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Elementos filtrados por fecha: Septiembre 2016

Resolviendo ecuaciones e inecuaciones en las que aparece el valor absoluto

  • Publicado en ESO

Recordemos que el valor absoluto de un número real cualquiera \(x\) se define de la siguiente manera:

\[|x|=\begin{cases}x&\text{si}&x\geqslant0\\-x&\text{si}&x<0\end{cases}\]

En otro artículo hablábamos del valor absoluto y de sus propiedades, y en él ya se hizo referencia a la posibilidad de resolver algunas ecuaciones o inecuaciones utlizando estas propiedades. Aquí seremos más explícitos y resolveremos de hecho varias ecuaciones e inecuaciones concretas. En todo caso será bueno recordar que utilizaremos algunas de las propiedades del valor absoluto. Por supuesto, se da por hecho que se saben resolver ecuaciones e inecuaciones de primer y de segundo grado. En todo caso se recomienda la lectura de los siguientes artículos:

La ecuación con valor absoluto más sencilla es \(|x|=a\), donde \(a\) es un número real fijo mayor o igual que cero, pero arbitrario (si \(a<0\) la ecuación no tiene solución pues \(|x|\geqslant0,\,\forall x\in\mathbb{R}\)). Por la definición de valor absoluto, si \(x\geqslant0\), entonces \(|x|=x\) con lo que \(|x|=a\Rightarrow x=a\). Sin embargo, si \(x<0\), entonces \(|x|=-x\) con lo que \(|x|=a\Rightarrow -x=a\Rightarrow x=-a\). Hemos demostrado que \(|x|=a\Rightarrow\begin{cases}x=a\\x=-a\end{cases}\).

Así por ejemplo las soluciones de la ecuación |x|=3 son \(x=3\) y \(x=-3\).

Desde el punto de vista geométrico la ecuación \(|x|=a\) viene a decir que los únicos dos números reales cuya distancia al cero es igual a \(a\geqslant0\) son \(a\) y \(-a\).

La ecuación anterior se puede utilizar para resolver otras algo más complicadas.

Por ejemplo, sea la ecuación \(|3x-5|=8\). Usando lo que hemos demostrado anteriormente tenemos:

\[|3x-5|=8\Rightarrow\begin{cases}3x-5=8\Rightarrow3x=13\Rightarrow x=\frac{13}{3}\\3x-5=-8\Rightarrow3x=-3\Rightarrow x=-1\end{cases}\]

Resolvamos ahora la ecuación \(|x-1|=\dfrac{1}{|x+4|}\).

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por \(|x+4|\) obtenemos la ecuación equivalente \(|x-1||x+4|=1\) y como el valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos tenemos también, equivalentemente

\[|(x-1)(x+4)|=1\Rightarrow|x^2+3x-4|=1\Rightarrow\begin{cases}x^2-3x-4=1\\x^2-3x-4=-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2-3x-5=0\\x^2-3x-3=0\end{cases}\Rightarrow\]

\[\displaystyle\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}\\x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}\end{cases}\]

Es interesante observar la representación gráfica de las soluciones que de esta ecuación hace WolframAlpha.

Para resolver inecuaciones en las que aparecen valores absolutos usaremos, entre otras, la siguiente propiedad del valor absoluto:

\[|x|\leqslant a\Leftrightarrow-a\leqslant x\leqslant a\Leftrightarrow x\in[-a,a]\]

Es evidente que esta propiedad también se cumple si la desigualdad es estricta:

\[|x|<a\Leftrightarrow-a<x<a\Leftrightarrow x\in(-a,a)\]

De lo anterior se deduce que también es cierto que

\[|x|\geqslant a\Leftrightarrow x\leqslant-a\ \text{o}\ x\geqslant a\Leftrightarrow x\in(-\infty,a]\cup[a,+\infty)\]

\[|x|>a\Leftrightarrow x<-a\ \text{o}\ x>a\Leftrightarrow x\in(-\infty,a)\cup(a,+\infty)\]

Utilizando estas propiedades podemos resolver, por ejemplo, la inecuación \(|2x-7|\leqslant3\). Veámoslo.

\[|2x-7|\leqslant3\Leftrightarrow-3\leqslant2x-7\leqslant3\Leftrightarrow4\leqslant2x\leqslant10\Leftrightarrow2\leqslant x\leqslant5\Leftrightarrow x\in[2,5]\]

Hacemos hincapié en el interés que tiene observar la solución desde el punto de vista gráfico.

Naturalmente, si la inecuación fuera \(|2x-7|>3\) la solución sería \(x\in(-\infty,2)\cup(5,+\infty)\).

