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Elementos filtrados por fecha: Jueves, 26 Septiembre 2013

Notación científica y cifras significativas

 "Cuando se olvide a Esquilo, Arquímedes será todavía recordado, porque los lenguajes mueren, pero las ideas matemáticas no. Puede que inmortalidad sea una palabra tonta, pero probablemente un matemático tiene la mejor oportunidad de alcanzar lo que sea que signifique."

G. H. Hardy, en A Mathematician's Apology

En ocasiones hemos de utilizar números muy grandes, como la distancia en kilómetros de Saturno al Sol. O números muy pequeños, como el diámetro en cm. de un virus. El manejo de este tipo de números se simplifica utilizando potencias de \(10\), o notación científica. En esta notación, el número se escribe como el producto de un número mayor o igual que \(1\) y menor estrictamente que \(10\), y una potencia de \(10\). Por ejemplo:

  • \(100=10^2=1\cdot10^2\).
  • \(72\,900=7,29\cdot10\,000=7,29\cdot10^4\).
  • \(\displaystyle 0,0000000065=\frac{65}{10\,000\,000\,000}=65\cdot10^{-10}=6,5\cdot10^{-9}\).

El exponente entero al que está elevado la potencia de \(10\) recibe el nombre de orden de magnitud. Cuando los números son mayores que \(1\) el orden de magnitud es positivo. Por ejemplo, la distancia de Saturno al Sol, que es de \(1\,433\,000\,000\ \text{km}.\), se escribe en notación científica de la forma \(1,433\cdot10^9\ \text{km}.\) y el orden de magnitud de este número es \(9\).
vihCuando los números son menores que \(1\) el orden de magnitud es negativo. Por ejemplo, el diámetro un virión del virus de la inmunodeficiencia humana (VIH), causante del síndrome de inmunodeficiencia adquirida (SIDA), mide aproximadamente \(0,0000000009\ \text{m}.\), que en notación científica se escribe \(9\cdot10^{-10}\ \text{m}.\), y el orden de magnitud es, en este caso, igual a \(-10\). Se puede ver un corte de virus de la inmunodeficiencia humana en la imagen de la derecha (se ha "tomado prestada" del artículo dedicado al VIH en la Wikipedia).

Utilizando las propiedades de las potencias podemos multiplicar y dividir fácilmente con números dados en notación científica. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 1. Calcular, utilizando la notación científica, \(230\cdot9\,100\).

\[230\cdot9\,100=(2,3\cdot10^2)\cdot(9,1\cdot10^3)=(2,3\cdot9,1)\cdot(10^2\cdot10^3)=20,93\cdot10^5=2,093\cdot10^6\]

Obsérvese cómo, en el último paso, se ha hecho una pequeña rectificación para que el número que multiplica a la potencia de \(10\) esté comprendido entre \(1\) y \(10\), y así mostrar el resultado en notación científica.

Ejemplo 2. Calcular, utilizando la notación científica, \(\displaystyle \frac{3\cdot10^6}{1,5\cdot10^{-4}}\).

\[\frac{3\cdot10^6}{1,5\cdot10^{-4}}=\frac{3}{1,5}\cdot\frac{10^6}{10^{-4}}=2\cdot10^{6-(-4)}=2\cdot10^{10}\]

La suma o resta de dos números escritos en notación científica es ligeramente más delicada. Consideremos, por ejemplo,

\[3,24\cdot10^2+7,1\cdot10^{-1}=324+0,71=324,71=3,2471\cdot10^2\]

Para calcular esta suma sin expresar ambos números en su forma decimal ordinaria, basta con volver a escribirlos de forma que la potencia de \(10\) sea la misma en ambos.

En este caso podríamos expresar ambos números de forma que la potencia de \(10\) fuera igual a \(-1\):

\[3,24\cdot10^2+7,1\cdot10^{-1}=3\,240\cdot10^{-1}+7,1\cdot10^{-1}=\]

\[=(3\,240+7,1)\cdot10^{-1}=3\,247,1\cdot10^{-1}=3,2471\cdot10^2\]

O bien de forma que la potencia de \(10\) fuera igual a \(2\):

\[3,24\cdot10^2+7,1\cdot10^{-1}=3,24\cdot10^2+0,0071\cdot10^2=(3,24+0,0071)\cdot10^2=3,2471\cdot10^2\]

Es habitual, cuando se suman o restan números escritos en notación científica, escribirlos en el mayor de lo órdenes de magnitud que aparezca en dicha suma o en dicha resta.

Si los órdenes de magnitud son muy diferentes, uno de los números números será mucho mayor que el otro y frecuentemente pueden despreciarse en las operaciones de suma o resta. Por ejemplo:

\[2\cdot10^6+9\cdot10^{-3}=2\,000\,000+0,009=2\,000\,000,009\approx2\cdot10^6\]

En todo caso, tampoco es frecuente en la práctica, sumar o restar números de orden de magnitud muy diferente.

