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La existencia de los números irracionales

En las matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria se presentan los números irracionales como aquellos que no son racionales, es decir, aquellos que no se pueden poner en forma de fracción. Como es muy habitual hablar de la expresión decimal de una fracción (que es o bien decimal exacta o bien decimal periódica), se dice también de los irracionales que tienen una expresión decimal infinita no periódica, o sea, que tienen infinitas cifras decimales que no forman período. De este modo, es fácil construir números de este tipo, por ejemplo:

\[1,234567891011121314151617181920...\quad;\quad0,10011000111000011110000011111...\]

Sin embargo, el ejemplo clásico de número irracional es la raíz de dos. Vamos, el número cuyo cuadrado es dos. En las matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria se da por hecho que es un número irracional, es decir, un número con infinitas cifras decimales que no forman período. Una calculadora cualquiera da una aproximación de la raíz de dos con bastantes cifras significativas.

Dedicaremos nuestro esfuerzo en este artículo a ir un poco más allá: demostraremos que, efectivamente, no hay ningún número racional cuyo cuadrado sea dos y, a partir de ahí, nos preguntaremos por la existencia de los números irracionales. Es decir, no daremos por hecho que todo número que no sea racional es un número real, sino que lo demostraremos. Es la manía de los matemáticos de demostrar las cosas, siempre que se pueda. Y se puede.

Ya habíamos comentado en un artículo anterior, dedicado al axioma del supremo, que una consecuencia de tal axioma es que nos permitirá probar la existencia de números irracionales. Es decir, de números reales que no son racionales (o, más comúnmente, que no son fracciones). Recordemos que el conjunto \(\mathbb{Q}\) de los racionales se define de la siguiente forma:

\[\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}\ :\ p\in\mathbb{Z}\ ,\ n\in\mathbb{N}\right\}\]

Recordemos también que fuimos capaces de demostrar que no existe ningún número racional cuyo cuadrado es dos. De todos modos volveremos a demostrarlo a continuación.

Para ello supongamos, razonando por reducción al absurdo, que existe \(x\in\mathbb{Q}\) tal que \(x^2=2\), es decir, que \(x=\dfrac{m}{n}\), donde \(m\) y \(n\) son naturales y que la fracción \(\dfrac{m}{n}\) es irreducible, es decir, una fracción en la que \(\text{mcd}(m,n)=1\) (tomar una fracción irreducible no limita la demostración, ya que si no lo fuera habría otra fracción equivalente que sí que lo sería y podríamos tomar esta última como la fracción cuyo cuadrado sea dos, objeto de nuestra demostración). Completemos ahora la demostración:

\[x=\frac{m}{n}\Rightarrow x^2=\left(\frac{m}{n}\right)^2\Rightarrow 2=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2n^2\]

De lo anterior deducimos que \(m^2\) es par (el doble de cualquier número siempre es par), con lo que \(m\) también es par (¿te atreves a demostrar que si el cuadrado de un número natural es par entonces el número en cuestión también lo es?) Por tanto existe \(k\in\mathbb{N}\) tal que \(m=2k\). Sustituyendo tenemos:

\[\left(2k\right)^2=2n^2\Rightarrow 4k^2=2n^2\Rightarrow2k^2=n^2\]

De la misma forma que anteriormente, deducimos ahora que \(n^2\) es par y que, por tanto, \(n\) también lo es. Hemos demostrado entonces que \(m\) y \(n\) son ambos números pares, pero esto entra en contradicción con el hecho supuesto de que la fracción \(\dfrac{m}{n}\) sea irreducible, pues siendo tanto \(m\) como \(n\) números pares la fracción se podría reducir aún más (dividiendo entre dos).

La contradicción anterior demuestra que \(x\) tal que \(x^2=2\) no es racional. Debemos suponer que será un número, pero no racional. Tenemos entonces, presumiblemente, el derecho a suponer que hay números reales que no son racionales, es decir, que "esa cosa" cuyo cuadrado es dos es de verdad un número pero no racional\(\ldots\) Aclaremos esto un poco más e intentemos seguir el razonamiento (ya, ya sé que los matemáticos somos un poco retorcidos). A ver, el conjunto \(\mathbb{Q}\) de los números racionales tiene la misma estructura que el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales: es un cuerpo ordenado conmutativo. Es decir, que los conjuntos \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{Q}\) serían indistinguibles, incluso podrían ser el mismo. Esto, de momento, nos obliga a no poder afirmar la existencia de números reales que no sean racionales. Puesto que hemos encontrado "algo" que no es racional, debemos demostrar que realmente es un número real, es decir, que existen números irracionales, o lo que es lo mismo, números reales que no son racionales. Sólo podremos hacerlo con la ayuda del axioma del supremo (de aquí se explica la necesidad de introducir este último axioma para completar la estructura del conjunto de los números reales).

Demostremos pues la existencia de números irracionales. Hemos de insistir en que la demostración hace uso del axioma del supremo y, además, hace uso de las desigualdades de una forma bastante técnica. Pero merece la pena intentar seguirla. Es, por tanto, fundamental leer y comprender con claridad todo lo que se dijo antes y después de enunciar el axioma del supremo, en el artículo dedicado al mismo y ya mencionado en más de una ocasión, pues se hará uso con profusión de todo ello.

Finalmente, aprovecharemos también para demostrar otro par de resultados que demostrarán la abundancia de racionales e irracionales y nos harán reflexionar sobre si hay más irracionales que racionales.

Proposición.

Existe un número real y positivo \(\alpha\) tal que \(\alpha^2=2\).

Sea \(A=\{x\in\mathbb{R}_0^+\ :\ x^2<2\}\). Un inciso: \(\mathbb{R}_0^+\) es la semirrecta \([0,+\infty)\). \(A\) es no vacío (\(1\in A\)) y si \(x\in A\) tenemos \(x^2<2<2^2\) de donde usado que \(x\geqslant0\) se deduce fácilmente que \(x<2\). Por tanto \(A\) está mayorado; sea \(\alpha=\sup A\). Claramente \(\alpha\geqslant1\) y queda probar que \(\alpha^2=2\).

Sea \(n\) un natural arbitrario. Como \(\alpha+\dfrac{1}{n}>\alpha\), tenemos que \(\alpha+\dfrac{1}{n}\notin A\), esto es

\[2\leqslant\left(\alpha+\frac{1}{n}\right)^2=\alpha^2+\frac{2\alpha}{n}+\frac{1}{n^2}\leqslant\alpha^2+\frac{2\alpha+1}{n}\]

obteniéndose

\[\frac{2-\alpha^2}{2\alpha+1}\leqslant\frac{1}{n}\]

Por otra parte, al ser \(\alpha-\dfrac{1}{n}<\alpha\) tenemos, por definición de supremo, que existe \(x\in A\) verificando que \(\alpha-\dfrac{1}{n}<x\), pero como \(\alpha-\dfrac{1}{n}\geqslant0\) también se tiene que \(\left(\alpha-\dfrac{1}{n}\right)^2<x^2\) y por tanto que \(\left(\alpha-\dfrac{1}{n}\right)^2<2\). Así pues

\[2>\left(\alpha-\dfrac{1}{n}\right)^2=\alpha^2-\frac{2\alpha}{n}+\frac{1}{n^2}>\alpha^2-\frac{2\alpha}{n}\]

de donde \(\dfrac{\alpha^2-2}{2\alpha}<\dfrac{1}{n}\) y con mayor motivo

\[\frac{\alpha^2-2}{2\alpha+1}<\frac{1}{n}\]

En resumen, si notamos \(\beta=\dfrac{|\alpha^2-2|}{2\alpha+1}\), se tiene \(\beta\leqslant\dfrac{1}{n}\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}\). Si fuese \(\beta\neq0\) existiría, por el principio de Arquímedes, un natural \(n_0\) tal que \(\dfrac{1}{\beta}<n_0\), es decir, \(\beta>\dfrac{1}{n_0}\), lo que es una contradicción. Así pues \(\beta=0\) y \(\alpha^2=2\).

Puesto que, tal y como hemos demostrado más arriba, no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea \(2\), deducimos que el número real \(\alpha\), que aparece en la proposición anterior, es un real no racional, es decir, un irracional.

Si tenemos en cuenta que la suma de un racional y un irracional es irracional y que el producto de un racional no nulo por un irracional es también irracional (¿serías capaz de comprobar ambas afirmaciones?: ánimo no es difícil), la abundancia de números irracionales está asegurada; de hecho se tiene el siguiente resultado al respecto, en el que se demuestra que hay siempre un irracional entre dos números reales, por cerca que estos dos últimos se encuentren.

Proposición

Dados dos números reales, \(x\) e \(y\), verificando \(x<y\), existe siempre un número irracional \(\beta\) tal que \(x<\beta<y\).

Si uno de los números es racional y el otro irracional, basta tomar \(\beta=\dfrac{x+y}{2}\). Si los dos son irracionales sea \(z=\dfrac{x+y}{2}\); puede ocurrir que \(z\) sea irracional, y bastará tomar \(\beta=z\), o que \(z\) sea racional, en cuyo caso tomaremos \(\beta=\dfrac{x+z}{2}\). Queda considerar el caso en que \(x\) e \(y\) son racionales. Sea \(\alpha\) el número racional dado por la proposición anterior. Puesto que \(1<\alpha\) se tiene \(0<\dfrac{1}{\alpha}<1\), y basta tomar \(\beta=x+\dfrac{y-x}{\alpha}\).

A pesar de la abundancia de irracionales, igualmente, demostraremos que también hay un racional entre dos reales cualesquiera o equivalentemente, que todo número real puede "aproximarse" por racionales.

Teorema (Densidad de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\)).

Dados dos números reales, \(x\) e \(y\), verificando \(x<y\), existe un número racional \(r\) tal que \(x<r<y\).

Supongamos primeramente que \(0\leqslant x\). Por el Principio de Arquímedes existe un natural \(n_0\) tal que \(1<n_0(y-x)\) y por tanto \(\dfrac{1}{n_0}<y-x\). Sea \(m_0=\min\{m\in\mathbb{N}\ : \ n_0x<m\}\) (por el propio Principio de Arquímedes el conjunto \(\{m\in\mathbb{N}\ : \ n_0x<m\}\) es no vacío y por el principio de buena ordenación de los naturales tiene mínimo). Veamos que \(m_0-1\leqslant n_0x\). Si \(m_0\neq1\), es \(m_0-1\) natural y por tanto \(m_0-1\notin\{m\in\mathbb{N}\ : \ n_0x<m\}\). Si \(m_0=1\), se tiene \(m_0-1=0\leqslant n_0x\) (hemos supuesto que \(x\) es positivo). Se tiene entonces

\[x<\frac{m_0}{n_0}=\frac{m_0-1}{n_0}+\frac{1}{n_0}\leqslant x+\frac{1}{n_0}<x+(y-x)=y\]

y basta tomar \(r=\dfrac{m_0}{n_0}\).

Supongamos ahora que \(x<0\). Si \(y>0\) podemos tomar \(r=0\) y si \(y\leqslant0\), por la primera de la demostración existe un racional \(s\) tal que \(-y<s<-x\), y basta tomar \(r=-s\).

Los dos últimos resultados sugieren que nos preguntemos si hay más racionales que irracionales o viceversa. Hay un resultado en matemáticas que demuestra que hay más irracionales que racionales, pero esto será motivo de otro estudio en el que las matemáticas se adentran en el tortuoso camino de los conjuntos infinitos. Y aquí es donde matemáticas y filosofía, filosofía y matemáticas comienzan a darse la mano.

Por cierto, en este otro artículo se demuestra que el famoso número \(\text{e}\) también es irracional.

Incluimos finalmente un par de propiedades más que se podrían proponer como ejercicio.

Ejercicios

1. Sean \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) números racionales verificando \(c^2+d^2\neq0\), y sea \(x\) un número irracional. ¿Qué condición deben cumplir \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) para que el número \(\frac{ax+b}{cx+d}\) sea racional?

Supongamos que \(\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{p}{n}\), con \(p\in\mathbb{Z}\) y \(n\in\mathbb{N}\). Entonces

\[(ax+b)n=(cx+d)p\Rightarrow axn+bn=cx+dp\Rightarrow x(an-cp)=dp-bn\]

Como el producto de un irracional por un racional no nulo es irracional, debemos de concluir que \(an-cp=0\) y \(dp-bn=0\), lo que significa que \(\frac{p}{n}=\frac{a}{c}\) y \(\frac{p}{n}=\frac{b}{d}\). Luego la condición para que el número \(\frac{ax+b}{cx+d}\) sea racional es que \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\), o lo que es lo mismo, \(ad-bc=0\) (obsérvese que, como \(c^2+d^2\neq0\), \(c\) y \(d\) son ambos distintos de cero).