Resolvamos ahora la inecuación \(\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\right|<2\), en la cual hemos de aplicar la propiedad mencionada y luego proceder con especial cuidado.

\[\left|\frac{1}{2}-\frac{x}{3}\right|<2\Leftrightarrow-2<\frac{1}{2}-\frac{x}{3}<2\Leftrightarrow-2-\frac{1}{2}<-\frac{x}{3}<2-\frac{1}{2}\Leftrightarrow-\frac{5}{2}<-\frac{x}{3}<\frac{3}{2}\Leftrightarrow\]

Ahora recordemos que si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido, con lo que, en este caso, multiplicando todos los miembros por \(-3\), tenemos

\[\Leftrightarrow\frac{15}{2}>x>-\frac{9}{2}\Leftrightarrow-\frac{9}{2}<x<\frac{15}{2}\Leftrightarrow x\in\left(-\frac{9}{2},\frac{15}{2}\right)\]

Otra vez merece la pena observa la solución de la inecuación anterior desde el punto de vista gráfico.

Por supuesto, si la inecuación que tuviéramos que resolver fuera \(\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\right|\geqslant2\), la solución vendría dada por \(x\in\left(-\infty,-\dfrac{9}{2}\right]\cup\left[\dfrac{9}{2},+\infty\right)\).

Hay ocasiones en las que no queda más remedio que echar mano de la definición para resolver ciertas ecuaciones o inecuaciones en las que aparecen valores absolutos. Veamos un par de ejemplos.

Resolver la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\).

Por un lado tenemos que

\[|3-2x|=\begin{cases}3-2x&\text{si}&3-2x\geqslant0\\-(3-2x)&\text{si}&3-2x<0\end{cases}=\begin{cases}3-2x&\text{si}&x\leqslant\frac{3}{2}\\2x-3&\text{si}&x>\frac{3}{2}\end{cases}\]

Y por otro lado tenemos

\[|x-2|=\begin{cases}x-2&\text{si}&x-2\geqslant0\\-(x-2)&\text{si}&x-2<0\end{cases}=\begin{cases}x-2&\text{si}&x\geqslant2\\2-x&\text{si}&x<2\end{cases}\]

Como se puede observar, hay dos puntos digamos "críticos", el \(\frac{3}{2}\) y el \(2\). Podemos pues dividir la recta real en tres intervalos y considerar tres casos para resolver nuestra ecuación.

Si \(x\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(3-2x)+2-x=x\), ecuación de primer grado: \(6-4x+2-x=x\Rightarrow-6x=-8\Rightarrow x=\frac{4}{3}\). Como \(\frac{4}{3}\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\), entonces \(x=\frac{4}{3}\) es solución de la ecuación.

Si \(x\in\left(\frac{3}{2},2\right)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(2x-3)+2-x=x\), con lo que \(4x-6+2-x=x\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\).

Si \(x\in(2,+\infty)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(2x-3)+x-2=x\), con lo que \(4x-6+x-2=x\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2\).

Cuando una de las soluciones coincide con uno de los puntos críticos debemos decidir si es solución sustituyendo directamente en la ecuación:

\[2|3-2\cdot2|+|2-2|=2|3-4|+|0|=2|-1|+0=2\cdot1=2\]

Observamos que la ecuación se cumple para \(x=2\), con lo que este valor es solución de la ecuación. Resumiendo, las soluciones de la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) son \(x=\frac{4}{3}\) y \(x=2\).

Resolvamos por último la inecuación de la imagen que encabeza este artículo: \(|4-x|+|2x-5|>7-x\). Para ello procederemos como en el ejercicio anterior.

Por un lado

\[|4-x|=\begin{cases}4-x&\text{si}&4-x\geqslant0\\-(4-x)&\text{si}&4-x<0\end{cases}=\begin{cases}4-x&\text{si}&x\leqslant4\\x-4&\text{si}&x>4\end{cases}\]

Por otro lado

\[|2x-5|=\begin{cases}2x-5&\text{si}&2x-5\geqslant0\\-(2x-5)&\text{si}&2x-5<0\end{cases}=\begin{cases}2x-5&\text{si}&x\geqslant\frac{5}{2}\\5-2x&\text{si}&x<\frac{5}{2}\end{cases}\]

Decidamos ahora intervalo por intervalo teniendo en cuenta que ahora los puntos críticos son \(\frac{5}{2}\) y \(4\).

Si \(x\in\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)\), la inecuación queda así: \(4-x+5-2x>7-x\). Resolviéndola tenemos \(-2x>-2\Rightarrow x<1\Rightarrow x\in(-\infty,1)\). Como \(\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)\cap(-\infty,1)=(-\infty,1)\), entonces el intervalo \((-\infty,1)\) es solución de la inecuación.

Si \(x\in\left(\frac{5}{2},4\right)\), la inecuación queda así: \(4-x+2x-5>7-x\). Resolviéndola tenemos \(2x>8\Rightarrow x>4\Rightarrow x\in(4,+\infty)\). Como \(\left(\frac{5}{2},4\right)\cap(4,+\infty)=\emptyset\), este caso no aporta soluciones a nuestra inecuación.

Finalmente, si \(x\in(4,+\infty)\), la inecuación es \(x-4+2x-5>7-x\) que, resolviéndola, queda \(4x>16\Rightarrow x>4\Rightarrow x\in(4,+\infty)\). Por tanto, en este caso el intervalo \((4,+\infty)\) es solución de la inecuación.

