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Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión

Tanto en la educación secundaria obligatoria como en el bachillerato se habla poco de las sucesiones de números reales. Si acaso se dedica una unidad didáctica a las progresiones aritméticas y a las progresiones geométricas. Puesto que las sucesiones de números reales y, sobre todo, el concepto de convergencia para dichas sucesiones, son fundamentales para el estudio de las funciones reales de variable real, sobre todo en un primer curso universitario, vamos a desarrollar en este artículo los conceptos básicos relacionados con las sucesiones de números reales y con la convergencia de sucesiones dando, en este último caso, la definición más clásica de sucesión convergente y de límite de una sucesión. Intentaremos hacerlo con un lenguaje claro, sobre todo para que el alumno de bachillerato que se acerca a un grado de ciencias adquiera cierta familiaridad con estos nuevos conceptos.

Definición.

Si \(A\) es un conjunto no vacío, llamaremos sucesión de elementos de \(A\) a toda aplicación del conjunto \(\mathbb{N}\) de los números naturales en \(A\). En particular una sucesión de números reales es, por definición, una aplicación de \(\mathbb{N}\) en \(\mathbb{R}\).

Hemos de fijar nuestra atención en que para definir una sucesión de números reales basta con asociar a cada número natural un número real. Si para cada natural \(n\), \(x_n\) es un número real, notaremos \(\{x_n\}\) a la sucesión \(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(n)=x_n,\,\forall n\in\mathbb{N}\]

Así, por ejemplo, \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) es la sucesión \(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(n)=\frac{1}{n},\,\forall n\in\mathbb{N}\]

sucesión que asocia al número natural \(1\) el número \(\dfrac{1}{1}=1\), al número natural \(2\) el número \(\dfrac{1}{2}\), al número natural \(3\) el número \(\dfrac{1}{3}\), y así sucesivamente.

Al número real \(x_n\) se le llama  término n-ésimo de la sucesión \(\{x_n\}\). Es importante distinguir entre la sucesión \(\{x_n\}\) (que es una aplicación) y el conjunto \(\{x_n:n\in\mathbb{N}\}\) de sus términos (que es la imagen de la aplicación). Podemos pensar por ejemplo que las sucesiones \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) definidas por

\[x_1=0\ ,\ x_2=x_3=\ldots=1\]

\[y_1=1\ ,\ y_2=y_3=\ldots=0\]

son tales que \(\{x_n:n\in\mathbb{N}\}=\{y_n:n\in\mathbb{N}\}=\{0\,,1\}\) mientras que claramente \(\{x_n\}\neq\{y_n\}\).

Sucesiones convergentes

Definición.

Se dice que una sucesión \(\{x_n\}\) de números reales es convergente si existe un número real \(x\) con la siguiente propiedad: dado un número real y positivo \(\varepsilon\) arbitrario, siempre puede encontrarse un número natural \(m\) (que dependerá del \(\varepsilon\) elegido), tal que si \(n\) es cualquier natural mayor o igual que \(m\) se tiene \(|x_n-x|<\varepsilon\) (o equivalentemente \(x-\varepsilon<x_n<x+\varepsilon\), según las propiedades del valor absoluto). Dicho de otra forma, cualquiera sea \(\varepsilon\in\mathbb{R}^+\), todos los términos de la sucesión, salvo los correspondientes a un conjunto finito de naturales, están comprendidos entre \(x-\varepsilon\) y \(x+\varepsilon\), entendiéndose que dicho conjunto finito de números naturales dependerá en general del número positivo \(\varepsilon\) elegido.