2. Probar que si \(x\) es un número real se verifican:

i) \(x=\sup\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r<x\}=\inf\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r>x\}\).

ii) \(x=\sup\{\alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha<x\}=\inf\{r\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha>x\}\).

i) Sea \(\varepsilon\in\mathbb{R}^+\). Entonces, por la densidad de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\), existen dos números racionales \(r_1,r_2\) tal que \(x-\varepsilon<r_1<x<r_2<x+\varepsilon\). Por tanto, por la caracterización de supremo e ínfimo se tiene el resultado: \(x=\sup\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r<x\}=\inf\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r>x\}\).

ii) Sea \(\varepsilon\in\mathbb{R}^+\). Entonces, por la densidad de \(\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\), existen \(\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) tal que \(x-\varepsilon<\alpha_1<x<\alpha_2<x+\varepsilon\). Por tanto, por la caracterización de supremo e ínfimo se tiene el resultado: \(x=\sup\{\alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha<x\}=\inf\{r\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha>x\}\).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


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El último axioma. El axioma del supremo

Hay conceptos matemáticos de los que apenas se habla en las matemáticas del Bachillerato, o bien se pasa de puntillas sobre ellos. Es cierto que "jugamos" con los números reales dando por hecho muchas propiedades de los mismos y eso está bien, pues de manera intuitiva el alumno no tiene porqué preguntarse algunas cosas realmente obvias. Por poner un par de ejemplos, damos por hecho como axiomas las propiedades asociativa y conmutativa para la suma y para el producto, y establecemos un orden en los números reales representándolos en la recta real, añadiendo propiedades para las desigualdades que el alumno admite sin problemas. Hay otros conceptos, precisamente relacionados con las desigualdades, como los distintos intervalos o semirrectas de la recta real, así como los conceptos de máximo y de mínimo de un conjunto de números reales, de los que también se habla en la Secundaria y en el Bachillerato y que el alumno suele entender con cierta facilidad. Sin embargo, insistiendo en las desigualdades y en el orden numérico establecido en el conjunto de los números reales, dejamos de lado ciertos conceptos como los de cota superior o inferior, conjunto mayorado o minorado, supremo e ínfimo. La idea es que el alumno, además de admitir que hay cosas realmente evidentes en el conjunto de los números reales, debe considerar el hecho de que todos los axiomas y propiedades convierten al conjunto de los números reales en un conjunto con unas estructuras, que lo hacen realmente potente para continuar trabajando en otros ámbitos más precisos de las matemáticas.

En esta Web ya se ha hablado de del conjunto de los números reales y de sus estructuras en algunos artículos. Son los siguientes:

Se recomienda la lectura de los artículos anteriores para comprender este con más facilidad, aunque no es que sea estrictamente necesario.

Y es que en este artículo vamos a poner bases sólidas a ideas que son fáciles de admitir y que tienen que ver con el orden establecido (estructura de cuerpo ordenado) en el conjunto de los números reales. Después de ello podremos enunciar un axioma que, tal y como expresa el título de este artículo, es el último que vamos a dar por hecho en nuestro conjunto: el axioma del supremo. Tal y como decía uno de mis profesores, es un axioma fácil de entender y no tan fácil de asimilar. El hecho de asimilar el axioma del supremo tiene que ver, además de reflexionar bastante sobre el mismo, con la agilidad y práctica en el uso de las desigualdades y acotaciones, cuestiones que facilitarán enormemente no solamente la resolución de algunos ejercicios, sino entender con facilidad muchas demostraciones, ya que el uso que se hará del axioma del supremo en temas posteriores del análisis matemático es realmente abundante. Vuelvo a admitir que he usado como guía el texto de Camilo Aparicio del Prado y Rafael Payá Albert, titulado Análisis Matemático I, y que fue mi referente principal al empezar los estudios superiores de matemáticas. Otros textos de Análisis Matemático afrontan este episodio de manera similar.

Mayorantes, minorantes, supremo e ínfimo

Existen conjuntos no vacíos de números reales que no tienen máximo ni mínimo, por ejemplo \(\mathbb{R}\) (los conceptos de máximo y mínimo los puedes consultar en la parte final de este artículo). El conjunto

\[A=\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}\]

no tiene máximo ni mínimo como se puede fácilmente comprobar, pero, a diferencia de \(\mathbb{R}\), existen números reales mayores o iguales que todos los de \(A\) y números reales menores o iguales que todos los de \(A\). A continuación damos nombres a estos números reales. Merece la pena recordar que estas definiciones pueden hacerse en cualquier cuerpo ordenado.

Definición 1.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Diremos que un número real \(x\) es mayorante (o cota superior) de \(A\) si verifica

\[x\geq a,\forall a\in A\]

Diremos que un número real \(x\) es minorante (o cota inferior) de \(A\) cuando sea

\[x\leq a,\forall a\in A\]

Nótese que, a diferencia del máximo y del mínimo, un mayorante o minorante de un conjunto no tiene por qué pertenecer a dicho conjunto. De hecho, es claro que el máximo (respectivamente, el mínimo) de un conjunto, si existe, es un mayorante (respectivamente, un minorante) de dicho conjunto, y que un mayorante (respectivamente, un minorante) de un conjunto \(A\) es máximo (respectivamente, mínimo) de \(A\) si, y sólo si, pertenece a \(A\).

Si un conjunto admite un mayorante diremos que está mayorado (o acotado superiormente). Si un conjunto admite un minorante diremos que está minorado (o acotado inferiormente). Si un conjunto está a la vez mayorado y minorado diremos que está acotado.

Dado un conjunto \(A\) de números reales, notaremos \(M(A)\) al conjunto de los mayorantes de \(A\), y \(m(A)\) al conjunto de su minorantes. Nótese que si \(A\) está mayorado (\(M(A)\neq\emptyset\)), entonces \(M(A)\) es un conjunto infinito (puesto que si \(x\in M(A)\), entonces \(\{x+n:n\in\mathbb{N}\}\subset M(A)\)). Análogamente, si \(A\) está minorado, entonces \(m(A)\) es infinito.

A titulo de ejemplo, el conjunto \(\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}\) está acotado, \(\mathbb{R}\) no está mayorado ni minorado, \(\mathbb{R}^+\) está minorado pero no mayorado y \(\mathbb{R}^-\) está mayorado pero no minorado. El siguiente lema puede ayudar a determinar todos los mayorantes y minorantes de un conjunto.

Lema

Sean \(a\) y \(b\) números reales y supongamos \(a<b+\varepsilon\) para todo \(\varepsilon\) real y positivo. Entonces \(a\leq b\).

Supongamos por el contrario que \(b<a\) y sea entonces \(\varepsilon=a-b\); se tiene que \(a<b+\varepsilon=a\), lo cual es una contradicción.

Utilizando este lema es fácil comprobar que:

\[M(\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\})=\{x\in\mathbb{R}:1\leq x\}\quad ;\]

\[m(\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\})=\{x\in\mathbb{R}:x\leq 0\}=\mathbb{R}_0^-\quad ;\]

\[M(\mathbb{R}^-)=\mathbb{R}_0^+\quad ;\quad m(\mathbb{R}^+)=\mathbb{R}_0^-\]

Definición 2.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Si \(A\) está mayorado y el conjunto de los mayorantes de \(A\) tiene mínimo, se define el supremo de \(A\) como el mínimo del conjunto de los mayorantes de \(A\). Análogamente se define el ínfimo de un conjunto como el máximo del conjunto de sus minorantes supuesto que exista.

Claramente el supremo y el ínfimo de un conjunto, si existen, son únicos y son respectivamente un mayorante y un minorante del mismo. Notaremos \(\sup A\) (respectivamente \(\inf A\)) al supremo (respectivamente ínfimo) de un conjunto \(A\). En vista de lo dicho anteriormente se tiene:

\[\sup\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}=1\quad ;\quad \inf\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}=0\]

\[\sup\mathbb{R}^-=\sup\mathbb{R}_0^-=0\quad ; \quad \inf\mathbb{R}^+=\inf\mathbb{R}_0^+=0\]

La relación entre supremo y máximo de un conjunto y la relación entre ínfimo y mínimo, se especifican a continuación.

Proposición 1.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales.

i) Si \(A\) tiene máximo, entonces tiene supremo y se verifica \(\sup A=\max A\).

ii) Si \(A\) tiene mínimo, entonces tiene ínfimo y se verifica \(\inf A=\min A\).

iii) Supongamos que \(A\) tiene supremo, entonces:

- Si \(\sup A\in A\), \(A\) tiene máximo y \(\max A=\sup A\).

- Si \(\sup A\notin A\), \(A\) no tiene máximo.

iv) Supongamos que \(A\) tiene ínfimo, entonces:

- Si \(\inf A\in A\), \(A\) tiene mínimo y \(\min A=\inf A\).

- Si \(\inf A\notin A\), \(A\) no tiene mínimo.

i) Si \(x\) es mayorante de \(A\), se tiene \(a\leq x,\forall a\in A\) y como \(\max A\in A\), \(\max A\leq x\), luego \(\max A\) es el mínimo de \(M(A)\), es decir, \(\max A=\sup A\).

ii) Analoga a la de i).

iii) Si \(\sup A\in A\) \(\sup A\) es un mayorante de \(A\) que pertenece a \(A\), luego es el máximo de \(A\). Si \(\sup A\notin A\), supongamos que \(A\) tuviese máximo; entonces por i) \(\max A=\sup A\) y \(\sup A\) pertenecería a \(A\), lo cual es absurdo.

iv) Análoga a la de iii).

La siguiente proposición es una importante caracterización del supremo y del ínfimo de un conjunto de números reales.

Proposición 2.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales y sea \(x\) un número real. Entonces:

i) \(x=\sup A\Leftrightarrow\begin{cases}
      x\geqslant a,\forall a\in A\\
      \forall\varepsilon\in\mathbb{R}^+,\exists\,a\in A\ \text{tal que}\ a>x-\varepsilon\end{cases}\)

ii) \(x=\inf A\Leftrightarrow\begin{cases}
      x\leqslant a,\forall a\in A\\
      \forall\varepsilon\in\mathbb{R}^+,\exists\,a\in A\ \text{tal que}\ a<x+\varepsilon\end{cases}\)

i) \(\Rightarrow)\) Si \(x=\sup A\), \(x\) es mayorante de \(A\) y dado \(\varepsilon\in\mathbb{R}^+\), \(x-\varepsilon\) no puede ser mayorante de \(A\), luego \(\exists\,a\in A\) tal que \(a>x-\varepsilon\).

\(\Leftarrow)\) Por hipótesis \(x\) es un mayorante de \(A\). Sea \(y\) un mayorante cualquiera de \(A\). Si fuese \(y<x\), sea \(\varepsilon=x-y\); por hipótesis existe \(a\in A\) tal que \(a>x-\varepsilon=x+(y-x)=y\), lo cual es absurdo pues \(y\) era un mayorante de \(A\). Así pues \(x\leqslant y\), lo que prueba que \(x\) es el mínimo de los mayorantes de \(A\).

ii) Análoga a la de i).

El último axioma

El siguiente axioma junto con todos los demás que se resumían afirmando que \(\mathbb{R}\) era un cuerpo ordenado conmutativo, completa la axiomática que define el cuerpo \(\mathbb{R}\) de los números reales.

El axioma del supremo.

Todo conjunto de números reales no vacío y mayorado tiene supremo.

Obsérvese que para que un conjunto de números reales tenga supremo debe ser necesariamente no vacío y mayorado. El axioma anterior nos asegura que estas dos condiciones, trivialmente necesarias, son también suficientes. Cabría preguntarse por qué no se exige análogamente que todo conjunto de números reales no vacío y minorado tenga ínfimo. A continuación veremos que esto ya se deduce a partir de nuestra axiomática.

Proposición 3.

Todo conjunto de números reales no vacío y minorado tiene ínfimo.

Sea \(A\) un tal conjunto. Si notamos \(-A=\{-a:a\in A\}\), comenzaremos probando que un número real \(m\) es minorante de \(A\) si, y sólo si, \(-m\) es mayorante de \(-A\):

\[m\in m(A)\Leftrightarrow m\leqslant a,\forall a\in A\Leftrightarrow -m\geqslant -a,\forall a\in A\Leftrightarrow-m\in M(-A)\]

Sea \(h=\sup(-A)\); como \(h\) es mayorante de \(-A\), \(-h\) es minorante de \(A\). Nos queda probar que \(-h\) es el mayor de los minorantes del conjunto \(A\): si \(m\) es minorante de \(A\) se tiene que \(-m\) es mayorante de \(-A\), luego \(-m\geqslant h\) y \(m\leqslant -h\) y así \(-h=\inf A\).

Nótese que hemos probado que si \(A\) es un conjunto de números reales no vacío y minorado, entonces \(-A\) está mayorado y se tiene:

\[\inf A=-\sup(-A)\]

Cambiando \(A\) por \(-A\), si \(A\) es un conjunto de números reales no vacío y mayorado, entonces \(-A\) está minorado y se tiene:

\[\sup A=-\inf(-A)\]

Corolario 1.

Todo conjunto de números reales no vacío y acotado tiene supremo e ínfimo.

Aunque parezca obvio que siempre hay un número natural mayor que cualquier número real, esto se puede demostrar. De hecho, como consecuencia fundamental del axioma del supremo obtenemos a continuación el llamado Principio de Arquímedes, según el cual un número real cualquiera puede ser superado por el procedimiento de sumar la unidad consigo misma suficientes veces.

