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Elementos filtrados por fecha: Miércoles, 06 Marzo 2013

¿Qué son las matemáticas?

Una definición ingenua, válida para hacerse una primera idea, es que las matemáticas son la ciencia de la cantidad y el espacio. Se podría ampliar un poco esta definición y añadir que las matemáticas se ocupan igualmente de los simbolismos concernientes a la cantidad y al espacio.

Hay un gran libro titulado "Experiencia matemática", cuyos autores son Philip J. Davis y Reuben Hersch. Su primera parte, El Paisaje Matemático, comienza precisamente con el título de este artículo y se introduce con el párrafo anterior. Este libro vio la luz en 1982 y se publicó aquí en España en 1989 (coeditado por el Centro de Publicaciones del MEC y la Editorial Labor). Para mi fue, es y será (nunca se acaba de leer del todo) uno de los pilares que hace que siga con mucha ilusión en esto de las matemáticas. El libro pretende modificar y ampliar la anterior definición de las matemáticas de forma que refleje el desarrollo de las matemáticas a lo largo de los últimos siglos e indique qué visión tuvieron diversas escuelas sobre lo que esta ciencia debería ser.

Uno de los objetivos de este sitio Web, además de aportar material para estudiantes y profesores y servir de divulgación científico-matemática, también es ése: mostrar algo más sobre las matemáticas. Así es que no dudaré en echar mano de este maravilloso texto todas las veces que sea necesario transcribiendo y parafraseando distintos lugares del mismo.

Este inicio del libro continúa así:

Las ciencias de la cantidad y el espacio, en sus versiones más sencillas, se conocen como aritmética y geometría. La aritmética que se enseña en la escuela elemental o primaria se ocupa de números de diversas clases y de las reglas para operar con números, como la adición, la sustracción, etc. Al mismo tiempo, aborda situaciones de la vida cotidiana en que se utilizan estas operaciones.

La geometría se enseña en cursos posteriores. Se ocupa, en parte, de problemas de medición espacial. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene un rectángulo de 4 cm de base y 8 cm de altura? Si trazo (imaginariamente) dos rectas en el espacio que no se corten, ¿cuál será la distancia entre ambas? La geometría estudia también aspectos del espacio que están provistos de fuerte atractivo estético o de elementos sorprendentes. Nos dice, por ejemplo, que en un paralelogramo cualquiera las diagonales se cortan en sus puntos medios; o que en todos los triángulos, las tres medianas se intersectan en un punto. Nos enseña que podemos embaldosar un suelo con triángulos equiláteros o con hexágonos, pero no con pentágonos regulares.

Pero la geometría, cuando se enseña según la estructuró Euclides hacia el año 300 a.C., tiene otra faceta cuya importancia es vital. Consiste en su presentación como ciencia deductiva. Partiendo de cierto número de ideas elementales, admitidas como evidentes por sí, y fundándose en unas pocas reglas de manipulación matemática y lógica, la geometría euclídea va tejiendo un entramado de deducciones de complejidad creciente.

En la enseñanza de la geometría elemental no se destacan solamente los aspectos visuales o espaciales de esta materia sino también su metodología, en la cual es la hipótesis la que lleva hasta la conclusión. Tal proceso deductivo se denomina prueba, o demostración. La geometría euclídea fue el primer ejemplo de sistema deductivo formalizado, y ha adquirido carácter de paradigma para la totalidad de tales sistemas. La geometría ha sido el gran campo de prácticas del razonamiento lógico, y se ha sostenido (con razón o sin ella) que el estudio de la geometría proporciona al estudiante una formación básica en tal razonamiento.

Aunque los matemáticos de la Antigüedad comprendían claramente los aspectos deductivos de la aritmética, hasta el siglo XIX no se hizo hincapié en ellos ni en la enseñanza de las matemáticas ni en su creación. De hecho, en fechas tan cercanas como el decenio de 1950 no faltaban profesores de secundaria que, aturdidos por el impacto de la "matemática moderna", afirmasen que la geometría tenía "demostración", mientras que la aritmética y el álgebra no.

El creciente énfasis con que fueron acentuados los aspectos deductivos de todas las ramas de las matemáticas hicieron que, a mediados del siglo XIX, C. S. Peirce anunciase que "la matemática es la ciencia de la formación de conclusiones necesarias". ¿Conclusiones acerca de qué? ¿Sobre la cantidad? ¿Referentes al espacio? En esta definición de Peirce no se especifica cuáles han de ser los contenidos de la matemática; la matemática podría "tratar" de cualquier cosa, en tanto su estudio se atenga al esquema hipótesis-deducción-conclusión. En El signo de los cuatro, Sherlock Holmes le hace notar a Watson que la labor detectivesca "es, o tendría que ser, una ciencia exacta, que debiera ser tratada con ese mismo talante, desapasionado y frío. Se ha esforzado usted en teñirla de romanticismo, lo cual produce efectos muy similares al de incluir en el quinto postulado de Euclides una historia amorosa o la fuga de dos amantes". Conan Doyle está afirmando aquí, en tono irónico, que la detección criminal podría perfectamente ser considerada como una rama de la matemática. Peirce hubiera estado de acuerdo.

La definición de las matemáticas es cambiante. Cada generación y cada matemático reflexivo de cada generación formula una definición, según sus luces. Habrán sido examinadas cierto número de distintas formulaciones antes de poner a este volumen la palabra Finis.

Espero que este sitio Web sea capaz también de arrojar luz sobre algunas formulaciones de las matemáticas o, al menos, de conseguir que se piense en ellas como algo más cercano, agradable y tangible, a diferencia de lo que, desgraciadamente, muchos creen o están acostumbrados.

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El cumpleaños

La intuición a veces no nos funciona tan bien como creemos. Por ejemplo, supón que te encuentras en grupo con otras \(22\) personas. ¿Cuál crees que sería la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día? Si nos dejamos llevar por la intuición pensarás que es complicado que en un grupo de \(23\) personas, dos de ellas cumplan años el mismo día y, por tanto, que esta probabilidad deba ser baja. Digamos ¿un \(10\,\%\) más o menos? ¿Qué te parece? Es decir, ¿cada \(100\) veces que nos encontremos un grupo de \(23\) personas, en \(10\) de ellas, aproximadamente, habrá coincidencia en la fecha de cumpleaños de dos de sus componentes? ¿Es elevado este porcentaje o probabilidad? ¿Es escaso? ¿Te parecería una buena estimación?

Veamos lo que dicen las matemáticas al respecto, en concreto la teoría de probabilidades.

La probabilidad de que ocurra un suceso determinado \(A\), que escribiremos \(P(A)\), se rige por la famosa regla de Laplace, según la cual esta probabilidad es igual al número de casos favorables de que ocurra el suceso \(A\), dividido entre el número de casos posibles en que se puede dar el suceso \(A\).

Simbólicamente:

De este modo la probabilidad de que dos personas no cumplan años el mismo día es:

Lo que supone un porcentaje superior al \(99,7\,\%\). Esto es así porque, elegida una persona cualquiera, debe haber nacido uno de los \(365\) días del año (estamos prescindiendo de los años bisiestos) y, para esta persona, el número de casos favorables es igual que el número de casos posibles: \(365\). Ahora bien, si elegimos otra persona, el número de casos favorables se reducirá a \(364\), uno menos que antes, pues no puede cumplir años el mismo día que la persona anterior. El número de casos posibles sigue siendo \(365\).

Es como calcular cuántos pares de días distintos se pueden elegir al año. En cualquier orden. Para el primer día del par hay \(365\) posibilidades y para el segundo día del par quedan \(364\), ya que alguno tuvo que haber sido usado para la primera persona. Por eso los casos favorables son:

Los casos posibles serían, visto de este modo, todos los posibles pares de días que se pueden formar en el año. Por lo tanto son:

En realidad, estamos utilizando una conocida regla para contar, el principio de la multiplicación o del producto. Podemos imaginar dos bombos con \(365\) bolas cada uno, numeradas desde el número \(1\) hasta el número \(365\), una para cada uno de los días del año (insistimos en que no contaremos los años bisiestos). Para los casos favorables utilizaremos un bombo completo para la primera persona, y el otro bombo con una bola menos para la segunda persona, justo aquella bola con el número en que cumple los años la primera persona. Está claro que para cada bola del primer bombo hay \(364\) bolas del segundo bombo. En total, como ya se había visto, \(365\cdot364=132860\) parejas distintas de números para los casos favorables.

Si ahora tuviéramos tres personas y quisiéramos saber la probabilidad de que ninguna de las tres hubiese nacido el mismo día, los casos favorables serían todas las posibles ternas de días del año sin repetición. O sea, siguiendo la argumentación anterior:

Y los casos posibles ahora serían, naturalmente:

Aplicando la regla de Laplace, la probabilidad de que ninguna de las tres personas hayan nacido el mismo día es, por tanto:

Si siguiéramos con cuatro personas, la probabilidad de que ninguna de ellas hayan nacido el miso día es, siguiendo el mismo proceso:

Podríamos seguir así con grupos formados por más personas: cinco, seis, siete, etcétera; y calcular la probabilidad de que ninguna de ellas haya nacido el mismo día. En concreto si llegamos a un grupo de \(23\) personas se tiene:

Es decir, la probabilidad de que, en un grupo de \(23\) personas, ninguna de ellas haya nacido el mismo día, es aproximadamente \(0,4898\), (en tanto por ciento \(48,98\,\%\)). Esto quiere decir que, en ese mismo grupo, la probabilidad de que dos de ellas sí que celebren su cumpleaños el mismo día es \(1-0,4898=0,5102\), que supone un porcentaje del \(51,02\,\%\).

Por tanto nuestra supuesta intuición estaba lejos de la realidad. En un grupo de, al menos \(23\) personas, la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día es de más del \(50\,\%\).

¡Haz la prueba cuando te encuentres en grupo de esta índole y ya me contarás!

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