Menu
¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales.…

Las sucesiones de n&uacut...

La paradoja de Zenón

La paradoja de Zenón

El filósofo griego...

Prev Next

Resolviendo ecuaciones e inecuaciones en las que aparece el valor absoluto

  • Publicado en ESO

Recordemos que el valor absoluto de un número real cualquiera \(x\) se define de la siguiente manera:

\[|x|=\begin{cases}x&\text{si}&x\geqslant0\\-x&\text{si}&x<0\end{cases}\]

En otro artículo hablábamos del valor absoluto y de sus propiedades, y en él ya se hizo referencia a la posibilidad de resolver algunas ecuaciones o inecuaciones utlizando estas propiedades. Aquí seremos más explícitos y resolveremos de hecho varias ecuaciones e inecuaciones concretas. En todo caso será bueno recordar que utilizaremos algunas de las propiedades del valor absoluto. Por supuesto, se da por hecho que se saben resolver ecuaciones e inecuaciones de primer y de segundo grado. En todo caso se recomienda la lectura de los siguientes artículos:

La ecuación con valor absoluto más sencilla es \(|x|=a\), donde \(a\) es un número real fijo mayor o igual que cero, pero arbitrario (si \(a<0\) la ecuación no tiene solución pues \(|x|\geqslant0,\,\forall x\in\mathbb{R}\)). Por la definición de valor absoluto, si \(x\geqslant0\), entonces \(|x|=x\) con lo que \(|x|=a\Rightarrow x=a\). Sin embargo, si \(x<0\), entonces \(|x|=-x\) con lo que \(|x|=a\Rightarrow -x=a\Rightarrow x=-a\). Hemos demostrado que \(|x|=a\Rightarrow\begin{cases}x=a\\x=-a\end{cases}\).

Así por ejemplo las soluciones de la ecuación |x|=3 son \(x=3\) y \(x=-3\).

Desde el punto de vista geométrico la ecuación \(|x|=a\) viene a decir que los únicos dos números reales cuya distancia al cero es igual a \(a\geqslant0\) son \(a\) y \(-a\).

La ecuación anterior se puede utilizar para resolver otras algo más complicadas.

Por ejemplo, sea la ecuación \(|3x-5|=8\). Usando lo que hemos demostrado anteriormente tenemos:

\[|3x-5|=8\Rightarrow\begin{cases}3x-5=8\Rightarrow3x=13\Rightarrow x=\frac{13}{3}\\3x-5=-8\Rightarrow3x=-3\Rightarrow x=-1\end{cases}\]

Resolvamos ahora la ecuación \(|x-1|=\dfrac{1}{|x+4|}\).

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por \(|x+4|\) obtenemos la ecuación equivalente \(|x-1||x+4|=1\) y como el valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos tenemos también, equivalentemente

\[|(x-1)(x+4)|=1\Rightarrow|x^2+3x-4|=1\Rightarrow\begin{cases}x^2-3x-4=1\\x^2-3x-4=-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2-3x-5=0\\x^2-3x-3=0\end{cases}\Rightarrow\]

\[\displaystyle\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}\\x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}\end{cases}\]

Es interesante observar la representación gráfica de las soluciones que de esta ecuación hace WolframAlpha.

Para resolver inecuaciones en las que aparecen valores absolutos usaremos, entre otras, la siguiente propiedad del valor absoluto:

\[|x|\leqslant a\Leftrightarrow-a\leqslant x\leqslant a\Leftrightarrow x\in[-a,a]\]

Es evidente que esta propiedad también se cumple si la desigualdad es estricta:

\[|x|<a\Leftrightarrow-a<x<a\Leftrightarrow x\in(-a,a)\]

De lo anterior se deduce que también es cierto que

\[|x|\geqslant a\Leftrightarrow x\leqslant-a\ \text{o}\ x\geqslant a\Leftrightarrow x\in(-\infty,a]\cup[a,+\infty)\]

\[|x|>a\Leftrightarrow x<-a\ \text{o}\ x>a\Leftrightarrow x\in(-\infty,a)\cup(a,+\infty)\]

Utilizando estas propiedades podemos resolver, por ejemplo, la inecuación \(|2x-7|\leqslant3\). Veámoslo.

\[|2x-7|\leqslant3\Leftrightarrow-3\leqslant2x-7\leqslant3\Leftrightarrow4\leqslant2x\leqslant10\Leftrightarrow2\leqslant x\leqslant5\Leftrightarrow x\in[2,5]\]

Hacemos hincapié en el interés que tiene observar la solución desde el punto de vista gráfico.

Naturalmente, si la inecuación fuera \(|2x-7|>3\) la solución sería \(x\in(-\infty,2)\cup(5,+\infty)\).

Resolvamos ahora la inecuación \(\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\right|<2\), en la cual hemos de aplicar la propiedad mencionada y luego proceder con especial cuidado.

\[\left|\frac{1}{2}-\frac{x}{3}\right|<2\Leftrightarrow-2<\frac{1}{2}-\frac{x}{3}<2\Leftrightarrow-2-\frac{1}{2}<-\frac{x}{3}<2-\frac{1}{2}\Leftrightarrow-\frac{5}{2}<-\frac{x}{3}<\frac{3}{2}\Leftrightarrow\]

Ahora recordemos que si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido, con lo que, en este caso, multiplicando todos los miembros por \(-3\), tenemos

\[\Leftrightarrow\frac{15}{2}>x>-\frac{9}{2}\Leftrightarrow-\frac{9}{2}<x<\frac{15}{2}\Leftrightarrow x\in\left(-\frac{9}{2},\frac{15}{2}\right)\]

Otra vez merece la pena observa la solución de la inecuación anterior desde el punto de vista gráfico.

Por supuesto, si la inecuación que tuviéramos que resolver fuera \(\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\right|\geqslant2\), la solución vendría dada por \(x\in\left(-\infty,-\dfrac{9}{2}\right]\cup\left[\dfrac{9}{2},+\infty\right)\).

Hay ocasiones en las que no queda más remedio que echar mano de la definición para resolver ciertas ecuaciones o inecuaciones en las que aparecen valores absolutos. Veamos un par de ejemplos.

Resolver la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\).

Por un lado tenemos que

\[|3-2x|=\begin{cases}3-2x&\text{si}&3-2x\geqslant0\\-(3-2x)&\text{si}&3-2x<0\end{cases}=\begin{cases}3-2x&\text{si}&x\leqslant\frac{3}{2}\\2x-3&\text{si}&x>\frac{3}{2}\end{cases}\]

Y por otro lado tenemos

\[|x-2|=\begin{cases}x-2&\text{si}&x-2\geqslant0\\-(x-2)&\text{si}&x-2<0\end{cases}=\begin{cases}x-2&\text{si}&x\geqslant2\\2-x&\text{si}&x<2\end{cases}\]

Como se puede observar, hay dos puntos digamos "críticos", el \(\frac{3}{2}\) y el \(2\). Podemos pues dividir la recta real en tres intervalos y considerar tres casos para resolver nuestra ecuación.

Si \(x\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(3-2x)+2-x=x\), ecuación de primer grado: \(6-4x+2-x=x\Rightarrow-6x=-8\Rightarrow x=\frac{4}{3}\). Como \(\frac{4}{3}\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\), entonces \(x=\frac{4}{3}\) es solución de la ecuación.

Si \(x\in\left(\frac{3}{2},2\right)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(2x-3)+2-x=x\), con lo que \(4x-6+2-x=x\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\).

Si \(x\in(2,+\infty)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(2x-3)+x-2=x\), con lo que \(4x-6+x-2=x\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2\).

Cuando una de las soluciones coincide con uno de los puntos críticos debemos decidir si es solución sustituyendo directamente en la ecuación:

\[2|3-2\cdot2|+|2-2|=2|3-4|+|0|=2|-1|+0=2\cdot1=2\]

Observamos que la ecuación se cumple para \(x=2\), con lo que este valor es solución de la ecuación. Resumiendo, las soluciones de la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) son \(x=\frac{4}{3}\) y \(x=2\).

Resolvamos por último la inecuación de la imagen que encabeza este artículo: \(|4-x|+|2x-5|>7-x\). Para ello procederemos como en el ejercicio anterior.

Por un lado

\[|4-x|=\begin{cases}4-x&\text{si}&4-x\geqslant0\\-(4-x)&\text{si}&4-x<0\end{cases}=\begin{cases}4-x&\text{si}&x\leqslant4\\x-4&\text{si}&x>4\end{cases}\]

Por otro lado

\[|2x-5|=\begin{cases}2x-5&\text{si}&2x-5\geqslant0\\-(2x-5)&\text{si}&2x-5<0\end{cases}=\begin{cases}2x-5&\text{si}&x\geqslant\frac{5}{2}\\5-2x&\text{si}&x<\frac{5}{2}\end{cases}\]

Decidamos ahora intervalo por intervalo teniendo en cuenta que ahora los puntos críticos son \(\frac{5}{2}\) y \(4\).

Si \(x\in\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)\), la inecuación queda así: \(4-x+5-2x>7-x\). Resolviéndola tenemos \(-2x>-2\Rightarrow x<1\Rightarrow x\in(-\infty,1)\). Como \(\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)\cap(-\infty,1)=(-\infty,1)\), entonces el intervalo \((-\infty,1)\) es solución de la inecuación.

Si \(x\in\left(\frac{5}{2},4\right)\), la inecuación queda así: \(4-x+2x-5>7-x\). Resolviéndola tenemos \(2x>8\Rightarrow x>4\Rightarrow x\in(4,+\infty)\). Como \(\left(\frac{5}{2},4\right)\cap(4,+\infty)=\emptyset\), este caso no aporta soluciones a nuestra inecuación.

Finalmente, si \(x\in(4,+\infty)\), la inecuación es \(x-4+2x-5>7-x\) que, resolviéndola, queda \(4x>16\Rightarrow x>4\Rightarrow x\in(4,+\infty)\). Por tanto, en este caso el intervalo \((4,+\infty)\) es solución de la inecuación.

Resumiendo, las solución de la inecuación \(|4-x|+|2x-5|>7-x\) la podemos escribir así: \((-\infty,1)\cup(4,+\infty)\).

Leer más ...

Problemas de matemáticas que se resuelven planteando ecuaciones

El álgebra, y en concreto las ecuaciones, son instrumentos que nos permiten resolver con facilidad muchos problemas que se plantean en la vida real. Aunque no existe una "receta mágica" para la resolución de problemas, sí que podemos sugerir unas técnicas y etapas para enfrentarnos a los problemas por difíciles que estos sean. Son las siguientes:

  1. Comprender el problema: identificar los datos y las incógnitas y buscar sus relaciones. Para ello se lee el enunciado con atención y se expresa en lenguaje algebraico.
  2. Trazar un plan para resolverlo: plantear la ecuación o ecuaciones que permitan resolver el problema. Esta etapa es fundamental, pues hemos de traducir los datos del problema a lenguaje algebraico.
  3. Poner en práctica el plan: resolver la ecuación o ecuaciones planteadas.
  4. Interpretar y comprobar los resultados: se interpreta la solución escribiéndola, en su caso, con las unidades correspondiente; y se comprueba si la solución tiene sentido en el contexto particular del problema.

Veamos algunos ejemplos típicos de resolución de problemas.

Ejemplo 1

Pedro tiene 14 años y su hermana Elisa, 3. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de Pedro sea el doble que la de su hermana?

Llamaremos \(x\) a los años que han de transcurrir. Cuando hallan transcurrido precisamente esos \(x\) años, la edad de Pedro será \(14+x\) y la edad de su hermana \(3+x\). En ese momento la edad de Pedro es el doble que la de su hermana, es decir:

\[14+x=2(3+x)\]

Resolviendo la ecuación anterior:

\[14+x=6+2x\Rightarrow x-2x=6-14\Rightarrow -x=-8\Rightarrow x=8\]

Por tanto, han de transcurrir 8 años para que la edad de Pedro sea el doble que la de su hermana. Fíjate que esta solución cumple con en el enunciado del problema pues cuando han pasado 8 años, Pedro tiene 22 años y su hermana 11, con lo que la edad de Pedro es el doble que la de su hermana.

Ejemplo 2

Una bodega quiere producir 400 litros de un vino nuevo que cueste 4,80 €/l ("euros el litro"). Para ello va a mezclar 2 tipos de vino, uno de 4,60 €/l y otro de 6,20 €/l. Averiguar cuántos litros de cada tipo de vino va a emplear en producir la nueva mezcla.

A veces es muy útil organizar los datos del problema en una tabla. Sobre todo en los problemas de este tipo en los que aparecen mezclas de algún tipo de producto.