Resumiendo, las solución de la inecuación \(|4-x|+|2x-5|>7-x\) la podemos escribir así: \((-\infty,1)\cup(4,+\infty)\).

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Funciones polinómicas

Una función polinómica, como su nombre indica, está definida mediante un polinomio, es decir:

\[f(x)=a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\]

Es fácil darse cuenta de que el dominio de una función polinómica es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, ya que tiene sentido sustituir la variable \(x\) por cualquier número real para obtener su imagen \(f(x)\). O sea, si \(f\) es una función polinómica, entonces \(\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}\).

No hay ningún problema tampoco en admitir que toda función polinómica es continua, es decir, su gráfica se puede dibujar "sin levantar el lápiz del papel". Desde el punto de vista matemático esto quiere decir que el límite de la función en todo punto es igual que la imagen de la función en ese punto. Simbólicamente, si \(f\) es una función polinómica y \(a\in\mathbb{R}\), entonces

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\]

Casos particulares de funciones polinómicas son la función lineal y la función cuadrática.

Nos planteamos el problema de dibujar la gráfica de una función polinómica. Puesto que un polinomio de grado \(n\) tiene a los sumo \(n\) raíces reales, toda función polinómica cortará, a lo sumo, en \(n\) puntos al eje \(X\). Hallar estos puntos de corte no es nada fácil si el polinomio es de grado mayor o igual que tres. Pero sí afirmaremos que toda función polinómica de grado \(n\) se "dobla" o se "pliega" a lo sumo, \(n-1\) veces. Además, el punto de corte con el eje \(Y\) siempre será \((0,a_0)\), donde \(a_0\) es el término independiente del polinomio. Por otro lado, todas las funciones polinómicas se comportan de manera similar en el infinito, ya que:

\[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}a_nx^n=\pm\infty\]

Lo anterior quiere decir que, si dibujásemos la gráfica de una función polinómica de izquierda a derecha, la misma procedería de más o menos infinito y se alejaría hacia más o menos infinito. Es decir, las funciones polinómicas presentan ramas infinitas en más o menos infinito. ¿Qué hacen "entre medias"? Bueno, pues dependiendo del número de veces que "toquen" al eje \(X\) y del número de máximos o mínimos relativos que posean, tendrán comportamientos diversos. Veamos algunos ejemplos.

La función polinómica de grado tres más sencilla es \(f(x)=x^3\), que corta al eje \(X\) únicamente en el origen de coordenadas. Además, es una función impar pues \(f(-x)=-f(x)\), lo que quiere decir que es simétrica respecto del origen de coordenadas. Es fácil obtener su gráfica:

funcion polinomica 01

Obsérvese que la función "procede" de menos infinito y se "dirige hacia" más infinito ya que, respectivamente, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3=+\infty\).

Hagamos otro ejemplo. Consideremos la función \(f(x)=-3x^3+2x\). En este caso es fácil hallar los puntos de corte con los ejes:

\[-3x^3+2x=0\Leftrightarrow x(-3x^2+2)=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0,816\\x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\approx-0,816\end{cases}\]

Además

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x^3)=+\infty\]

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x^3)=-\infty\]

De lo anterior deducimos que la función procede de más infinito, corta al eje \(X\) en \(-0,816\), \(0\), \(0,816\); y se escapa hacia menos infinito. Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que es de grado tres, tendrá que "doblarse" dos veces y podremos dibujar aproximadamente su gráfica. De hecho la gráfica es la siguiente:

funcion polinomica 02

Consideremos por último la función polinómica \(f(x)=-2x^6-x^5+x^4-2x^3+2x+1\). ¿Qué podemos decir de ella? Primero, que procede de menos infinito y se dirige también hacia menos infinito ya que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=-\infty\). Segundo, que pasa por el punto \((0,1)\). Y tercero, que de lo anterior se deduce que debe cortar al eje \(X\) en, al menos, dos puntos. Lógico, ¿no? De hecho corta al eje \(X\) en, exactamente, dos puntos, pues la ecuación \(-2x^6-x^5+x^4-2x^3+2x+1=0\) tiene exactamente dos soluciones reales (WolframAlpha se encarga de facilitarnos el trabajo). La gráfica queda así:

funcion polinomica 03

El teorema de los ceros de Bolzano y el estudio de la monotonía y de los extremos de una función polinómica usando las derivadas (contenidos que se aprenden en 2º de Bachillerato), nos permitirá dibujar con ciertas garantías las funciones polinómicas de grado tres, incluso de grado cuatro. Para las funciones polinómicas de grado superior no podremos sino atisbar cómo podría ser su gráfica usando los métodos anteriores y haciendo una tabla de valores lo suficientemente grande. Menos mal que disponemos de potentes programas de representación gráfica de funciones para visualizar cualquier función polinómica, por ejemplo, desmos, con el que se han hecho las gráficas que aparecen en este artículo. Esto, en mis tiempos de estudiante de Bachillerato era, sencillamente, imposible.

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