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Operaciones con fracciones - 2

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios de operaciones combinadas con fracciones te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente.

¡A trabajar!

Enunciado:

Efectuar las siguientes operaciones combinadas con fracciones y simplificar, si es posible, el resultado.


\(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[\left(-\dfrac{2}{9}\right):4-\dfrac{2}{3}\right]\)

Para efectuar operaciones con fracciones debemos respetar siempre la siguiente jerarquía:

Primero: efectuar las operaciones que hay en el interior de corchetes y paréntesis.

Segundo: potencias y raíces (si las hubiera).

Tercero: productos y divisiones (de izquierda a derecha).

Cuarto: sumas y restas (de izquierda a derecha).

\(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[\left(-\dfrac{2}{9}\right):4\right]-\dfrac{2}{3}=\)

Comenzamos con el corchete. Para ello efectuamos en primer lugar la división que hay en el interior del mismo.

\(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{2}{36}-\dfrac{2}{3}\right]=\)

Simplificamos la fracción \(-\dfrac{2}{36}\) y efectuamos la resta que hay en el interior del corchete.

\(=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{1}{18}-\dfrac{2}{3}\right]=\)

\(=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{1}{18}-\dfrac{12}{18}\right]=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{13}{18}\right]=\)

Efectuamos el producto (tenemos en cuenta la regla de los signos: en este caso "más por menos igual menos").

\(=\dfrac{5}{2}-\dfrac{39}{72}=\)

Simplificamos la fracción \(\dfrac{39}{72}\) y efectuamos la resta.

\(=\dfrac{5}{2}-\dfrac{13}{24}=\dfrac{60}{24}-\dfrac{13}{24}=\dfrac{47}{24}\)


\(\left(\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{6}\right):\left[8+\dfrac{1}{3}:\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]\)

\(\left(\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{6}\right):\left[8+\dfrac{1}{3}:\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]=\)

Podemos ir haciendo simultáneamente las operaciones que hay en el interior del paréntesis y del corchete. En el caso del corchete comenzamos por la división.

\(=\left(\dfrac{27}{6}-\dfrac{1}{6}\right):\left[8-\dfrac{2}{3}\right]=\dfrac{26}{6}:\left[8-\dfrac{2}{3}\right]=\)

Simplificamos la fracción \(\dfrac{27}{6}\) y efectuamos la resta que queda en el interior del corchete.

\(=\dfrac{13}{3}:\left[\dfrac{24}{3}-\dfrac{2}{3}\right]=\dfrac{13}{3}:\dfrac{22}{3}=\)

Ya solo nos queda efectuar la división.

\(=\dfrac{13\cdot3}{22\cdot3}=\dfrac{13}{22}\)

Por cierto, la operación anterior es equivalente a la siguiente, si sustituimos los dos puntos de la división por la línea de fracción:

\[\dfrac{\displaystyle\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{6}}{8+\dfrac{\dfrac{1}{3}}{-\dfrac{1}{2}}}\]


\(\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+4\right)\right]:\dfrac{2}{3}\)

Procederemos de manera similar a como lo hemos hecho en los dos ejercicios anteriores, respetando la jerarquía de las operaciones.

\(\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+4\right)\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+\dfrac{8}{2}\right)\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{5}{16}\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{16}{80}+\dfrac{25}{80}\right]:\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{80}:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\dfrac{27}{160}\)

También podríamos hacer hecho esta operación utilizando la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis que hay en el interior del corchete.

\(\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+4\right)\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{16}+\dfrac{4}{8}\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{16}{80}-\dfrac{15}{80}+\dfrac{40}{80}\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\dfrac{9}{80}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{27}{160}\)


\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}\right)}{\displaystyle-7:\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)}\)

Efectuamos primero los dos paréntesis, el del numerador y el del denominador.

\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}\right)}{\displaystyle-7:\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(\dfrac{3}{15}-\dfrac{10}{15}\right)}{\displaystyle-7:\left(\dfrac{15}{20}-\dfrac{8}{20}\right)}=\)

Ahora el producto del numerador y la división del denominador.

\(=\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(-\dfrac{7}{15}\right)}{\displaystyle-7:\dfrac{7}{20}}=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{20}{15}}{\displaystyle-\dfrac{140}{7}}=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{4}{3}}{\displaystyle-\dfrac{20}{1}}=\)

Por último la división de las dos fracciones (el resultado es positivo porque "menos entre menos igual más").

\(=\dfrac{4\cdot1}{3\cdot20}=\dfrac{4}{60}=\dfrac{1}{15}\)


\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{25}{6}-2:\dfrac{4}{9}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{1}{5}-2\right)-\dfrac{1}{3}}\)

Procederemos de manera similar a como hemos hecho en el ejercicio anterior.

