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Elementos filtrados por fecha: Viernes, 08 Marzo 2013

La componente estética de las matemáticas

 Extraído del libro Experiencia matemática, de los autores Philip J. Davis y Reuben Hersch


 Muchos han sido los autores que han dado testimonio del atractivo estético de las matemáticas, tanto en su contemplación pasiva como en la investigación activa. Los autores clásicos, y los renacentistas, como Kepler, entonaron rapsodias a la "Áurea o Divina Proporción". Henri Poincaré aseveró que en la creación matemática el elemento dominante no es el lógico, sino el estético. Godfrey Harold Hardy escribió: "las formas del matemático, como las del pintor o las del poeta, tienen que ser hermosas...". El gran físico teórico Paul Dirac escribió que más importante es que haya belleza en las ecuaciones que uno formula, que hacerlas encajar con el experimento.

La ceguera e insensibilidad al componente estético de las matemáticas está muy difundida. Ello puede explicar lo corriente de sentir que las matemáticas son más áridas que el polvo, menos interesantes que una guía de teléfonos, o tan distantes de nosostros como las reglas de la caballería medieval. Por el contrario, la capacidad para apreciar y valorar este factor estético hace de las matemáticas materia extraordinariamente vivaz y maravillosamente apasionante, como ninguna otra creación de la mente parece serlo.

La belleza en las artes plásticas y en la música ha sido objeto de discusión desde los tiempos platónicos cuando menos. Para analizarla se han utilizado términos tan v agos como orden, proporción, equilibrio, armonía, unidad y claridad. En generaciones más recientes se han hecho tentativas para asignar medidas matemáticas de calidad estética a las creaciones artísticas. Con la incorporación de tales medidas a las reglas de composición de piezas musicales, y con auxilio del ordenador, por ejemplo, se ha visto que es posible recapturar en pequeña medida las cualidades mozartianas de un Mozart, pongamos por caso. No obstante, la noción de calidad estética subyacente sigue siendo muy escurridiza. Los juicios de carácter estético tienden a ser personales, a variar con las culturas y las generaciones, y a lo largo de los últimos años, las disquisiciones y análisis filosóficos sobre cuestiones estéticas han ido menos hacia la prescripiciones dogmáticas de qué es lo bello que hacia la discusión de cómo operan y de qué modo funcionan los juicios de valoración estética.

Existe en matemáticas el juicio estético. Tiene importancia, puede ser cultivado, puede ser transmitido de generación en generación, de maestro a alumno, de autor a lector. No obstante, la descripción formal de qué es y cómo opera es prácticamente nula. Los libros de texto y las monografías carecen de todo comentario de naturaleza estética sobrelos temas que tratan, a pesar de que su estética reside en el modo mismo de hacer y en la selección que compone lo hecho. La obra de arte (una escultura de un paso de la Semana Santa sevillana, por ejemplo) no va acompañada de una descripción verbal de la singular belleza que ha quedado tallada en sus molduras. Forma parte de una tradición estética y eso basta, salvo para el estudioso.

Se han hecho tentativas de análisis y aislamiento de los componentes de la estética matemática: la alternancia de tensión y alivio, la materialización de las expectativas, la sorpresa producida por la percepción de relaciones inesperadas o de elementos de unificación no sospechados, el sensual gozo visual, el placer que produce la yuxtaposición de lo simple y lo complejo, de libertad y de sujeción, y, evidentemente, el generado por todos los demás elementos estéticos familiares en las artes: armonía, equilibrio, constraste, etcétera. Se han hecho esfuerzos ulteriores tratando de localizar la fuente de estos sentimientos a nivel más profundo, en la psicofisiología o en el místico inconsciente colectivo de Jung. Ahora, si bien la mayoría de los matemáticos en ejercicio conceden a los factores estéticos gran peso y relevancia, y podrían añadir a la lista anterior categorías estéticas propias, cierto es que tenderían a mostrar escepticismo en lo tocante a explicaciones más profundas.

Los juicios estéticos pueden ser transitorios y encontrarse inmersos en las tradiciones de una edad y una cultura matemática concretas. Su validez es similar a la de una escuela o período artístico. Alguna vez, se mantuvo que el rectángulo más bello es el que tiene sus lados en razón áurea:

Tal afirmación no sería hoy tomada en serio por una generación que se ha educado en arte y arquitectura no clásica, a pesar de los experimentos de Fechner (1876) o de los de Thorndike (1917) que, según se dice, la respaldan. El placer estético que en nuestros días produce la razón áurea parece provenir, más bien, de la insospechada variedad de los lugares donde se presenta.