   Cantidad (l) Precio (€/l) Coste 
Vino A \(x\) \(4,60\) \(4,6x\)
Vino B \(400-x\) \(6,20\) \(6,2(400-x)\)
Mezcla \(400\) \(4,80\) \(4,6x+6,2(400-x)\)

Ahora, como el coste de la mezcla es de 4,80 €/l, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[4,6x+6,2(400-x)=4,8\cdot400\]

Resolviéndola:

\[4,6x+2480-6,2x=1920\Rightarrow4,6x-6,2x=1920-2480\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-1,6x=-560\Rightarrow x=\frac{-560}{-1,6}\Rightarrow x=350\]

Por tanto debemos mezclar 350 litros de vino A y 50 litros de vino B. Obsérvese que 350 litros de vino A cuestan 1610 euros, y 50 litros de vino B cuestan 310 euros. La mezcla de los 400 litros cuesta entonces 1920 euros (400 litros a 4,8 euros el litro, tal y como se expresaba en el enunciado del problema).

Ejemplo 3

Desde una localidad sale un ciclista a las 10 horas con una velocidad de 22 km/h. Al cabo de una hora sale de la misma localidad otro ciclista con una velocidad de 30 km/h. Si ambos ciclistas son capaces de mantener de manera constante sus velocidades, ¿a qué hora alcanza el segundo ciclista al primero?

Tendremos en cuenta que, a velocidad constante, el espacio recorrido \(s\) es igual a la velocidad \(v\) por el tiempo transcurrido \(t\): \(s=vt\).

Llamemos \(t\) al tiempo que tarda el segundo ciclista en alcanzar al primero.

Cuando sale el segundo ciclista, el primero lleva recorridos ya 22 kilómetros (pues el segundo sale una hora después que el primero).

Con las consideraciones anteriores, tras el tiempo \(t\) que tarda el segundo en alcanzar al primero, la distancia recorrida por el primer ciclista es \(22+22t\) y la distancia recorrida por el segundo es \(30t\). Como la distancia recorrida por ambos hasta ese momento en que el segundo alcanza al primero es la misma, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[22+22t=30t\]

Resolviéndola:

\[22t-30t=-22\Rightarrow-8t=-22\Rightarrow t=\frac{-22}{-8}\Rightarrow t=2,75\]

Por tanto deben transcurrir 2,75 horas (2 horas y 45 minutos) para que el segundo ciclista alcance al primero.

Para comprobar que el resultado es correcto, observemos que, transcurridas 2,75 horas, el primer ciclista recorre \(22+22\cdot2,75=82,5\) kilómetros. El segundo, en el mismo tiempo, recorre también \(30\cdot2,75=82,5\) kilómetros. Por eso es justamente cuando pasan dos horas y tres cuartos cuando el segundo ciclista alcanza al primero.

Ejemplo 4

De un depósito de agua lleno se saca la mitad del contenido, y después, un tercio del resto. En el depósito quedan 200 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Llamemos \(x\) a la capacidad en litros del depósito. Como se saca la mitad, resulta que queda en el depósito la otra mitad, es decir, queda la mitad de \(x\): \(\dfrac{x}{2}\). Después se caca un tercio del resto, o sea, un tercio de esta mitad que ha quedado en el depósito:\(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{6}\).

En total hemos sacado pues \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{6}\) litros. Como quedan 200 litros dentro del depósito, la capacidad del depósito \(x\) es igual a lo que hemos sacado más los 200 litros que quedan dentro del mismo. Podemos entonces plantear la siguiente ecuación:

\[\frac{x}{2}+\frac{x}{6}+200=x\]

Resolviéndola:

\[3x+x+1200=6x\Rightarrow3x+x-6x=-1200\Rightarrow-2x=-1200\Rightarrow x=600\]

Por tanto, la capacidad del depósito es de 600 litros.

Veamos que este resultado es coherente con el enunciado. Primero sacamos la mitad, o sea, 300 litros, quedando dentro otros 300 litros. Ahora sacamos la tercera parte de 300 litros, que son 100 litros. Por tanto hemos sacado en total 400 litros. Esto quiere decir que dentro del depósito, tras las dos extracciones, quedan 200 litros, tal y como se expresaba en el enunciado.

Los problemas que se resuelven planteando ecuaciones se introducen ya en las matemáticas de primer ciclo de educación secundaria obligatoria. A continuación os dejo algunos enlaces más con problemas para resolver planteando ecuaciones.

Relación con 48 problemas que se resuelven planteando ecuaciones de primer grado. Nivel 1º de ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Relación con 42 problemas que se resuelven planteando ecuaciones de primer grado. Nivel 2º, 3º de ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Relación con ecuaciones, sistemas y problemas que se resuelven planteando una ecuación de primer grado o un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas. Nivel 4º ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Artículo sobre ecuaciones. El ejercicio 2 contiene cinco problemas de ecuaciones completamente resueltos.

 

 

Leer más ...

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas tiene la siguiente forma

\[\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\qquad(1)\]

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, un plano en el espacio. En este caso tenemos dos en su forma general:

\[\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\quad \text{;}\quad \pi ' \equiv A'x + B'y + C'z + D' = 0\]

Las posibles posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: coincidentes, paralelos y secantes. Utilizaremos el teorema de Rouché para interpretar las soluciones del sistema e identificarlas con la posición relativa correspondiente.

Sean pues, respectivamente,

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right)\quad\text{;}\quad\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema (1). Como hay tres incógnitas escribiremos \(n=3\). Veamos ahora los casos que se pueden presentar.

Caso 1

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 1 < 3 = n\]

El sistema es compatible indeterminado. Es decir, existen infinitas soluciones. En este caso las filas son proporcionales, con lo que los dos planos serán coincidentes. La condición pues para que esto ocurra es

\[\pi  \equiv \pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} = \frac{D}{{D'}}\]

Caso 2

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = 1 \ne {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2\]

El sistema no tiene solución, con lo que los planos serán paralelos. En este caso las filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales, pero no lo son las de la matriz ampliada. Por tanto es fácil deducir que la condición para que los dos planos sean paralelos es la siguiente:

\[\pi\, |\,|\,\pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\]

Caso 3

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2 < 3 = n\]

El sistema vuelve a ser compatible indeterminado. Es decir, hay infinitas soluciones. La única posibilidad es que estas soluciones, al ser el rango dos y no ser las filas proporcionales, estén sobre la recta donde se cortan ambos planos. En este caso los planos son secantes según una recta: \(\pi  \cap \pi ' = r\). Las soluciones, o lo que es lo mismo, la recta de corte de ambos planos, se puede obtener hallando las soluciones del sistema (que dependerán de un parámetro). De este modo obtendríamos las ecuaciones paramétricas de la recta. De hecho, si los planos son secantes según una recta \(r\), al conjunto de las dos ecuaciones del sistema se les llama ecuaciones implícitas de la recta:

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\]

Veamos un ejemplo de este último caso.

Sean los planos \(\pi  \equiv 2x - 3y + z - 1 = 0\) y \(\pi ' \equiv  - x + y - 4z + 1 = 0\). El sistema formado por ambos es:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z - 1 = 0\\
 - x + y - 4z + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z = 1\\
 - x + y - 4z =  - 1
\end{array} \right.\]

Es muy fácil darse cuenta de que

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}&{ - 1}
\end{array}} \right) = 2\]

pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 2 - 3 =  - 1 \ne 0\]

Si llamamos \(z=\lambda\), el sistema lo podemos escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = 1 - \lambda \\
 - x + y =  - 1 + 4\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son, aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - \lambda }&{ - 3}\\
{ - 1 + 4\lambda }&1
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{1 - \lambda  - \left( {3 - 12\lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 11\lambda }}{{ - 1}} = 2 - 11\lambda\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{1 - \lambda }\\
{ - 1}&{ - 1 + 4\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 8\lambda  - \left( { - 1 + \lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 1 + 7\lambda }}{{ - 1}} = 1 - 7\lambda\]

Estas soluciones las podemos escribir así:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {2 - 11\lambda ,1 - 7\lambda ,\lambda } \right) = \left( {2,1,0} \right) + \lambda \left( { - 11,7,1} \right)\]

que no es otra cosa que la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(P\left( {2,1,0} \right)\) y tiene vector director \(\vec u = \left( { - 11,-7,1} \right)\).

En la siguiente figura se pueden apreciar los dos planos y la recta donde se cortan ambos.

sistemas03


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


Leer más ...

Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss

En los artículos anteriores se ha analizado la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas, y la ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas, así como su interpretación geométrica en el plano y en el espacio afín. En otro artículo, dedicado a los sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas, ya se ha hecho uso de un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Gauss. En este artículo se expone con detalle este método. Pero comenzaremos por el principio, explicando algunos conceptos previos.

Ecuación lineal

Es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.

Por ejemplo, son ecuaciones lineales: \(2x - 3y + 4z = 8\), \(2\left( {3x - 6y + z} \right) - 5 = 7y + z - 1\). Sin embargo, no son ecuaciones lineales: \({x^2} - y + 3z = 1\), \(2x - xy + 3xyz = 6\).

O sea, que para que una ecuación sea lineal, en cada término ha de haber a lo sumo una incógnita como mucho elevada a uno. Se llaman ecuaciones lineales porque una ecuación lineal con dos incógnitas geométricamente representa una recta (línea), y una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución (o las mismas soluciones). Si se les suma o se les resta a los dos miembros de una ecuación un mismo número se obtiene una ecuación equivalente a la primera. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero, también se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

Por ejemplo: \(\dfrac{{ - 3\left( {2x - y} \right)}}{3} - \frac{{y - z}}{4} = \frac{1}{2} + x\) es equivalente a \(- 12\left( {2x - y} \right) - \left( {y - z} \right) = 6 + 12x\) (se han multiplicado todos los términos por 12), que es equivalente a \(- 24x + 12y - y + z = 6 + 12x\), que también es equivalente a \(- 36x + 11y + z = 6\). El razonamiento anterior, en lenguaje simbólico, se escribe así:

\[\frac{{ - 3\left( {2x - y} \right)}}{3} - \frac{{y - z}}{4} = \frac{1}{2} + x\Leftrightarrow - 12\left( {2x - y} \right) - \left( {y - z} \right) = 6 + 12x\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow - 24x + 12y - y + z = 6 + 12x\Leftrightarrow - 36x + 11y + z = 6\]

Por cierto, la ecuación anterior es un plano en el espacio afín tridimensional.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se dan con el objetivo de determinar la solución o soluciones comunes a todas ellas.

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas representa un conjunto de rectas. Se trata de saber si se cortan o no en algún punto (que sería la solución del sistema). Si, en cambio, las ecuaciones tienen tres incógnitas, se trataría de un conjunto de planos y habría que determinar si tiene un punto en común, o una recta común (haz de planos), o no tienen ningún punto en común.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Son aquellos que tienen las mismas soluciones. Es posible que dos sistemas sean equivalentes sin que lo sean las ecuaciones que los forman. Por ejemplo, los sistemas 

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = - 7\\
- x + y = - 1
\end{array} \right.\quad \text{y}\quad
\left\{ \begin{array}{l}
4x + 5y = - 3\\
- 3x - 2y = 4
\end{array} \right.\]

tienen ambos por solución \(x=-2\), \(y=1\), es decir, son equivalentes. Sin embargo, las ecuaciones que los forman no son para nada equivalentes las de uno con las del otro.

Transformaciones para obtener sistemas equivalentes

Un sistema se puede transformar en otro que sea equivalente, es decir, que tenga la mismas soluciones. Estas transformaciones pretenden reducir el primer sistema a otro más sencillo y a su vez a otro más simple, con el objetivo de obtener las soluciones del último de manera fácil. Estas soluciones también lo serán del primero, pues todos ellos eran equivalentes. Las transformaciones para obtener sistemas equivalentes son:

  • Multiplicar o dividir los dos miembros de una de las ecuaciones por un número distinto de cero.
  • Añadir una ecuación que sea combinación  lineal de las otras o, al contrario, suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las otras.
  • Sustituir una ecuación por el resultado de sumarle otra multiplicada previamente por un número.

Veamos un ejemplo.

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 5y = - 1\\
- 3x + y = - 5\\
5x - 6y = 4
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 5y = - 1\\
- 3x + y = - 5
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
6x - 15y = - 3\\
- 6x + 2y = - 10
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
6x - 15y = - 3\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 13y = - 13
\end{array} \right.\]

En la primera transformación se ha suprimido la tercera ecuación pues es el resultado de restar la primera menos la segunda. En la segunda transformación se ha multiplicado la primera por \(3\) y la segunda por \(2\). Y en la tercera transformación a la segunda ecuación se le ha sumado la primera. Obsérvese que el último sistema es fácil de resolver.

Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Ejemplos

Un sistema de ecuaciones se dice que es compatible si tiene solución. Si no tiene solución se dice que es incompatible. Los sistemas compatibles pueden ser de dos tipos: compatible determinado si el sistema tiene una única solución, y compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Por ejemplo, el sistema del ejemplo anterior es compatible determinado, pues tiene una única solución (\(x=2\), \(y=1\)). Ya sabemos que geométricamente significa que las rectas \(2x - 5y =  - 1\), \(-3x+y=-5\), \(5x-6y=4\) son secantes, es decir, se cortan en un punto, el punto de coordenadas \(\left( {2,1} \right)\).

Veamos otro ejemplo.

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - 3y = 5\\
- 2x + 6y = 1
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 6y = 10\\
- 2x + 6y = 1
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 6y = 10\\
0 = 11
\end{array} \right.\]

Supongo que serás capaz de interpretar las transformaciones realizadas. Observa que finalmente se obtiene la igualdad \(0=11\), que es contradictoria. Esto quiere decir que el sistema no tiene solución: es un sistema incompatible. Geométricamente significa que las rectas \(x-3y=5\), \(-2x+6y=10\), son paralelas.

Hagamos ahora un par de ejemplos de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

En primer lugar veamos un ejemplo de un sistema con solución única.

\[\left\{ \begin{array}{l}
- 3x + y - 2z = 1\\
2x - 3y + z = - 1\\
x + 5y - z = - 2
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
- 3x + y - 2z = 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 7y - z = - 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,16y - 5z = - 5
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
- 3x + y - 2z = 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 7y - z = - 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 51z = - 51
\end{array} \right.\]

Si llamamos \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\) a las filas del sistema podemos abreviar las operaciones realizadas en cada una de las transformaciones del sistema. En la primera transformación se han hecho las siguientes operaciones:

\[3f_2+2f_1\quad\text{;}\quad3f_3+f_1\]

Y en la segunda transformación se ha realizado la siguiente operación:

\[7f_3+16f_2\]

Es fácil deducir del último sistema que la solución del sistema es \(x=-1\), \(y=0\), \(z=1\) y que, por tanto, el sistema es compatible determinado. Geométricamente quiere decir que los tres planos son secantes en un punto, es decir, que se tocan en un único punto de coordenadas \(\left( { - 1,0,1} \right)\).

Veamos a continuación otro ejemplo de sistema que tiene infinitas soluciones.

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - z = 5\\
- x - y + z = 0\\
- 4x - 7y + z = - 15
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - z = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y + z = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, - y - z = - 5
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - z = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y + z = 5
\end{array} \right.\]

En este segundo ejemplo la primera transformación ha consistido en realizar las siguientes operaciones:

\[2f_2+f_1\quad\text{;}\quad f_3+2f_2\]

Y en la segunda transformación hemos realizado la siguiente operación:

\[f_3+f_2\]

Observa que al realizar la última transformación desaparece la última ecuación pues se obtiene \(0x + 0y + 0z = 0\Leftrightarrow 0=0\), que no aporta nada. En este caso (cuando al final el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones) hay infinitas soluciones: el sistema es compatible indeterminado. Para calcularlas se procede de la siguiente manera: a una de las dos incógnitas de la última ecuación se le nombra con otra letra (generalmente la letra griega \(\lambda\), que recibe el nombre de parámetro). Este parámetro se pasa al segundo miembro y se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas resultante. Llamemos pues \(z=\lambda\). Entonces:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - \lambda = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y + \lambda = 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = 5 + \lambda \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 5 - \lambda
\end{array} \right.\]

Sustituyendo el valor de \(y\) en la primera ecuación, operando y despejando la incógnita \(x\), se obtiene:

\[2x - 3\left( {5 - \lambda } \right) = 5 + \lambda  \Rightarrow 2x - 15 + 3\lambda  = 5 + \lambda  \Rightarrow 2x = 20 - 2\lambda  \Rightarrow x = 10 - \lambda \]

Por tanto las infinitas soluciones del sistema son \(x = 10 - \lambda\), \(y=5-\lambda\), \(z=\lambda\). O mediante la terna \(\left( {10 - \lambda ,\,\,5 - \lambda ,\,\,\lambda } \right)\). Geométricamente significa que los planos \(2x + 3y - z = 5\), \(- x - y + z = 0\), \(- 4x - 7y + z = 15\) son secantes según una recta, o bien que forman un haz de planos de base la recta

\[\left( {10 - \lambda ,\,\,5 - \lambda ,\,\,\lambda } \right)=\left( {10,\,\,5,\,\,0} \right) + \lambda \left( { - 1,\,\, - 1,\,\,1} \right)\]

Vamos, que los tres planos se cortan en una recta (ver figura de más abajo). Obsérvese que la recta anterior pasa por el punto \(\left( {10,\,\,5,\,\,0} \right)\) y un vector director suyo es \(\left( { - 1,\,\, - 1,\,\,1} \right)\).

sistemas gauss 01

Sistemas escalonados

En los ejemplos anteriores, después de hacer las transformaciones pertinentes, se obtienen sistemas muy fáciles de resolver pues, desde abajo hacia arriba, vamos obteniendo el valor de cada incógnita por el método de sustitución. Este tipo de sistemas se llaman sistemas escalonados.

Obsérvese que en el caso del ejemplo anterior, donde el sistema era compatible indeterminado, el procedimiento de sustituir \(z\) por el parámetro \(lambda\) nos lleva a un sistema escalonado

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - \lambda = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y + \lambda = 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = 5 + \lambda \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 5 - \lambda
\end{array} \right.\]

que como vimos, también es muy fácil de resolver aunque las soluciones sean infinitas.

Hay sistemas que son escalonados, aunque a simple vista parece que no lo son.

Veamos otro par de ejemplos.

El sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = - 1\\
2y = 2\\
3x - 2y + 5z = 6
\end{array} \right.\]

no parece, aparentemente, escalonado. Pero observemos lo que ocurre si intercambiamos sus ecuaciones adecuadamente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y + 5z = 6\\
2x - 3y = - 1\\
2y = 2
\end{array} \right.\]

Además, si la incógnita \(z\) la ponemos en primer lugar, la incógnita \(x\) en segundo y la incógnita \(y\) en tercer lugar, el sistema queda así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
5z + 3x - 2y = 6\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x - 3y = - 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2y = 2
\end{array} \right.\]

Ahora si se ve claramente que es escalonado y fácil de resolver (la solución es \(x=1\), \(y=1\), \(z=1\)).

Matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales

Un sistema, por ejemplo, de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede escribir genéricamente así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}x + {a_{12}}y + {a_{13}}z = {b_1}\\
{a_{21}}x + {a_{22}}y + {a_{23}}z = {b_2}\\
{a_{31}}x + {a_{32}}y + {a_{33}}z = {b_3}
\end{array} \right.\]

 donde \(a_{ij}\) son números reales llamados coeficientes; \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) también son números reales llamados términos independientes; y las incógnitas son \(x\), \(y\), \(z\). Si escribimos los coeficientes en filas y columnas obtenemos una expresión de la forma:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right)\]

a la que llamaremos matriz de los coeficientes. A veces se designa con la letra mayúscula \(A\). Si a la matriz de los coeficientes le añadimos una columna con los términos independientes tendremos la expresión:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{b_1}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{b_2}}\\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{b_3}}
\end{array}} \right)\]

que recibe el nombre de matriz ampliada o matriz asociada al sistema. A veces se designa con la letra mayúscula \(B\), o mediante la expresión \(A|b\).

Método de Gauss

El proceso de transformación de un sistema de ecuaciones en otro equivalente, pero escalonado recibe el nombre de método de Gauss. En la práctica el método no se aplica con las ecuaciones, sino que se trabaja con la matriz asociada al sistema, con lo que se simplifica bastante el proceso de transformaciones sucesivas. Por tanto, una vez expresado el sistema mediante su matriz asociada, el método consiste en "hacer ceros", hasta llegar a una matriz asociada a un sistema escalonado. Para ello podemos hacer dos tipos de transformaciones, que nos llevarán a matrices asociadas a sistemas equivalentes:

  • Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero.
  • Sumar a una fila otra, previamente multiplicada por un número distinto de cero.

Al aplicar el método de Gauss, ¿qué ocurre al finalizar el proceso, o incluso en algún paso intermedio? Podemos distinguir los siguientes casos.

  1. Que salga una fila de ceros. Entonces esta fila se corresponderá con una ecuación trivial y podremos prescindir de ella (ya hemos visto un ejemplo anteriormente).
  2. Que obtengamos dos filas iguales o proporcionales. Entonces podemos eliminar una de las dos, pues se corresponden con ecuaciones equivalentes.
  3. Que obtengamos una fila de ceros, salvo el último número, que es distinto de cero. Entonces se trata de una ecuación imposible y, en este caso, el sistema es incompatible.

Conclusión: una vez finalizado el proceso llegaremos a una de las tres posibilidades siguientes, o equivalentes, a alguna de ellas:

  1. \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{b_1}}\\
    0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{b_2}}\\
    0&0&{{a_{33}}}&{{b_3}}
    \end{array}} \right)\), donde \(a_{33}\) es un número distinto de cero y \(b_3\) un número real cualquiera. En este caso tenemos tantas ecuaciones como incógnitas. Se obtiene un sistema escalonado, del que es muy fácil obtener la única solución. El sistema es compatible determinado.
  2. \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{b_1}}\\
    0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{b_2}}\\
    0&0&0&0
    \end{array}} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{b_1}}\\
    0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{b_2}}
    \end{array}} \right)\), donde \(a_{22}\) es un número distinto de cero. En este caso hay menos ecuaciones que incógnitas. Ya hemos resuelto anteriormente un sistema de este tipo y así se procede. Hay infinitas soluciones: el sistema es compatible indeterminado.
  3. \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{b_1}}\\
    0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{b_2}}\\
    0&0&0&{{b_3}}
    \end{array}} \right)\), donde \(b_3\) es distinto de cero. Esto es imposible y el sistema es incompatible, es decir, no tiene soluciones.

Veamos otro par de ejemplos.

Apliquemos el método de Gauss a la resolución del sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
- x + y + 3z = - 2\\
4x + 2y - z = 5\\
2x + 4y - 7z = 1
\end{array} \right.\]

Transformando la matriz asociada al sistema:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1&3&{ - 2}\\
4&2&{ - 1}&5\\
2&4&{ - 7}&1
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1&3&{ - 2}\\
0&6&{11}&{ - 3}\\
0&6&{ - 13}&{ - 3}
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1&3&{ - 2}\\
0&6&{11}&{ - 3}\\
0&0&{ - 24}&0
\end{array}} \right)\]

En la primera transformación hemos hecho las operaciones \(f_2+4f_1\) y \(2f_3-f_2\). En la segunda transformación hemos hecho la operación \(f_3-f_2\). Nos encontramos en el caso 1: el sistema es compatible determinado. El sistema asociado es:

\[\left\{ \begin{array}{l}
- x + y + 3z = - 2\\
\,\,\,\,\,\,\,6y + 11z = - 3\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 24z = 0
\end{array} \right.\]

sistema escalonado cuyas soluciones son muy fáciles de obtener: \(z=0\), \(y=-\dfrac{1}{2}\), \(x=\dfrac{3}{2}\).

Resolvamos ahora el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y + 2z = 1\\
2x + 3y - z = - 1\\
- x - 4y + 3z = 5
\end{array} \right.\]

Escribamos la matriz asociada y hagamos las transformaciones oportunas (transformaciones que no son difíciles de descubrir):

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2&1\\
2&3&{ - 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 4}&3&5
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2&1\\
0&5&{ - 5}&{ - 3}\\
0&{ - 5}&5&9
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2&1\\
0&5&{ - 5}&{ - 3}\\
0&0&0&6
\end{array}} \right)\]

Estamos en el caso 3. Por tanto el sistema es incompatible y no tiene solución. Obsérvese que el sistema asociado es

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y + 2z = 1\\
\,\,\,\,\,5y - 5z = - 3\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0z = 6
\end{array} \right.\]

La última de las ecuaciones no tiene sentido. Por eso el sistema es incompatible.

Discusión de sistemas dependientes de un parámetro

Hay sistemas que dependen de un parámetro. Por ejemplo

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 6\\
2x - y - z = - 3\\
x + ky - 3z = 0
\end{array} \right.\]

Este tipo de sistemas son en realidad "muchos sistemas". Hay uno para cada valor del parámetro \(k\). De todos ellos algunos serán compatibles y otros incompatibles. Por tanto, discutir un sistema dependiente de un parámetro consiste en encontrar los valores del parámetro para los que el sistema es compatible o no y, caso de ser compatible, distinguir cuándo es determinado o indeterminado. Para ello se procede igual que en los ejemplos anteriores, utilizando el método de Gauss y tomando el parámetro como si fuera un número. Como ejemplo, discutamos el sistema anterior.