\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{25}{6}-2:\dfrac{4}{9}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{1}{5}-2\right)-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{75}{30}-\dfrac{18}{4}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{1}{5}-\frac{10}{5}\right)-\dfrac{1}{3}}=\)

\(=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{5}{2}-\dfrac{9}{2}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(-\frac{9}{5}\right)-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{2}{10}+\dfrac{25}{10}-\dfrac{45}{10}}{\displaystyle-\frac{4}{5}-\dfrac{1}{3}}=\)

\(=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{18}{10}}{\displaystyle-\frac{12}{15}-\dfrac{5}{15}}=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{9}{5}}{\displaystyle-\frac{17}{15}}=\)

\(=\dfrac{9\cdot15}{5\cdot17}=\dfrac{135}{85}=\dfrac{27}{17}\)


Para repasar algunos apuntes, hacer más ejercicios y aprender más, te recomiendo el siguiente enlace sobre operaciones con fracciones.

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Engañosa simplicidad

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La vida secreta de los números. Cómo piensan y trabajan los matemáticos", de George G. Szpiro

La mayoría de los niños pueden manejar los números enteros desde la guardería. Operar con fracciones es un poco más difícil. Los chavales tienen que estar un par de años en primaria para poder manejarlas. Pero los números irracionales son algo totalmente diferente. Los problemas empiezan al manejar números que no se pueden expresar como una fracción de números enteros.

Con las ecuaciones ocurre justo lo contrario. Es bastante fácil encontrar soluciones irracionales a los problemas. El lío empieza cuando un problema requiere que las soluciones sean sólo números enteros. La parte de las Matemáticas que lidia con estos problemas se llama teoría de números. Una fastidiosa caracterísitica de esta disiciplina es su aparente simplicidad. A primera vista, los problemas parecen muy simples. Sólo cuando uno se adentra un poco más en la materia se muestran explícitas sus terribles dificultades.

El matemático griego Diofanto, que vivió hace unos 1800 años en Alejandría y al que se conoce como el padre el Álgebra, es considerado el fundador de la teoría de números. En su honor, las ecuaciones con incógnitas que han de ser números enteros (números primos, en particular) se llaman ecuaciones diofánticas.

Su trabajo más importante, Arithmetica, consistía en unos 130 problemas y sus soluciones. Por desgracia, los libros fueron destruidos en un incendio en la Biblioteca de Alejandría en el año 391. Muchos años después, en el siglo XV, seis de los trece volúmenes originales fueron descubiertos. En 1968, aparecieron otros cuatro, aunque en una traducción incompleta del árabe. Durante años, no se supo interpretar los manuscritos del matemático griego de la Antigüedad, y sólo en el siglo XVII alguien consiguió darles sentido. Este hombre fue Pierre de Fermat, un magistrado francés que disfrutaba de su tiempo libre jugando con las matemáticas. Hoy en día, Fermat es además conocido por su notorio Último Teorema.

Uno de los problemas que planteó Diofanto sigue sin resolverse: ¿qué números pueden expresarse como la suma de dos números enteros o fracciones elevado cada uno a la tercera potencia? La cuestión puede responderse afirmativamente con los números \(7\) y \(13\), por ejemplo, dado que \(7=2^3+(-1)^3\) y \(13=\left(\dfrac{7}{3}\right)^3+\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\). ¿Pero qué pasa con números como el \(5\) y el \(35\)? Para responder a esta pregunta, hay que conocer los métodos más complicados de las Matemáticas modernas.

Lo único que han conseguido los matemáticos, por ahora, es un método para determinar si la descomposición de un número concreto se puede encontrar o no, pero son incapaces de conseguirla. Para determinar si un número ses puede descomponer en cubos, ha de calcularse la gráfica de una función llamada \(L\). Si la gráfica cruza o toca el eje \(X\) del sistema de coordenadas justo en el punto donde \(x=1\), el número en cuestión puede descomponerse en cubos. Si el valor de la función en \(x=1\) no es \(0\), no se puede descomponer. Esta condición la cumple el número \(35\): la función \(L\) asociada al mismo tiene el valor \(0\) en \(x=1\). Y ciertamente, \(35\) puede descomponerse en \(3^3+2^3\). Por el contrario, para el número \(5\), la gráfica de la función \(L\) no cruza el eje \(X\). Esto demuestra que \(5\) no puede descomponerse en cubos.

Don Zagier, director del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn, Alemania, dio una serie de conferencias públicas en Viena en 2003 sobre la descomposiciones diofánticas.