Teorema (Principio de Arquímedes).

El conjunto de los números naturales no está mayorado. Equivalentemente:

\[\forall x\in\mathbb{R}:\exists\,n\in\mathbb{N}:x<n\]

Si \(\mathbb{N}\) estuviese mayorado, sea \(h=\sup\mathbb{N}\). Si \(n\) es un natural cualquiera, \(n+1\) es natural, luego \(n+1\leqslant h\) y \(n\leqslant h-1\). Como \(n\) era arbitrario hemos probado que \(h-1\) es mayorante de \(\mathbb{N}\), lo cual es absurdo pues \(h\) era el mínimo de los mayorantes y \(h-1<h\).

El papel de la unidad en el principio de Arquímedes puede ser desempeñado por cualquier real positivo, obteniéndose el siguiente enunciado que no es más que una formulación equivalente del principio de Arquímedes.

Corolario 2.

Dados un real \(x\) y un real positivo \(\varepsilon\) puede encontrarse un número natural \(n\) (que dependerá de \(x\) y de \(\varepsilon\)) tal que

\[x<n\varepsilon\]

Por el teorema anterior \(\dfrac{x}{\varepsilon}\) no puede ser mayorante de \(\mathbb{N}\), luego existe un natural \(n\) tal que \(\dfrac{x}{\varepsilon}<n\), de donde \(x<n\varepsilon\) pues \(\varepsilon>0\).

Una consecuencia fundamental del axioma del supremo es que nos permitirá probar la existencia de números irracionales. Sí, de números reales que no son racionales, es decir, que no son fracciones. Aunque parezca mentira nadie nos dijo que existían. Ya se habló de la introducción de manera natural, en las matemáticas de Secundaria, de las fracciones. Más concretamente, el conjunto de los \(\mathbb{Q}\) racionales se define de la siguiente forma:

\[\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}\ :\ p\in\mathbb{Z}\ ,\ n\in\mathbb{N}\right\}\]

Pero nadie nos dijo que había más números más allá de los racionales. Como mucho fuimos capaces de demostrar que no existe ningún número racional cuyo cuadrado es dos. Pero... ¿qué será esa cosa cuyo cuadrado es dos? ¿Tenemos derecho a pensar que es un número? Y si lo es, ¿qué clase de número es? Pero esto lo dejaremos para un próximo artículo...

Se proponen a continuación una colección de ejercicios relacionados con el supremo y el ínfimo de conjuntos.

Ejercicios

1. Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de números reales pueden ser iguales a \(M(A)\)?: \(\mathbb{R}\), \(\emptyset\), \(\mathbb{R}^+\), \(\{x\in\mathbb{R}\,:\,0\leqslant x\leqslant1\}\), \(\{x\in\mathbb{R}\,:\,2\leqslant x\}\).

Es imposible que \(M(A)=\mathbb{R}\), ya que el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales no tiene mínimo.

Ocurrirá que \(M(A)=\emptyset\) cuando \(A\) no esté acotado superiormente. Por ejemplo, si \(A=\mathbb{R}\): \(M(\mathbb{R})=\emptyset\).

No puede darse nunca que \(M(A)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,0\leqslant x\leqslant1\}\), ya que \(\{x\in\mathbb{R}\,:\,0\leqslant x\leqslant1\}\) está acotado superiormente.

Si tomamos \(A=\{x\in\mathbb{R}\,:\,x<2\}\), se tiene que \(M(A)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,2\leqslant x\}\).

2. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos de números reales verificando \(A\subset B\). Probar que si \(B\) está mayorado (respectivamente minorado) lo está A y se verifica \(\sup A \leqslant \sup B\) (respectivamente \(\inf A \geqslant \inf B\)).

Si \(B\) está mayorado entonces existe \(\beta=\sup B\). Como \(A\subset B\) entonces existe \(b\in B\) tal que \(a\leqslant b\leqslant\beta\,,\forall a\in A\). Por tanto, \(A\) está mayorado y existe \(\alpha=\sup A\). Claramente \(\beta\) es un mayorante de \(A\), por tanto \(\alpha\leqslant\beta\), es decir, \(\sup A\leqslant\sup B\).

Si \(A\subset B\) entonces también \(-A\subset -B\) con lo que, por lo demostrado anteriormente, \(\sup(-A)\leqslant\sup(-B)\), o lo que es lo mismo, \(-\inf A\leqslant-\inf B\Rightarrow\inf A\geqslant\inf B\) (véanse los comentarios que siguen a la proposición número 3).

3. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Probar que \(A\cup B\) está acotado y que se verifican: \(\sup(A\cup B)=\max\{\sup A, \sup B\}\), \(\inf(A\cup B)=\min\{\inf A, \inf B\}\).

Sea \(\alpha\in A\cup B\). Entonces o bien \(\alpha\in A\Rightarrow\alpha\leqslant\sup A\); o bien \(\alpha\in B\Rightarrow\alpha\leqslant\sup B\). En cualquier caso \(\alpha\leqslant\max\{\sup A,\sup B\}\). Por tanto, \(A\cup B\) está mayorado y además tenemos que \(\sup (A\cup B)\leqslant\max\{\sup A,\sup B\}\). Por otro lado, utilizando el ejercicio anterior, como \(A\subset A\cup B\) y \(B\subset A\cup B\), se tiene que \(\sup A\leqslant\sup(A\cup B)\) y también que \(\sup B\leqslant\sup(A\cup B)\). Por tanto \(\max\{\sup A,\sup B\}\leqslant\sup(A\cup B)\). Hemos demostrado que \(A\cup B\) está mayorado y que \(\sup(A\cup B)=\max\{\sup A,\sup B\}\).

Sea \(\beta\in A\cup B\). Entonces o bien \(\beta\in A\Rightarrow\beta\geqslant\inf A\); o bien \(\beta\in B\Rightarrow\beta\geqslant\inf B\). En cualquier caso \(\beta\geqslant\min\{\inf A,\inf B\}\). Por tanto, \(A\cup B\) está minorado y además tenemos que \(\inf (A\cup B)\geqslant\min\{\inf A,\inf B\}\). Por otro lado, utilizando el ejercicio anterior, como \(A\subset A\cup B\) y \(B\subset A\cup B\), se tiene que \(\inf A\geqslant\inf(A\cup B)\) y también que \(\inf B\geqslant\inf(A\cup B)\). Por tanto \(\min\{\inf A,\inf B\}\geqslant\inf(A\cup B)\). Hemos demostrado que \(A\cup B\) está minorado y que \(\inf(A\cup B)=\min\{\inf A,\inf B\}\).

4. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Probar que si \(A\cap B\neq\emptyset\), \(A\cap B\) está acotado y se verifica:

\[\max\{\inf A,\inf B\}\leqslant\inf(A\cap B)\leqslant\sup(A\cap B)\leqslant\min\{\sup A,\sup B\}\]

Probar que las anteriores desigualdades pueden ser estrictas.

Puesto que \(A\cap B\subset A\) y \(A\cap B\subset B\), el ejercicio 2 asegura que \(A\cap B\) está acotado y además se verifica que \(\inf(A\cap B)\geqslant\inf A\), \(\inf(A\cap B)\geqslant\inf B\), \(\sup(A\cap B)\leqslant\sup A\), \(\sup(A\cap B)\leqslant\sup B\). Por tanto, por un lado \(\inf(A\cap B)\geqslant\max\{\inf A,\inf B\}\) y, por otro, \(\sup(A\cap B)\leqslant\min\{\sup A,\sup B\}\). Como \(\inf(A\cap B)\leqslant\sup(A\cap B)\), tenemos probado el resultado.

Para probar que las desigualdades pueden ser estrictas sean \(A=\{2,3,4,5\}\) y \(B=\{1,3,4,8,9\}\). Se tiene que \(\inf A=2\), \(\sup A=5\), \(\inf B=1\), \(\sup B=9\). Además, \(A\cap B=\{3,4\}\) con lo que \(\inf(A\cap B)=3\) y \(\sup(A\cap B)=4\). Entonces

\[\max\{\inf A,\inf B\}=2<\inf(A\cap B)=3<\sup(A\cap B)=4<\min\{\sup A,\sup B\}=5\]

y las desigualdades son estrictas.

5. Dados dos conjuntos no vacíos de números reales \(A\) y \(B\), sea \(C=\{x+y\,:\,x\in A\,,\,y\in B\}\). Probar que si \(A\) y \(B\) están mayorados, \(C\) está mayorado y se verifica

\[\sup C=\sup A+\sup B\]

Como aplicación calcular el supremo y el ínfimo del conjunto

\[\left\{\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^m}+\frac{1}{5^p}\,:\,m,n,p\in\mathbb{N}\right\}\]

Sean \(\alpha=\sup A\) y \(\beta=\sup B\). Entonces \(\alpha\geqslant x\,,\forall\,x\in A\) y \(\beta\geqslant y\,,\forall\,y\in B\). De lo anterior se deduce que \(\alpha+\beta\geqslant x+y\,,\forall\,x\in A\,,\forall\,y\in B\). Por tanto, \(C\) está mayorado y se tiene que \(\sup C\leqslant\alpha+\beta=\sup A+\sup B\).

Supongamos ahora, razonando por reducción al absurdo, que \(\sup C<\sup A+\sup B\). Llamemos \(k=\sup A+\sup B\), \(k'=\sup C\) y sea \(d=\frac{1}{2}(k-k')>0\). Por definición de supremo existen \(x_0\in A\), \(y_0\in B\) tales que \(\alpha-d<x_0\) y \(\beta-d<y_0\). Entonces:

\[\alpha+\beta-2d<x_0+y_0\Rightarrow\alpha+\beta-(\alpha+\beta-\sup C)<x_0+y_0\Rightarrow\sup C<x_0+y_0\]

Llamando \(z_0=x_0+y_0\), hemos demostrado que existe \(z_0\in C\) tal que \(z_0>\sup C\), lo cual es absurdo. Así \(\sup C\geqslant\sup A+\sup B\). De esta última desigualdad y de la demostrada anteriormente, se deduce que \(\sup C=\sup A+\sup B\).

Dado ahora el conjunto \(A=\left\{\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^m}+\frac{1}{5^p}\,:\,m,n,p\in\mathbb{N}\right\}\), sean \(A_1=\{\frac{1}{2^n}\,:\,n\in\mathbb{N}\}\), \(A_2=\{\frac{1}{3^m}\,:\,m\in\mathbb{N}\}\), \(A_3=\{\frac{1}{5^p}\,:\,p\in\mathbb{N}\}\). Es claro que \(\sup A_1=\frac{1}{2}\), \(\sup A_2=\frac{1}{3}\), \(\sup A_3=\frac{1}{5}\). De este modo \(\sup A=\sup A_1+\sup A_2+\sup A_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{31}{30}\).

Demostremos por otro lado que \(\inf A_1=\inf A_2=\inf A_3=0\). Se tiene que \(\frac{1}{2^n}>0\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Si fuera \(\inf A_1=k>0\), entonces \(0<k\leqslant\frac{1}{2^n}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\Rightarrow0<2^n\leqslant\frac{1}{k}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Esto es una contradicción pues el conjunto \(\{2^n\,:\,n\in\mathbb{N}\}\) no está mayorado. Así, \(\inf A_1=0\). De igual modo se demuestra que \(\inf A_2=\inf A_3=0\). Entonces \(\sup(-A_1)=\sup(-A_2)=\sup(-A_3)=0\) y, por tanto:

\[\sup(-A)=\sup(-A_1)+\sup(-A_2)+\sup(-A_3)=0\Rightarrow\inf A=-\sup(-A)=0\]

6. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos y mayorados de números reales y sea \(C=\{xy\,:\,x\in A\,,\,y\in B\}\). Probar que si \(A\subset\mathbb{R}_0^+\) y \(B\subset\mathbb{R}_0^+\), entonces \(C\) está acotado superiormente y se verifica

\[\sup C=\sup A \sup B\]

Como aplicación calcular el supremo del conjunto

\[\left\{x\left(1-\frac{1}{n}\right)\,:\,x\in\mathbb{R}\,,\,2<x<3\,,\,n\in\mathbb{N}\right\}\]

Podemos suponer que \(\sup A\) y \(\sup B\) son números reales positivos pues si \(\sup A=0\) o bien \(\sup B=0\), entonces \(A=\{0\}\) o \(B=\{0\}\), con lo que \(C=\{0\}\) y \(\sup C=0\). Así, si \(A\neq\{0\}\) y \(B\neq\{0\}\), entonces \(C\neq\{0\}\) y \(\sup C>0\).