Muchos de los resultados que se manejan en la ciencia son el resultado de una medida y por tanto sólo se conocen con cierta incertidumbre experimental. La magnitud de este error depende de la habilidad del experimentador y del aparato utilizado y frecuentemente sólo puede estimarse. Se suele dar una indicación aproximada de la incertidumbre de una medida mediante el número de dígitos que se utilice. Por ejemplo, si decimos que la longitud de una mesa es de \(2,50\ \text{m}.\), queremos indicar que probablemente su longitud se encuentre entre \(2,495\ \text{m}.\) y \(2,505\ \text{m}.\) Si utilizamos un metro en el que se pueda apreciar el milímetro y medimos la longitud de la mesa cuidadosamente, podemos estimar que hemos medido esta misma longitud con una precisión de \(\pm0,5\ \text{mm}.\) en vez de \(\pm0,5\ \text{cm}.\) (véase el artículo dedicado a los números aproximados y a los errores, tanto absoluto como relativo, que se cometen al tomar los mismos como aproximación de un resultado o de una medida). Indicaríamos esta precisión utilizando cuatro dígitos, como por ejemplo \(2,503\ \text{m}.\), para expresar la longitud. Recibe el nombre de cifra significativa todo dígito (exceptuando el cero cuando se utiliza para situar el punto decimal) cuyo valor se conoce con seguridad. El número \(2,503\) tiene cuatro cifras significativas. El número \(0,00103\) tiene tres cifras significativas; los tres primeros ceros no son cifras significativas ya que simplemente sitúan el punto decimal. En notación científica, este número se escribiría \(1,03\cdot10^{-3}\). Un error muy común, sobre todo por el uso de las calculadoras, es arrastrar en el cálculo muchos más dígitos de los que en realidad se conocen. Supongamos, por ejemplo, que medimos el área de un recinto circular midiendo el radio en pasos y utilizando la fórmula del área \(A=\pi r^2\). Si suponemos que un paso equivale, aproximadamente a \(50\ \text{cm}.=0,5\ \text{m}.\) y estimamos que la longitud del radio es de \(16\) pasos, o sea, de \(8\ \text{m}.\), utilizando una calculadora de diez dígitos para determinar el valor del área, obtenemos

\[\pi8^2=201,0619298\ \text{m}.^2\]

Los dígitos situados detrás de la coma decimal no sólo dificultan el cálculo sino que inducen a confusión respecto a la exactitud con la que conocemos el área. Podríamos aproximar el resultado a \(201\ \text{m}.^2\), pero ni siquiera esto es cierto. Si se ha calculado el radio mediante pasos la exactitud de la medida será tan sólo de \(0,5\ \text{m}.\) Es decir, la longitud del radio tendrá como máximo un valor de \(8,5\ \text{m}.\) y como mínimo un valor de \(7,5\ \text{m}.\) Si la longitud del radio es de \(8,5\ \text{m}.\) el valor del área es

\[\pi(8,5)^2=226,9800692\ \text{m}.^2\]

Mientras que si la longitud del radio es de \(7,5\ \text{m}.\), el área vale

\[\pi(7,5)^2=176,7145868\ \text{m}.^2\]

Una regla general válida cuando se manejan diferentes números en una operación de multiplicación o división es que el número de cifras significativas del resultado no debe ser mayor que el menor número de cifras significactivas de cualesquiera de los números. En este caso sólo se conoce una cifra significativa del radio, por tanto sólo se conoce una cifra significativa del área. Esta debe expresarse como \(2\cdot10^2\ \text{m}.^2\). Si en lugar de medir el radio mediante pasos se utiliza un metro y se obtiene un valor de, por ejemplo, \(r=8,23\ \text{m}.\), el área se expresará con tres cifras significativas:

\[\pi(8,23)^2=2,13\cdot10^2\ \text{m}.^2\]

Es muy habitual que los libros de texto de carácter científico trabajen generalmente con tres o cuatro cifras significativas.

Cuando se llevan a cabo cálculos por aproximación o comparaciones, hay veces en que se redondea un número hasta una e incluso ninguna cifra significativa. Por ejemplo, la altura de un pequeño insecto, digamos una hormiga, puede ser de \(8\cdot10^{-4}\ \text{m}.\approx10^{-3}\ \text{m}.\) Diremos que el orden de magnitud de la altura de una hormiga es \(-3\) o de \(10^{-3}\ \text{m}.\) De igual modo, como la altura de la mayoría de las personas se encuentra próxima a \(2\ \text{m}.\), podemos redondear este número y decir que el orden de magnitud de la altura de una persona es \(0\) o de \(10^0\ \text{m}.=1\ \text{m}.\) Esto no quiere decir que la altura típica de una persona sea realmente de \(1\ \text{m}.\) sino que está más próxima a \(1\ \text{m}.\) que a \(10\ \text{m}.\) o \(10^{-1}=0,1\ \text{m}.\) Podemos decir que una persona típica es \(3\) órdenes de magnitud más alta que una hormiga típica, queriendo decir con esto que el cociente entre las alturas es aproximadamente \(10^3\).


Referencia bibliográfica:

TIPLER. Física. Ed. Reverte S. A.

Esta entrada participa en la edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

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