Zagier es uno de los matemáticos más importantes del mundo, y la base de su trabajo es la teoría de números. De niño, ya era un superdotado. Nacido en la ciudad alemana de Heidelberg en 1951, creció en Estados Unidos, acabó Secundaria con 13 años, completando la Licenciatura en Matemáticas y Física en el Instituto Tecnológico de Massachusetts con 16 años, y obtuvo un doctorado de Oxford con 19. A los 23 años, había obtenido el título necesario en Alemania para dar clases como profesor en el Instituto Max Planck de Matemáticas. A los 24 años, era el catedrático más joven de Alemania. Su talento no se limita sólo a las matemáticas, por cierto: habla nueve lenguas.

Una de las charlas de Zagier, parte de la serie de conferencias Gödel en Viena, se titulaba «Perlas de la teoría de números». La otra conferencia se dio en la inauguración de «math-space», una sala única en el museo de Viena cuya finalidad es dar cabida a conferencias sobre matemáticas para todos los públicos. Se espera que esta materia, comúnmente considerada como oscura, se pueda hacer asequible al gran público de la ciudad, que suele pasar el tiempo en óperas y salones de té.

Zagier es un hombre pequeño y estrafalario. Pero cuando empieza a hablar sobre su teoría preferida en público, su actuación haría palidecer de envidia a una estrella del rock. Saltando constantemente entre dos proyectores, asombra a su público con sus explicaciones matemáticas, en un perfecto alemán con un ligero acento americano. Hasta el que más deteste las matemáticas se olvidará de que está asistiendo a una conferencia sobre el tema. El placer con el que Zagier, al que algunos llaman el Supercerebro de Bonn, ejerce su vocación, es obvio para todo el mundo. Resulta difícil creer que matemáticos como él puedan ser acusados de tratar una materia aburrida.

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Introducción al número real. Un paseo por el concepto de número en la Secundaria Obligatoria

Ver artículo en formato imprimible (pdf) aquí

Mi profesor de geometría de primero de carrera insertaba citas al comienzo de las relaciones de ejercicios que nos entregaba de cada tema. Recuerdo perfectamente una de las primeras:

He de ser cruel para ser piadoso. El principio es malo, pero lo peor aún está por venir.

Hamlet, Shakespeare.


Con el tiempo descubrí que la cita no pretende desanimar, sino más bien al contrario, nos debe ayudar a afrontar la realidad y las dificultades con valentía y tenacidad. Y que a veces, en matemáticas, justamente en lo peor, es decir, en la dificultad, es donde se encuentra lo verdaderamente interesante.

Este artículo se ha pensado para que lo lea un alumno que comienza su andadura en el Bachillerato y que cursa la materia de matemáticas. Por supuesto que cualquier persona con una mínima competencia matemática también puede leerlo. Pretende ser una reflexión, más o menos amena, sobre lo que se debe de conocer acerca del concepto de número. Vamos allá.

En las matemáticas correspondientes a la etapa de la Educación Secundaria Obligatoria (entre los 12 y 16 años) se introduce el conjunto de los números reales extendiendo otros conjuntos de números. En primer lugar se define el conjunto de los números naturales, \(\mathbb{N}\), como aquellos números que surgen de manera natural por la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea.

\[\mathbb{N}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ldots\}\]

Rápidamente el alumno identifica estos números pues los ha utilizado durante toda la Educación Primaria. Además, nota con facilidad que hay infinitos números naturales y que, entre dos números naturales consecutivos, no hay ningún otro número natural. Este es el momento de repasar también las nociones principales de divisibilidad entre números naturales: factor, divisor, número primo, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, son los conceptos que se deben manejar con cierta agilidad en estos momentos (12, 13 años).

A continuación, por extensión de los naturales, se define el conjunto de los números enteros, \(\mathbb{Z}\), añadiendo a los naturales sus correspondientes negativos y el número cero.

\[\mathbb{Z}=\{\ldots-5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ldots\}\]

A partir de aquí es fácil definir el opuesto de un número entero \(a\) como el número \(-a\). Así, el opuesto de \(5\) es \(-5\) y el opuesto de \(-7\) es \(-(-7)=7\). Además queda claro que al sumar un número con su opuesto ambos se anulan, es decir, el resultado es el número cero. Con estas ideas se empiezan a introducir el uso de paréntesis y corchetes, así como las reglas de los signos a la hora de realizar productos y divisiones de números enteros. Y empezando por operaciones básicas, el alumno, con algo de práctica, es capaz de realizar operaciones del tipo:

\[2-3\cdot\left[(-4)\cdot(-5)+(14-3)\cdot(-2)\right]\cdot\left[5-2\cdot(3-5)\right]\]