Llamemos \(k=\sup A\cdot\sup B\). Como \(0\leqslant x\leqslant\sup A\,,\forall\,x\in A\) y \(0\leqslant y\leqslant\sup B\,,\forall\,y\in B\), entonces \(0\leqslant xy\leqslant\sup A\cdot\sup B\,,\forall\,x\in A\,,\forall\,,y\in B\). De aquí se deduce que \(C\) está acotado superiormente y que \(\sup C\leqslant\sup A\cdot\sup B\). Llamemos \(r=\sup C\) y supongamos ahora que \(\sup C<\sup A\cdot \sup B\), es decir, que \(r<k\). Sea \(\varepsilon=\sqrt{\frac{r}{k}}\). Obsérvese que \(0<\varepsilon<1\), con lo que \(0<\varepsilon\cdot\sup A<\sup A\), \(0<\varepsilon\cdot\sup B<\sup B\). Tenemos así, por definición de supremo, que existen \(x_0\in A\), \(y_0\in B\) tales que \(0<\varepsilon\cdot\sup A<x_0\,\), \(0<\varepsilon\cdot\sup B<y_0\). Llamando \(z_0=x_0y_0\), esto significa que existe \(z_0\in C\) tal que \(0<\varepsilon^2k=r<z_0\), lo cual es absurdo pues habíamos supuesto que \(r=\sup C\). Así, debe de ser \(\sup C\geqslant\sup A\cdot\sup B\). Por tanto se tiene que \(\sup C=\sup A\cdot\sup B\), tal y como queríamos demostrar.

Para calcular el supremo del conjunto \(C=\left\{x\left(1-\frac{1}{n}\right)\,:\,x\in\mathbb{R}\,,\,2<x<3\,,\,n\in\mathbb{N}\right\}\), sean \(A=\{x\in\mathbb{R}\,:\,2<x<3\}\) y  \(B=\{1-\frac{1}{n}\,:\,n\in\mathbb{N}\}\). Entonces \(\sup A=3\) y \(\sup B=1\). Por tanto, como \(C=\{xy\,:\,x\in A,y\in B\}\), tenemos que \(\sup C=\sup A\cdot\sup B=3\cdot1=3\).

7. Calcular el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos:

\[A=\{x\in\mathbb{R}\,:\,3x^2-10x+3<0\}\quad\text{;}\quad B=\{x\in\mathbb{R}\,:\,(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)<0\}\]

en que \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) y \(a<b<c<d\).

Tenemos que

\[A=\{x\in\mathbb{R}\,:\,3x^2-10x+3<0\}=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,(x-3)(x-\frac{1}{3})<0\right\}= \left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\frac{1}{3}<x<3\right\}\]

con lo que \(\inf A=\frac{1}{3}\) y \(\sup A=3\).

Sea \(B=\{x\in\mathbb{R}\,:\,(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)<0\}\) en que \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) y \(a<b<c<d\). Dado \(x\in\mathbb{R}\) tenemos que

\[x\in B\Leftrightarrow\begin{cases}
    (x-a)(x-b)<0\\
    (x-c)(x-d)<0
  \end{cases}\ \text{o bien  }\ \begin{cases}
    (x-a)(x-b)<0\\
    (x-c)(x-d)>0
  \end{cases}\]

Se puede comprobar con facilidad, usando la hipótesis \(a<b<c<d\), que la solución del primer sistema de inecuaciones es el intervalo abierto \((c,d)\), es decir, los números reales \(x\) tal que \(c<x<d\). Del manera análoga también se puede comprobar que la solución del segundo sistema de inecuaciones es el intervalo abierto \((a,b)\), o lo que es lo mismo, los números reales \(x\) tal que \(a<x<b\). Por tanto:

\[A=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a<x<b\}\cup\{x\in\mathbb{R}\,:\,c<x<d\}\]

Usando el ejercicio 3 se tiene que \(\inf A=a\) y que \(\sup A=d\).

8. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos de números reales y supongamos que \(a\leqslant b\,,\forall\,a\in A\), \(\forall\,b\in B\). Probar que \(A\) está mayorado, que \(B\) está minorado y que \(\sup A\leqslant\inf B\).

Sean \(a_0\in A\) y \(b_0\in B\), fijos pero arbitrarios. Es claro que \(a_0\) es un minorante de \(B\) y \(b_0\) un mayorante de \(A\), luego \(A\) está mayorado y \(B\) minorado. Además, como tenemos que \(a\leqslant b\,,\forall\,a\in A\,,\forall\,b\in B\), entonces \(\sup A\leqslant b\,,\forall\, b\in B\) (pues en caso contrario, tomando \(\varepsilon=\sup A-b\), existiría \(a\in A\) tal que \(a>\sup A-\varepsilon=b\), que es una contradicción) y, por tanto, \(\sup A\leqslant\inf B\) (si fuera \(\sup A>\inf B\), tomando \(\varepsilon=\sup A-\inf B\), existiría \(b\in B\) tal que \(b<\inf B+\varepsilon=\sup A\), lo cual contradice que \(\sup A\leqslant b\,,\forall\,b\in B\)).


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Argumentos a favor del cálculo mental

Este artículo se ha tomado del libro "Festival matemático. 50 pasatiempos y curiosidades", de George Szpiro

Desde que Pitágoras pintaba sus triángulos en los suelos arenosos de Samos hace unos 2500 años, los docentes no han dejado de buscar los mejores métodos para enseñar matemáticas a sus alumnos. Encontramos un ejemplo de ello en un debate surgido entre los expertos reunidos en el XXV Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Madrid durante el verano de 2006. Se discutieron los distintos enfoques utilizados en los centros de educación primaria y secundaria y las discrepancias fueron inevitables. Los «reformadores», que tienen en cuenta la evolución social y técnica, se enfrentaron a los «tradicionalistas», que defienden la aritmética con papel y lápiz. Hubo réplicas acaloradas, ánimos exaltados, y no salió indemne ni la manipulación aritmética más fundamental. Anthony Ralston, por ejemplo, un reformador precoz de la Universidad de Búfalo, abogó a gritos por la abolición de la aritmética con papel y lápiz en las clases. Aunque admitía la realización de cálculos de cabeza es esencial para el desarrollo de la valoración matemática, afirmaba también que la habilidad para efectural cálculos mentales podría conseguirse con facilidad utilizando calculadoras.Festival Matemático

A esto se opuso Ehud De Shalit, teórico de números de la Universidad Hebrea de Jerusalén muy anclado en las formas tradicionales de enseñar matemáticas. En su opinión, los profesores deben equipar a sus alumnos desde el primer momento con las herramientas que les permitirán manipular objetos matemáticos tales como números, figuras y símbolos. Como ejemplo mencionó las divisiones largas realizadas con lápiz y papel; no es necesario enseñar esa técnica a estudiantes de primaria porque es esencial que avancen en asuntos relacionados con la vida cotidiana, explicó De Shalit. Él entiende que esas operaciones se efectúan con más facilidad mediante calculadoras, pero ayudan a los alumnos a pensar y conceptualizar en términos matemáticos. Según De Shalit, las divisiones largas son, de hecho, todo un tesoro para la docencia, no tanto por su valor práctico sino porque refuerzan la comprensión del sistema decimal y explican cómo funcionan los algoritmos. Para demostrar la supuesta insensatez de las propuestas reformadoras, De Shalit formuló la pregunta retórica de si no querríamos también precindir por completo de las fracciones. Las fracciones se convierten fácilmente en números decimales con ayuda de calculadoras y, por tanto, podrían considerarse obsoletas, pero ése sería el primer paso hacia una cuesta abajo resbaladiza, advirtió a sus colegas. Sin el recurso de la calculadora, los alumnos no tardarían mucho en dejar de saber si \(3/7\) o \(5/9\) son mayores o menore que \(1/2\).

La cuestión de si usar o no calculadoreas y ordenadores en las aulas no fue el único escollo que enfrentó a reformadores y tradicionalistas. También tuvieron un gran día discutiendo cuál es el método óptimo para enseñar técnicas matemáticas a los alumnos. Ralston cree que se debería dejar que los alumnos desarrollasen los métodos con los que se sientan más cómodos. De Shalit enseguida rechazó como ilusorio que niños de 10 años sean capaces de descubrir por sí solos métodos matemáticos considerardos parte de los grandes logros de la antigüedad india y árabe. De modo que pide a los profesores que se concentren en los métodos normalizados, ya comprobados, a través de un programa de ejercitación y práctica. Sólo cuando dominen los métodos normalizados de cálculo podrá permitirse a los alumnos que recurran a sus propias iniciativas (por ejemplo, intercambiando multiplicandos).

Pero De Shalit matizó un tanto su estricta concepción. Las técnicas normalizadas no son lo más importante y, desde luego, tampoco constituyen el único aspecto de la enseñanza de las matemáticas.Para resolver problemas reales resultan esenciales otras habilidades: los alumnos deberían ser capaces de distinguir los datos relevantes de los irrelevantes, saber seleccionar con inteligencia las variables más importantes y ser capaces de traducir la prosa a formulaciones algebraicas. Estas habilidades son indispensables incluso antes de aplicar las técnicas puras y duras para resolver el problema. En geometría, por ejemplo, hay que dibujar las figuras a escala, hay que descomponer los objetos y hay que detectar las partes ocultas antes de utilizar la aritmética para efectuar los verdaderos cálculos.

Ambos bandos coincidieron en un punto: los exámenes son una cuestión política. Estuvieron de acuerdo en que la fijación de exámenes oficiales obstaculiza el trabajo de los docentes. Los exámenes oficiales tienen su utilidad, afirman los tradicionalistas, pero hay que estipular desde un principio qué examinan en realidad los exámenes. ¿Evalúan los conocimientos adquiridos, o el potencial futuro? ¿Miden capacidades algorítmicas, o el razonamiento creativo? ¿Se utilizan como criterio de admisión en una universidad, o para valorar distintos centros o programas de enseñanza?

Por su parte, los reformadores contemplan los exámenes oficiales como un desastre absoluto. Para hacer hincapié en este aspecto, Ralston menciona el decreto federal estadounidense de 2002 que decía «No Child left behind» ['Ningún niño rezagado']. El éxito del programa se midió mediante la puntuación en exámenes oficiales. La presión a la que se vieron sometidos los docentes los llevó a incentivar la capacidad de los chicos para efectuar manipulaciones rutinarias, en lugar de desarrollar su capacidad para resolver problemas. Así que tal vez los alumnos sacaran mejores notas en los exámenes, pero no adquirieron en realidad destreza matemática. Ralston está firmemente convencido de que los exámenes deberían utilizarse tan sólo con fines diagnósticos, ya que pueden servir como instrumento para determinar si un método particular de enseñanza funciona o no.

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Al-Juarismi

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos", cuyos autores son Fernando Álvarez, Óscar Martín y Cristóbal Pareja.

Bagdad, siglo VIII

Una nueva civilización se acaba de abrir paso en la historia. Arrancó de Arabia hace dos siglos a partir de innumerables tribus nómadas que fueron aglutinadas por la fe de un profeta y el magnetismo de un libro revelado. Hoy, aquel incipiente estado se ha expandido hacia el este mirando a Oriente. Y también ha conquistado Jerusalén y Damasco. Todo el norte de África incova ya al profeta, y también gran parte de la península Ibérica. El mundo musulmán se extiende ya dede la India hasta los Pirineos.

La dinastía Omeya, la fundadora, ha sido destronada por la Abasí. Tres nombres aparecen, tres califas: Al-Mansur, que ha fundado Bagdad y la ha hecho capital, en lugar de la antigua Damasco. Aquí erige la Casa de la Sabiduría, donde las ciencias comienzan a florecer. Al segundo califa, Harún al-Rashid, nos lo ha presentado Scheherezade en numerosas veladas de Las mil y una noches: «He llegado a saber que en tiempo del califa Harún al-Rashid vivía en la ciudad de Bagdad un hombre llamado Simbad...», comienza uno de sus relatos. Su reinado fue el periodo de mayor esplendor cultural, al decir de los historiadores. Por eso se evoca su nombre en cuentos y leyendas. Con el ardor de los pueblos que despiertan, se han traducido al árabe manuscritos griegos, sirios y persas. Pero es en el califatod de Al-Mamún, su hijo, cuando la fiebre traductora alcanza su cima. Llegan textos de la India, en sánscrito, que son de la civilización griega, fruto de las relaciones comerciales con el imperio bizantino. Bagdad hizo con la cultura clásica lo que haría la Escuela de Traductores de Toledo más adelante.Al-Mamún y un enviado de Bizancio. De la 'Crónica de Juan Skylitzes'

Gracias a estos tres califas benefactores —que el Clemente, el Misericordioso, conserve sus nombres— Bagdad tuvo tiempo suficiente para que sus mejores hijos —originarios de todos los confines del imperio— la convirtiesen en una nueva Alejandría. En esa misma época, Occidente, a pesar de estar unido por el latín, no supo preservar el legado científico clásico. La Iglesia fue la única institución que no se desintegró y que mantuvo cierto impulso intelectual en los monasterios. Pero el monje, incluso el más instruido, tendía en su erudición más al negocio de la salvación del alma que a la filosofía natural. Solamente hubo una tentativa de revivificación cultural con Carlomagno, con la reinstauración de un programa de estudio: el Trivium (gramática, retórica y dialéctica) y el Quadrivium (aritmética, geometría, astronomía y música), heredados de la antigüedad clásica. A pesar de ello, el interés por el saber había desaparecido en el mundo occidental.

