\frac{10}{5}\right)-\dfrac{1}{3}}=\)

\(=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{5}{2}-\dfrac{9}{2}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(-\frac{9}{5}\right)-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{2}{10}+\dfrac{25}{10}-\dfrac{45}{10}}{\displaystyle-\frac{4}{5}-\dfrac{1}{3}}=\)

\(=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{18}{10}}{\displaystyle-\frac{12}{15}-\dfrac{5}{15}}=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{9}{5}}{\displaystyle-\frac{17}{15}}=\)

\(=\dfrac{9\cdot15}{5\cdot17}=\dfrac{135}{85}=\dfrac{27}{17}\)


Para repasar algunos apuntes, hacer más ejercicios y aprender más, te recomiendo el siguiente enlace sobre operaciones con fracciones.

Leer más ...

Operaciones con fracciones - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente.

¡A trabajar!

Enunciado:

Efectuar las siguientes operaciones combinadas con fracciones y simplificar, si es posible, el resultado.


\(\displaystyle\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}-\frac{5}{3}\right)+\frac{2}{9}\)

\(\displaystyle\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}-\frac{5}{3}\right)+\frac{2}{9}=\left(\frac{9}{6}-\frac{4}{6}\right)\cdot\left(\frac{9}{15}-\frac{25}{15}\right)+\frac{2}{9}=\)

\(=\displaystyle\frac{5}{6}\cdot\left(-\frac{16}{15}\right)+\frac{2}{9}=-\frac{80}{90}+\frac{2}{9}=-\frac{8}{9}+\frac{2}{9}=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}\)

Acostúmbrate siempre a simplificar cualquier fracción que aparezca en los pasos intermedios. En este caso, observa que se ha simplificado la fracción \(\displaystyle-\frac{80}{90}\), sustituyéndola por su fracción simplificada e irreducible \(\displaystyle-\frac{8}{9}\). Este tipo de acción facilitará muchísimo los cálculos.


\(\displaystyle \frac{\displaystyle\left(2-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(3-\frac{1}{3}\right)}{\displaystyle\left(2+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(3-\frac{1}{2}\right)}+1\) 

\(\displaystyle \frac{\displaystyle\left(2-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(3-\frac{1}{3}\right)}{\displaystyle\left(2+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(3-\frac{1}{2}\right)}+1=\displaystyle \frac{\displaystyle\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{9}{3}-\frac{1}{3}\right)}{\displaystyle\left(\frac{6}{3}+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{6}{2}-\frac{1}{2}\right)}+1=\)

\(=\frac{\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{3}}{\displaystyle\frac{7}{3}\cdot\frac{5}{2}}+1=\frac{\displaystyle\frac{24}{6}}{\displaystyle\frac{35}{6}}+1=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle\frac{35}{6}}+1=\)

\(\displaystyle =4:\frac{35}{6}+1=\frac{24}{35}+1=\frac{24}{35}+\frac{35}{35}=\frac{59}{35}\)

En esta operación también se ha simplificado algún paso intermedio: cuando nos ha salido la fracción \(\displaystyle\frac{24}{6}\), la hemos sustituido por \(4\).

Además hemos tenido mucho cuidado con la división \(\displaystyle\frac{4}{\displaystyle\frac{35}{6}}\). Para no equivocarnos la hemos escrito del siguiente modo \(\displaystyle 4:\frac{35}{6}\). Recuerda también que un número entero es una fracción con denominador uno. Por tanto: \(\displaystyle 4:\frac{35}{6}=\frac{4}{1}:\frac{35}{6}=\frac{24}{35}\).


\(\displaystyle\left(\frac{5}{8}-\frac{7}{4}\right)\cdot\left(\frac{6}{5}-\frac{4}{3}\right)+\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle\left(\frac{5}{8}-\frac{7}{4}\right)\cdot\left(\frac{6}{5}-\frac{4}{3}\right)+\frac{1}{2}=\displaystyle\left(\frac{5}{8}-\frac{14}{8}\right)\cdot\left(\frac{18}{15}-\frac{20}{15}\right)+\frac{1}{2}=\)

\(\displaystyle=\left(-\frac{9}{8}\right)\cdot\left(-\frac{2}{15}\right)+\frac{1}{2}=\frac{18}{120}+\frac{1}{2}=\)

\(\displaystyle=\frac{3}{20}+\frac{1}{2}=\frac{3}{20}+\frac{10}{20}=\frac{13}{20}\)

Para simplificar la fracción \(\displaystyle\frac{18}{120}\) se puede ir dividiendo sucesivamente entre divisores comunes del numerador y del denominador.

\(\displaystyle\frac{18}{120}=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}\)

Como ves, se ha dividido primero el numerador y el denonominador entre \(3\), y luego entre \(2\).

O bien se puede dividir numerador y denominador entre el máximo común divisor de ambos, con lo que directamente obtendremos la fracción simplificada irreducible.