Tomemos la matriz asociada y apliquemos las transformaciones oportunas:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&6\\
2&{ - 1}&{ - 1}&{ - 3}\\
1&k&{ - 3}&0
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&6\\
0&{ - 3}&{ - 3}&{ - 15}\\
0&{k - 1}&{ - 4}&{ - 6}
\end{array}} \right)\longrightarrow\]

\[\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&6\\
0&1&1&5\\
0&{k - 1}&{ - 4}&{ - 6}
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&6\\
0&1&1&5\\
0&0&{ - 3 - k}&{ - 1 - 5k}
\end{array}} \right)\]

Obsérvese que hemos realizado tres transformaciones. En la primera se han hecho las siguientes operaciones: \(f_2-2f_1\) y \(f_3-f_1\). En la segunda hemos dividido la segunda fila entre \(-3\). Y en la tercera hemos realizado la operación \(f_3-(k-1)f_2\).

Analicemos lo que pasa ahora.

Si \(-3-k=0\), es decir, si \(k=3\), entonces estamos en el caso 3 y el sistema es incompatible: la última matriz es, en este caso

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&6\\
0&1&1&5\\
0&0&0&{14}
\end{array}} \right)\]

con lo que la última ecuación (\(0=14\)) es imposible.

Ahora bien, si \(k\neq3\), estamos en el caso 1, pues \(-3-k\neq0\), y el sistema será compatible determinado (solución única). En este caso el sistema asociado a la última matriz es

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 6\\
\,\,\,\,\,\,\,\,y + z = 5\\
\left( { - 3 - k} \right)z = - 1 - 5k
\end{array} \right.\]

De aquí se deduce que

\[z = \frac{{ - 1 - 5k}}{{ - 3 - k}} = \frac{{\left( { - 1} \right)\left( {5k + 1} \right)}}{{\left( { - 1} \right)\left( {k + 3} \right)}} \Rightarrow z = \frac{{5k + 1}}{{k + 3}}\]

Sustituyendo en la segunda ecuación:

\[y + \frac{{5k + 1}}{{k + 3}} = 5 \Rightarrow y = 5 - \frac{{5k + 1}}{{k + 3}} = \frac{{5\left( {k + 3} \right)}}{{k + 3}} - \frac{{5k + 1}}{{k + 3}} = \frac{{5k + 15 - 5k - 1}}{{k + 3}} \Rightarrow y = \frac{{14}}{{k + 3}}\]

Finalmente, sustituyendo en la primera:

\[x + \frac{{14}}{{k + 3}} + \frac{{5k + 1}}{{k + 3}} = 6 \Rightarrow x + \frac{{5k + 15}}{{k + 3}} = 6 \Rightarrow \]

\[\Rightarrow x = 6 - \frac{{5k + 15}}{{k + 3}} = \frac{{6\left( {k + 3} \right)}}{{k + 3}} - \frac{{5k + 15}}{{k + 3}} = \frac{{6k + 18 - 5k - 15}}{{k + 3}} = \frac{{k + 3}}{{k + 3}} \Rightarrow x = 1\]

Resumiendo:

Si \(k=-3\) el sistema es incompatible: no tiene solución. Es el caso del sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 6\\
2x - y - z = - 3\\
x - 3y - 3z = 0
\end{array} \right.\]

donde se ha sustituido \(k\) por \(-3\).

Si \(k\neq-3\), el sistema es compatible es determinado: solución única, una para cada valor de \(k\). Tal solución única es

\[x=1\quad\text{;}\quad y=\frac{14}{k+3}\quad\text{;}\quad z=\frac{5k+1}{k+3}\]

Por ejemplo, si \(k=-1\), el sistema se convierte en

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 6\\
2x - y - z = - 3\\
x - y - 3z = 0
\end{array} \right.\]

y la única solución es \(x=1\), \(y=7\), \(z=2\). Es conveniente insistir en que para cada \(k\neq-3\) hay un sistema y una única solución para ése valor de \(k\).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


Leer más ...

La ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas. El plano en el espacio afín

En un artículo anterior habíamos hablado sobre la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas y sobre la recta en el plano afín.

Esas ideas se pueden extender al espacio en tres dimensiones. Así que vamos allá.

Ya sabemos que una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.

Si la ecuación tiene tres incógnitas la ecuación adopta la forma

\[ax + by + cz + d = 0\]

donde \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) son número reales, y las incógnitas son \(x\), \(y\), \(z\). Llamando, por ejemplo, \(x=\lambda\), \(y=\mu\), podemos despejar la incógnita \(z\):

\[ax + by + cz + d = 0 \Rightarrow cz =  - a\lambda  - b\mu  - d \Rightarrow z =  - \frac{a}{c}\lambda  - \frac{b}{c}\mu  - \frac{d}{c}\]

El hecho de llamar \(\lambda\) a la incógnita \(x\) y \(\mu\) a la incógnita \(y\), viene a decir que las incógnitas \(x\) e \(y\) pueden tomar cualquier valor real, a los que llamaremos parámetros. Por tanto, la incógnita \(z\) depende del valor que le demos a los parámetros \(\lambda\) y \(\mu\).

Podemos escribir las soluciones en forma de terna ordenada, de la siguiente manera:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {\lambda ,\mu , - \frac{a}{c}\lambda  - \frac{b}{c}\mu  - \frac{d}{c}} \right)\]

Por ejemplo, sea la ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas \(x - 2y + 3z - 5 = 0\). En este caso \(a=1\), \(b=-2\), \(c=3\) y \(d=-5\). Por tanto, las soluciones son de la forma

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {\lambda ,\mu , - \frac{1}{3}\lambda  - \frac{{ - 2}}{3}\mu  - \frac{{ - 5}}{3}} \right) = \left( {\lambda ,\mu , - \frac{1}{3}\lambda  + \frac{2}{3}\mu  + \frac{5}{3}} \right)\]

Ahora, si damos valores a \(\lambda\) y a \(\mu\) podemos ir obteniendo los valores de \(z\). Por ejemplo, si \(\lambda=5\) y \(\mu=0\), entonces

\[z =  - \frac{1}{3}\lambda  + \frac{2}{3}\mu  + \frac{5}{3} =  - \frac{1}{3} \cdot 5 + \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{5}{3} =  - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} = 0\]

con lo que una solución es \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {5,0,0} \right)\).

Procediendo de manera similar podemos obtener las ternas de soluciones siguientes:

\[\lambda=0\ ,\ \mu=0\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {0,0,\frac{5}{3}} \right)\]

\[\lambda=0\ ,\ \mu=-\frac{5}{2}\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {0,-\frac{5}{2},0} \right)\]

\[\lambda=2\ ,\ \mu=2\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {2,2,\frac{7}{3}} \right)\]

\[\lambda=-3\ ,\ \mu=-1\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {-3,-1,-2} \right)\]

Podemos representar incluso los valores anteriores usando unos ejes de coordenadas, es decir, fijando un sistema de referencia afín tridimensional (el espacio afín). Este sistema es el habitual, es decir, \(R = \left\{ {O,\,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\), donde \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\), \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\) (ya se habló sobre este sistema de referencia en un artículo anterior, dedicado a los sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas). Pues bien, todas las ternas que son soluciones de la ecuación \(x - 2y + 3z - 5 = 0\) están situadas en un mismo plano \(\pi\), con lo que llamaremos

\[\pi\equiv x-2y+3z-5=0\]

Lo podemos apreciar en la figura siguiente, en la que incluso se observa el punto del plano \(\left( { - 3, - 1,2} \right)\), que también representa al vector de las mismas coordenadas.

plano01

 Las soluciones de una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas, \(ax + by + cz + d = 0\), también las podemos escribir así:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {\lambda ,\mu , - \frac{a}{c}\lambda  - \frac{b}{c}\mu  - \frac{d}{c}} \right) = \left( {\lambda ,0, - \frac{a}{c}\lambda } \right) + \left( {0,\mu , - \frac{b}{c}\mu } \right) + \left( {0,0, - \frac{d}{c}} \right) \Rightarrow\]

\[\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( {1,0, - \frac{a}{c}} \right) + \mu \left( {0,1, - \frac{b}{c}} \right) + \left( {0,0, - \frac{d}{c}} \right)\]

Siguiendo con el ejemplo anterior podemos escribir las soluciones de la ecuación \(x - 2y + 3z - 5 = 0\) del siguiente modo:

\[\left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( {1,0, - \frac{1}{3}} \right) + \mu \left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) + \left( {0,0,\frac{5}{3}} \right)\]

Geométricamente, la expresión anterior indica que el plano \(\pi\equiv x-2y+3z-5=0\) es el plano paralelo al plano que contiene a los vectores \(\left( {1,0, - \dfrac{1}{3}} \right)\), \(\left( {0,1,\dfrac{2}{3}} \right)\) y que pasa por el punto \(\left( {0,0,\dfrac{5}{3}} \right)\). Dicho de otro modo: todos los puntos de este plano son los extremos de los vectores que se obtienen al sumar cualquier vector proporcional al vector \(\left( {1,0, - \dfrac{1}{3}} \right)\) con cualquier vector proporcional al vector \(\left( {0,1,\dfrac{2}{3}} \right)\), y con el vector \(\left( {0,0,\dfrac{5}{3}} \right)\).

De hecho, si tomamos \(\lambda=1\) y \(\mu=1\), tenemos que un punto del plano es

\[\left( {x,y,z} \right) = 1\left( {1,0, - \frac{1}{3}} \right) + 1\left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) + \left( {0,0,\frac{5}{3}} \right) = \left( {1,1,2} \right)\]

No es fácil imaginar esta situación en el espacio, pero con ayuda de alguna aplicación que represente figuras en tres dimensiones podemos hacernos una idea. En este caso, como en la imagen anterior, hemos utilizado Geogebra. En la siguiente figura se observa como nuestro plano \(\pi  \equiv x - 2y + 3z - 5 = 0\), es paralelo al plano que contiene a \(\left( {1,0, - \dfrac{1}{3}} \right)\) y a \(\left( {0,1,\dfrac{2}{3}} \right)\) y además pasa por el punto \(\left( {0,0,\dfrac{5}{3}} \right)\). De hecho también se aprecia con claridad que el punto \(\left( {1,1,2} \right)\), generado por las soluciones correspondientes a \(\lambda=1\) y \(\mu=1\), pertenece al plano \(\pi\).

plano02

Analizando lo anterior llegamos a una conclusión: un plano viene completamente determinado por dos vectores con distinta dirección (linealmente independientes) y un punto. O lo que es lo mismo, existe un único plano que pasa por un punto dado y en dos direcciones determinadas. A los vectores que determinan el plano se le llaman vectores de dirección o vectores directores del plano.

Generalicemos esta situación desde el punto de vista vectorial. Para ello llamaremos \(O\) al origen de coordenadas \(A\) a un punto cualquiera del espacio, \(\overrightarrow {OA} \) al vector de posición con origen en \(O\) y extremo en \(A\), y \(\vec u\) y \(\vec v\) a dos vectores con distinta dirección. La ecuación del plano que pasa por el punto \(A\) con la dirección de los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) viene dada por

\[\overrightarrow {OX}  = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec u + \mu \vec v\,,\,\,\lambda ,\mu  \in \mathbb{R}\]

donde \(\overrightarrow {OX} \) es el vector de posición con origen en \(O\) generado al dar valores a los parámetros \(\lambda\) y \(\mu\).

Hemos de insistir en que las coordenadas de los vectores están escritas en base al sistema de referencia \(R = \left\{ {O,\,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\) del que hemos hablado anteriormente. Es decir, hemos instalado en el espacio unos ejes de coordenadas: el eje \(X\) para la anchura, el eje \(Y\) para la profundidad, y el eje \(Z\) para la altura. Así, cuando hablamos de tomar el vector \(\vec e = \left( {1,1,2} \right)\) , y lo visualizamos en el espacio como un segmento orientado desde el origen de coordenadas \(O = \left( {0,0,0} \right)\) hasta el extremo en el punto de coordenadas \(\left( {1,1,2} \right)\), lo que estamos haciendo realmente es la siguiente operación:

\[\left( {1,1,2} \right) = 1\left( {1,0,0} \right) + 1\left( {0,1,0} \right) + 2\left( {0,0,1} \right) = 1 \cdot {\rm{i}} + 1 \cdot {\rm{j}} + 2 \cdot {\rm{k}}\]

O lo que es lo mismo, el vector \(\vec e = \left( {1,1,2} \right)\) es aquel que tiene una unidad de anchura, otra de profundad y dos unidades de altura.