Debemos, pues, volver a Bagdad, ya en el siglo IX. Es una ciudad culta y mágica. Aquí, ya se sabe, la gente cruza el Tigris volando sobre alfombras. Y se buscan piedras filosofales y elixires de eterna juventud, a la vez que se traduce a Euclides, se estudia el Almagesto de Ptolomeo y se copian las obras de Arquímedes. En esta ciudad desarrolló su labor creativa Al-Juarismi.Al-Juarismi (780 Uzbekistán - 850 Bagdad)

Al-Juarismi escribió un libro que habría de tener gran influencia posterior en Europa. El original árabe se ha perdido y lo conocemos por una copia latina del siglo XII: Algoritmi de Numero Indorum (El arte indio del cálculo de Al-Juarismi). Como se ve en el título, se ha latinizado el nombre del autor. De él derivará la palabra moderna algoritmo.

En el libro se describe pormenorizadamente el sistema indio de numeración, con los 10 dígitos —incluido el cero—, y basado, como hoy, en que el valor de cada cifra depende de su posición: en \(444\) cada \(4\) es diferente (\(4\) centenas, \(4\) decenas y \(4\) unidades). Se describen asimismo las reglas para realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Y esto es lo más importante, porque ha de recordarse que con el sistema romano se podían escribir números, sí, pero no había manera de calcular: la tarea de sumar era difícil, la de multiplicar solo era posible para los sabios y la de dividir... estaba reservada casi únicamente a los dioses. Hoy día, un niño necesita únicamente pronunciar las palabras mágicas de su tabla de multiplicar y un algoritmo, automático y obediente, proporciona el resultado.Margarita Philosophica (de Gregor Reisch)

No obstante, los nuevos métodos tardaron en implantarse y el antiguo sistema romano siguió usándose en Europa durante gran parte de la Edad Media. En la figura de la derecha se muestra, en el centro, a la musa de la aritmética; Boecio, a la izquierda, simbolizando la escritura decimal, sonríe por haber acabado una operación; a la derecha, el griego Pitágoras intenta hacer lo mismo con un ábaco, con poco éxito, según el pintor. La pintura, de 1508, evidencia que la supremacía de la escritura decimal posicional, frente a la romana, no era aún reconocida por todos en esa época.

'Al-Jabr' o el Álgebra

La obra más importante de Al-Juarismi lleva el impresionante título de Al-kitab al-muthasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala, que más o menos dice: Libro sobre el método de cálculo consistente en restaurar y equilibrar.

El titulo parece la expresión de un conjuro que hay que pronunciar, mientras se frota una vieja lámpara, para liberar un genio prisionero. Y en verdad así es, pues en el interior del libro, el genio nos revela las fórmulas —¿de alquimia?— para resolver las ecuaciones de primero y segundo grado. Lo hace a través de una colección de problemas de aritmética —sobre herencias, transacciones comerciales, etc.— que resuelve mediante ecuaciones.

Página de 'Al-Kitab al-muthasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala'La obra nos ha llegado en dos versiones, una árabe una traducción latina, llamda Liber algebrae et almucabala. Sorprende que la versión latina sea más completa. También hay que hacer notar que en esta se omite el prólogo, que sí aparece en la versión árabe. El lector puede imaginar el porqué: es una prudente forma de evitar las preceptivas loas a Mahoma y al Comendador de los Creyentes, a la sazón Al-Mamún. La palabra "álgebra" tiene su origen en al-jabr, presente en el título, que, en árabe, era un término médico: "restaurar y curar huesos fracturados". Esta palabrá pasó a Europa en su traducción latina a través de España y hoy es similar en todos los idiomas europeos.

Todavía pdemos encontrar un vestigio de este antiguo significado en nuestra lengua. En el diccionario de la Real Academia aparece esta acepción: "Arte de restituir los huesos dislocados. Y "algebrista" —en versión árabe— es lo mismo que "traumatólogo" —en versión griega—.

En el capítulo XV del Quijote se alude a la victoria del ingenioso hidalgo sobre el Caballero de los Espejos (que era en realidad el bachiller Sansón Carrasco):

[...] ufano y vanaglorioso iba Don Quijote por haber alcanzado vitoria de tan valiente caballero [...]

Del vencido caballero y de su escudero sigue narrando Cervantes que

[...] llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado [...]

Las ecuaciones

Al-Jabr proporciona un estudio exhaustivo de las ecuaciones de segundo y primer grado. Las clasifica en sesis tipos, que resuelve, con algoritmos —nunca mejor dicho— precisos. Pero, como dice él mismo, es necesario acudir a la geometría para demostrar el método. ¿Estará inspirándolo Arquímedes?

He aquí su clasificación después de haber transformado las ecuaciones hasta tener solo sumas (ninguna resta):

 \(ax^2=bx\) \(ax^2=c\)  \(bx=c\) 
 \(ax^2+bx=c\) \(ax^2+c=bx\)  \(bx+c=ax^2\) 

Las dos soluciones de cada ecuación se hallan completando cuadrados. Pero solo considera las positivas.

Hay que decir que la lectura es difícil, porque todavía no existe una notación sincopada (abreviada, simbólica) para los cálculos. Estos se describen con palabras. Incluso para los números usa su nombre en vez de su signo.

El lector puede combrobar por sí mismo cómo narra la resolución de la ecuación de segundo grado \(x^2+10x=39\).Texto de una edición del 'Al-Jabr' de 1968, donde se lee cómo resolver la ecuación x^2+10x=39

Y he aquí la justificación geométrica que aporta él mismo: la incógnita \(x\), la xai, está representada por el lado del cuadrado en blanco (obsérvese la figura de más abajo). Con ello transforma \(x^2\) en un área. Para conseguir otra área igual a \(10x\), descompone \(10\) en \(4\times2,5\) y añade los cuatro rectángulos de lados \(x\) y \(2,5\). Ya tenemos representado el primer miembro. A continuación añade los cuatro cuadrados de las esquinas y obtiene el cuadrado grande. Es decir:aljuarismi06\[x^2+10x+4\times2,5^2=39+4\times2,5^2\Rightarrow(x+5)^2=64\Rightarrow x+5=8\]

Un último ejemplo

Otra ecuación que se resuelve en el libro es \(x^2+21=10x\). Hoy, sin miedo a los negativos, la escribiríamos así \(x^2-10x+21=0\).

Nuestros estudiantes aprenden que cuando el coeficiente de la \(x\) es par, es decir, cuando tenemos \(ax^2+2b'x+c=0\), conviene expresar la fórmula que proporciona las raíces así: \(\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}\), pues con ella los cálculos se simplifican notablemente. En nuestro ejemplo queda: \(x=5\pm\sqrt{5^2-21}\). Pues bien, esta fórmula era conocida por Al-Juarismi. Dejemos que él hable:

La regla exige que tú reduzcas a la mitad el número [el coeficiente] de la \(x\), lo cual da \(5\). Multiplica este número por sí mismo y tienes \(25\). Resta \(21\) del cuadrado, y quedará \(4\). Extrae la raíz, de donde obtendrás \(2\), y sustrae este \(2\) de la mitad del número de la \(x\), o sea, de \(5\). Así te queda \(3\). Esta es la raíz que buscas...

De forma análoga, continúa dando la pauta para obtener la segunda raíz, que resulta ser \(7\). Y advierte inmediatamente de que si la resta que aparece en el radicando fuese cero, habría una sola raíz; y si esa resta no pudiera efectuarse, no habría solución: ¡discusión completa del discriminante!

Como los griegos, Al-Juarismi incluye difíciles demostraciones geométricas para sus reglas. Ello suscita nuestra admiración, pero la geometría no deja de lastrar aquí el advenimiento definitivo del lenguaje algebraico, ese que, pasado el tiempo, cobrará vida propia, pensará por nosotros y tomará las riendas del discurso. Habría que pasar mucho tiempo, empero, hasta que en Occidente las semillas de la India, Persia y Grecia, traídas por el viento del desierto árabe, germinasen definitivamente en el Renacimiento.

... y la justificación geométrica

El lector meticuloso habrá echado de menos el razonamiento dado por Al-Juarismi para la resolución de \(x^2+21=10x\). Helo aquí:aljuarismi07

1. Se traza un cuadrado de lado \(x\) y área \(x^2\) (arriba, a la izquierda).

2. Con un lado común al cuadrado, se traza un rectángulo de área \(21\) (arriba, a la derecha). El área del rectángulo conjunto resultante ha de ser, según la ecuación, igual a \(10x\), luego su base es \(10\).

3. Trazamos la mediatriz del segmento base de este gran rectángulo y formamos el nuevo cuadrado, grande, de lado \(5\). Formamos también un cuadrado interior al anterior de lado \(5-x\). Los dos rectángulos marcados con la letra \(A\) tienen las mismas dimensiones y, en consecuencia, la misma área.

4. El área del cuadrado de lado \(5\) puede ahora expresarse de dos formas:

\[5^2=21+(5-x)^2\Rightarrow 4=(5-x)^2\Rightarrow 2=5-x\Rightarrow x=3\]

Para encontrar la otra raíz, no seremos nosotros quienes privemos al conspicuo lector del placer de idear por sí mismo una figura adecuada...

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El conjunto de los números naturales. Una definición rigurosa y algunas propiedades

Con la idea de abrir boca para empezar los estudios de matemáticas en bachillerato, en un artículo anterior se hablaba sobre la introducción al número real en la Secundaria Obligatoria. En particular se definía el conjunto de los números naturales, \(\mathbb{N}\), como aquel formado por aquellos números que surgen de manera natural por la necesidad que tiene el ser humano de contar. De este modo:

\[\mathbb{N}=\{1\,,2\,,3\,,4\,,5\,,\ldots\}\]

Veremos en este artículo cómo definir de manera rigurosa, desde el punto de vista puramente matemático, el conjunto de los números naturales. Veremos el concepto de conjunto inductivo y demostraremos algunas propiedades de los naturales que, a primera vista, parecen evidentes. Así demostraremos, entre otras propiedades, que todo natural es mayor o igual que uno, que la suma y el producto de naturales es otro número natural, que el opuesto de un natural no es natural y que si \(m\) y \(n\) son números naturales decir que \(m-n\) es natural es lo mismo que decir que \(n<m\). Para ello haremos uso de otros dos artículos. Uno de ellos, en el que se hablaba sobre la estructura de cuerpo del conjunto de los números reales, y otro, en el que se culminaba el anterior, donde se mostraba que el conjunto de los números reales tiene estructura de cuerpo ordenado conmutativo.

Por último, y antes de comenzar, decir que la fuente utilizada para escribir este artículo ha sido el libro titulado Análisis Matemático I, de Camilo Aparicio del Prado y Rafael Payá Albert (Universidad de Granada). Este fue el libro con el que un servidor comenzó la andadura por este mundo de las matemáticas.

Conjuntos inductivos. Definición del conjunto de los números naturales

Intuitivamente el conjunto \(\mathbb{N}\) de los números naturales está formado por \(1\) y todos los números que se obtienen sumando \(1\) consigo mismo: \(1\), \(1+1\), \(1+1+1\),... El ejercicio resuelto número 6 de este artículo justifica que todos son distintos. En particular \(\mathbb{N}\) verifica que \(1\in\mathbb{N}\) y que si \(n\in\mathbb{N}\) entonces \(n+1\in\mathbb{N}\). \(\mathbb{N}\) debe ser el más pequeño conjunto de números reales de este tipo.

Definición.

Un subconjunto \(A\) de \(\mathbb{R}\) se llamará inductivo si verifica que \(1\in A\) y que si \(x\in A\) entonces \(x+1\in A\). 

Por ejemplo \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{R}^+\) son inductivos, mientras que \(\mathbb{R}^-\) y \(\mathbb{R}^\ast\) no lo son.

Se define el conjunto \(\mathbb{N}\) de los números naturales como la intersección de todos los subconjuntos inductivos de \(\mathbb{R}\).

Es inmediato que \(\mathbb{N}\) es un conjunto inductivo. El hecho de que sea el más pequeño de todos los subconjuntos inductivos de \(\mathbb{R}\) se justifica a continuación.

El principio de inducción

Teorema (Principio de inducción).

Si \(A\) es un conjunto inductivo de números reales y \(A\subset\mathbb{N}\), entonces \(A=\mathbb{N}\).

Demostración.

Por ser \(A\) inductivo se tiene \(\mathbb{N}\subset A\), luego \(A=\mathbb{N}\).

La utilización usual del anterior teorema es la siguiente. Supongamos que para cada \(n\) natural se tiene una cierta afirmación \(P_n\) y que se quiere demostrar que \(P_n\) es cierta para todo natural \(n\). Para ello basta probar que \(P_1\) es cierta y que de ser cierta \(P_n\) se deduce que \(P_{n+1}\) es cierta, \(\forall n\in\mathbb{N}\). En efecto, sea \(A=\{n\in\mathbb{N}:P_n\text{ es cierta}\}\), puesto que \(P_1\) es cierta se tiene que \(1\in A\) y como \(P_n\) es cierta implica que \(P_{n+1}\) es cierta, si \(n\in A\) se deduce que \(n+1\in A\), luego \(A\) es inductivo y como \(A\subset\mathbb{N}\), concluimos por el teorema anterior que \(A=\mathbb{N}\). Este razonamiento se conoce como demostración por inducción. Aquí puedes ver un ejercicio de aplicación del principio de inducción.

