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Elementos filtrados por fecha: Jueves, 25 Abril 2013

Sobre la ecuación de tercer grado (I)

Extracto del libro "La ecuación jamás resuelta", de Mario Livio


Los babilónicos, los griegos y en particular los matemáticos hindúes del siglo VII, ya sabían resolver ecuaciones de segundo grado de varios tipos. De hecho, la solución de estas ecuaciones se estudia en tercer curso de matemáticas de la educación secundaria obligatoria como parte del álgebra elemental. La forma más general de la ecuación de segundo grado es:

\[ax^2+bx+c=0\ ;\ a,\,b,\,c\,\in\mathbb{R}\ ;\ a\neq0\]

La fórmula que permite obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado es:

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

De una manera análoga, la ecuación de tercer grado más general tiene la forma:

\[ax^3+bx^3+cx+d=0\ ;\ a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{R}\ ;\ a\neq0\]

El objetivo era encontrar una fórmula, parecida a la mostrada anteriormente para resolver la ecuación de segundo grado, que al sustituir \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) proporcionara las soluciones deseadas. Los antiguos babilónicos generaron algunas tablillas que les permitieron resolver unas pocas ecuaciones de tercer grado muy específicas y el poeta-matemático Omar Jayyam presentó una solución geométrica para unas pocas más en el siglo XII. En cualquier caso, la solución a la ecuación general de tercer grado supuso un reto para los matemáticos hasta el siglo XVI. Tres famosos algebristas florentinos, el Maestro Benedetto en el siglo XV y sus dos predecesores del siglo XIV, el Maestro Biaggio y Antonio Mazzinghi, destinaron considerables esfuerzos a la comprensión de las ecuaciones y sus soluciones. Pero sus esfuerzos resultaron ser insuficientes para la de tercer grado. El matemático del siglo XIV, Maestro Dardi de Pisa, también presentó ingeniosas soluciones para no menos de 198 tipos diferentes de ecuaciones, aunque no para la ecuación de tercer grado. Incluso el famoso pintor renacentista Piero della Francesca, que también fue un dotado matemático, realizó su contribución a los intentos para hallar una solución. Pese a éstos y otros valerosos esfuerzos, la respuesta continuó siendo evasiva.

Luca Pacioli (1445-1517) escribió una enciclopédica obra de seiscientas páginas que, al no estar escrita en latín, sino en un accesible italiano, fomentó muchísimo los estudios algebraicos. Aunque en esta obra, Pacioli concluye que «para las ecuaciones de tercer y cuarto grado, por el momento no ha sido posible formular reglas generales.» Pero en este punto, el sentido práctico dio paso a la ambición y ya nadie buscaba una solución a la ecuación de tercer grado con fines prácticos. Resolver la ecuación de tercer grado se había convertido en un desafío intelectual digno de consideración por los más privilegiados cerebros matemáticos.

Entonces aparece un modesto matemático de Bolonia, Scipione dal Ferro (1465-1526). Scipione era hijo de un fabricante de papel, Floriano, y de su esposa, Filippa. En el siglo que presenció la invención de la imprenta, la producción de papel se convirtió en una profesión envidiable. Se sabe poco de la juventud de Scipione y de lo que le motivó a estudiar matemáticas. Es probable que concluyera su educación en la Universidad de Bolonia. Esta prestigiosa institución, la universidad más antigua que continúa funcionando actualmente, fue fundada en 1088 y en el siglo XV se había labrado la reputación de ser una de las mejores de Europa. A finales del siglo XIV, las matemáticas entraron a formar parte del plan de estudios regular de Bolonia, y en 1450 el Papa Nicolás V añadió a la plantilla docente cuatro plazas de matemáticos. En 1496, dal Ferro se convirtió en uno de los cinco titulares conjuntos de la cátedra de matemáticas de la universidad. Diversas fuentes le describen como un gran algebrista, pero no ha sobrevivido el manuscrito original de ninguna de sus obras. Lo que sí es probable es que Scipione conociera a Luca Pacioli en 1501, cuando este último daba clases en Bolonia. Pacioli no fue exactamente un gran cerebro matemático, pero sí un espléndido comunicador de conocimientos matemáticos. Frustrado por su incapacidad para resolver la ecuación de tercer grado, Pacioli logró convencer a Scipione, que dominaba con gran destreza la manipulación de expresiones con raíces cuadradas y cúbicas, de que lo intentara. Alrededor de 1515, los esfuerzos de dal Ferro finalmente dieron sus frutos. Dio un enorme paso adelante logrando resolver la ecuación de tercer grado del tipo:

\[ax^3+bx=c\]

Aunque ésta no era la forma más general, abrió las puertas a los descubrimientos siguientes. Scipione dal Ferro no se apresuró a publicar su revelador resultado. Mantener los descubrimientos matemáticos en secreto fue bastante común hasta el siglo XVIII. Sin embargo, le comunicó la solución a su pupilo y yerno Annibale della Nave, y al menos a otro estudiante, el veneciano Antonio Maria Fiore. También expuso su método en un manuscrito que llegó a manos de su yerno tras la muerte de Scipione.

Continúa en "Sobre la ecuación de tercer grado (II)"

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