Los vectores \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\), \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\) situados respectivamente sobre el eje \(X\), sobre el eje \(Y\) y sobre el eje \(Z\), tienen módulo \(1\) y son perpendiculares. Se dice que los tres vectores son ortonormales o que forman una base ortonormal del espacio. Además cualquier vector \(\left( {a,b,c} \right)\) lo podemos escribir así:

\[\left( {a,b,c} \right) = a\left( {1,0,0} \right) + b\left( {0,1,0} \right) + c\left( {0,0,1} \right) = a \cdot {\rm{i}} + b \cdot {\rm{j}} + c \cdot {\rm{k}}\]

La igualdad anterior expresa que todo vector del espacio, o lo que es lo mismo, todo el espacio, se puede generar a partir de los vectores \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\), \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\). Se dice que todo vector del espacio es una combinación lineal de \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\), \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\). Estos vectores, junto con el origen de coordenadas \(O\) forman el sistema de referencia ortonormal \(R = \left\{ {O,\,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\).

La geometría en el espacio afín empieza de este modo. Se considera un sistema de referencia afín ortonormal \(R = \left\{ {O,\,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\). Se sabe que todo vector que se apoye en \(O\) se puede poner como combinación lineal de \({\rm{i}}\), de \({\rm{j}}\) y de \({\rm{k}}\):

\[X = \overrightarrow {OX}  = {x_1}{\rm{i}} + {x_2}{\rm{j}} + {x_3}{\rm{k}} = \left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right)\]

Por tanto un vector cualquiera del espacio lo podemos "atrapar" en nuestro sistema de referencia. Todo vector \(\vec e\) del espacio tiene un origen \(A\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) y un extremo \(B\left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\), y por tanto \(\vec e = \overrightarrow {AB}\). Además:

\[\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  \Rightarrow\]

\[\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right) - \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{b_1} - {a_1},{b_2} - {a_2},{b_3} - {a_3}} \right)\]

plano03

Por ejemplo, el vector \(\vec e\) que une el punto \(P\left( {3\,, - \,1,2} \right)\) con el punto \(Q\left( {2\,, - \,3, - 1} \right)\) es

\[\vec e = \overrightarrow {PQ}  = \left( {2 - 3, - 3 - \left( { - 1} \right), - 1 - 2} \right) = \left( { - 1, - 2, - 3} \right)\]

Nuestro vector \(\vec e\) acaba de ser escrito en base a nuestro sistema de referencia. Hay infinitos vectores en el espacio con el mismo módulo, dirección y sentido, pero sólo uno que se apoya en el origen \(O\) de nuestro sistema de referencia. Al conjunto de todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido se le llama vector libre del espacio.

Con las consideraciones anteriores la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto \(A\) con la dirección de los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\), \(\overrightarrow {OX}  = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec u + \mu \vec v\,,\,\,\lambda ,\,\,\mu  \in \mathbb{R}\), adquiere todo su sentido.

Si la ecuación vectorial la expresamos en coordenadas tenemos:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) + \lambda \left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right) + \mu \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right) \Rightarrow\]

\[\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {{a_1} + \lambda {u_1} + \mu {v_1},{a_2} + \lambda {u_2} + \mu {v_2},{a_3} + \lambda {u_3} + \mu {v_3}} \right)\]

Igualando coordenadas:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = {a_1} + \lambda {u_1} + \mu {v_1}\\
y = {a_2} + \lambda {u_2} + \mu {v_2}\\
z = {a_3} + \lambda {u_3} + \mu {v_3}
\end{array} \right.\]

Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones paramétricas del plano. Estas ecuaciones las podemos ver como un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas: \(\lambda\) y \(\mu\).

\[\left\{ \begin{array}{l}
\lambda {u_1} + \mu {v_1} = x - {a_1}\\
\lambda {u_2} + \mu {v_2} = y - {a_2}\\
\lambda {u_3} + \mu {v_3} = z - {a_3}
\end{array} \right.\]

Si de este sistema eliminamos los parámetros \(\lambda\) y \(\mu\) obtenemos la ecuación general o implícita del plano, que será una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas:

\[Ax + By + Cz + D = 0\]

Veamos con un ejemplo cómo eliminar los parámetros.

Supongamos que queremos hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto \(A\left( {2,3,5} \right)\) y es paralelo a los vectores \(\vec u = \left( { - 1, - 2, - 3} \right)\), \(\vec v = \left( {1,3,5} \right)\).

Sus ecuaciones paramétricas serán:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - \lambda  + \mu \\
y = 3 - 2\lambda  + 3\mu \\
z = 5 - 3\lambda  + 5\mu
\end{array} \right.\]

Y de aquí:

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - \lambda  + \mu  = x - 2\\
 - 2\lambda  + 3\mu  = y - 3\\
 - 3\lambda  + 5\mu  = z - 5
\end{array} \right.\]

Consideremos que las incógnitas son \(\lambda\) y \(\mu\) y apliquemos el método de Gauss para resolver el sistema:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1&{x - 2}\\
{ - 2}&3&{y - 3}\\
{ - 3}&5&{z - 5}
\end{array}} \right)\longrightarrow\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1&{x - 2}\\
0&1&{y - 2x + 1}\\
0&2&{z - 3x + 1}
\end{array}} \right)\longrightarrow\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1&{x - 2}\\
0&1&{y - 2x + 1}\\
0&0&{x - 2y + z - 1}
\end{array}} \right)\]

De lo anterior se deduce, para que el sistema tenga soluciones (precisamente las soluciones son todos los puntos del plano), que \(x - 2y + z - 1 = 0\), justamente la ecuación general o implícita del plano.

Sin hacer el último paso en el método de Gauss también se obtiene lo mismo. Las dos últimas ecuaciones asociadas son

\[\left\{ \begin{array}{l}
\mu  = y - 2x + 1\\
2\mu  = z - 3x + 1
\end{array} \right.\]

y de aquí se obtiene, por igualación, que

\[y - 2x + 1 = \frac{{z - 3x + 1}}{2} \Rightarrow 2y - 4x + 2 = z - 3x + 1 \Rightarrow x - 2y + z - 1 = 0\]


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


Leer más ...

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma

\[\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + C = 0\\
A'x + B\,'y + C' = 0
\end{array} \right.\quad(1)\]

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, una recta en el plano. En este caso tenemos dos en su forma general:

\[r \equiv Ax + By + C = 0\quad\text{;}\quad  s \equiv A'x + B\,'y + C' = 0\]

Las posibles posiciones relativas de dos rectas en el plano son tres: coincidentes, paralelas y secantes.

Si son coincidentes es porque una recta es la misma que la otra salvo un factor numérico, es decir,

\[Ax + By + C = k\left( {A'x + B\,'y + C'} \right) = 0 \Rightarrow Ax + By + C = kA'x + kB\,'y + kC' = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}\]

De aquí se deduce que \(A = kA'\,\,,\,\,B = kB\,'\,\,,\,\,C = kC'\) y despejando \(k\) obtenemos una condición para que las dos rectas coincidan:

\[r \equiv s \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}} = \frac{C}{{C'}}\]

Si las dos rectas son paralelas tienen la misma dirección, con lo que los vectores directores de \(r\) y \(s\) son iguales o proporcionales. Es decir, llamando \(\vec u\) al vector director de \(r\), y \(\vec v\) al vector director de \(s\), tenemos que \(\vec u = k\vec v\), donde \(k\) es un número real. Pero recordemos que los vectores directores se podían obtener fácilmente de la ecuación general de la recta: \(\vec u = \left( { - B,A} \right)\) y \(\vec v = \left( { - B\,',A'} \right)\), con lo que:

\[\vec u = k\vec v \Leftrightarrow \left( { - B,A} \right) = k\left( { - B\,',A'} \right) \Leftrightarrow \left( { - B,A} \right) = \left( { - kB\,',kA'} \right) \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- B = - kB\,'\\
A = kA'
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = \frac{B}{{B\,'}}\\
k = \frac{A}{{A'}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}}\]

Así pues para que dos rectas sean paralelas tenemos la siguiente condición:

\[r\,|\,|\,s \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}} \ne \frac{C}{{C'}}\]

En este caso el sistema \((1)\) no tienen ninguna solución (claro: dos rectas paralelas no tienen ningún punto en común, no se cortan en ningún punto).

Por último, si las dos rectas son secantes, han de tener distinta dirección, con lo que sus vectores directores no serán proporcionales. Esto nos lleva a la siguiente condición:

\[r \cap s = \left\{ P \right\} \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} \ne \frac{B}{{B\,'}}\]

En este caso el sistema \((1)\) tienen una única solución. Esta solución es el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\): \(P\left( {a,b} \right)\).

Veamos un ejemplo.

Consideremos el sistema de ecuaciones \(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y - 7 = 0\\
- 5x - y + 3 = 0
\end{array} \right.\). Este sistema está formado por las rectas \(r \equiv 2x - 3y - 7 = 0\) y \(s \equiv - 5x - y + 3 = 0\). Como tenemos que \(\dfrac{2}{{ - 5}} \ne \dfrac{{ - 3}}{{ - 1}}\), entonces las rectas son secantes. Si queremos saber el punto de corte basta resolver el sistema. Por reducción es muy sencillo. Multiplicando la segunda ecuación por \(-3\) tenemos: \(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y - 8 = 0\\
15x + 3y - 9 = 0
\end{array} \right.\) y sumando ambas ecuaciones obtenemos \(17x - 17 = 0 \Rightarrow x = 1\). Sustituyendo en la primera ecuación podemos despejar \(y\): \(2 - 3y - 8 = 0 \Rightarrow - 3y - 6 = 0 \Rightarrow y = - 2\). Entonces el punto de corte de las rectas es \(P\left( {1, - 2} \right)\).

sistemas01

Puede que ahora sea un buen momento de hablar de independencia lineal. Es un concepto muy sencillo. Para ello vamos a pensar en dimensión tres, en un espacio tridimensional como en el que vivimos. Es decir, vamos a fijar un sistema de referencia afín donde cada punto y cada vector tiene tres coordenadas. Este sistema de referencia afín lo podemos escribir así: \(R = \left\{ {O\,,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\) donde \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\) y \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\). Algo así como decir que \(\text{i}\) mide la anchura, \(\text{j}\) la profundidad y \(\text{k}\) la altura. De modo que, por ejemplo, el vector \(\vec u\left( {3,4,2} \right)\) tiene tres unidades de anchura, cuatro de profundidad y dos de altura.

Pues bien, un vector es siempre linealmente independiente y genera una recta (la recta que lo contiene, que es un espacio de dimensión uno). Dos vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección, en cuyo caso generan todo un plano (el plano que los contiene, que es de dimensión dos). Si dos vectores no tienen distinta dirección serán proporcionales (uno se puede poner como el otro multiplicado por un número) y no son linealmente independientes. Tres vectores son linealmente independientes si no están situados en un mismo plano (no coplanarios) y generan todo el espacio, que es de dimensión tres.

¿Qué queremos decir cuando hablamos de que dos vectores linealmente independientes generan el plano que los contiene? Pues que, combinando adecuadamente los dos vectores, podemos llegar a cualquier otro vector del plano.

Veamos un ejemplo. Para ello volvamos a la dimensión dos. Consideremos los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\), que tienen distinta dirección. Por tanto, según hemos definido anteriormente, son linealmente independientes, y generan todo el plano de dimensión dos. Esto quiere decir que cualquier otro vector se puede poner como combinación de ellos. Pensemos, por ejemplo en el vector \(\left( {3,-5} \right)\). ¿Podremos llegar a él usando los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\)? Es decir, ¿existirán números reales \(x\), \(y\) tales que \(x\left( {1,3} \right) + y\left( { - 2,1} \right) = \left( {3, - 5} \right)\)? Seguro que sí. Veamos:

\[x\left( {1,3} \right) + y\left( { - 2,1} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow \left( {x,3x} \right) + \left( { - 2y,y} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\left( {x - 2y,3x + y} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3\\
3x + y = - 5
\end{array} \right.\]

Resolviendo el sistema anterior se obtiene \(x =  - 1\), \(y=-2\). Esto quiere decir que si el vector \(\left( {1,3} \right)\) lo multiplicamos por \(-1\) (o sea, le cambiamos el sentido), el vector \(\left( {-2,1} \right)\) lo multiplicamos por \(-2\) (o sea, lo duplicamos en longitud y le cambiamos el sentido) y, finalmente, sumamos ambos resultados, obtenemos como resultado el vector \(\left( {3,-5} \right)\). Esto, en matemáticas, se resume diciendo que el vector \(\left( {3,-5} \right)\) se puede poner como combinación lineal de los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\):

\[\left( {3, - 5} \right) =  - 1\left( {1,3} \right) + \left( { - 2} \right)\left( { - 2,1} \right)\]

Podemos ver el resultado en la figura siguiente:

sistemas02

Si en el sistema \(\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + C = 0\\
A'x + B\,'y + C' = 0
\end{array} \right.\) escribimos los términos independientes en el segundo miembro, lo podemos reescribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}x + {a_{12}}y = {b_1}\\
{a_{21}}x + {a_{22}}y = {b_2}
\end{array} \right.\]

Una vez escrito así vamos incluso a disponer de una forma más cómoda el sistema. Llamaremos \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right)\) matriz de los coeficientes del sistema y \(A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{b_1}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{b_2}}
\end{array}} \right)\) a la matriz ampliada del sistema. No descubrimos nada nuevo si pensamos en una matriz como una disposición de elementos en filas y en columnas. Obsérvese que al escribir la matriz ampliada \(A|b\) tenemos completamente definido el sistema sin necesidad de escribir las incógnitas.
Ahora, la posición relativa de las dos rectas depende del carácter de la matriz de los coeficientes \(A\) y del de la matriz ampliada \(A|b\), en el siguiente sentido:

  • Si las rectas son coincidentes, las filas de la matriz \(A\) son proporcionales y las de la matriz \(A|b\) también.
  • Si las rectas son paralelas, las filas de la matriz \(A\) son proporcionales, pero no los son las de la matriz \(A|b\).
  • Si las rectas son secantes, las filas de la matriz \(A\) no son proporcionales y, por tanto, tampoco lo son los de la matriz \(A|b\).