En el siguiente resultado se resumen las propiedades más inmediatas de los números naturales.

Corolario.

i) \(1\leqslant n,\forall n\in\mathbb{N}\).

ii) Si \(m\) y \(n\) son números naturales, entonces \(m+n\) y \(mn\) también lo son.

iii) Si \(n\) es un número natural, \(-n\) no es natural. Si \(n\) es natural y \(\dfrac{1}{n}\) es natural, entonces \(n=1\).

Demostración.

i) El conjunto \(\{x\in\mathbb{R}:1\leqslant x\}\) es inductivo, luego incluye a \(\mathbb{N}\).

ii) Tómese \(m\) un natural fijo, pero arbitrario y sean los conjuntos \(A=\{n\in\mathbb{N}:m+n\in\mathbb{N}\}\), \(B=\{n\in\mathbb{N}:mn\in\mathbb{N}\}\). Es muy fácil demostrar que \(A\) y \(B\) son inductivos (¿te atreves?). Por tanto \(A=\mathbb{N}\) y \(B=\mathbb{N}\), tal y como se quería demostrar.

iii) Si \(n\in\mathbb{N}\) se tiene por i) que \(0<1\leqslant n\), luego \(-n<0\) y así \(-n\) no es natural; también si \(n\neq1\) se tiene que \(1<n\), luego \(\dfrac{1}{n}<1\) y \(\dfrac{1}{n}\) es un real no natural por i).

Más propiedades del conjunto de los números naturales

Lema.

Si \(n\in\mathbb{N}\) y \(n\neq1\), entonces \(n-1\in\mathbb{N}\).

Demostración.

Supongamos que \(n-1\notin\mathbb{N}\) y sea \(A=\mathbb{N}-\{n\}\). Como \(n\neq1\) se tiene que \(1\in A\). Si \(x\in A\) se tiene que \(x\in\mathbb{N}\), luego \(x+1\in\mathbb{N}\) (\(\mathbb{N}\) es inductivo); además como hemos supuesto que \(n-1\notin\mathbb{N}\), se tiene también que \(x+1\neq n\) (¿por qué?). Así \(x+1\in A\), y hemos demostrado que \(A\) es un conjunto inductivo. Se tiene entonces \(A=\mathbb{N}\) lo cual es absurdo pues \(n\) es natural y no pertenece a \(A\). Por tanto \(n-1\in\mathbb{N}\) como queríamos demostrar.

Proposición.

Dados dos números naturales \(m\) y \(n\) se tiene:

\[n<m\Leftrightarrow m-n\in\mathbb{N}\]

Demostración.

\(\Rightarrow)\) Sea \(A=\{n\in\mathbb{N}:m-n\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n<m\}\). Por el lema anterior se tiene que \(1\in A\). Queremos probar que si \(n\in A\), entonces \(n+1\in A\). Sea \(n\in A\) y sea \(m\) un natural verificando \(n+1<m\); al ser \(n<m\), deducimos por la hipótesis de inducción que \(m-n\in\mathbb{N}\). Si fuese \(m-n=1\), sería \(n+1=m\) y hemos supuesto \(n+1<m\); así \(m-n\) es un número natural distinto de \(1\) y aplicando el lema anterior obtenemos que \(m-(n+1)=(m-n)-1\in\mathbb{N}\), es decir, \(n+1\in A\). Hemos probado que \(A\) es inductivo, luego \(A=\mathbb{N}\). Queda así probado que si \(m\) y \(n\) son dos naturales cualesquiera verificando \(n<m\), entonces \(m-n\in\mathbb{N}\).

\(\Leftarrow)\) Si \(m-n\in\mathbb{N}\) es natural, tenemos que \(m-n\geqslant1\) de donde se deduce \(m>n\).

La proposición anterior es una caracterización algebraica del orden de los naturales.

Corolario.

Si \(m\) y \(n\) son números naturales verificando \(n<m\), entonces \(n+1\leqslant m\).

Demostración.

Por la proposición anterior \(m-n\) es un número natural, luego mayor o igual que \(1\).

El corolario anterior afirma que si \(n\) es un número natural, no existe ningún número natural comprendido estrictamente entre \(n\) y \(n+1\). Esta propiedad se enuncia a veces diciendo que el orden de \(\mathbb{N}\) es discreto.

Finalmente obtendremos un resultado de extraordinaria importancia relativo a los conjuntos de números naturales; para poder enunciarlo necesitamos introducir un nuevo concepto.

Principio de la buena ordenación de los naturales

Definición.

Se dice que un conjunto \(A\) de números reales tiene máximo si existe un número real \(x\in A\) tal que \(x\geqslant a,\forall a\in A\). Es inmediato que el elemento \(x\) es único, se denomina máximo del conjunto \(A\) y se nota \(\max A\). Análogamente, diremos que \(A\) tiene mínimo si existe un número real \(y\in A\) tal que \(y\leqslant a,\forall a\in A\). Es igualmente inmediato que \(y\) es único, se le llama mínimo de \(A\) y se le nota \(\min A\).

Resaltamos que un conjunto de números reales puede no tener ni máximo ni mínimo. El siguiente resultado asegura la existencia de mínimo en determinadas circunstancias.

Teorema (Principio de buena ordenación de los naturales).

Todo conjunto no vacío de números naturales tiene mínimo.

Demostración.

Sea \(A\subset\mathbb{N}\), \(A\) no vacío. Si \(1\in A\) no hay nada que demostrar pues entonces \(1=\min A\) (ver apartado i) del primer corolario de este artículo). Supongamos que \(1\notin A\) y sea \(B=\{n\in\mathbb{N}:n<a,\forall a\in A\}\). Claramente \(1\in B\). Si \(B\) fuese inductivo, sería \(B=\mathbb{N}\) y como consecuencia \(A\) sería vacío, luego \(B\) no es inductivo y por tanto \(\exists\,n\in B\) tal que \(n+1\notin B\). Por el corolario anterior se tiene \(n+1\leqslant a,\forall a\in A\) y como \(n+1\in A\), pues en otro caso \(n+1\) pertenecería a \(B\), concluimos que \(n+1=\min A\).

Por último vamos a definir y a obtener las propiedades básicas de las potencias de exponente natural.

Definición.

Para todo número real \(x\) se definen las potencias de exponente natural de \(x\) de la siguiente manera:

\[x^1=x\]

\[x^{n+1}=x^nx\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

En otras palabras: \(x^1=x\), \(x^2=xx\), \(x^3=x^2x\) y así "sucesivamente".

La siguiente proposición resume las propiedades esenciales.

Proposición.

i) \(x^{n+m}=x^nx^m\,,\forall\,m,n\in\mathbb{N}\).

ii) \((x^n)^n=x^{nm}\,,\forall\,m,n\in\mathbb{N}\).

iii) Si \(1<x\) y \(m,n\in\mathbb{N}\), entonces \(n<m\Leftrightarrow x^n<x^m\).

Demostración.

i) Sea \(m\in\mathbb{N}\) y sea \(A=\{n\in\mathbb{N}:x^{m+n}=x^mx^n\}\). Por definición de potencia de exponente natural se tiene \(1\in A\). Si \(n\in A\) se tiene \(x^{m+n+1}=x^{m+n}{x}=(x^mx^n)x=x^m(x^nx)=x^mx^{n+1}\). Así, \(A\) es inductivo, luego \(A=\mathbb{N}\) como queríamos demostrar.

ii) Similar a i).

iii) Sea \(1<x\). Como el conjunto \(B=\{n\in\mathbb{N}:1<x^n\}\) es inductivo, tenemos que \(1<x^n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Si \(n<m\), sabemos que \(m-n\in\mathbb{N}\) y por tanto \(1<x^{m-n}\), luego \(x^n<x^m\). Recíprocamente, supongamos que \(x^n<x^m\) y que \(m\leqslant n\); entonces por lo ya demostrado \(x^m\leqslant x^n\), lo cual es una contradicción.


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Engañosa simplicidad

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La vida secreta de los números. Cómo piensan y trabajan los matemáticos", de George G. Szpiro

La mayoría de los niños pueden manejar los números enteros desde la guardería. Operar con fracciones es un poco más difícil. Los chavales tienen que estar un par de años en primaria para poder manejarlas. Pero los números irracionales son algo totalmente diferente. Los problemas empiezan al manejar números que no se pueden expresar como una fracción de números enteros.

Con las ecuaciones ocurre justo lo contrario. Es bastante fácil encontrar soluciones irracionales a los problemas. El lío empieza cuando un problema requiere que las soluciones sean sólo números enteros. La parte de las Matemáticas que lidia con estos problemas se llama teoría de números. Una fastidiosa caracterísitica de esta disiciplina es su aparente simplicidad. A primera vista, los problemas parecen muy simples. Sólo cuando uno se adentra un poco más en la materia se muestran explícitas sus terribles dificultades.

El matemático griego Diofanto, que vivió hace unos 1800 años en Alejandría y al que se conoce como el padre el Álgebra, es considerado el fundador de la teoría de números. En su honor, las ecuaciones con incógnitas que han de ser números enteros (números primos, en particular) se llaman ecuaciones diofánticas.

Su trabajo más importante, Arithmetica, consistía en unos 130 problemas y sus soluciones. Por desgracia, los libros fueron destruidos en un incendio en la Biblioteca de Alejandría en el año 391. Muchos años después, en el siglo XV, seis de los trece volúmenes originales fueron descubiertos. En 1968, aparecieron otros cuatro, aunque en una traducción incompleta del árabe. Durante años, no se supo interpretar los manuscritos del matemático griego de la Antigüedad, y sólo en el siglo XVII alguien consiguió darles sentido. Este hombre fue Pierre de Fermat, un magistrado francés que disfrutaba de su tiempo libre jugando con las matemáticas. Hoy en día, Fermat es además conocido por su notorio Último Teorema.

Uno de los problemas que planteó Diofanto sigue sin resolverse: ¿qué números pueden expresarse como la suma de dos números enteros o fracciones elevado cada uno a la tercera potencia? La cuestión puede responderse afirmativamente con los números \(7\) y \(13\), por ejemplo, dado que \(7=2^3+(-1)^3\) y \(13=\left(\dfrac{7}{3}\right)^3+\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\). ¿Pero qué pasa con números como el \(5\) y el \(35\)? Para responder a esta pregunta, hay que conocer los métodos más complicados de las Matemáticas modernas.

Lo único que han conseguido los matemáticos, por ahora, es un método para determinar si la descomposición de un número concreto se puede encontrar o no, pero son incapaces de conseguirla. Para determinar si un número ses puede descomponer en cubos, ha de calcularse la gráfica de una función llamada \(L\). Si la gráfica cruza o toca el eje \(X\) del sistema de coordenadas justo en el punto donde \(x=1\), el número en cuestión puede descomponerse en cubos. Si el valor de la función en \(x=1\) no es \(0\), no se puede descomponer. Esta condición la cumple el número \(35\): la función \(L\) asociada al mismo tiene el valor \(0\) en \(x=1\). Y ciertamente, \(35\) puede descomponerse en \(3^3+2^3\). Por el contrario, para el número \(5\), la gráfica de la función \(L\) no cruza el eje \(X\). Esto demuestra que \(5\) no puede descomponerse en cubos.

Don Zagier, director del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn, Alemania, dio una serie de conferencias públicas en Viena en 2003 sobre la descomposiciones diofánticas.

Zagier es uno de los matemáticos más importantes del mundo, y la base de su trabajo es la teoría de números. De niño, ya era un superdotado. Nacido en la ciudad alemana de Heidelberg en 1951, creció en Estados Unidos, acabó Secundaria con 13 años, completando la Licenciatura en Matemáticas y Física en el Instituto Tecnológico de Massachusetts con 16 años, y obtuvo un doctorado de Oxford con 19. A los 23 años, había obtenido el título necesario en Alemania para dar clases como profesor en el Instituto Max Planck de Matemáticas. A los 24 años, era el catedrático más joven de Alemania. Su talento no se limita sólo a las matemáticas, por cierto: habla nueve lenguas.

Una de las charlas de Zagier, parte de la serie de conferencias Gödel en Viena, se titulaba «Perlas de la teoría de números». La otra conferencia se dio en la inauguración de «math-space», una sala única en el museo de Viena cuya finalidad es dar cabida a conferencias sobre matemáticas para todos los públicos. Se espera que esta materia, comúnmente considerada como oscura, se pueda hacer asequible al gran público de la ciudad, que suele pasar el tiempo en óperas y salones de té.

Zagier es un hombre pequeño y estrafalario. Pero cuando empieza a hablar sobre su teoría preferida en público, su actuación haría palidecer de envidia a una estrella del rock. Saltando constantemente entre dos proyectores, asombra a su público con sus explicaciones matemáticas, en un perfecto alemán con un ligero acento americano. Hasta el que más deteste las matemáticas se olvidará de que está asistiendo a una conferencia sobre el tema. El placer con el que Zagier, al que algunos llaman el Supercerebro de Bonn, ejerce su vocación, es obvio para todo el mundo. Resulta difícil creer que matemáticos como él puedan ser acusados de tratar una materia aburrida.