Tenemos, para empezar, la geometría del pentágono regular. Si el lado AB de un pentágono regular tiene longitud la unidad, cualquiera de las diagonales, como la AC, tendrá longitud

 Aparece después la razón áurea en las ecuaciones en diferencias finitas. Tomemos dos números al azar, por ejemplo, 1 y 4. Sumémoslos, obteniendo 5. Sumemos 4 y 5, y obtendremos 9. Sumemos 5 y 9, lo que da 14. Prosigamos indefinidamente, la razón de los números consecutivos, el mayor entre el menor, tiene como límite la razón áurea. Observémoslo:

\[\begin{matrix}1+4=5 & - & \dfrac{5}{4}=1,250\\& & &\\ 4+5=9 & - & \dfrac{9}{5}=1,800\\ & & &\\5+9=14 & - & \dfrac{14}{9}=1,555\\ & & &\\9+14=23 & - & \dfrac{23}{14}=1,643\\ & & &\\14+23=37 & - & \dfrac{37}{23}=1,608\\ & & &\\23+37=60 & - & \dfrac{60}{37}=1,622\\ & & &\\37+60=97 & - & \dfrac{97}{60}=1,617\\ & & &\\60+97=157 & - & \dfrac{157}{97}=1,618\end{matrix}\]

Finalmente, en la teoría de fracciones continuas encontramos la preciosa fórmula siguiente:

¿Qué diantres, se pregunta el novel, tendrán que ver entre sí todas estas situaciones tan diversas, si todas nos llevan a la razón áurea? Y la estupefacción cede paso al deleite, y el deleite, al sentimiento de que el universo está unificado de formas maravillosas.

Pero el estudio y la experiencia nos hacen cosechar sentimientos de muy distinta índole. Al trabajar intensamente en la teoría de diferencias finitas, lo inesperado deja de serlo, para convertirse en intuición sólida y efectiva, y el correspondiente placer estético queda posiblemente atenuado y, sin la menor duda, transformado. Se podría afirmar incluso que las situaciones "sorprendentes" suscitan una incómoda sensación de misterio, que nos esforzamos por eliminar creando una teoría general que contenga y homogeneíce todos los sistemas particulares. Así, los tres ejemplos de aparición de la razón aurea "phi" recién descritos pueden hallar cabida en una teoría general de valores propios de ciertas matrices. De esta forma, el intento de explicación de lo sorprendente se convierte en presión para efecturar nuevas investigaciones y alcanzar una comprensión más profunda.

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Historia de la esfera (I)

Una esfera geofráfica es la representación reducida de la tierra. La primera condición para hacer los modelos esféricos de la tierra fue reconocer que su superficie es curva.

Hoy todo el mundo da por sabido que la tierra es redonda, pero, cuando Pitágoras -el grán matemático y filósofo griego que vivió hace más de 2500 años- mantenía que la tierra era redonda, sus opiniones se consideraban propias de una mente enferma. Años después, aproximadamente en el 200 a.C., el matemático de Alejandría Eratóstenes calculó con bastante exactitud el tamaño de la tierra, observando simultáneamente la altura del sol sobre el horizonte en dos puntos situados en la misma línea de longitud y midiendo la distancia entre los dos puntos (aconsejo leer en la Wikipedia la sección "medición de las dimensiones de la tierra").

Sin embargo, el conocimiento de la tierra era una pura conjetura por la simple razón de que la mayor parte de ella no se había descubierto todavía.

El primer modelo de la tierra que se conoce en forma esférica, hecho por el griego Crates en el 150 a.C., mostraba cuatro continentes separados por océanos. Ello no era debido a que no se conociera la existencia de América o de Australia, sino a que entonces se pensaba que, por razones de equilibrio, eran precisos cuatro continentes.

Durante siglos las teorías que sobre la forma de la tierra habían anticipado los griegos quedaron olvidadas en Europa. Pero, cuando estaban a punto de comenzar los grandes viajes de los descubridores, estas ideas volvieron a cobrar vigencia, dando paso a una de las mayores revoluciones en la vida intelectual de Europa.

Al realizar Fernando de Magallanes su circunnavegación por el globo (durante la cual murió), se aportó la prueba decisiva de la redondez de la tierra. Al mismo tiempo los astrónomos (primero Copérnico y luego el gran Kepler) descubrieron que la tierra tenía que ser considerada como un planeta más de los que se movían alrededor del sol. Pero la antigua teoría de que la tierra era el centro plano y fijo del universo fue muriendo muy lentamente. Así, y por haber enseñado lo contrario, el astrónomo italiano Galileo Galilei fue sentenciado por la Iglesia a recitar una vez a la semana siete salmos penitenciarios y tuvo que jurar públicamente que la tierra no se movía alrededor de su eje. En 1603 el filósofo italiano Giordano Bruno murió en la hoguera por haber sostenido, entre otras cosas, que la tierra era redonda.

Naturalmente, los grandes viajes de los descubridores dieron un nuevo ímpetu a la fabricación de esferas, que ya entonces podían hacerse mucho más perfectas que las de los griegos. Las esferas eran muy apreciadas por los científicos y los hombres de estado. Su fabricación era sumamente difícil, por lo que resultaban carísimas. Por ello, el veneciano Coronelli pudo, en el siglo XVII, cobrar el salario de todo un año por hacer solamente dos esferas, que por cierto aún se conservan entre las más antiguas conocidas.

Por curiosidad se incluyen a continuación una lista de los viajes de descubrimiento más importantes después del siglo XV.

Viajes de descubrimiento después del siglo XV

  1. Cristobal Colón (1492-1493)
  2. Américo Vespucio (1497-1499)
  3. Vasco de Gama (1497-1498)
  4. Fernando de Magallanes (1519-1522)
  5. Sir Francis Drake (1577-1580)
  6. Abel Janszoon Tasman (1642-1644)
  7. James Cook (1768-1771)
  8. Charles Wilkes (1840)
  9. Roald Amundsen (1911)
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