Como el máximo común divisor de \(18=2\cdot3^2\) y \(120=2^3\cdot3\cdot5\) es \(\text{mcd}(18,120)=2\cdot3=6\) (recuerda, para el máximo común divisor se escogen los factores comunes elevados al menor de los exponentes) tenemos, dividiendo numerador y denominador entre \(6\):

\(\displaystyle\frac{18}{120}=\frac{3}{20}\)


\(\displaystyle \frac{\displaystyle\left(5-\frac{1}{5}\right)\cdot\left(6+\frac{1}{6}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{5}+5\right)\cdot\left(\frac{1}{6}-6\right)}-2\)

\(\displaystyle \frac{\displaystyle\left(5-\frac{1}{5}\right)\cdot\left(6+\frac{1}{6}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{5}+5\right)\cdot\left(\frac{1}{6}-6\right)}-2=\displaystyle \frac{\displaystyle\left(\frac{25}{5}-\frac{1}{5}\right)\cdot\left(\frac{36}{6}+\frac{1}{6}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{5}+\frac{25}{5}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}-\frac{36}{6}\right)}-2=\)

\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{24}{5}\cdot\frac{37}{6}}{\displaystyle\frac{26}{5}\cdot\left(-\frac{35}{6}\right)}-2=\frac{\displaystyle\frac{24\cdot37}{5\cdot6}}{\displaystyle-\frac{26\cdot35}{5\cdot6}}-2=-\frac{24\cdot37\cdot5\cdot6}{26\cdot35\cdot5\cdot6}-2=\)

\(=\displaystyle-\frac{24\cdot37}{26\cdot35}-2=-\frac{2^3\cdot3\cdot37}{2\cdot13\cdot5\cdot7}-2=-\frac{2^2\cdot3\cdot37}{13\cdot5\cdot7}-2=\)

\(=\displaystyle-\frac{444}{455}-2=-\frac{444}{455}-\frac{910}{455}=-\frac{1354}{455}\)

Fíjate cómo, a veces, no conviene hacer multiplicaciones de primeras. Se pueden dejar las multiplicaciones indicadas, luego descomponer en factores primos y hacer las operaciones, eliminando los factores comunes del numerador y del denominador. De este modo sólo tendremos que hacer una multiplicación más o menos larga, pero no tanto como las del principio, prácticamente al final de la operación combinada.

No debe impresionarte el hecho de que, alguna vez que otra, aparezcan operaciones combinadas donde se dan resultados con más cifras de las que estamos habituados. No importa, no hay que asustarse. Insisto en que una estrategia muy buena es descomponer los factores que nos salgan en producto de primos, hacer operaciones y eliminar factores comunes en el numerador y en el denominador. Eso sí, tenemos que conocer como mínimo todos los números primos menores que, digamos, \(50\). En secundaria no se suelen poner operaciones donde aparezcan factores primos mayores que \(50\).


\(\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{5}{12}-\frac{1}{36}\right)\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\left(1+\frac{2}{3}\right):\frac{5}{6}}\)

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{5}{12}-\frac{1}{36}\right)\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\left(1+\frac{2}{3}\right):\frac{5}{6}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{27}{36}+\frac{24}{36}-\frac{15}{36}-\frac{1}{36}\right)\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\left(\frac{3}{3}+\frac{2}{3}\right):\frac{5}{6}}=\)

\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{35}{36}\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6}}=\frac{35\cdot3\cdot3\cdot6}{36\cdot5\cdot5\cdot5}=\frac{5\cdot7\cdot3\cdot3\cdot2\cdot3}{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5}=\frac{7\cdot3}{2\cdot5\cdot5}=\frac{21}{50}\)

Cómo véis, se ha utilizado la misma estrategia que en el ejercicio anterior: descomponer en producto de primos todos los factores que nos encontremos. Luego eliminamos factores comunes del numerador y del denominador. Así quizás sea más sencillo que efectuar multiplicaciones donde los resultados serán números con muchas cifras. Téngase en cuenta que muchas veces no disponemos de calculadora en clase o en un examen. Tampoco hace demasiada falta.


Para repasar algunos apuntes, hacer más ejercicios y aprender más, te recomiendo el siguiente enlace sobre operaciones con fracciones

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Operaciones con fracciones

Se presentan a continuación un par de relaciones de ejercicios para practicar las operaciones combinadas con fracciones. Estas relaciones pueden ser muy adecuadas para alumnos de matemáticas a un nivel de segundo o tercero de educación secundaria obligatoria.

También puedes acceder a estos apuntes teóricos donde se explica con detalle el procedimiento práctico para operar con fracciones. Estos apuntes contienen varios ejemplos de operaciones con fracciones completamente resueltos. Los contenidos son los siguientes:

  • Fracciones equivalentes.
  • Reducción de fracciones a común denominador.
  • Suma y resta de fracciones.
  • Multiplicación y división de fracciones.
  • Operaciones combinadas con fracciones.
  • Potencias, raíces cuadradas y fracciones.
  • Operaciones combinadas con potencias y raíces.
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