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Un par de problemas de teoría de números

Hace un tiempo encontré un par de problemas de matemáticas en la Web Gaussianos. En concreto se trata de dos problemas de teoría de números. Empecé a pensar en ellos e intenté resolverlos utilizando únicamente matemáticas básicas, sin recurrir a estrategias de las que se dan en la facultad. Es realmente fascinante enfrascarse con un problema de teoría de números y tratar de encontrar una estrategia que conduzca a la solución. A continuación transcribo los enunciados de ambos problemas, así como las soluciones que encontré para los mismos. No niego que pueda haber algún error o fisura en las demostraciones. Sí que es posible porque no somos infalibles, y un pequeño detalle puede echar por tierra una demostración que se creía válida. Si fuera así y desearas comunicármelo, puedes hacerlo a través de este enlace de contacto. En todo caso lo importante de un problema de matemáticas, por el reto intelectual que supone, es ese tiempo que pasamos con él dándole vueltas, intentando resolverlo. Resolver problemas es una terapia recomendable. ¿Para qué estamos aquí si no?

Problema 1

Dado un número primo \(p\) demostrar que \(2^p+3^p\) no puede ser un cuadrado perfecto.

Si \(p=2\), entonces \(2^p+3^p=2^2+3^2=4+9=13\), que no es un cuadrado perfecto. Por tanto, \(p\) será a partir de ahora un número primo distinto de \(2\).

Razonemos por reducción al absurdo y supongamos que \(\exists\ k\in\mathbb{N}\) tal que \(2^p+3^p=k^2\).

Desarrollemos la expresión \(2^p+3^p\) de la siguiente manera (haremos uso del binomio de Newton):

\[\begin{array}{rrl}2^p+3^p &=&2^p+(2+1)^p\ = \\&=&2^p+2^p+p\cdot2^{p-1}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-2}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-3}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p^2\cdot2^2+p\cdot2+1\ = \\&=&2\left(2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+p\right)+1\\ \end{array}\]

De aquí se deduce que \(2^p+3^p\) es impar. Esto implica que \(k\) debe ser también impar, pues en caso contrario \(k^2=2^p+3^p\) sería par (el cuadrado de un número par es par). Por tanto \(k=2r+1\) para algún \(r\in\mathbb{N}\). De este modo tenemos:

\[\begin{array}{rrl}2\left(2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+p\right)+1&=&(2r+1)^2\ \Rightarrow\\ \Rightarrow\ 2\left(2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+p\right)+1&=&4r^2+4r+1\ \Rightarrow\\ \Rightarrow\ 2\left(2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+p\right)&=&4r^2+4r\ \Rightarrow\\ \Rightarrow\ 2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+p&=&2r^2+2r\quad (\ast)\\ \end{array}\]

Como \(p\) es primo y \(p\neq2\), \(p\) debe ser impar. Es decir \(\exists\ t\in\mathbb{N}\) tal que \(p=2t+1\). Entonces la expresión \((\ast)\) queda del siguiente modo:

\[2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+2t+1=2r^2+2r\ \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\ 2\left(2^{p-1}+p\cdot2^{p-3}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-4}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-5}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p+t\right)+1=2\left(r^2+r\right)\]

Como se aprecia claramente, el primer miembro es impar y el segundo par. Y esto es una contradicción.

Por tanto no existe \(k\in\mathbb{N}\) tal que \(2^p+3^p=k^2\), es decir, \(2^p+3^p\) no puede ser un cuadrado perfecto.

Problema 2

Dado un número natural \(n\) demostrar que \(14^n+11\) nunca es un número primo.

No es muy difícil darse cuenta de que si \(n\) es impar, entonces \(14^n\) acaba en \(4\). Esto significa que \(14^n+11\) acabará en \(5\) y, por tanto, no puede ser un número primo.

Por otro lado, si \(n\) es par, \(14^n\) acabará en \(6\) y \(14^n+11\) acabará en \(7\). Vamos a intentar demostrar, en este caso, que \(14^n+11\) es un múltiplo de \(3\). Para ello bastará demostrar que \(14^n+2\) es múltiplo de \(3\). Es decir, estamos afirmando que si \(14^n+2\) es múltiplo de \(3\), también lo será \(14^n+11\) (esto es muy sencillo de ver porque la suma de dos múltiplos de \(3\) también es un múltiplo de \(3\), y si a \(14^n+2\), que es múltiplo de \(3\), le sumamos \(9\), que también lo es, se obtiene \(14^n+11\)).

Razonemos por reducción al absurdo y supongamos que \(14^n+2\) no es un múltiplo de \(3\). Entonces, al dividir \(14^n+2\) entre \(3\) solamente pueden ocurrir dos cosas: que el resto de la división sea \(1\), o bien que el resto de la división sea \(2\).

  • Si el resto es \(1\), entonces \(14^n+2=3c+1\), donde \(c\) es el cociente que resulta de dividir \(14^n+2\) entre \(3\). Es decir, \(14^n+1=3c\). Pero esto no es cierto si \(n\) es cualquier número par. Por ejemplo, ya para \(n=2\), \(14^n+1=14^2+1=197\), que no es un múltiplo de \(3\). También ocurre para \(n=4\): \(14^n+1=14^4+1=38417\), que tampoco es múltiplo de \(3\).
  • Si el resto es \(2\), entonces \(14^n+2=3c+2\), donde, otra vez, \(c\) es el cociente que resulta de dividir \(14^n+2\) entre \(3\). Es decir, \(14^n=3c\). Y esto tampoco es cierto si \(n\) es cualquier número par. Para \(n=2\), \(14^n=14^2=196\), que no es múltiplo de \(3\). También ocurre para \(n=4\), \(14^n=14^4=38416\), que tampoco es múltiplo de \(3\).

En cualquiera de los dos casos llegamos a una contradicción. Esto quiere decir que, si \(n\) es par, \(14^n+2\) es un múltiplo de \(3\), con lo que también lo será \(14^n+11\).

Hemos demostrado pues que en ningún caso \(14^n+11\) puede ser un número primo.

Si quieres puedes descargarte los dos enunciados y las soluciones en formtato PDF aquí.

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Suma de los cubos de los n primeros números naturales. Una demostración algebraica y otra gráfica

En este artículo se deducía que la suma \(S_1=1+2+3+\ldots+n\) de los \(n\) primeros números naturales viene dada por la fórmula

\[S_1=\frac{n(n+1)}{2}\]

También deducíamos que la suma \(S_2=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\) de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales es

\[S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Un procedimiento similar permite deducir la suma \(S_3=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3\) de los cubos de los \(n\) primeros números naturales. Veámoslo. Para ello utilizaremos las dos fórmulas anteriores y el desarrollo de un binomio de exponente 4, que es 

\[(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\]

Observemos pues los siguientes desarrollos:

\[1^4=(1+0)^4=1^4\]

\[2^4=(1+1)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot1+6\cdot1^2\cdot1^2+4\cdot1\cdot1^3+1^4\]

\[3^4=(1+2)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot2+6\cdot1^2\cdot2^2+4\cdot1\cdot2^3+2^4\]

\[4^4=(1+3)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot3+6\cdot1^2\cdot3^2+4\cdot1\cdot3^3+3^4\]

\[\ldots\ldots\]

\[(n+1)^4=(1+n)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot n+6\cdot1^2\cdot n^2+4\cdot1\cdot n^3+n^4\]

Sumando el primer miembro y el último de cada una de las igualdades tenemos:

\[1^4+2^4+3^4+4^4+\ldots+(n+1)^4=(n+1)+4\cdot(1+2+3+\ldots+n)+\]

\[+6\cdot(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)+4\cdot(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3)+\]

\[+(1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4)\]

Pasando el último sumando al primer miembro tenemos:

\[(n+1)^4=(n+1)+4\cdot S_1+6\cdot S_2+4\cdot S_3\]

Y de aquí, sustituyendo y despejando obtenemos una fórmula para la suma \(S_3\) de los cubos de los \(n\) primeros números naturales.

\[(n+1)^4=(n+1)+4\cdot \frac{n(n+1)}{2}+6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\cdot S_3\Rightarrow\]

\[\Rightarrow(n+1)^4=(n+1)+2n(n+1)+n(n+1)(2n+1)+4S_3\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4S_3=(n+1)\left[(n+1)^3-1-2n-n(2n+1)\right]=(n+1)(n^3+3n^2+3n+1-1-2n-2n^2-n)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4S_3=(n+1)(n^3+n^2)=(n+1)n^2(n+1)=n^2(n+1)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]

Esta es una demostración matemática para obtener una fórmula que permita sumar los cubos de los \(n\) primeros números naturales. Por ejemplo la suma de los cubos de los 12 primeros números naturales es:

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+12^3=\frac{12^2\cdot13^2}{4}=\frac{144\cdot169}{4}=6084\]

Si enredamos un "pelín" más observamos que:

\[S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=S_1^2\]

Es decir:

\[1^3+2^3+3^3+4^3\ldots+n^3=\left(1+2+3+4+\ldots+n\right)^2\]

Utilizando el símbolo "sumatorio" (la letra griega sigma mayúscula) queda una fórmula muy elegante:

\[\displaystyle\sum_{x=1}^n x^3=\left(\displaystyle\sum_{x=1}^n x\right)^2\]

Y la fórmula anterior tiene una maravillosa interpretación mediante una imagen que hace poco pude ver en twitter, y que vale más que todas las demostraciones matemáticas que podamos hacer de la fórmula. ¿Puedes verla? Seguro que sí.

suma cubos 1

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Valor absoluto

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Hasta aquí, y en tres documentos anteriores, hemos hecho un repaso del conjunto de los números reales. En primer lugar vimos cómo se introducen en la Educación Secundaria Obligatoria. Y posteriormente se recordó la importancia de percibir el conjunto de los números reales, con las operaciones suma y producto, y con la relación de orden \(\leq\,\), como un conjunto dotado de una estructura: el cuerpo ordenado conmutativo de los números reales. Los documentos o artículos a los que nos referimos son los siguientes:

Pues bien, ahora es el momento de introducir de manera rigurosa el valor absoluto de un número real y de ver sus propiedades.

Concretamente, dado un número real \(a\), se define su valor absoluto, \(|a|\), de la siguiente forma:

\[|a|=\begin{cases}\ \ \ a\quad\text{si}\quad a\geq0\\-a\quad\text{si}\quad a<0\end{cases}\]

Ya hemos hablado antes de la recta real y de cómo se representan los números reales sobre la misma. Nuestra intuición rápidamente nos da una idea clara de lo que significa la distancia entre dos números reales \(x\) e \(y\). Si, por ejemplo, \(x<y\), la distancia entre \(x\) e \(y\) será igual a \(y-x\). Así pues la distancia entre los números \(-3\) y \(7\) es \(7-(-3)=10\). Pues bien, lo que se infiere de la definición de valor absoluto, es que el valor absoluto de un número real \(a\) es la distancia de ese número \(a\) al número \(0\), origen de la recta real.

Con un ejemplo numérico se verá mejor. Según la definición, como \(-8<0\) su valor absoluto será \(|-8|=-(-8)=8\). Y \(8\) es precisamente la distancia de \(-8\) al origen.

Vamos a obtener algunas propiedades básicas del valor absoluto, propiedades cuya demostración es sencilla utilizando la propia definición de valor absoluto, y las propiedades de cuerpo ordenado que tiene el conjunto de los números reales.

Propiedades del valor absoluto

1.  \(|a|\geq0\,,\,\forall\,a\,\in\mathbb{R}\).

2.  Si \(a\,\in\mathbb{R}\), entonces \(|a|=0\Leftrightarrow a=0\).

3.  \(a\leq|a|\,,\,\forall\,a\,\in\mathbb{R}\).

4.  \(|a|=|-a|\,,\,\forall\,a\,\in\mathbb{R}\).

5.  \(|ab|=|a||b|\,,\,\forall\,a,\,b\,\in\mathbb{R}\).

6.  \(\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}\,,\,\forall\,a,\,b\,\in\mathbb{R}\).

Se podrá pensar que para qué demostrar las propiedades anteriores, cuando parecen evidentes por sí mismas, teniendo en cuenta la interpretación geométrica que le hemos dado al valor absoluto de un número real (recuérdese: la distancia de ese número al origen). De hecho, las vamos a comentar una por una desde esta perspectiva.

1. La distancia de un número al origen es siempre o cero o positiva.

2. Decir que la distancia de un número al origen es cero es equivalente a decir que ese número es el propio \(0\).

3. La distancia de un número al origen es siempre mayor o igual que ese número.

4. La distancia de un número al origen es igual que la distancia del opuesto de ese número al origen.

5. La distancia del producto de dos números al origen es igual que el producto de las distancias de esos dos números al origen.

6. La distancia del cociente de dos números al origen es igual que el cociente de las distancias de esos dos números al origen.

Sin embargo, tal y como hemos venido haciendo hasta ahora, vamos a demostrar las propiedades del valor absoluto de manera rigurosa.

Demostraciones de las propiedades del valor absoluto

Propiedad 1

Por la propia definición de valor absoluto de un número real \(a\):

\[|a|=\begin{cases}\ \ \ a\quad\text{si}\quad a\geq0\\-a\quad\text{si}\quad a<0\Rightarrow-a\geq0\end{cases}\]

es obvio que \(|a|\geq0\).

Propiedad 2

\(\Rightarrow)\) Supongamos que \(|a|=0\). Si fuera \(a\geq0\), entonces, por definición de valor absoluto, \(|a|=a=0\). Ahora bien si fuera \(a<0\), entonces \(|a|=-a=0\Rightarrow a=0\). En cualquier caso hemos demostrado que si \(|a|=0\), entonces \(a=0\).

\(\Leftarrow)\) Si \(a=0\), entonces, por definición de valor absoluto, \(|a|=a=0\).

Propiedad 3

Distinguiremos tres casos: \(a=0\),  \(a>0\) y \(a<0\).

Si \(a=0\), entonces \(|a|=0\geq0=a\).

Si \(a>0\), entonces \(|a|=a\geq a\).

Si \(a<0\), entonces \(|a|=-a>0>a\).

Propiedad 4

Procederemos como en la propiedad anterior.

 Si \(a=0\), entonces \(|a|=|0|=0=-a=|-a|\).

Si \(a>0\), entonces \(|a|=a=-(-a)=|-a|\), ya que \(-a<0\).

Si \(a<0\), entonces \(|a|=-a=|-a|\), ya que \(-a>0\).

Propiedad 5

Para demostrar esta propiedad distinguiremos todos los casos posibles para los números reales de \(a\) y \(b\).

Si \(a\neq0,\,b=0\), entonces \(|ab|=|a0|=|0|=0=|a|0=|a||0|=|a||b|\).

Si \(a=0,\,b\neq0\), entonces \(|ab|=|0b|=|0|=0=0|b|=|0||b|=|a||b|\).

Si \(a>0,\,b>0\), entonces \(ab>0\Rightarrow|ab|=ab=|a||b|\).

Si \(a<0,\,b<0\), entonces \(ab>0\Rightarrow|ab|=ab=(-a)(-b)=|a||b|\).

Si \(a>0,\,b<0\), entonces \(ab<0\Rightarrow|ab|=-(ab)=a(-b)=|a||b|\).

Si \(a<0,\,b>0\), entonces \(ab<0\Rightarrow|ab|=-(ab)=(-a)b=|a||b|\).

Propiedad 6

Para demostrar esta propiedad se procederá de manera similar a como se ha hecho en la propiedad anterior.

Si \(a\neq0,\,b=0\), entonces \(\left|\dfrac{a}{b}\right|=\left|\dfrac{0}{b}\right|=|0|=0=\dfrac{|0|}{|b|}=\dfrac{|a|}{|b|}\).

Si \(a>0,\,b>0\), entonces \(\dfrac{a}{b}>0\Rightarrow\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{a}{b}=\dfrac{|a|}{|b|}\).

Si \(a<0,\,b<0\), entonces \(\dfrac{a}{b}>0\Rightarrow\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{|a|}{|b|}\).

Si \(a>0,\,b<0\), entonces \(\dfrac{a}{b}<0\Rightarrow\left|\dfrac{a}{b}\right|=-\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{-b}=\dfrac{|a|}{|b|}\).

Si \(a<0,\,b>0\), entonces \(\dfrac{a}{b}<0\Rightarrow\left|\dfrac{a}{b}\right|=-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{|a|}{|b|}\).

Definición de distancia entre dos números reales

Retomando la interpretación geométrica del valor absoluto tenemos que, dados dos números reales cualesquiera \(a\) y \(b\), con \(a<b\), entonces \(b-a>0\) y \(a-b<0\) y, por tanto,

\[|b-a|=b-a=-(a-b)=|a-b|\]

Si hubiera sido \(a>b\), entonces \(b-a<0\) y \(a-b>0\), con lo que, en este caso,

\[|b-a|=-(b-a)=a-b=|a-b|\]

Finalmente, si \(a=b\), es obvio que \(|a-b|=|0|=|b-a|\).

Hemos demostrado pues que dados dos números reales cualesquiera \(a\) y \(b\), se tiene que

\[|b-a|=|a-b|\]

Aunque utilizando la propiedad 4 hubiera sido mucho más rápido: \(|a-b|=|-(a-b)|=|b-a|\). Este es un ejemplo de que a veces es mejor usar las propiedades y no la propia definición.

Al número real \(|b-a|\) se le suele llamar distancia entre \(a\) y \(b\). Lo que hemos demostrado anteriormente es que la distancia entyre \(a\) y \(b\) es la misma que la distancia entre \(b\) y \(a\).

numero real 5

Con el valor absoluto hacemos referencia a la idea intuitiva de distancia, que es la distancia mínima o distancia en línea recta.

Vamos a demostrar finalmente otras tres propiedades importantes del valor absoluto.

Proposición

i) Si \(a,\,b\in\mathbb{R}\), entonces \(|a|\leq b\Leftrightarrow-b\leq a\leq b\).

ii) \(|a+b|\leq|a|+|b|\ ,\,\forall\,a,\,b\in\mathbb{R}\).

iii) \(\left||a|-|b|\right|\leq|a-b|\ ,\,\forall\,a,\,b\in\mathbb{R}\).

Demostración

 i) Supongamos que \(|a|\leq b\). Entonces, usando las propiedades 3 y 4 anteriores, \(a\leq|a|\leq b\) y también \(-a\leq|-a|=|a|\leq b\), de donde \(-b\leq a\leq b\).

Recíprocamente, si \(-b\leq a\leq b\), puede ocurrir \(a\geq0\) y entonces \(|a|=a\leq b\), o bien \(a<0\) y \(|a|=-a\leq b\) porque \(-b\leq a\), luego en cualquier caso \(|a|\leq b\) como se quería demostrar.

ii) Es claro que \(-|a|\leq a\leq|a|\) y \(-|b|\leq b\leq|b|\) de donde \(-(|a|+|b|)\leq a+b\leq|a|+|b|\), con lo que, aplicando la parte i) obtenemos \(|a+b|\leq|a|+|b|\).

iii) En virtud de ii) tenemos:

\[|a|=|(a-b)+b|\leq|a-b|+|b|\Rightarrow|a|-|b|\leq|a-b|\]

\[|b|=|(b-a)+a|\leq|b-a|+|a|=|a-b|+|a|\Rightarrow -|a-b|\leq|a|-|b|\]

Entonces, otra vez por la parte i), queda finalmente que \(||a|-|b||\leq|a-b|\), tal y como queríamos demostrar.

La propiedad de la parte i) de la proposición anterior es muy útil para resolver algunas inecuaciones sencillas. Por ejemplo, para obtener los valores de \(x\) que cumplen la desigualdad \(|x-4|\leq2\), se procede de la siguiente manera:

\[|x-4|\leq2\Leftrightarrow-2\leq x-4\leq2\Leftrightarrow-2+4\leq x-4+4\leq2+4\Leftrightarrow2\leq x\leq6\]

Por tanto la solución es el conjunto \(\{x\in\mathbb{R}\,:\,2\leq x\leq6\}\), o lo que es lo mismo, el intervalo cerrado \([2,\,6]\).

Si lo que se desea es resolver la inecuación \(|x-4|>2\), se plantea justo la contraria, \(|x-4|\leq2\), que es la que hemos resuelto anteriormente. La solución será también la contraria de la solución anterior, es decir, \(\mathbb{R}-[2,\,6]=(-\infty,\,2)\cup(2,\,+\infty)\).

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Trabajando y conjeturando con representaciones de cuadrados

En un artículo anterior ya habíamos hablado sobre sumas de cuadrados. Pero... ¿qué números sean o no cuadrados, pueden descomponerse en dos cuadrados?

Este artículo está extraído (con alguna que otra modificación) del libro Uno + uno son diez, de José María Letona. Editorial La Muralla, S.A., 2010


El autor del primer libro impreso sobre matemáticas recreativas, Bachet de Méziricac, notó que cualquier entero positivo es, o un cuadrado, o la suma de dos, tres o cuatro cuadrados. No existe una demostración de esta afirmación pero encontró, en algunos problemas de Diofanto, indicaciones que apuntaban a esta proposición y llegó a probarla hasta el \(325\).

Veamos lo fácil que resulta para los diez primeros números enteros positvos:

suma-01

En estos casos lo máximo requerido ha sido de tres cuadrados, pero claramente existen números que requieren de cuatro cuadrados.

Conjeturamos pues que la ecuación

suma-02

tiene una solución para la cual \(x\), \(y\), \(z\) y \(w\) son enteros no negativos.

Ahora nos preguntamos por el número de representaciones distintas como suma de cuatro cuadrados de un número entero positivo. En el siguiente sentido: la única forma de sumar el \(20\) con cuatro cuadrados es con dos nueves y dos unos, que se pueden ordenar de la siguiente manera (6 ordenaciones con dos nueves y dos unos):

sumas07

Esto quiere decir que el \(20\) admite \(6\) representaciones distintas como suma de cuatro cuadrados.

Para poder familiarizarnos con el problema así enunciado pongamos un ejemplo muy particular. En este ejemplo trabajaremos con un número impar \(u\), llamaremos \(n=4u\), e intentaremos descomponerlo en suma de cuadrados impares.

Tomemos pues para nuestro ejemplo \(u=25\), con lo que \(n=4u=100\). ¿Qué cuadrados impares se pueden obtener para nuestro propósito? Los siguientes:

suma-03

Si \(81\) es uno de los cuatro cuadrados cuya suma es \(100\), la suma de los otros tres será \(100-81=19\). Además:

sumas-04

De esta forma el \(100\) lo podremos poner como suma de cuatro cuadrados:

sumas-05

Expresión que admite \(12\) ordenaciones distintas:

sumas08

Pero el \(100\) admite más ordenaciones. Habíamos trabajado con el \(81\). Trabajando con \(49\) y \(25\) se obtiene:

sumas09

La primera de las expresiones anteriores admite \(6\) ordenaciones (como en el caso anterior del número \(20\)), la segunda admite \(12\), y le tercera es ella misma la única ordenación. Así pues podemos decir que el número \(100\) admite \(12+6+12+1=31\) representaciones diferentes. Obsérvese que la suma de las ordenaciones es el total de representaciones diferentes en suma de cuatro cuadrados impares.

Con este ejemplo hemos podido ver claramente el significado del problema. Podemos ahora revisar casos más sencillos con \(u=1,\ 3,\ 5,\ldots,\ 25\).

Si estamos en una clase con alumnos podemos dejar que ellos, en pequeños grupos de dos o tres, construyan por sí mismos la siguiente tabla:

sumas10

¿Podremos encontrar una regla? ¿Hay alguna ley que una el número impar \(u\) y el número de diferentes representaciones de \(4u\) como suma de cuatro cuadrados impares?

Observemos la primera columna, de los valores de \(u\), y la última, del número de representaciones:

sumas11

Desesperante, nada parece gobernar esta serie, ¿o sí? Veamos: hay números muy fáciles de relacionar.

A cada número de la primera fila que sea primo, su correspondiente de la segunda es una unidad más. Repetimos la tabla con indicación en negrita de los números primos y su correspondiente número de representaciones, que nos permite comprobar lo que decimos:

sumas12

¿No parece sorprendente que los primos tengan ese papel en nuestro problema, en cuyo enunciado no aparecía el concepto de número primo?

El resto de los números de la primera fila \((1,\ 9,\ 15,\ 21,\ 25)\) son todos compuestos, salvo el \(1\). ¿Cuál es la naturaleza de éstos y sus representaciones? Dejemos aparte el \(1\). Para los demás se cumple que el correspondiente de la segunda fila es siempre mayor que \(u+1\):

sumas13

Nótese que los cuadrados de la primera fila (el \(9\) y el \(25\)) corresponden con primos en la segunda (\(13\) y \(31\)).

De los otros dos tenemos

 sumas14

Una vez más, nuestra investigación nos sorprende: los factores de los números de la segunda fila exceden en una unidad a los factores de los correspondientes de la primera.

En resumen, si el número de la primera fila es \(p\) primo, el de la segunda es \(p+1\).

En el caso de que el número de la primera fila sea de la forma \(p\cdot q\), donde \(q\) es también primo, el correspondiente de la segunda fila es \((p+1)\cdot(q+1)=pq+p+q+1\).

En el caso de los cuadrados \(p^2\) (recuerda, el \(9\) y el \(25\)) el correspondiente de la segunda fila es \(p^2+p+1\) \((3^2+3+1=13,\ 5^2+5+1=31)\).

¡¡Atención!! Los números de la segunda fila nos exhiben la suma de los divisores del número de la primera.

Del resto es claro que también se cumple, ya que los primos tienen dos divisores: el mismo y la unidad.

Podemos hacer pues la siguiente

Conjetura

Si \(u\) es un número impar, el número de representaciones de \(4u\) como suma de cuatro cuadrados impares es igual a la suma de los divisores de \(u\).

Se puede seguir trabajando y conjeturando, esto es sólo el principio... ¿Alguien da más?

 

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