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Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Supongamos que me piden calcular una primitva de la función \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x+5}\). O lo que es lo mismo, me piden calcular la siguiente integral indefinida:

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx\]

Naturalmente intentaré descomponer la fracción \(\dfrac{1}{x^2-3x+5}\) en fracciones simples. Pero esto no es posible porque el polinomio \(x^2-3x+5\) no tiene raíces reales (al intentar resolver la ecuación de segundo grado el discriminante es menor que cero).

En estos casos se procede a utilizar una técnica conocida como "completar cuadrados". Veamos cómo funciona.

Se trata de escribir el polinomio \(x^2-3x+5\) como un cuadrado más una cierta cantidad. Es decir, tenemos que conseguir el polinomio \(x^2-3x+5\) "completando un cuadrado". Eso, como veremos, nos permitirá calcular la intergral indefinida.

Observemos que los coeficientes del polinomio \(x^2-3x+5\) son \(a=1\), \(b=-3\) y \(c=5\).

En un primer paso lo que haremos es multiplicar por \(4a\), que en este caso es \(4\). De este modo el polinomio se convierte en \(4x^2-12x+20\). Obsérvese que el primer término es el cuadrado de \(2x\). En general si multiplicamos por \(4a\) el primer término se convertirá en \(4a^2\) que es el cuadrado de \(2a\).

En un segundo paso vamos a sumar y a restar \(b^2\). En nuestro caso \(b^2=9\), con lo que tenemos \(4x^2-12x+9-9+20\). Esta última expresión la podemos escribir también así \((2x-3)^2+11\).

¿Qué hemos hecho? En realidad hemos escrito el polinomio de \(x^2-3x+5\) de otra manera:

\[x^2-3x+5=\frac{1}{4}(4x^2-12x+9-9+20)=\frac{1}{4}((2x-3)^2+11)\]

Ahora podemos escribir la integral indefinida así:

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx=\int\frac{1}{\frac{1}{4}((2x-3)^2)+11)}\,dx=4\int\frac{1}{(2x-3)^2+11}\,dx\]

Esta última integral la podemos retocar hasta conseguir resolverla:

\[4\int\frac{1}{(2x-3)^2+11}\,dx=4\int\frac{\displaystyle\frac{1}{11}}{\displaystyle\frac{(2x-3)^2}{11}+1}\,dx=\]

\[=\frac{4}{11}\int\frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)^2+1}\,dx=\frac{4}{11}\cdot\frac{\sqrt{11}}{2}\int\frac{\displaystyle\frac{2}{\sqrt{11}}}{\displaystyle\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)^2+1}\,dx\]

Por tanto

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx=\frac{2\sqrt{11}}{11}\cdot\text{arctg}\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)+C\]

Donde hemos utilizado que

\[\int\frac{f'(x}{f(x)^2+1}\,dx=\text{arctg}\,f(x)+C\]

En general si el polinomio \(ax^2+bx+cx\) no tiene raíces reales, es posible demostrar que

\[\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\cdot\text{arctg}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C\]

Puedes ver el desarrollo completo aquí.

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La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (UEM) es una universidad privada cuya oferta académica es muy variada. Los Grados Universitarios que se pueden estudiar estan relacionados con las siguientes áreas: Arquitectura y Edificación, Arte y Diseño; Artes Escénicas, Danza y Música; Biotecnología; Comunicación; Criminología; Deporte; Derecho; Educación; Empresa; Enfermería; Farmacia; Fisioterapia; Imagen, Animación y Videojuegos; Ingeniería Biomédica, Informática y Telecomunicaciones; Ingeniería Civil; Ingeniería Industrical y Aeroespacial; Lenguas y Traducción; Marketing y Dirección Comercial; Medicina; Odontología; Óptica y Optometría; Psicología; Relaciones Internacionales.

En cuanto a los grados relacionados con la opción de Ciencias e Ingeniería, se puede observar que el abanico es amplio con bastantes salidas al mundo profesional.

Los grados de ingeniería son muy interesantes, pudiéndose optar por Ingeniería Biomédica, en Sistemas de Telecomunicación, Informática, Civil, Aeroespacial en Aeronaves, Energía, Electrónica Industrial y Automática, Organización Industrial.

También se pueden hacer dobles grados, cuyo estudio garantizan una titulación con salidas profesionales prácticamente inmediatas.

Al finalizar el grado queda la posibilidad de cursar algún Máster, cuya oferta también es muy amplia. Para verlo puedes hacer clic aquí.

Puedes consultar la Web para obtener más información, en particular la parte de admisión y ayudas y becas universitarias.

Para poder alojarte recomendamos la residencia los arcos (http://www.residencialosarcos.com/).

Espero que esta información sea de ayuda a todos aquellos que queréis comenzar un grado en Madrid el curso próximo.

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