Para ello se insiste en ser cuidadosos con la jerarquía de las operaciones, de tal manera que lo primero es realizar las operaciones que se encuentran en el interior de un corchete o paréntesis, haciendo primero los productos y divisiones y finalmente las sumas y restas, siempre operando de izquierda a derecha. De este modo la operación anterior se puede reducir, paso a paso, así:

\[\begin{array}{ll}&2-3\cdot\left[(-4)\cdot(-5)+(14-3)\cdot(-2)\right]\cdot\left[5-2\cdot(3-5)\right]=\\=&2-3\cdot\left[20+11\cdot(-2)\right]\cdot\left[5-2\cdot(-2)\right ]=\\=&2-3\cdot\left(20-22\right)\cdot\left(5+4\right)=\\=&2-3\cdot(-2)\cdot9=\\=&2+54=\\=&56\end{array}\]

Es cierto que esto es tedioso, pero una práctica necesaria en el estudio diario de la materia de matemáticas a comienzos de la Educación Secundaria Obligatoria (12, 13 años). Para hacer más agradable la práctica de operaciones con números enteros, se intercalan problemas en el que se usan estos números y que conlleven la necesidad de hacer algunas operaciones aritméticas. Un par de enunciados de cierto nivel podrían ser los siguientes.

  • Obtener los números enteros entre \(-8\) y \(0\) utilizando los números \(1\), \(2\) y \(3\) sin repetirlos, las operaciones aritméticas conocidas (suma, resta, producto, división) y el uso de paréntesis.
  • Una prueba de selección consiste en responder a \(100\) preguntas de tipo test, de tal manera que se asignan \(4\) puntos si la respuesta es correcta, \(-1\) punto si se deja en blanco y \(-3\) puntos si la respuesta es incorrecta. Para superar la prueba es necesario obtener, al menos, \(100\) puntos. ¿Cuál es el mínimo de respuestas correctas necesarias para superar la prueba? ¿Y el máximo número de errores?

Basta introducir en un buscador las palabras "problemas números enteros" para que aparezcan en la Web multitud de sitios con problemas que se pueden proponer para trabajar los números enteros y las operaciones entre los mismos. En particular, una actividad muy atractiva para el alumnado es experimentar con cuadrados mágicos.

El siguiente paso es extender los números enteros a las fracciones. El alumno entiende rápidamente la necesidad de tener que dividir un todo en partes iguales. Así, la fracción \(\dfrac{3}{4}\) indica que hemos dividido un todo en cuatro partes, de las cuales hemos tomado tres. También es fácil identificar cada fracción con un número decimal (basta dividir el numerador entre el denominador). En el ejemplo anterior \(\dfrac{3}{4}=0,75\). En los últimos cursos de la Educación Secundaria Obligatoria (14, 15 años) el alumno también experimenta con fracciones cuya expresión decimal es infinita, es decir, con números decimales periódicos puros y periódicos mixtos. Esto último es bueno porque el alumno percibe la utilidad y el poder de las ecuaciones de primer grado, que ya conoce, y cómo con su uso efectivamente se puede demostrar que cada número periódico lleva asociada una fracción. Es gratificante obtener, por ejemplo, la fracción irreducible del número decimal periódico mixto \(2,73333\ldots\)  Se procede de la siguiente manera. Llamamos \(x=2,73333\ldots\)  Ahora multiplicamos por diez: \(10x=27,3333\ldots\) , y también por cien: \(100x=273,3333\ldots\)  Finalmente, restando, se obtiene:

\[100x-10x=273,3333\ldots-27,3333\ldots\Rightarrow90x=246\Rightarrow x=\frac{246}{90}=\frac{41}{15}\]

El estudio de las fracciones lleva asociado el concepto de razón entre dos números y el concepto de proporción. Estos conceptos desembocan en el estudio de la proporcionalidad, tanto directa como inversa, los porcentajes, y la proporcionalidad geométrica. Conceptos que tienen infinidad de aplicaciones a problemas cotidianos: reglas de tres directas e inversasrepartos proporcionales, aumentos y disminuciones porcentuales, interés simple, teorema de Tales, semejanza de triángulos, cálculo de distancias y de alturas, etcétera. De hecho, todo parte de que dos fracciones equivalentes forman una proporción, cumpliéndose la conocida propiedad

\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c\]

Con la idea anterior es fácil hacerse a la idea de que el conjunto formado por todas las fracciones equivalentes a una dada representa el mismo número, número que llamaremos racional (por aquello de que una fracción es una razón entre dos números). Y que podemos tomar como representante de este número racional a la fracción irreducible, es decir, a aquella cuyo numerador y denominador tienen un único divisor común: el uno. Vamos, aquella fracción que no se puede simplificar más.