Este carácter de las matrices en matemáticas se conoce con el nombre de rango de una matriz. Hemos de observar que las filas de las matrices las podemos ver como vectores (con dos, tres, cuatro,\(\ldots\,\) coordenadas). Se define el rango de una matriz como el número de filas (vectores) linealmente independientes. Esto nos lleva a reescribir la posición relativa de dos rectas, en función de los rangos de la matriz de los coeficientes \(A\) y de la matriz ampliada \(A|b\), del siguiente modo:

  • Si las rectas son coincidentes, entonces \(\text{rango}A=\text{rango}A|b=1\).
  • Si las rectas son paralelas, entonces \(\text{rango}A=1\neq\text{rango}A|b=2\).
  • Si las rectas son secantes, entonces \(\text{rango}A=\text{rango}A|b=2\).

Estas ideas se pueden generalizar a un sistema de \(m\) ecuaciones y \(n\) incógnitas. Según el teorema de Rouché-Frobenius, para que un sistema del tipo anterior tenga solución se ha de cumplir que el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser igual al rango de la matriz ampliada: \(\text{rango}A=\text{rango}A|b\). Además, si este número es igual al número de incógnitas \(n\), el sistema tiene solución única (sistema compatible determinado). Sin embargo, si este número es menor que el número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado). Por último, si \(\text{rango}A\neq\text{rango}A|b\). el sistema no tiene solución (sistema incompatible).

Seguiremos dándole vueltas a todo esto en un artículo que dedicaremos a los sistemas de ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas.


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


Leer más ...

La ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. La recta en el plano afín

Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.

Si la ecuación solamente tiene una incógnita la ecuación es de la forma

\[ax+b=0\]

donde \(a\) y \(b\) son números reales con \(a\neq0\) , y \(x\) es la incógnita.

Como \(a\neq0\) , \(a\) tiene inverso, con lo que podemos despejar la incógnita con facilidad.

\[ax + b = 0\, \Rightarrow {a^{ - 1}} \cdot \left( {ax + b} \right) = {a^{ - 1}} \cdot 0 \Rightarrow {a^{ - 1}}ax + {a^{ - 1}}b = 0 \Rightarrow x + {a^{ - 1}}b = 0 \Rightarrow x =  - {a^{ - 1}}b\]

Así por ejemplo, la solución de \(3x+4=0\) es \(x =  - {3^{ - 1}} \cdot 4 =  - \dfrac{1}{3} \cdot 4 =  - \dfrac{4}{3}\).

Si la ecuación tiene dos incógnitas la ecuación adopta la forma

\[ax+by+c=0\]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales con \(a\neq0\) y \(b\neq0\), y las incógnitas son \(x\) e \(y\). Llamando por ejemplo \(x=\lambda\), podemos despejar la incógnita \(y\).

\[ax + by + c = 0 \Rightarrow by =  - a\lambda  - c \Rightarrow y =  - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}\]

El hecho de llamar \(\lambda\) a la incógnita \(x\) viene a decir que la incógnita \(x\) puede tomar cualquier valor real, al que llamaremos parámetro. Por tanto, la incógnita \(y\) depende del valor que le demos al parámetro \(\lambda\).

Podemos escribir las soluciones para \(x\) y para \(y\) en forma de par ordenado, de la siguiente manera:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}} \right)\]

Veamos un ejemplo. Sea la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas dada por \(2x-y+3=0\). En este caso \(a=2\), \(b=-1\) y \(c=3\). Por tanto las soluciones son de la forma:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{2}{{ - 1}}\lambda  - \frac{3}{{ - 1}}} \right) = \left( {\lambda ,2\lambda  + 3} \right)\]

Ahora, si damos valores a \(\lambda\) podemos hacer una tabla de valores:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  x & \lambda & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
  \hline
  y & 2\lambda+3 & -7 & -5 & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 & 7\\
  \hline
\end{array}\]

Incluso podemos representar los valores anteriores usando unos ejes de coordenadas.

recta01

No es difícil darse cuenta de que podemos colocar infinitos puntos y que todos ellos formarán una recta. Por eso, a la expresión de una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas, también se la conoce como ecuación general de una recta.

Además ya sabíamos que, si de la ecuación \(ax+by+c=0\), despejamos la incógnita \(y\) tenemos otra ecuación con la forma \(y=mx+n\), llamada ecuación afín de la recta. En nuestro ejemplo la ecuación afín de la recta es \(y=2x+3\). Y en esta ecuación es donde podemos con facilidad realizar también la tabla de valores anterior con el objetivo de representar gráficamente la recta dada.

Con algo de conocimiento de geometría en el plano afín podemos hacer más cosas con la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. Ya hemos visto que las soluciones las podemos escribir en forma de par ordenado:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}} \right)\]

Recordemos que, dados dos pares ordenados \(\left( {a,b} \right)\), \(\left( {c,d} \right)\), y un número real \(\lambda\), la suma de pares ordenados y el producto de un número real por un par ordenado, vienen dadas por las fórmulas:

\[\left( {a,b} \right) + \left( {c,d} \right) = \left( {a + c,b + d} \right)\quad\text{;}\quad\lambda \left( {a,b} \right) = \left( {\lambda a,\lambda b} \right)\]

Si se establecen unos ejes cartesianos sobre un plano, un par ordenado \(\left( {a,b} \right)\) tiene una visualización gráfica: un punto en el plano. O también: el par ordenado lo podemos ver como un vector con origen en el punto \(\left( {0,0} \right)\) (origen de coordenadas) y extremo el punto \(\left( {a,b} \right)\).

Con las ideas anteriores, las soluciones de una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas, \(ax+by+c=0\), las podemos escribir así:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda } \right) + \left( {0, - \frac{c}{b}} \right) = \lambda \left( {1, - \frac{a}{b}} \right) + \left( {0, - \frac{c}{b}} \right)\]

Siguiendo con el ejemplo visto anteriormente podemos escribir las soluciones de la ecuación \(2x-y+3=0\) del siguiente modo:

\[\left( {x,y} \right) = \lambda \left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right)\]

La interpretación geométrica de la expresión anterior es la siguiente: la recta \(2x-y+3=0\) es la recta paralela al vector \(\left( {1,2} \right)\) que pasa por el punto \(\left( {0,3} \right)\). Dicho de otro modo: todos los puntos de esta recta son los extremos de los vectores que se obtienen al sumar cualquier vector proporcional al vector \(\left( {1,2} \right)\) con el vector \(\left( {0,3} \right)\).

Por ejemplo, si \(\lambda=1\), entonces \(\left( {x,y} \right) =  - 1\left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right) = \left( { - 1, - 2} \right) + \left( {0,3} \right) = \left( { - 1,1} \right)\). Véase la figura siguiente:

recta02

Analizando todo lo anterior llegamos a una conclusión: una recta viene completamente determinada por un vector y un punto. O lo que es lo mismo, existe una única recta que pasa por un punto dado y en una dirección determinada. Al vector que determina la recta se le llama vector de dirección o vector director de la recta.

Generalicemos esta situación desde el punto de vista vectorial. Para ello llamaremos \(O\), al origen de coordenadas, \(A\) a un punto cualquiera del plano, \(\overrightarrow {OA}\) al vector de posición con origen en \(O\) y extremo en \(A\) y \(\vec e\) a un vector. La ecuación de la recta que pasa por el punto \(A\) con la dirección del vector \(\vec e\) viene dada por

\[\overrightarrow {OX}  = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec e\,,\,\,\lambda  \in \mathbb{R}\]

donde \(\overrightarrow {OX}\) es el vector de posición con origen en \(O\) generado al dar un determinado valor al parámetro \(\lambda\).

Naturalmente, las coordenadas de los vectores están escritas en base a un sistema de referencia pues, en caso contrario, no podríamos trabajar con éstas. Habitualmente, y tal y como hemos hecho en el ejemplo anterior, esto es algo a lo que estamos acostumbrados cuando instalamos en el plano unos ejes cartesianos (el eje de abscisas y el eje de ordenadas). Pero es conveniente poner énfasis en esto. Cuando hablamos de tomar, por ejemplo, el vector \(\vec e = \left( { - 2,3} \right)\), y lo visualizamos en el plano como un segmento orientado desde el origen de coordenadas \(O = \left( {0,0} \right)\) hasta el extremo en el punto de coordenadas \(\left( { - 2,3} \right)\), lo que estamos haciendo realmente es la siguiente operación:

\[\left( { - 2,3} \right) =  - 2\left( {1,0} \right) + 3\left( {0,1} \right)\]

Si ahora visualizamos los vectores \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\) nos daremos cuenta rápidamente de que el primero está sobre el eje \(X\), el segundo sobre el eje \(Y\) y ambos tienen longitud o módulo \(1\). Además son claramente perpendiculares. En este caso se dice que la pareja de vectores son ortonormales o que forman una base ortonormal del plano.

Pero es que cualquier vector \(\left( {a,b} \right)\) lo podemos escribir así:

\[\left( {a,b} \right) = a\left( {1,0} \right) + b\left( {0,1} \right)\]

La igualdad anterior expresa que todo vector del plano, o lo que es lo mismo, todo el plano, se puede generar a partir de los vectores \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\). A veces se dice que todo vector del plano es una combinación lineal de \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\). Estos dos vectores, junto con el origen de coordenadas \(O\), forman lo que se conoce como sistema de referencia afín. Además, si los dos vectores del sistema son ortonormales hablaremos de un sistema de referencia ortonormal. Suele nombrarse a los dos vectores del sistema así: \(\textbf{i} = \left( {1\,,\,0} \right)\), \(\textbf{j} = \left( {0\,,\,1} \right)\).

En realidad, la geometría en el plano afín empieza por aquí. Se considera un sistema de referencia afín ortonormal \(R = \left\{ {O\,,\,\left\{ {\textbf{i}\,,\,\textbf{j}} \right\}} \right\}\). Se sabe que todo vector que se apoye en \(O\) se puede poner como combinación lineal de \(\textbf{i}\) y de \(\textbf{j}\): \(X = \overrightarrow {OX}  = {x_1}{\textbf{i}} + {x_2}{\textbf{j}} = \left( {{x_1},{x_2}} \right)\). Por tanto un vector cualquiera del plano lo podemos "atrapar" en nuestro sistema de referencia. ¿Cómo? Es sencillo. Todo vector \(\vec e\) del plano tiene un origen \(A\left( {{a_1},{a_2}} \right)\) y un extremo \(B\left( {{b_1},{b_2}} \right)\) y por tanto \(\vec e = \overrightarrow {AB} \). Pero además es que (ver figura de más abajo):

\[\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  \Rightarrow \]

\[\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{b_1},{b_2}} \right) - \left( {{a_1},{a_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{b_1} - {a_1},{b_2} - {a_2}} \right)\]

recta03

Por ejemplo, el vector \(\vec e\) que une el punto \(P\left( { - 2\,,\,1} \right)\) con el punto \(Q\left( { 1\,,\,3} \right)\) es

\[\vec e = \overrightarrow {PQ}  = \left( {1 - \left( { - 2} \right),3 - 1} \right) = \left( {3,2} \right)\]

Nuestro vector \(\vec e\) acaba de ser escrito en base a nuestro sistema de referencia. Hay infinitos vectores en el plano con el mismo módulo, dirección y sentido, pero sólo uno que se apoya en el origen \(O\) de nuestro sistema de referencia. Al conjunto de todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido se le llama vector libre.

