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Movimiento en un plano vertical

Aceleración de la gravedad

Todos los cuerpos en caída libre cerca de la superficie terrestre, tienen una misma aceleración dirigida hacia el centro de la tierra, de magnitud

\[g=9,8\ \text{m/s}^2\]

Un cuerpo que cae en el vacío partiendo del reposo tiene una velocidad de \(9,8\ \text{m/s}\) al final del primer segundo, \(19,6\ \text{m/s}\) al final del siguiente segundo, y así sucesivamente. La rapidez de un cuerpo es mayor cuanto mayor es la distancia que ha descendido.

Un cuerpo en caída libre tiene la misma aceleración hacia abajo bien sea que parta del reposo, o posea inicialmente una velocidad en cualquier dirección.

La presencia del aire afecta el movimiento de los cuerpos que caen, en parte por el empuje y en parte por la resistencia del aire. Así en general, dos objetos diferentes que caen en el aire desde la misma altura no llegarán a tierra exactamente en el mismo tiempo. Debido a que la resistencia del aire aumenta con la velocidad, un cuerpo que cae alcanza finalmente una velocidad terminal que depende de su masa, tamaño y forma, y continuaría cayendo sin aumentar su velocidad.

Caída libre de los cuerpos

Cuando el empuje y la resistencia del aire pueden despreciarse, un cuerpo cae con la aceleración constante \(g\), y se pueden aplicar las fórmulas para movimiento uniformemente acelerado. Así, un cuerpo que se deja caer a partir del reposo tiene, despues de un tiempo \(t\), una velocidad

\[v=gt\]

y ha recorrrido una distancia vertical de

\[h=\frac{1}{2}gt^2\]

De la última ecuación vemos que

\[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

y, por consiguiente, la velocidad de un cuerpo y la distancia que ha recorrido en su caída mantienen la relación \(v=gt\), o

\[v=\sqrt{2gh}\]

Para que un cuerpo lanzado hacia arriba alcance una cierta altura \(h\), debe tener una velocidad inicial igual a la velocidad final de un cuerpo que cae desde esa altura, a saber, \(v=\sqrt{2gh}\).

Movimiento de proyectiles

En ausencia de resistencia del aire, un proyectil lanzado con una velocidad inicial \(v_0\) formando un ángulo \(\theta\) con la horizontal tiene un alcance de

\[R=\frac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta\]

El tiempo de vuelo es

\[T=\frac{2v_0\text{sen}\,\theta}{g}\]

En este artículo sobre usos de la trigonometría se puede ver la deducción de las fórmulas anteriores. Veamos algunos ejemplos de las situaciones descritas.

Problemas resueltos

Problema 1

Desde un puente se deja caer una piedra que golpea el agua \(2,5\) segundos más tarde. Hallar su velocidad final en metros por segundo y la altura del puente.


\[v=gt=9,8\cdot2,5=24,5\,\text{m/s}\]

\[h=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}\cdot9,8\cdot2,5^2=30,6\,\text{m}\]

Problema 2

Se deja caer un balón desde una ventana que se encuentra a \(19,6\) metros del piso. Determinar el tiempo que tarda en llegar al piso y su velocidad final.


Puesto que \(h=\dfrac{1}{2}gt^2\)

\[t=\sqrt{\frac{2g}{h}}=\sqrt{\frac{2\cdot19,6}{9,8}}=\sqrt{4}=2\,\text{s}\]

\[v=gt=9,8\cdot2=19,6\,\text{m/s}\]

Problema 3

¿Con qué velocidad inicial debe lanzarse hacia arriba un balón para que alcance una altura de 30 metros?


La velocidad inicial del balón debe ser igual a la velocidad que tendría después de haber descendido en caída libre desde la misma altura. Entonces

\[\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot9,8\cdot30}=\sqrt{588}=24,2\text{m/s}\]

Problema 4

Un balón se lanza hacia abajo con una velociad inicial de \(6\) metros por segundo. Determinar su velocidad al cabo de \(2\) segundos, y la distancia que recorre en esos \(2\) primeros segundos.


\[v=v_0+gt=6+9,8\cdot2=6+19,6=25,6\,\text{m/s}\]

\[s=v_0t+\frac{1}{2}gt^2=6\cdot2+\frac{1}{2}\cdot9,8\cdot2^2=12+19,6=31,6\,\text{m}\]

Problema 5

Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de \(6\) metros por segundo. Averiguar la magnitud y dirección de su velocidad al cabo de medio segundo, y la magnitud y dirección de su velocidad \(2\) segundos después del lanzamiento.


Consideramos la dirección haci arriba positiva (\(+\)), y hacia abajo negativa (\(-\)). Por tanto \(v_0=+6\,\text{m/s}\) y \(g=-9,8\,\text{m/s}^2\), de modo que

\[v=v_0+gt=6-9,8\cdot0,5=6-4,9=1,1\,\text{m/s}\]

que es positiva y por consiguiente está dirigida hacia arriba. Después de \(2\) segundos

\[v=v_0+gt=6-9,8\cdot2=6-19,6=-13,6\,\text{m/s}\]

que es negativa y por consiguiente está dirigida hacia abajo.