Concretamente, el conjunto \(\mathbb{Q}\) de los números racionales se define de la siguiente forma:

\[\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}\ :\ p\in\mathbb{Z}\,,n\in\mathbb{N}\right\}\]

Ni que decir tiene que, al igual que ocurría con los números enteros, es necesario saber operar con fracciones. Veamos un ejemplo:

\[\begin{array}{ll}&\displaystyle\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{4}{3}-\frac{1}{12}+\frac{5}{4}\cdot\frac{8}{3}=\left(\frac{3}{6}+\frac{2}{6}\right)\cdot\frac{4}{3}-\frac{1}{12}+\frac{40}{12}=\\&\\=&\displaystyle\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{3}-\frac{1}{12}+\frac{10}{3}=\frac{20}{18}-\frac{1}{12}+\frac{10}{3}=\frac{10}{9}-\frac{1}{12}+\frac{10}{3}=\frac{40}{36}-\frac{3}{36}+\frac{120}{36}=\frac{157}{36}\end{array}\]

Al mismo tiempo que se va adquiriendo agilidad en las operaciones con fracciones es conveniente presentar problemas donde éstas aparecen. Por tanto, tal y como se ha comentado antes y sin dejar de lado la parte puramente aritmética, es bueno trabajar con aplicaciones cotidianas de las fracciones, las reglas de tres, los repartos proporcionales, los porcentajes y las aplicaciones y uso de las fracciones en la geometría. De nuevo hay que insistir en que Internet es un recurso excepcional para obtener infinidad de problemas de este tipo. Basta introducir en un buscador las palabras adecuadas.

De hecho, entre los 12 y los 15 años, en clase de matemáticas no hacemos otra cosa, fundamentalmente, que trabajar con enteros y racionales. Durante estas edades, en la Educación Secundaria Obligatoria, el currículo de matemáticas se divide en cinco bloques: "Números y Álgebra", "Geometría", "Funciones y gráficas", "Estadística y probabilidad" y un bloque común para trabajar conjuntamente con los anteriores, "Planteamiento y resolución de problemas". A pesar de que es, efectivamente, en el bloque de "Números y álgebra" donde se dan a conocer y se llevan a cabo las primeras aplicaciones, es en el resto de bloques donde se pone de manifiesto su uso tanto desde el punto de vista geométrico como analítico. Además, el uso de números enteros y racionales a través de relaciones entre variables, tablas y gráficas, ofrece muchísimo juego a la hora de representar modelos matemáticos y de hacer estudios estadísticos, de evidente aplicación, por otro lado, en otras materias.

Hasta aquí todo va bien pues los naturales, enteros y racionales son números que se captan de manera intuitiva.  Es a partir de los 14 o 15 años cuando se extiende la idea de número racional a la de número real. Normalmente se introducen diciendo que hay números que no son racionales porque su expresión decimal no es exacta ni periódica, es decir, tienen infinitas cifras decimales. Podemos poner rápidamente un ejemplo:

\[1,010011000111000011110000011111\ldots\]

¿Qué ocurre con este tipo de números? ¿Por qué no les corresponde, como a los racionales, una fracción? A veces se ponen otros ejemplos de números de este tipo, como el número pi, el número de oro o divina proporción, incluso el número e. El alumno admite a regañadientes que no sean racionales y se les pone nombre: irracionales. Pero a los 12 años el alumno ya conoce el concepto de raíz cuadrada y se da cuenta con facilidad de que la mayoría de las raíces cuadradas de los números naturales no son naturales, sino números decimales con muchas cifras decimales. No es una mala experiencia aproximar la raíz cuadrada de dos a un número con cuatro o cinco cifras decimales haciendo uso de la calculadora. Con algo de experimentación es fácil que el alumno llegue a elaborar una tabla como la siguiente:

\[\begin{array}{|c|c|}\hline1^2=1&2^2=4\\1,4^2=1,96&1,5^2=2,25\\1,41^2=1,9881&1,42^2=2,0164\\1,414^2=1,999396&1,415^2=2,002225\\1,4142^2=1,99996164&1,4143^2=2,00024449\\\hline\end{array}\]

Así se puede concluir que \(\sqrt{2}\) es igual, aproximadamente y por defecto, a \(1,4142\). Incluso no estaría mal echar mano de un ordenador y una hoja de cálculo para calcular más cifras decimales de \(\sqrt{2}\). De esta manera sí que el alumno admite, porque lo ve, que las raíces cuadradas de los números naturales que no sean cuadrados perfectos tienen una expresión decimal que no sigue ninguna pauta, ningún orden. En el último curso de la Educación Secundaria Obligatoria se puede demostrar (se debe, más bien) que la raíz cuadrada de dos es un número irracional, o sea, que no se puede poner en forma de fracción. Hagamos aquí la demostración. Para ello se han de tener en cuenta dos cosas.