Con las consideraciones anteriores la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(A\) con la dirección de un vector \(\vec e\), \(\overrightarrow {OX}  = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec e\,,\,\,\lambda  \in\mathbb{R} \), adquiere todo su sentido.

recta04

Si la ecuación vectorial la expresamos en coordenadas tenemos:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {a,b} \right) + \lambda \left( {{e_1},{e_2}} \right) \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {a,b} \right) + \left( {\lambda {e_1},\lambda {e_2}} \right) \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {a + \lambda {e_1},b + \lambda {e_2}} \right)\]

Igualando coordenadas:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = a + \lambda {e_1}\\
y = b + \lambda {e_2}
\end{array} \right.\]

Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta. De éstas, si despejamos el parámetro \(\lambda\) en ambas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\lambda  = \dfrac{{x - a}}{{{e_1}}}\\
\lambda  = \dfrac{{y - b}}{{{e_2}}}
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{x - a}}{{{e_1}}} = \frac{{y - b}}{{{e_2}}}\]

Si ahora eliminamos denominadores y pasamos todo al primer miembro tenemos:

\[{e_2}x - {e_2}a = {e_1}y - {e_1}b \Rightarrow {e_2}x - {e_1}y + {e_1}b - {e_2}a = 0\]

Si llamamos \(A = {e_2}\), \(B =  - {e_1}\) y \(C = {e_1}b - {e_2}a\) tenemos la ecuación general o implícita de la recta:

\[Ax + By + C = 0\]

Obsérvese que un vector director de la recta es \(\left( {{e_1},{e_2}} \right) = \left( { - B,A} \right)\) y que haciendo \(x=0\) se obtiene \(y=-\dfrac{C}{B}\) (conocida como ordenada en el origen), con lo que un punto de la recta (el que corta al eje \(Y\)) es \(\left( {0, - \dfrac{C}{B}} \right)\).

Volviendo a nuestro primer ejemplo, en el que considerábamos la recta \(2x-y+3=0\), tenemos que un vector director suyo es \(\left( { - B,A} \right) = \left( {1,2} \right)\) y que un punto suyo es \(\left( {0, - \dfrac{C}{B}} \right) = \left( {0,3} \right)\). Así obtenemos la ecuación vectorial \(\left( {x,y} \right) = \lambda \left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right)\), ecuación que ya habíamos deducido en su momento.


Para saber más puedes seguir este curso de geometría métrica plana en 10 sencillas lecciones.

Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


Leer más ...

Al-Juarismi

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos", cuyos autores son Fernando Álvarez, Óscar Martín y Cristóbal Pareja.

Bagdad, siglo VIII

Una nueva civilización se acaba de abrir paso en la historia. Arrancó de Arabia hace dos siglos a partir de innumerables tribus nómadas que fueron aglutinadas por la fe de un profeta y el magnetismo de un libro revelado. Hoy, aquel incipiente estado se ha expandido hacia el este mirando a Oriente. Y también ha conquistado Jerusalén y Damasco. Todo el norte de África incova ya al profeta, y también gran parte de la península Ibérica. El mundo musulmán se extiende ya dede la India hasta los Pirineos.

La dinastía Omeya, la fundadora, ha sido destronada por la Abasí. Tres nombres aparecen, tres califas: Al-Mansur, que ha fundado Bagdad y la ha hecho capital, en lugar de la antigua Damasco. Aquí erige la Casa de la Sabiduría, donde las ciencias comienzan a florecer. Al segundo califa, Harún al-Rashid, nos lo ha presentado Scheherezade en numerosas veladas de Las mil y una noches: «He llegado a saber que en tiempo del califa Harún al-Rashid vivía en la ciudad de Bagdad un hombre llamado Simbad...», comienza uno de sus relatos. Su reinado fue el periodo de mayor esplendor cultural, al decir de los historiadores. Por eso se evoca su nombre en cuentos y leyendas. Con el ardor de los pueblos que despiertan, se han traducido al árabe manuscritos griegos, sirios y persas. Pero es en el califatod de Al-Mamún, su hijo, cuando la fiebre traductora alcanza su cima. Llegan textos de la India, en sánscrito, que son de la civilización griega, fruto de las relaciones comerciales con el imperio bizantino. Bagdad hizo con la cultura clásica lo que haría la Escuela de Traductores de Toledo más adelante.Al-Mamún y un enviado de Bizancio. De la 'Crónica de Juan Skylitzes'

Gracias a estos tres califas benefactores —que el Clemente, el Misericordioso, conserve sus nombres— Bagdad tuvo tiempo suficiente para que sus mejores hijos —originarios de todos los confines del imperio— la convirtiesen en una nueva Alejandría. En esa misma época, Occidente, a pesar de estar unido por el latín, no supo preservar el legado científico clásico. La Iglesia fue la única institución que no se desintegró y que mantuvo cierto impulso intelectual en los monasterios. Pero el monje, incluso el más instruido, tendía en su erudición más al negocio de la salvación del alma que a la filosofía natural. Solamente hubo una tentativa de revivificación cultural con Carlomagno, con la reinstauración de un programa de estudio: el Trivium (gramática, retórica y dialéctica) y el Quadrivium (aritmética, geometría, astronomía y música), heredados de la antigüedad clásica. A pesar de ello, el interés por el saber había desaparecido en el mundo occidental.

Debemos, pues, volver a Bagdad, ya en el siglo IX. Es una ciudad culta y mágica. Aquí, ya se sabe, la gente cruza el Tigris volando sobre alfombras. Y se buscan piedras filosofales y elixires de eterna juventud, a la vez que se traduce a Euclides, se estudia el Almagesto de Ptolomeo y se copian las obras de Arquímedes. En esta ciudad desarrolló su labor creativa Al-Juarismi.Al-Juarismi (780 Uzbekistán - 850 Bagdad)

Al-Juarismi escribió un libro que habría de tener gran influencia posterior en Europa. El original árabe se ha perdido y lo conocemos por una copia latina del siglo XII: Algoritmi de Numero Indorum (El arte indio del cálculo de Al-Juarismi). Como se ve en el título, se ha latinizado el nombre del autor. De él derivará la palabra moderna algoritmo.

En el libro se describe pormenorizadamente el sistema indio de numeración, con los 10 dígitos —incluido el cero—, y basado, como hoy, en que el valor de cada cifra depende de su posición: en \(444\) cada \(4\) es diferente (\(4\) centenas, \(4\) decenas y \(4\) unidades). Se describen asimismo las reglas para realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Y esto es lo más importante, porque ha de recordarse que con el sistema romano se podían escribir números, sí, pero no había manera de calcular: la tarea de sumar era difícil, la de multiplicar solo era posible para los sabios y la de dividir... estaba reservada casi únicamente a los dioses. Hoy día, un niño necesita únicamente pronunciar las palabras mágicas de su tabla de multiplicar y un algoritmo, automático y obediente, proporciona el resultado.Margarita Philosophica (de Gregor Reisch)

No obstante, los nuevos métodos tardaron en implantarse y el antiguo sistema romano siguió usándose en Europa durante gran parte de la Edad Media. En la figura de la derecha se muestra, en el centro, a la musa de la aritmética; Boecio, a la izquierda, simbolizando la escritura decimal, sonríe por haber acabado una operación; a la derecha, el griego Pitágoras intenta hacer lo mismo con un ábaco, con poco éxito, según el pintor. La pintura, de 1508, evidencia que la supremacía de la escritura decimal posicional, frente a la romana, no era aún reconocida por todos en esa época.

'Al-Jabr' o el Álgebra

La obra más importante de Al-Juarismi lleva el impresionante título de Al-kitab al-muthasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala, que más o menos dice: Libro sobre el método de cálculo consistente en restaurar y equilibrar.

El titulo parece la expresión de un conjuro que hay que pronunciar, mientras se frota una vieja lámpara, para liberar un genio prisionero. Y en verdad así es, pues en el interior del libro, el genio nos revela las fórmulas —¿de alquimia?— para resolver las ecuaciones de primero y segundo grado. Lo hace a través de una colección de problemas de aritmética —sobre herencias, transacciones comerciales, etc.— que resuelve mediante ecuaciones.

Página de 'Al-Kitab al-muthasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala'La obra nos ha llegado en dos versiones, una árabe una traducción latina, llamda Liber algebrae et almucabala. Sorprende que la versión latina sea más completa. También hay que hacer notar que en esta se omite el prólogo, que sí aparece en la versión árabe. El lector puede imaginar el porqué: es una prudente forma de evitar las preceptivas loas a Mahoma y al Comendador de los Creyentes, a la sazón Al-Mamún. La palabra "álgebra" tiene su origen en al-jabr, presente en el título, que, en árabe, era un término médico: "restaurar y curar huesos fracturados". Esta palabrá pasó a Europa en su traducción latina a través de España y hoy es similar en todos los idiomas europeos.

Todavía pdemos encontrar un vestigio de este antiguo significado en nuestra lengua. En el diccionario de la Real Academia aparece esta acepción: "Arte de restituir los huesos dislocados. Y "algebrista" —en versión árabe— es lo mismo que "traumatólogo" —en versión griega—.

En el capítulo XV del Quijote se alude a la victoria del ingenioso hidalgo sobre el Caballero de los Espejos (que era en realidad el bachiller Sansón Carrasco):

[...] ufano y vanaglorioso iba Don Quijote por haber alcanzado vitoria de tan valiente caballero [...]

Del vencido caballero y de su escudero sigue narrando Cervantes que

[...] llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado [...]

Las ecuaciones

Al-Jabr proporciona un estudio exhaustivo de las ecuaciones de segundo y primer grado. Las clasifica en sesis tipos, que resuelve, con algoritmos —nunca mejor dicho— precisos. Pero, como dice él mismo, es necesario acudir a la geometría para demostrar el método. ¿Estará inspirándolo Arquímedes?

He aquí su clasificación después de haber transformado las ecuaciones hasta tener solo sumas (ninguna resta):

 \(ax^2=bx\) \(ax^2=c\)  \(bx=c\) 
 \(ax^2+bx=c\) \(ax^2+c=bx\)  \(bx+c=ax^2\) 

Las dos soluciones de cada ecuación se hallan completando cuadrados. Pero solo considera las positivas.

Hay que decir que la lectura es difícil, porque todavía no existe una notación sincopada (abreviada, simbólica) para los cálculos. Estos se describen con palabras. Incluso para los números usa su nombre en vez de su signo.

El lector puede combrobar por sí mismo cómo narra la resolución de la ecuación de segundo grado \(x^2+10x=39\).Texto de una edición del 'Al-Jabr' de 1968, donde se lee cómo resolver la ecuación x^2+10x=39

Y he aquí la justificación geométrica que aporta él mismo: la incógnita \(x\), la xai, está representada por el lado del cuadrado en blanco (obsérvese la figura de más abajo). Con ello transforma \(x^2\) en un área. Para conseguir otra área igual a \(10x\), descompone \(10\) en \(4\times2,5\) y añade los cuatro rectángulos de lados \(x\) y \(2,5\). Ya tenemos representado el primer miembro. A continuación añade los cuatro cuadrados de las esquinas y obtiene el cuadrado grande. Es decir:aljuarismi06\[x^2+10x+4\times2,5^2=39+4\times2,5^2\Rightarrow(x+5)^2=64\Rightarrow x+5=8\]

Un último ejemplo

Otra ecuación que se resuelve en el libro es \(x^2+21=10x\). Hoy, sin miedo a los negativos, la escribiríamos así \(x^2-10x+21=0\).

Nuestros estudiantes aprenden que cuando el coeficiente de la \(x\) es par, es decir, cuando tenemos \(ax^2+2b'x+c=0\), conviene expresar la fórmula que proporciona las raíces así: \(\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}\), pues con ella los cálculos se simplifican notablemente. En nuestro ejemplo queda: \(x=5\pm\sqrt{5^2-21}\). Pues bien, esta fórmula era conocida por Al-Juarismi. Dejemos que él hable:

La regla exige que tú reduzcas a la mitad el número [el coeficiente] de la \(x\), lo cual da \(5\). Multiplica este número por sí mismo y tienes \(25\). Resta \(21\) del cuadrado, y quedará \(4\). Extrae la raíz, de donde obtendrás \(2\), y sustrae este \(2\) de la mitad del número de la \(x\), o sea, de \(5\). Así te queda \(3\). Esta es la raíz que buscas...

De forma análoga, continúa dando la pauta para obtener la segunda raíz, que resulta ser \(7\). Y advierte inmediatamente de que si la resta que aparece en el radicando fuese cero, habría una sola raíz; y si esa resta no pudiera efectuarse, no habría solución: ¡discusión completa del discriminante!