Problema 6

Un hombre se encuentra en un ascensor cerrado sin indicador de pisos y no sabe si el ascensor está parado, si sube o baja a velocidad constante. Intenta averiguarlo dejando caer desde una altura de \(1,80\) metros una moneda y midiendo el tiempo de caída con un cronómetro. ¿Qué tiempo mediría en cada caso?


Puesto que la moneda en el momento en que se suelta tiene exactamente la misma velocidad que el ascensor, este experimento daría el mismo tiempo de caída en cada caso, a saber

\[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot1,8}{9,8}}=\sqrt{0,367}=0,61\,\text{s}\]

Sin embargo, si el ascensor estuviera subiendo o bajando aceleradamente, el tiempo de caída sería respectivamente menor o mayor que éste.

Problema 7

Un avión que vuela horizontalmente a \(1500\) metros de altura, con una velocidad de \(500\) kilómetros por hora, deja caer una bomba. ¿Cuánto tiempo tarda la bomba en llegar a la tierra? ¿Qué distancia horizontal recorre la bomba durante su caída? ¿Cuál será su velocidad en el momento del impacto?


La velocidad horizontal de la bomba no afecta a su movimiento vertical (ver figura). La boma entonces llega a tierra en el mismo tiempo que una bomba que se deja caer a partir del reposo desde una altura de \(1500\) metros, es decir, después de un tiempo

\[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot1500}{9,8}}=\sqrt{306,12}=17,5\,\text{s}\]

movimiento plano vertical

La componente horizontal de la velocidad es, en metros por segundo

\[v_x=500\,\text{km/h}\cdot\frac{1000\,\text{m/km}}{3600\,\text{s/h}}=138,8\,\text{m/s}\]

En el tiempo \(t=17,5\,\text{s}\), la bomba recorrerá una distancia horizontal

\[s=v_0t=138,9\cdot17,5=2430,75\,\text{m}\]

La velocidad final de la bomba tiene la componente horizontal \(v_x=138,9\,\text{m/s}\), y la componente vertical

\[v_y=gt=9,8\cdot17,5=171,5\,\text{m/s}\]

Entonces la magnitud de la velocidad final es

\[v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{138,9^2+171,5^2}=220,7\,\text{m/s}\]

Problema 8

Un futbolista lanza el balón con una velocidad de \(10\,\text{m/s}\) y un ángulo de \(30^\text{o}\) sobre la horizontal. ¿A qué distancia debe colocarse el jugador que va a recibirla? Determinar el tiempo de vuelo.


La distancia es, según hemos visto en las fórmulas anteriores:

\[R=\dfrac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta=\dfrac{10^2}{9,8}\text{sen}\,60^\text{o}=8,84\,\text{m}\]

Y el tiempo de vuelo es:

\[T=\frac{2v_0\text{sen}\,\theta}{g}=\frac{2\cdot10\cdot\text{sen}\,30^\text{o}}{9,8}=1,02\,\text{s}\]

Problema 9

Se dispara un rifle de juguete con un ángulo de \(60^\text{o}\) sobre la horizontal. Si la velocidad inicial de la bala es de \(12\,\text{m/s}\), ¿qué distancia horizontal recorrerá? ¿Cuál es su tiempo de vuelo?


Este problema es prácticamente idéntico al anterior.

La distancia horizontal que recorrerá es:

\[R=\dfrac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta=\dfrac{12^2}{9,8}\text{sen}\,120^\text{o}=12,73\,\text{m}\]

Y el tiempo de vuelo es:

\[T=\frac{2v_0\text{sen}\,\theta}{g}=\frac{2\cdot12\cdot\text{sen}\,60^\text{o}}{9,8}=2,12\,\text{s}\]

Problema 10

Encontrar el ángulo de tiro de un proyectil para que su alcance sea máximo.


El alcance de un proyectil está dado por

\[R=\dfrac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta\]

El mayor valor que puede tener la función seno es \(1\). Puesto que \(\text{sen}\,90^\text{o}=1\), el alcance máximo se consigue cuando \(2\theta=90^\text{o}\), es decir, cuando \(\theta=45^\text{o}\). En este caso

\[R_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{g}\]

Problema 11

Determinar la mínima velocidad inicial que debe tener un proyectil para alcanzar un blanco colocado a \(160\,\text{km}\) del lugar de lanzamiento.


El alcance máximo de un proyectil de velocidad inicial \(v_0\) hemos visto que es \(R=\dfrac{v_0^2}{g}\). Despejando \(v_0\), tenemos \(v_0=\sqrt{Rg}\). Pasando los kilométros a metros del alcance, \(R=160\,\text{km}=160000\,\text{m}\), y aplicando la fórmula anterior, tenemos:

\[v_0=\sqrt{Rg}=\sqrt{160000\cdot9,8}=1252,2\,\text{m/s}\]

La velocidad anterior equivale, en kilómetros por hora, a (recuérdese que para pasar de metros por segundo a kilómetros por hora basta multiplicar por \(3600\) y dividir entre \(1000\)):

\[v_0=1252,2\cdot\frac{3600}{1000}=4507,92\,\text{km/h}\]

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