  • Toda fracción, si no es irreducible, admite una fracción equivalente que es irreducible. Recordemos que una fracción \(\dfrac{m}{n}\) irreducible es aquella en la que \(\text{mcd}(m,\,n)=1\).
  • El cuadrado de todo número impar es siempre impar (¿te atreves a hacer una demostración?). Dicho de otra manera, si el cuadrado de un número es par, este número será también par (porque si fuera impar su cuadrado sería impar).

Para hacer la demostración de que \(\sqrt{2}\) es irracional se procede por reducción al absurdo. Es decir, se supone que es racional y se llega a una contradicción, contradicción que confirmará que \(\sqrt{2}\) no es racional.

Supongamos que \(\sqrt{2}\) es racional, es decir que \(\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}\), donde \(m\) y \(n\) son números naturales y que la fracción \(\dfrac{m}{n}\) es irreducible (se puede suponer irreducible porque si no lo fuera habría una equivalente que sí lo sería y podríamos tomar esta última como la fracción igual a la raíz cuadrada de dos). Ahora completemos el razonamiento:

\[\sqrt{2}=\frac{m}{n}\Rightarrow\sqrt{2}^2=\left(\frac{m}{n}\right)^2\Rightarrow2=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2n^2\]

De lo anterior se deduce claramente que \(m^2\) es par (el doble de cualquier número siempre es par), con lo que \(m\) también es par. Por tanto existe un número natural \(k\) tal que \(m=2k\). Sustituyendo tenemos:

\[(2k)^2=2n^2\Rightarrow 4k^2=2n^2\Rightarrow 2k^2=n^2\]

De la misma forma que anteriormente, deducimos ahora que \(n^2\) es par y que, por tanto, \(n\) también lo es. Hemos demostrado pues que \(m\) y \(n\) son ambos números pares, pero esto es una contradicción pues la fracción \(\dfrac{m}{n}\) se ha tomado irreducible y, siendo tanto \(m\) como \(n\) número pares se podría reducir aún más (dividiendo entre dos).

La contradicción anterior demuestra que \(\sqrt{2}\) no se puede poner en forma de fracción y que, por tanto, es un número irracional.

La unión de todos los números racionales y de todos los números irracionales es el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales. Conjunto que tiene estructura de cuerpo ordenado, pero de eso hablaremos en otro momento.

Bien, hemos llegado al final de este paseo por el concepto de número y sobre lo que deberías de saber de ellos. Pero el viaje no acaba aquí. Ahora llega el momento de descubrir otros muchos y variados aspectos de las matemáticas donde los números reales juegan el papel central. Por ejemplo:

  • Trigonometría.
  • Geometría plana. Vectores y rectas en el plano.
  • Lugares geométricos. Cónicas.
  • Números complejos.
  • Logaritmos. Función exponencial y logarítmica.
  • Límites y continuidad de funciones.
  • Derivadas de funciones.
  • Estadística unidimensional y bidimensional.
  • Probabilidad.

Estas "cosas" o bien no se habían visto en la Educación Secundaria Obligatoria, o bien solamente se habían visto en parte. O sea, empiezan a ser "lo peor", según la sentencia de Hamlet. Ya veremos que no será para tanto. Más bien al contrario, intentaremos disfrutar con ellas.

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Beda el Venerable

  • Publicado en Retos

En el siglo VIII, un monje benedictino inglés conocido con el nombre de Beda el Venerable planteó este problema.

Un testador a punto de morir deja dicho en su herencia: “Como mi mujer está próxima a dar a luz, otorgaré mi herencia en función del sexo de mi prole: si es niño le dejaré 2/3 de mi herencia, y a su madre 1/3; y si es niña, le dejaré 1/3 de mi herencia y a mi mujer 2/3”. El testador muere, y días más tarde su viuda da a luz a un par de mellizos de distinto sexo. ¿Cómo han de repartirse la herencia?

La razón entre las cantidades de hijo varón y madre es \(\dfrac{2/3}{1/3}=2\). La razón entre las cantidades de hija hembra y madre es \(\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac{1}{2}\). Las anteriores son las constantes de proporcionalidad hijo-madre, hija-madre. De la primera se deduce que el hijo recibe el doble que la madre, y de la segunda que la hija recibe la mitad de la madre.

De lo anterior se deduce que si la cantidad que recibe la madre es \(x\), la del hijo es \(2x\) y la de la hija es \(\dfrac{x}{2}\), cantidades que suman un total de \(3,5x\). Por tanto el reparto se realizará de la siguiente manera:

A la madre le corresponde \(x\) de \(3,5x\), es decir \(\dfrac{x}{3,5x}=\dfrac{2}{7}\) del total.