En caso de que ocurra lo anterior, y queramos destacar el número \(x\) cuya existencia se afirma, diremos que \(\{x_n\}\) converge a \(x\) y escribiremos \(\{x_n\}\rightarrow x\). Así pues, simbólicamente:

\[\{x_n\}\rightarrow x\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|<\varepsilon\]

Merece la pena traducir a lenguaje común la definición de sucesión convergente y la simbología anterior. Lo que viene a decir es que, si una sucesión converge a un número real \(x\), todos los términos de la sucesión, a partir de uno dado, se encuentran tan cerca como queramos del número \(x\). Obsérvese que tal notación la podríamos traducir así: "decir que una sucesión es convergente a un número \(x\) es lo mismo que decir que, dado un número positivo cualquiera (por pequeño que este sea), la distancia entre infinitos términos de la sucesión y el número \(x\) es más pequeña que el número escogido". Como siempre, la notación matemática, a pesar de suponer en principio un pequeño "shock" al que la lee por vez primera, es fundamental para poder demostrar que una determinada sucesión es convergente, o para demostrar otras propiedades de las sucesiones convergentes como veremos en un artículo posterior.

Antes de ver algunos ejemplos concretos de sucesiones convergentes y no convergentes, es conveniente hacer una observación importante. Si una sucesión \(\{x_n\}\) es convergente, el número \(x\) al que converge la sucesión es único (o sea, una sucesión no puede converger a dos números distintos). Esto no es difícil de demostrar, pues si hubiera otro número real \(y\) al que la misma sucesión \(\{x_n\}\) también convergiera, tendríamos, según la condición anterior, que dado \(\varepsilon>0\) arbitrario, se cumplirían simultáneamente las dos siguientes condiciones:

\[\exists\,m_1\in\mathbb{N}:n\geqslant m_1\Rightarrow|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\]

\[\exists\,m_2\in\mathbb{N}:n\geqslant m_2\Rightarrow|y_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\]

Entonces, si tomamos \(n\geqslant m_1\) y \(n\geqslant m_2\) tenemos:

\[|x-y|=|x-x_n+x_n-y|\leqslant|x_n-x|+|x_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\]

de donde por ser \(\varepsilon\) un número positivo arbitrario deducimos que \(x=y\) (obsérvese que hemos utilizado esta otra propiedad del valor absoluto: \(|a+b|\leqslant|a|+|b|,\,\forall\,a,b\in\mathbb{R}\)).

Todo el razonamiento anterior nos permite introducir, por definición, el siguiente concepto.

Definición.

Si \(\{x_n\}\) es una sucesión de números reales que converge a un número real \(x\), diremos que \(x\) es el límite de la sucesión \(\{x_n\}\) y escribiremos \(\lim\,x_n=x\) como notación equivalente a \(\{x_n\}\rightarrow x\).

Ahora es el momento de ver algunos ejemplos concretos sobre el concepto de convergencia de una sucesión.

Ejemplo 1

Dado un número real y positivo \(\varepsilon\) cualquiera, el número \(\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\) es claramente natural (recuerda que, dado un número real \(x\), \(\text{E}(x)\) significa "parte entera de \(x\)"). Una de las propiedades de la parte entera nos asegura que \(\dfrac{1}{\varepsilon}<\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\). Pues bien, si escogemos el número natural \(m=\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\), ocurre que \(\dfrac{1}{\varepsilon}<m\), o lo que es lo mismo, \(\dfrac{1}{1/\varepsilon}>\dfrac{1}{m}\Rightarrow\dfrac{1}{m}<\varepsilon\). Por tanto, dado cualquier número natural \(n\in\mathbb{N}\) cumpliendo que \(n\geqslant m\), entonces \(\dfrac{1}{n}\leqslant\dfrac{1}{m}<\varepsilon\). Acabamos de demostrar que:

\[\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow\left|\dfrac{1}{n}-0\right|=\dfrac{1}{n}<\varepsilon\]

es decir, que la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) converge a \(0\): \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\rightarrow0\), o bien, \(\lim\,\dfrac{1}{n}=0\).