Como los griegos, Al-Juarismi incluye difíciles demostraciones geométricas para sus reglas. Ello suscita nuestra admiración, pero la geometría no deja de lastrar aquí el advenimiento definitivo del lenguaje algebraico, ese que, pasado el tiempo, cobrará vida propia, pensará por nosotros y tomará las riendas del discurso. Habría que pasar mucho tiempo, empero, hasta que en Occidente las semillas de la India, Persia y Grecia, traídas por el viento del desierto árabe, germinasen definitivamente en el Renacimiento.

... y la justificación geométrica

El lector meticuloso habrá echado de menos el razonamiento dado por Al-Juarismi para la resolución de \(x^2+21=10x\). Helo aquí:aljuarismi07

1. Se traza un cuadrado de lado \(x\) y área \(x^2\) (arriba, a la izquierda).

2. Con un lado común al cuadrado, se traza un rectángulo de área \(21\) (arriba, a la derecha). El área del rectángulo conjunto resultante ha de ser, según la ecuación, igual a \(10x\), luego su base es \(10\).

3. Trazamos la mediatriz del segmento base de este gran rectángulo y formamos el nuevo cuadrado, grande, de lado \(5\). Formamos también un cuadrado interior al anterior de lado \(5-x\). Los dos rectángulos marcados con la letra \(A\) tienen las mismas dimensiones y, en consecuencia, la misma área.

4. El área del cuadrado de lado \(5\) puede ahora expresarse de dos formas:

\[5^2=21+(5-x)^2\Rightarrow 4=(5-x)^2\Rightarrow 2=5-x\Rightarrow x=3\]

Para encontrar la otra raíz, no seremos nosotros quienes privemos al conspicuo lector del placer de idear por sí mismo una figura adecuada...

Leer más ...

Expresiones infinitas y la razón áurea

Supongamos que nos piden hallar un valor de \(x\) igual al de las siguientes expresiones infinitas:

\[x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\quad(1)\]

\[x=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\quad(2)\]

Dicho de otra manera, queremos otra forma de escribir el valor de \(x\), pero no como una expresión infinita.

En el primer caso, precisamente por ser una expresión infinita, es fácil darse cuenta de que

\[x=\sqrt{1+x}\]

Entonces:

\[x^2=1+x\Rightarrow x^2-x-1=0\]

Y resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

Tenemos pues dos soluciones, una positiva, \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), y otra negativa, \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\). La solución negativa hay que descartarla pues claramente la expresión infinita es un número positivo. La solución positiva es el famoso número de oro, que se suele representar con la letra griea phi mayúscula:

\[\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Para la expresión \((2)\) (una fracción continua) tampoco es muy difícil darse cuenta de que se cumple la siguiente igualdad:

\[x=1+\frac{1}{x}\]

De donde:

\[x^2=x+1\Rightarrow x^2-x-1=0\]

Y se obtiene la misma ecuación de antes, es decir, con las mismas soluciones. Obviamente también hay que descartar la solución negativa pues la fracción continua es claramente positiva.

Por tanto, tanto la expresión infinita \((1)\) como la \((2)\) son iguales al número de oro \(\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Del número de oro no se habla por primera vez como número sino como razón. Euclides, en su obra "Elementos", dice que "una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor". Esta razón es exactamente igual a \(\Phi\). Veámoslo.

razon aurea 01

Supongamos que el punto \(C\) divide al segmento \(\overline{AB}\) en extrema y media razón, es decir:

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}\]

Para mayor comodidad llamaremos \(\overline{AC}=a\) y \(\overline{CB}=b\). Entonces la igualdad anterior se convierte en

\[\frac{a+b}{b}=\frac{b}{a}\]

Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad por \(ab\) se obtiene:

\[a(a+b)=b^2\Rightarrow a^2+ab=b^2\Rightarrow b^2-ab-a^2=0\]

La expresión \(b^2-ab-a^2=0\), la podemos ver como una ecuación donde la incógnita es \(b\). Resolviéndola tenemos que

\[b=\frac{-(-a)\pm\sqrt{(-a)^2-4\cdot1\cdot(-a^2)}}{2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\]

\[=\frac{a\pm\sqrt{5a^2}}{2}=\frac{a\pm a\sqrt{5}}{2}=\frac{a(1\pm\sqrt{5})}{2}\]

La solución positiva de esta ecuación es \(b=\dfrac{a(1+\sqrt{5})}{2}\), de donde

\[\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Es decir, \(\dfrac{b}{a}=\Phi\). La razón \(\dfrac{b}{a}\) se llama razón de oro o razón áurea. Y, naturalmente, la proporción \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{b}{a}\) (igualdad entre extrema y media razón), recibe el nombre de proporción de oro o proporción áurea.

Puesto que el número \(\Phi\) satisface la ecuación \(x^2-x-1=0\), entonces \(\Phi^2-\Phi-1=0\). Las expresiones infinitas del principio de este artículo se obtienen manipulando la igualdad anterior.

Para la primera expresión infinita tenemos:

\[\Phi^2-\Phi-1=0\Rightarrow\Phi^2=1+\Phi\Rightarrow\Phi=\sqrt{1+\Phi}\]

Sustituyendo ahora el valor de \(\Phi\) del interior de la raíz precisamente por el valor de \(\Phi\) anterior se tiene:

\[\Phi=\sqrt{1+\sqrt{\Phi+1}}\]

Sustituyendo así, de manera sucesiva, el último valor de \(\Phi\) por \(\sqrt{\Phi+1}\), obtenemos:

\[\Phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\]

Para la segunda expresión infinita procedemos de la siguiente forma (dividiendo todos los términos entre \(\Phi\)):

\[\Phi^2-\Phi-1=0\Rightarrow\Phi-1-\frac{1}{\Phi}=0\Rightarrow\Phi=1+\frac{1}{\Phi}\]

Sustituyendo el valor de \(\Phi\) del denominador precisamente por \(1+\dfrac{1}{\Phi}\), tenemos:

\[\Phi=1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\Phi}}\]

Evidentemente, sustituyendo de manera sucesiva:

\[\Phi=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\]

Los pitagóricos observaron que la relación entre la diagonal de un pentágono y su lado es igual a \(\Phi\). De ahí que los pitagóricos tuvieran como símbolo distinguido al pentagrama (que se obtiene trazando todas la diagonales de un pentágono).

razon aurea 02

Un ejemplo más es el rectángulo áureo. En los problemas 4 y 5 de este artículo se habla del rectángulo áureo y se da un método muy sencillo para su construcción. De hecho, la espiral áurea (que aparece, por ejemplo, en la concha del nautilus) está asociada a las propiedades geométricas del rectángulo áureo.

El número de oro \(\Phi\) tiene muchas, muchas propiedades. Además, se utiliza en arquitectura, escultura y pintura como canon de belleza, y aparece en la naturaleza más veces de las que nos podamos imaginar. El corto de Cristóbal Vila (gracias Cristóbal), "Nature by numbers", es una magnífica ilustración.

Cito también, por último, dos fenomenales libros sobre la proporción áurea.

Leer más ...

Interpretando ecuaciones e inecuaciones matemáticas con desmos

En el último examen de matemáticas que han realizado mis alumnos de 1º de Bachillerato (Matemáticas I, modalidad de Ciencias y Tecnología) les propuse, entre otras cosas, que resolvieran un par de ecuaciones, un sistema de ecuaciones no lineal, una inecuación con la incógnita en el denominador, y un sistema de inecuaciones. Si representamos cada una de ellas con una aplicación gráfica, en este caso con desmos, podremos interpretar gráficamente las soluciones. Vamos a verlo.

Las ecuaciones

La primera ecuación propuesta fue \(\dfrac{x+4}{x-3}-\dfrac{1-2x}{x^2-x-6}=0\). Si se resuelve se obtienen como soluciones \(x_1=-7\) y \(x_2=-1\). Representando gráficamente la función \(\dfrac{x+4}{x-3}-\dfrac{1-2x}{x^2-x-6}\) se obtiene la gráfica de más abajo. Se aprecia (hay que fijarse un poco, eso sí) que la gráfica corta al eje de abscisas o eje \(X\) en los puntos \(-7\) y \(-1\), soluciones de la ecuación.

desmos 02

La segunda ecuación que propuse fue una ecuación irracional, es decir, una ecuación cuya incógnita se encuentra bajo el símbolo radical: \(2\sqrt{x+1}-3\sqrt{4x-3}+3=0\). Su solución es \(x=3\). De nuevo, representando gráficamente la función \(2\sqrt{x+1}-3\sqrt{4x-3}+3\), se observa que la gráfica corta al eje \(X\) en el punto \(x=3\).

desmos 03

En este caso me gustaría resaltar que la gráfica, en la parte superior, empieza o está detenida (según la dibujemos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda), en un determinado punto. La coordenada \(x\) de este punto es, si nos fijamos bien, \(x=\dfrac{3}{4}=0,75\). Esto es porque una de las raíces de la ecuación original es \(\sqrt{4x-3}\). Sabemos que una raíz no tiene sentido si el radicando es menor que cero. En este caso \(4x-3<0\Leftrightarrow x<\dfrac{3}{4}\). Por eso, para puntos \(x\) menores que \(\dfrac{3}{4}\), desmos empieza a dibujar o no sigue dibujando. El radicando del otro radical que aparece en la ecuación es \(x+1\) y \(x+1<0\) si, y sólo si, \(x<-1\). Pero los puntos \(x\) menores que \(-1\) también lo son menores que \(\dfrac{3}{4}\) y quedan contenidos en la desigualdad. \(x<\dfrac{3}{4}\).

El sistema de ecuaciones

Se planteó también la resolución del sistema de ecuaciones \(\begin{cases}\displaystyle x+\frac{2}{y}=1\\ \displaystyle y+\frac{1}{x}=6\end{cases}\). Este s¡stema tiene dos parejas de soluciones: \(x_1=\dfrac{1}{2}\ \text{,}\ y_1=4\) ; \(x_2=\dfrac{1}{2}\ \text{,}\ y_2=3\). Para verlo gráficamente he seleccionado parte de las gráficas. La de color rojo corresponde a la primera ecuación, y la de color azul a la segunda.

desmos 04

La inecuación

La inecuación propuesta fue \(\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+1}>\dfrac{6}{5}\), cuya solución es, expresada en forma de intervalos, la siguiente: \(\left(-1\ ,\ -\dfrac{1}{3}\right)\cup(3\ ,\ 4)\). En la gráfica siguiente se ha representado la función \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{6}{5}\). Obsérvese que los "trozos" de gráfica que se encuentran por encima del eje \(X\), es decir, las soluciones de \(f(x)>0\), corresponden exactamente a la unión de los intervalos mencionados anteriormente.

desmos 05

El sistema de inecuaciones

El sistema de inecuaciones que se propuso en el examen fue \(\begin{cases}10-3x-x^2<0\\3x+5>-16\end{cases}\). Su solución es \((-7\ ,\ -5)\cup(2\ ,\ +\infty)\). En la gráfica se han representado las funciones \(f(x)=10-3x-x^2\) (una parábola) y \(g(x)=3x+5+16=3x+21\) (una recta). La solución del sistema se interpreta de la siguiente manera: son los trozos de ambas gráficas en los que simultáneamente es \(f(x)<0\) y \(g(x)>0\). Si se lanzan unas imaginarias líneas verticales que pasen por los puntos de corte con los ejes, se ve que esto ocurre exactamente en los intervalos solución del sistema.

desmos 06

Finalmente, para apreciar con mayor calidad visual todo lo comentado anteriormente puedes acudir a todas las gráficas en el siguiente enlace. En el panel de la izquierda están las ecuaciones (números 1 y 2), el sistema de ecuaciones (números 3 y 4), la inecuación (número 5) y el sistema de inecuaciones (números 6 y 7). Puedes seleccionar los números correspondientes en el citado panel para obtener una visualización adecuada de estas situaciones.

A modo de conclusión

Creo que es importante que los alumnos sepan asociar a las soluciones de una ecuación, de un sistema de ecuaciones, de una inecuación o de un sistema de inecuaciones, su visualización gráfica. Esto les ayudará también a relacionar dos partes de las matemáticas aparentemente disociadas para ellos: el álgebra y el análisis. Cuando hagan el estudio gráfico de una función rápidamente asociarán los puntos de corte con el eje de abscisas de la función \(y=f(x)\) con las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\). La resolución de ecuaciones tendrá un sentido gráfico. Muchas situaciones reales llevan asociados modelos matemáticos que, con la ayuda de una aplicación como desmos, se pueden representar gráficamente. A veces la ecuación asociada a este modelo gráfico es bastante difícil de resolver, pero la visualización de la gráfica ayudará a darse cuenta de que las soluciones de tal ecuación son los cortes con el eje \(X\).

Leer más ...
Suscribirse a este canal RSS

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas