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Elementos filtrados por fecha: Lunes, 04 Marzo 2013

Tirthaji y las "matemáticas védicas" (I)

Extracto del libro "Alex en el país de los números", de Alex Bellos.


 Una contribución india al mundo de los números es un conjunto de trucos aritméticos que se conocen colectivamente como "matemáticas védicas". Los descubrió a principios del siglo XX un joven swami, Bharati Krishna Tirthaji, quien afirmó que los había encontrado en los Vedas, lo que sería algo así como que un vicario afirmase haber hallado en la Biblia un método para resolver ecuaciones cuadráticas. Las matemáticas védicas se fundamentan en una listas de 16 aforismos, o sutras. Tirthaji indicó que estos no se hallaban realmente escritos en ningún pasaje de los Vedas, sino que eran detectables "a partir de una revelación intuitiva".

Los 16 sutras

  1. Por uno más que uno antes.
  2. Todos de 9 y el último de 10.
  3. En vertical y en cruz.
  4. Transposición y aplicación.
  5. Si el Samuccaya es el mismo es cero.
  6. Si uno está en proporción el otro es cero.
  7. Por adición y por sustracción.
  8. Por finalización o no finalización.
  9. Cálculo diferencial.
  10. Por la deficiencia.
  11. Específico y general.
  12. Los restos y por el último dígito.
  13. El último y dos veces el penúltimo.
  14. Por uno menos que uno antes.
  15. El producto de la suma.
  16. Todos los multiplicadores.

¿Hablaba en serio? Sí, muy en serio. Tirthaji fue uno de los hombres santos más respetados de su generación. Niño prodigio, licenciado en sánscrito, filosofía, inglés, matemáticas, historia y ciencias a la edad de 20 años, poseía, además, el don de la palabra. Cuando alcanzó la edad adulta, pronto quedó claro que estaba destinado a desempeñar un papel prominente en la vida religiosa de la India. En 1925, en efecto, Tirthaji fue nombrado Shankaracharya (una de las posiciones de mayor  rango dentro de la sociedad tradicional hindú), responsable de un importante monasterio en Puri, Orissa, en la bahía de Bengala.

En los años treinta y cuarenta, Tirthaji, en su papel de Shankaracharya, recorrió la India con regularidad, pronunciando sermones ante decenas de miles de personas; por lo general ofrecía guía espiritual, pero también promovía su nuevo método de cálculo. Los 16 sutras, explicaba, debían usarse como si fueran fórmulas matemáticas. Aunque pudieran sonar tan ambiguos como mantras numerológicos o títulos de capítulos de un libro de ingeniería, exponían realmente reglas específicas. Uno de los más sencillos es el segundo: Todo de 9 y el último de 10. Esto debe ponerse en práctica siempre que se resta un número de una potencia de diez, como 1000. Si quiero calcular 1000-456, por ejemplo, restaré 4, de 9, 5 de 9 y 6 de 10. En otras palabras: restaré los dos primeros números de 9 y el último de 10. La respuesta es 544.

Tirthaji divulgaba las matemáticas védicas como un obsequio a la nación. Afirmaba que, con los sutras, en apenas ocho meses se podrían asimilar las matemáticas que los escolares tardaban quince años en aprender. Llegó incluso a declarar que el sistema podía ampliarse y abarcar no solo la artimética, sino también el álgebra, la geometría, el cálculo y la astronomía. Debido a la autoridad moral de Tirthaji y a su carisma como orador, la gente lo adoraba. El gran público, escribió Tirthaji, quedó "sumamente impresionado, no, encantado, maravillado y atónito" con las matemáticas védicas. Para aquellos que preguntaban si se trataba de matemáticas o de magia, siempre tenía la misma respuesta: "Son ambas cosas. Es magia hasta que lo entiendes, y es matemáticas a partir de ese momento". 


Sigue en Tirthaji y las matemáticas védicas (II) →

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Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales

¿Y si nos preguntaran por la suma de los cuadrados de los \(100\) primeros números naturales? Ya, ya sé que podemos ponernos a la faena y, con paciencia, realizarla:

\[1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+97^2+98^2+99^2+100^2=\]

\[=1+4+9+16+\ldots+9409+9604+9801+10000=\ ?\]

Pero esto es muy pesado. ¿Se podrá deducir una fórmula general? Seguro que sí.

Gauss, con no más de siete años, sumó los \(100\) primeros números enteros. Hizo así:

\[1+100=101\]

\[2+99=101\]

\[3+98=101\]

\[\cdots\]

\[48+53=101\]

\[49+52=101\]

\[50+51=101\]

Como hay \(50\) parejas

\[1+2+3+4+\ldots+97+98+99+100=101\cdot50=5050\]

Para sumar los \(n\) primeros números naturales se procede de manera similar. Llamemos \(S\) a la suma. Entonces podemos escribir \(S\) de dos formas:

\[S=1+2+3+4+\ldots+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n\]

\[S=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+\ldots+4+3+2+1\]

Sumando término a término ambas igualdades:

\[2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)+(n+1)+(n+1)\]

Y como hay \(n\) sumandos

\[2S=n(n+1)\Rightarrow S=\frac{n(n+1)}{2}\]

Para sumar los \(100\) primeros números naturales basta sustituir en la fórmula anterior \(n\) por \(100\):

\[S=\frac{100\cdot101}{2}=\frac{10100}{2}=5050\]

Pero también podemos sumar, por ejemplo, los \(12964\) primeros números naturales:

\[S=\frac{12964\cdot12965}{2}=\frac{168078260}{2}=84039130\]

Ufanos por el logro anterior, ahora nos planteamos la suma de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales, tal y como nos proponíamos al principio:

\[S=1^2+2^2+3^2+\ldots+(n-2)^2+(n-1)^2+n^2\]

Antes de nada decir que en el proceso vamos a utilizar el desarrollo del cubo de un binomio:

\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]

Pues bien, ahora procedamos del siguiente modo:

\[1^3=(1+0)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot0+3\cdot1\cdot0^2+0^3=1+0^3+3\cdot0+3\cdot0^2\]

\[2^3=(1+1)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot1+3\cdot1\cdot1^2+1^3=1+1^3+3\cdot1+3\cdot1^2\]

\[3^3=(1+2)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot2+3\cdot1\cdot2^2+2^3=1+2^3+3\cdot2+3\cdot2^2\]

\[\cdots\]

\[(n+1)^3=(1+n)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot n+3\cdot1\cdot n^2+n^3=1+n^3+3\cdot n+3\cdot n^2\]

Sumando cada columna tanto del primer miembro como del último de cada una de las igualdades anteriores se tiene:

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3+(n+1)^3=\]

\[=(n+1)+(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3)+\]

\[+3(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)+3(1+2+3+\ldots+n)\]

Simplificando términos:

\[(n+1)^3=(n+1)+3S+\frac{3n(n+1)}{2}\]

Despejando \(S\):

\[2(n+1)^3=2(n+1)+6S+3n(n+1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 6S=2(n+1)^3-2(n+1)-3n(n+1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow6S=(n+1)(2(n+1)^2-2-3n)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow6S=(n+1)(2n^2+4n+2-2-3n)=(n+1)(2n^2+n)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow6S=n(n+1)(2n+1)\Rightarrow S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

De este modo, las suma de los cuadrados de los 100 primeros números naturales es:

\[S=\frac{100\cdot101\cdot201}{6}=\frac{2030100}{6}=338350\]

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