Ejemplo 2

Demostremos ahora que la sucesión \(\{n\}\) no es convergente. Razonaremos por reducción al absurdo. Si existiera \(x\in\mathbb{R}\) tal que \(\{n\}\rightarrow x\), entonces:

\[\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow x-\varepsilon<n<x+\varepsilon\]

pero esto es absurdo pues \(\mathbb{N}\) no está mayorado. Así pues la sucesión \(\{n\}\) no es convergente.

Ejemplo 3

La sucesión \(\{(-1)^n\}\) tampoco es convergente. Razonaremos también por reducción al absurdo. Supongamos que existiera \(x\in\mathbb{R}\) tal que \(\{(-1)^n\}\rightarrow x\). Entonces

\[\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow|(-1)^n-x|<\varepsilon\]

Ahora consideremos tres casos.

Caso 1. \(x=0\). Entonces \(|(-1)^n|<\varepsilon\Rightarrow 1<\varepsilon\), que es una contradicción pues \(\varepsilon\) es un número real y positivo arbitrario.

Caso 2. \(x>0\). En este caso cuando \(n\geqslant m\) sea impar tendremos que

\[|(-1)^n-x|=|-1-x|=|1+x|=1+x<\varepsilon\]

Luego \(1<1+x<\varepsilon\) y vuelve a haber una contradicción.

Caso 3. \(x<0\). En este caso cuando \(n\geqslant m\) sea par tendremos que

\[|(-1)^n-x|=|1-x|=1-x<\varepsilon\]

Esto es otra vez contradictorio pues si \(x<0\), entonces \(-x>0\) y \(1-x>1\).

Hemos demostrado pues que la sucesión \(\{(-1)^n\}\) no es convergente. Los términos de esta sucesión son \(\{-1,1,-1,1,-1,1,\ldots\}\). Obsérvese que si tomamos siempre \(n\) impar la sucesión se convierte en la sucesión \(\{-1\}\), constantemente igual a \(-1\); y que si tomamos siempre \(n\) par la sucesión se convierte en la sucesión \(\{1\}\), constantemente igual a \(1\). Ambas sucesiones son convergentes por ser constantes, la primera a \(-1\) y la segunda a \(1\). Esto no es ninguna tontería. Una sucesión \(\{x_n\}\) es constante si \(\{x_n\}=\{k\},\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), donde \(k\) es un número real cualquiera. Es muy fácil demostrar que \(\{x_n\}=\{k\}\rightarrow k\). Volviendo a lo anterior, \(\{(-1)^n\}\) no es convergente, pero contiene dos "subsucesiones" convergentes. El concepto de subsucesión o sucesión parcial de una sucesión lo veremos en otro artículo dedicado a las sucesiones convergentes y sus propiedades.

Ejemplo 4

Demostraremos finalmente que la sucesión \(\{x_n\}=\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}\) es convergente. Para poder demostrarlo deberemos de "intuir" el posible límite. El conjunto de los términos de esta sucesión es

\[\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,\ldots\}=\left\{1,\frac{4}{5},\frac{9}{11},\frac{16}{19},\frac{25}{29},\ldots\right\}\]

términos que, aparentemente, se "acercan" cada vez más al número \(1\) (lo que sugiere que éste sea el límite de la sucesión). Entonces debemos acotar la expresión \(|x_n-1|\). Para ello, como en el ejemplo número 1, dado un número real y positivo \(\varepsilon\) cualquiera, tomemos \(m=\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\). Ya hemos visto que \(\dfrac{1}{m}<\varepsilon\). Entonces, dado \(n\in\mathbb{N}\) cumpliendo que \(n\geqslant m\), tenemos:

\[|x_n-1|=\left|\frac{n^2}{n^2+n-1}-1\right|=\left|\frac{1-n}{n^2+n-1}\right|=\]

\[=\frac{n-1}{n^2+n-1}\leqslant\frac{n-1}{n^2-1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\]

Lo anterior demuestra que la sucesión \(\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}\) es convergente y que \(\lim\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}=1\).