Al hijo le corresponde \(2x\) de \(3,5x\), es decir \(\dfrac{2x}{3,5x}=\dfrac{4}{7}\) del total.

A la hija le corresponde \(0,5x\) de \(3,5x\), es decir \(\dfrac{0,5x}{3,5x}=\dfrac{1}{7}\) del total.

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Operaciones con fracciones - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente.

¡A trabajar!

Enunciado:

Efectuar las siguientes operaciones combinadas con fracciones y simplificar, si es posible, el resultado.


\(\displaystyle\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}-\frac{5}{3}\right)+\frac{2}{9}\)

\(\displaystyle\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}-\frac{5}{3}\right)+\frac{2}{9}=\left(\frac{9}{6}-\frac{4}{6}\right)\cdot\left(\frac{9}{15}-\frac{25}{15}\right)+\frac{2}{9}=\)

\(=\displaystyle\frac{5}{6}\cdot\left(-\frac{16}{15}\right)+\frac{2}{9}=-\frac{80}{90}+\frac{2}{9}=-\frac{8}{9}+\frac{2}{9}=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}\)

Acostúmbrate siempre a simplificar cualquier fracción que aparezca en los pasos intermedios. En este caso, observa que se ha simplificado la fracción \(\displaystyle-\frac{80}{90}\), sustituyéndola por su fracción simplificada e irreducible \(\displaystyle-\frac{8}{9}\). Este tipo de acción facilitará muchísimo los cálculos.


\(\displaystyle \frac{\displaystyle\left(2-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(3-\frac{1}{3}\right)}{\displaystyle\left(2+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(3-\frac{1}{2}\right)}+1\) 

\(\displaystyle \frac{\displaystyle\left(2-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(3-\frac{1}{3}\right)}{\displaystyle\left(2+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(3-\frac{1}{2}\right)}+1=\displaystyle \frac{\displaystyle\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{9}{3}-\frac{1}{3}\right)}{\displaystyle\left(\frac{6}{3}+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{6}{2}-\frac{1}{2}\right)}+1=\)

\(=\frac{\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{3}}{\displaystyle\frac{7}{3}\cdot\frac{5}{2}}+1=\frac{\displaystyle\frac{24}{6}}{\displaystyle\frac{35}{6}}+1=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle\frac{35}{6}}+1=\)

\(\displaystyle =4:\frac{35}{6}+1=\frac{24}{35}+1=\frac{24}{35}+\frac{35}{35}=\frac{59}{35}\)

En esta operación también se ha simplificado algún paso intermedio: cuando nos ha salido la fracción \(\displaystyle\frac{24}{6}\), la hemos sustituido por \(4\).

Además hemos tenido mucho cuidado con la división \(\displaystyle\frac{4}{\displaystyle\frac{35}{6}}\). Para no equivocarnos la hemos escrito del siguiente modo \(\displaystyle 4:\frac{35}{6}\). Recuerda también que un número entero es una fracción con denominador uno. Por tanto: \(\displaystyle 4:\frac{35}{6}=\frac{4}{1}:\frac{35}{6}=\frac{24}{35}\).


\(\displaystyle\left(\frac{5}{8}-\frac{7}{4}\right)\cdot\left(\frac{6}{5}-\frac{4}{3}\right)+\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle\left(\frac{5}{8}-\frac{7}{4}\right)\cdot\left(\frac{6}{5}-\frac{4}{3}\right)+\frac{1}{2}=\displaystyle\left(\frac{5}{8}-\frac{14}{8}\right)\cdot\left(\frac{18}{15}-\frac{20}{15}\right)+\frac{1}{2}=\)

\(\displaystyle=\left(-\frac{9}{8}\right)\cdot\left(-\frac{2}{15}\right)+\frac{1}{2}=\frac{18}{120}+\frac{1}{2}=\)

\(\displaystyle=\frac{3}{20}+\frac{1}{2}=\frac{3}{20}+\frac{10}{20}=\frac{13}{20}\)

Para simplificar la fracción \(\displaystyle\frac{18}{120}\) se puede ir dividiendo sucesivamente entre divisores comunes del numerador y del denominador.

\(\displaystyle\frac{18}{120}=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}\)

Como ves, se ha dividido primero el numerador y el denonominador entre \(3\), y luego entre \(2\).

O bien se puede dividir numerador y denominador entre el máximo común divisor de ambos, con lo que directamente obtendremos la fracción simplificada irreducible.

Como el máximo común divisor de \(18=2\cdot3^2\) y \(120=2^3\cdot3\cdot5\) es \(\text{mcd}(18,120)=2\cdot3=6\) (recuerda, para el máximo común divisor se escogen los factores comunes elevados al menor de los exponentes) tenemos, dividiendo numerador y denominador entre \(6\):

\(\displaystyle\frac{18}{120}=\frac{3}{20}\)


\(\displaystyle \frac{\displaystyle\left(5-\frac{1}{5}\right)\cdot\left(6+\frac{1}{6}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{5}+5\right)\cdot\left(\frac{1}{6}-6\right)}-2\)

\(\displaystyle \frac{\displaystyle\left(5-\frac{1}{5}\right)\cdot\left(6+\frac{1}{6}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{5}+5\right)\cdot\left(\frac{1}{6}-6\right)}-2=\displaystyle \frac{\displaystyle\left(\frac{25}{5}-\frac{1}{5}\right)\cdot\left(\frac{36}{6}+\frac{1}{6}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{5}+\frac{25}{5}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}-\frac{36}{6}\right)}-2=\)

\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{24}{5}\cdot\frac{37}{6}}{\displaystyle\frac{26}{5}\cdot\left(-\frac{35}{6}\right)}-2=\frac{\displaystyle\frac{24\cdot37}{5\cdot6}}{\displaystyle-\frac{26\cdot35}{5\cdot6}}-2=-\frac{24\cdot37\cdot5\cdot6}{26\cdot35\cdot5\cdot6}-2=\)

\(=\displaystyle-\frac{24\cdot37}{26\cdot35}-2=-\frac{2^3\cdot3\cdot37}{2\cdot13\cdot5\cdot7}-2=-\frac{2^2\cdot3\cdot37}{13\cdot5\cdot7}-2=\)

\(=\displaystyle-\frac{444}{455}-2=-\frac{444}{455}-\frac{910}{455}=-\frac{1354}{455}\)

Fíjate cómo, a veces, no conviene hacer multiplicaciones de primeras. Se pueden dejar las multiplicaciones indicadas, luego descomponer en factores primos y hacer las operaciones, eliminando los factores comunes del numerador y del denominador. De este modo sólo tendremos que hacer una multiplicación más o menos larga, pero no tanto como las del principio, prácticamente al final de la operación combinada.

No debe impresionarte el hecho de que, alguna vez que otra, aparezcan operaciones combinadas donde se dan resultados con más cifras de las que estamos habituados. No importa, no hay que asustarse. Insisto en que una estrategia muy buena es descomponer los factores que nos salgan en producto de primos, hacer operaciones y eliminar factores comunes en el numerador y en el denominador. Eso sí, tenemos que conocer como mínimo todos los números primos menores que, digamos, \(50\). En secundaria no se suelen poner operaciones donde aparezcan factores primos mayores que \(50\).


\(\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{5}{12}-\frac{1}{36}\right)\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\left(1+\frac{2}{3}\right):\frac{5}{6}}\)

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{5}{12}-\frac{1}{36}\right)\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\left(1+\frac{2}{3}\right):\frac{5}{6}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{27}{36}+\frac{24}{36}-\frac{15}{36}-\frac{1}{36}\right)\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\left(\frac{3}{3}+\frac{2}{3}\right):\frac{5}{6}}=\)

\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{35}{36}\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6}}=\frac{35\cdot3\cdot3\cdot6}{36\cdot5\cdot5\cdot5}=\frac{5\cdot7\cdot3\cdot3\cdot2\cdot3}{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5}=\frac{7\cdot3}{2\cdot5\cdot5}=\frac{21}{50}\)

Cómo véis, se ha utilizado la misma estrategia que en el ejercicio anterior: descomponer en producto de primos todos los factores que nos encontremos. Luego eliminamos factores comunes del numerador y del denominador. Así quizás sea más sencillo que efectuar multiplicaciones donde los resultados serán números con muchas cifras. Téngase en cuenta que muchas veces no disponemos de calculadora en clase o en un examen. Tampoco hace demasiada falta.


Para repasar algunos apuntes, hacer más ejercicios y aprender más, te recomiendo el siguiente enlace sobre operaciones con fracciones

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Operaciones con fracciones

Se presentan a continuación un par de relaciones de ejercicios para practicar las operaciones combinadas con fracciones. Estas relaciones pueden ser muy adecuadas para alumnos de matemáticas a un nivel de segundo o tercero de educación secundaria obligatoria.

También puedes acceder a estos apuntes teóricos donde se explica con detalle el procedimiento práctico para operar con fracciones. Estos apuntes contienen varios ejemplos de operaciones con fracciones completamente resueltos. Los contenidos son los siguientes:

  • Fracciones equivalentes.
  • Reducción de fracciones a común denominador.
  • Suma y resta de fracciones.
  • Multiplicación y división de fracciones.
  • Operaciones combinadas con fracciones.
  • Potencias, raíces cuadradas y fracciones.
  • Operaciones combinadas con potencias y raíces.
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