 

El alumno de bachillerato advertirá que el cálculo del límite de la sucesión del ejemplo anterior se podría llevar a cabo usando las técnicas del cálculo de límite de funciones, es decir, calculando el límite cuando \(x\) tiende a "más infinito" de la función \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x^2+x-1}\):

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2+x-1}\]

Según las técnicas de cálculo de límites mencionadas rápidamente se sabe que el límite anterior es igual a 1 (límite en el infinito de una función racional en el que los grados de numerador y denominador coinciden: el límite es el cociente de los coeficientes líderes). Esto nos llevará, naturalmente, a pensar que \(\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}\rightarrow1\).

Pero es justo al contrario. Las técnicas de cálculo de límites de funciones reales de variable real se demuestran usando previamente el concepto de convergencia de una sucesión de números reales. De hecho, para definir el concepto de límite funcional, hemos de usar el concepto de sucesión convergente. Sin embargo, en el actual bachillerato, se aprende antes a calcular límites de funciones que de sucesiones, y ello sin ni siquiera conocer con cierto rigor el concepto de límite. Este artículo ha pretendido arrojar luz sobre el significado de límite en matemáticas. Y para ello, quizás lo más adecuado sea empezar por el concepto de sucesión convergente.


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Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa

Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real de variable real, así como en las operaciones con funciones, en particular de la composición de funciones y el concepto de función inversa de una función en el sentido de la composición de funciones.

En este artículo hablaremos sobre funciones y la terminología utilizada al respecto. Veremos las operaciones con funciones y nos detendremos en una operación fundamental: la composición de funciones.

Definición.

Llamaremos función real de variable real a toda aplicación \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) en que \(A\) es un conjunto no vacío de números reales. Diremos también que \(f\) es una función real definida en \(A\). Notaremos \(F(A,\mathbb{R})\) al conjunto de todas las aplicaciones de \(A\) en \(\mathbb{R}\).

Haremos notar que, por ser \(f\) una aplicación de \(A\) en \(\mathbb{R}\), para cada \(x\in A\) existe exactamente un valor \(y\) de \(f\) en \(x\), al que es costumbre llamar \(y=f(x)\). A veces, al número real \(x\) se le llama original, y al número real \(y=f(x)\) se le llama imagen de \(f\) en \(x\).

El conjunto \(A\) en el que \(f\) está definida se llama dominio de definición de \(f\), y escribiremos \(\text{Dom}\,f\). En ocasiones la visualización gráfica de una función real de variable real resulta muy útil. Dada una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) la gráfica de \(f\) es por definición el subconjunto de \(\mathbb{R}^2\) siguiente: \(\{(x,f(x))\ :\ x\in A\}\).

Definición.

En el conjunto \(F(A,\mathbb{R})\) podemos definir las operaciones suma y producto definidas de la siguiente forma. Si \(f,g\in F(A,\mathbb{R})\) definimos \(f+g,fg\in F(A,\mathbb{R})\) por

\[(f+g)(x)=f(x)+g(x),\ \forall\,x\in A\]

\[(fg)(x)=f(x)g(x),\ \forall\,x\in A\]

La suma de funciones tiene las mismas propiedades que la suma de números reales, precisamente porque, por definición, la  suma de dos funciones es la suma de dos números reales. Así, la suma de funciones es asociativa y conmutativa, tiene un elemento neutro, que es la función que vale cero en todo punto de \(A\) (función constantemente igual a cero en \(A\)), y si \(f\in F(A,\mathbb{R})\), el opuesto de \(f\) es la función \(-f:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \((-f)(x)=-f(x)\) (obsérvese que, en la igualdad anterior, el signo menos del primer miembro indica opuesto de la función \(f\), y el menos del segundo miembro indica opuesto del número real \(f(x)\)). Con estas propiedades, el conjunto \(F(A,\mathbb{R})\), con la operación suma de funciones, tiene estructura de grupo conmutativo, la misma estructura que el conjunto de \(\mathbb{R}\) de los números reales con la operación suma de números.

El conjunto \(F(A,\mathbb{R})\), con la operación producto, tiene elemento unidad: la función constantemente igual a 1 en \(A\). Además, es muy fácil comprobar que una función \(f\in F(A,\mathbb{R})\) tiene elemento inverso si, y solo si, \(f(x)\neq0\,,\forall x\in A\). En este caso, el elemento inverso de \(f\) es la función \(\dfrac{1}{f}:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(\dfrac{1}{f}(x)=\dfrac{1}{f(x)}\,,\forall x\in A\). Lo comprobaremos a continuación.

El elemento inverso para el producto de funciones hace el mismo papel que el inverso en el conjunto de los números reales para el producto de números. Recordemos que el inverso de un número real \(x\) distinto de cero es \(\frac{1}{x}\), porque al multiplicar ambos números obtenemos el elemento unidad para el producto de números reales, que es el número \(1\):

\[x\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1\]

En el caso del producto de funciones pasa exactamente lo mismo. Supongamos que \(f\in F(A,\mathbb{R})\) y que \(f(x)\neq0\,,\forall x\in A\). Entonces

\[\left(f\frac{1}{f}\right)(x)=f(x)\left(\frac{1}{f}\right)(x)=f(x)\frac{1}{f(x)}=\frac{f(x)}{f(x)}=1\,,\forall\,x\in A\]

Lo que demuestra que el producto de las funciones \(f\) y \(\dfrac{1}{f}\) es la función constantemente igual a \(1\). Hemos utilizado la definición de producto de funciones y el hecho, comentado anteriormente, de que todo número real distinto de cero tiene inverso para el producto de números reales.

Composición de funciones

Antes de definir el concepto de composición de funciones definamos la imagen por una función \(f\) de un conjunto \(A\) no vacío de números reales, así como el concepto de aplicación o función inyectiva.

Definición.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real definida en un conjunto no vacío \(A\) de número reales. La imagen de \(A\) por la función \(f\) es, por definición, el siguiente conjunto:

\[f(A)=\{f(x)=y\,:\,x\in A\}\]

A veces también nos referiremos simplemente a la imagen de \(f\), y escribiremos \(\text{Im}\,f\). Es decir:

\[\text{Im}\,f=\{f(x)=y\,:\,x\in\text{Dom}\,f\}\]

Como ejemplo consideremos la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2\,,\forall x\in\mathbb{R}\). En este caso es muy fácil deducir que \(f(\mathbb{R})=\text{Im}\,f=[0,+\infty)\).

Definición.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real definida en un conjunto no vacío \(A\) de número reales. Se dice que \(f\) es inyectiva si se cumple la siguiente propiedad:

\[f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\ , \forall x_1\,,x_2\in A\]

El concepto de función inyectiva viene a expresar que si \(x_1\) y \(x_2\) son elementos distintos de \(A\), entonces tienen imágenes distintas. La figura siguiente ilustra el concepto de función no inyectiva, porque hay dos elementos distintos de \(A\) que tienen la misma imagen.

composicion funciones 01

Otro ejemplo de función no inyectiva es la función considerada en el ejemplo anterior: \(f(x)=x^2\,,\forall x\in\mathbb{R}\). La razón es que elementos opuestos tienen la misma imagen, ya que \(x^2=(-x)^2\,,\forall x\in\mathbb{R}\).

Sin embargo la función \(f(x)=\dfrac{1}{x}\,,\forall x\in\mathbb{R}-\{0\}\), sí que es inyectiva pues

\[f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\Rightarrow x_1=x_2\,,\forall\,x_1\,,x_2\in\mathbb{R}-\{0\}\]

Una forma de pensar en funciones inyectivas es la siguiente: podemos "barrer" el plano \(\mathbb{R}^2\) mediante líneas paralelas al eje \(X\). Si alguna de estas líneas toca en más de un punto a la gráfica de \(f\), entonces \(f\) no es inyectiva.

Definición.

Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) y \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) son funciones reales de variable real y \(f(A)\subset B\), llamaremos composición de \(f\) con \(g\) a la función \(g\circ f:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \((g\circ f)(x)=g(f(x))\,,\forall x\in A\).

Como ejemplo sean las funciones \(f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-1}\) y \(g(x)=\sqrt{2x-1}\). Calculemos la composición de \(f\) con \(g\) y la composición de \(g\) con \(f\).

\[(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{2x-1})=\frac{\sqrt{2x-1}^2}{\sqrt{2x-1}^2-1}=\frac{2x-1}{2x-2}\]

\[(g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left(\frac{x^2}{x^2-1}\right)=\sqrt{2\left(\frac{x^2}{x^2-1}\right)-1}=\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2-1}}\]

Del ejemplo anterior se desprende que la composición de funciones no es conmutativa.

Definición.

Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es una función real de variable real que sea inyectiva, existe una única función \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) tal que \((g\circ f)(x)=x\,,\forall x\in A\). Dicha función \(g\) se llamará función inversa de \(f\) y se representará por \(f^{-1}\). Es importante no confundir \(f^{-1}\) con el elemento inverso de \(f\) en el conjunto \(F(A,\mathbb{R})\), supuesto que exista, que habíamos notado \(\frac{1}{f}\). Para evitar confusiones diremos que \(f^{-1}\) es la inversa de \(f\) en el sentido de la composición de aplicaciones.

Hemos de insistir en que para que una función tenga inversa respecto de la composición es imprescindible que sea inyectiva. Si no fuera así, una misma imagen \(f(x)\) podría tener más de un original, por lo que la aplicación inversa no sería una función: a un valor \(f(x)\) le correspondería más de un valor \(f^{-1}(f(x)))\).

La función \(i:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(i(x)=x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\) recibe el nombre de función identidad. La representación gráfica de la función identidad es una recta que pasa por el origen de coordenadas y divide a los cuadrantes primero y tercero en dos partes iguales: la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero. Por definición, la composición de una función \(f\) y su inversa \(f^{-1}\) es conmutativa y el resultado es la función identidad: \((f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x\). Abreviadamente \(f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=i\).

En general, el procedimiento para calcular la función inversa \(f^{-1}(x)\) de una función inyectiva \(f(x)\), es el siguiente:

  • Hacemos \(f(x)=y\).
  • Buscamos la expresión que proporciona \(x\) en función de \(y\).
  • A continuación, y para expresar la función hallada como cualquier otra función real de variable real, cambiamos \(y\) por \(x\), y \(x\) por \(f^{-1}(x)\).

Por ejemplo, para calcular la función inversa de \(f(x)=\dfrac{x+1}{3-2x}\), se procede del siguiente modo:

  • Hacemos \(y=\dfrac{x+1}{3-2x}\)
  • \(y(3-2x)=x+1\Rightarrow 3y-2xy=x+1\Rightarrow x(2y+1)=3y-1\Rightarrow x=\dfrac{3y-1}{2y+1}\)
  • \(f^{-1}(x)=\dfrac{3x-1}{2x+1}\)

Las gráficas de una función \(f\) y de su inversa \(f^{-1}\), son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, es decir, respecto de la gráfica de la función identidad. En la siguiente figura se puede observar que las dos ramas de la hipérbola \(f(x)=\dfrac{x+1}{3-2x}\) son claramente simétricas, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, de las respectivas ramas de la hipérbola \(f^{-1}(x)=\dfrac{3x-1}{2x+1}\).

composicion funciones 02

Hay funciones no inyectivas, como \(f(x)=x^2+1\), en las que se puede restringir el dominio para que sean inyectivas y poder calcular su inversa respecto de la composición. En este caso, si se restringe el dominio de \(f(x)=x^2+1\) a \([0,+\infty]\), cada valor del nuevo dominio sólo posee una imagen, por lo que la función inversa será: \(f^{-1}(x)=+\sqrt{x-1}\), con el signo positivo para evitar dos imágenes para un mismo valor de \(x\). La representación gráfica de ambas es la siguiente:

composicion funciones 03

En otro artículo veremos la relación entre derivación y composición de funciones, y deduciremos la conocida regla de la cadena, de uso extremadamente útil para el cálculo de derivadas de funciones.


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Problemas de matemáticas que se resuelven planteando ecuaciones

El álgebra, y en concreto las ecuaciones, son instrumentos que nos permiten resolver con facilidad muchos problemas que se plantean en la vida real. Aunque no existe una "receta mágica" para la resolución de problemas, sí que podemos sugerir unas técnicas y etapas para enfrentarnos a los problemas por difíciles que estos sean. Son las siguientes:

  1. Comprender el problema: identificar los datos y las incógnitas y buscar sus relaciones. Para ello se lee el enunciado con atención y se expresa en lenguaje algebraico.
  2. Trazar un plan para resolverlo: plantear la ecuación o ecuaciones que permitan resolver el problema. Esta etapa es fundamental, pues hemos de traducir los datos del problema a lenguaje algebraico.
  3. Poner en práctica el plan: resolver la ecuación o ecuaciones planteadas.
  4. Interpretar y comprobar los resultados: se interpreta la solución escribiéndola, en su caso, con las unidades correspondiente; y se comprueba si la solución tiene sentido en el contexto particular del problema.

Veamos algunos ejemplos típicos de resolución de problemas.

Ejemplo 1

Pedro tiene 14 años y su hermana Elisa, 3. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de Pedro sea el doble que la de su hermana?

Llamaremos \(x\) a los años que han de transcurrir. Cuando hallan transcurrido precisamente esos \(x\) años, la edad de Pedro será \(14+x\) y la edad de su hermana \(3+x\). En ese momento la edad de Pedro es el doble que la de su hermana, es decir:

\[14+x=2(3+x)\]

Resolviendo la ecuación anterior:

\[14+x=6+2x\Rightarrow x-2x=6-14\Rightarrow -x=-8\Rightarrow x=8\]

Por tanto, han de transcurrir 8 años para que la edad de Pedro sea el doble que la de su hermana. Fíjate que esta solución cumple con en el enunciado del problema pues cuando han pasado 8 años, Pedro tiene 22 años y su hermana 11, con lo que la edad de Pedro es el doble que la de su hermana.

Ejemplo 2

Una bodega quiere producir 400 litros de un vino nuevo que cueste 4,80 €/l ("euros el litro"). Para ello va a mezclar 2 tipos de vino, uno de 4,60 €/l y otro de 6,20 €/l. Averiguar cuántos litros de cada tipo de vino va a emplear en producir la nueva mezcla.

A veces es muy útil organizar los datos del problema en una tabla. Sobre todo en los problemas de este tipo en los que aparecen mezclas de algún tipo de producto.

   Cantidad (l) Precio (€/l) Coste 
Vino A \(x\) \(4,60\) \(4,6x\)
Vino B \(400-x\) \(6,20\) \(6,2(400-x)\)
Mezcla \(400\) \(4,80\) \(4,6x+6,2(400-x)\)

Ahora, como el coste de la mezcla es de 4,80 €/l, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[4,6x+6,2(400-x)=4,8\cdot400\]

Resolviéndola:

\[4,6x+2480-6,2x=1920\Rightarrow4,6x-6,2x=1920-2480\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-1,6x=-560\Rightarrow x=\frac{-560}{-1,6}\Rightarrow x=350\]

Por tanto debemos mezclar 350 litros de vino A y 50 litros de vino B. Obsérvese que 350 litros de vino A cuestan 1610 euros, y 50 litros de vino B cuestan 310 euros. La mezcla de los 400 litros cuesta entonces 1920 euros (400 litros a 4,8 euros el litro, tal y como se expresaba en el enunciado del problema).

Ejemplo 3

Desde una localidad sale un ciclista a las 10 horas con una velocidad de 22 km/h. Al cabo de una hora sale de la misma localidad otro ciclista con una velocidad de 30 km/h. Si ambos ciclistas son capaces de mantener de manera constante sus velocidades, ¿a qué hora alcanza el segundo ciclista al primero?

Tendremos en cuenta que, a velocidad constante, el espacio recorrido \(s\) es igual a la velocidad \(v\) por el tiempo transcurrido \(t\): \(s=vt\).

Llamemos \(t\) al tiempo que tarda el segundo ciclista en alcanzar al primero.

Cuando sale el segundo ciclista, el primero lleva recorridos ya 22 kilómetros (pues el segundo sale una hora después que el primero).

Con las consideraciones anteriores, tras el tiempo \(t\) que tarda el segundo en alcanzar al primero, la distancia recorrida por el primer ciclista es \(22+22t\) y la distancia recorrida por el segundo es \(30t\). Como la distancia recorrida por ambos hasta ese momento en que el segundo alcanza al primero es la misma, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[22+22t=30t\]

Resolviéndola:

\[22t-30t=-22\Rightarrow-8t=-22\Rightarrow t=\frac{-22}{-8}\Rightarrow t=2,75\]

Por tanto deben transcurrir 2,75 horas (2 horas y 45 minutos) para que el segundo ciclista alcance al primero.

Para comprobar que el resultado es correcto, observemos que, transcurridas 2,75 horas, el primer ciclista recorre \(22+22\cdot2,75=82,5\) kilómetros. El segundo, en el mismo tiempo, recorre también \(30\cdot2,75=82,5\) kilómetros. Por eso es justamente cuando pasan dos horas y tres cuartos cuando el segundo ciclista alcanza al primero.

Ejemplo 4

De un depósito de agua lleno se saca la mitad del contenido, y después, un tercio del resto. En el depósito quedan 200 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Llamemos \(x\) a la capacidad en litros del depósito. Como se saca la mitad, resulta que queda en el depósito la otra mitad, es decir, queda la mitad de \(x\): \(\dfrac{x}{2}\). Después se caca un tercio del resto, o sea, un tercio de esta mitad que ha quedado en el depósito:\(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{6}\).

En total hemos sacado pues \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{6}\) litros. Como quedan 200 litros dentro del depósito, la capacidad del depósito \(x\) es igual a lo que hemos sacado más los 200 litros que quedan dentro del mismo. Podemos entonces plantear la siguiente ecuación:

\[\frac{x}{2}+\frac{x}{6}+200=x\]

Resolviéndola:

\[3x+x+1200=6x\Rightarrow3x+x-6x=-1200\Rightarrow-2x=-1200\Rightarrow x=600\]

Por tanto, la capacidad del depósito es de 600 litros.

Veamos que este resultado es coherente con el enunciado. Primero sacamos la mitad, o sea, 300 litros, quedando dentro otros 300 litros. Ahora sacamos la tercera parte de 300 litros, que son 100 litros. Por tanto hemos sacado en total 400 litros. Esto quiere decir que dentro del depósito, tras las dos extracciones, quedan 200 litros, tal y como se expresaba en el enunciado.

Los problemas que se resuelven planteando ecuaciones se introducen ya en las matemáticas de primer ciclo de educación secundaria obligatoria. A continuación os dejo algunos enlaces más con problemas para resolver planteando ecuaciones.

Relación con 48 problemas que se resuelven planteando ecuaciones de primer grado. Nivel 1º de ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Relación con 42 problemas que se resuelven planteando ecuaciones de primer grado. Nivel 2º, 3º de ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Relación con ecuaciones, sistemas y problemas que se resuelven planteando una ecuación de primer grado o un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas. Nivel 4º ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Artículo sobre ecuaciones. El ejercicio 2 contiene cinco problemas de ecuaciones completamente resueltos.

 

 

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