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Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de la derivada de una función en un punto usando la definición y aprovechando el cálculo de límites. A continuación, se introducen inmediatamente las reglas de derivación: de un número por una función, de la suma y la resta, del producto y del cociente, así como la derivada de la función compuesta o regla de la cadena. También se dan las derivadas de las funciones elementales (puedes consultar este artículo), generalmente mediante una tabla de derivadas, que suele aparecer dividida en dos: la derivada de la función directamente y la derivada de la función compuesta en la que se hace uso de la regla de la cadena.

Es probable que en bachillerato también se demuestren, usando la definición de derivada de una función en un punto, algunas de las reglas de derivación (por ejemplo la derivada de la suma o del producto de dos funciones), pero lo que no se suele hacer es la demostración de la derivada de la función compuesta, conocida más habitualmente por regla de la cadena. Aprovechando que en esta Web hemos dedicado artículos a hablar sobre la composición de funciones, función inversa de una función y sobre el concepto de convergencia de una sucesión, vamos a proceder a la demostración de la regla de la cadena. Aprovecharemos también para enunciar y demostrar el teorema de la función inversa. Finalmente, y como consecuencia de lo anterior, demostraremos un resultado conocido por todos los estudiantes de matemáticas en bachillerato: de todas las funciones exponenciales, la de base el número \(\text{e}\) es la única que coincide con su función derivada. Este resultado justifica que la función exponencial de base \(\text{e}\) sea la función exponencial por excelencia. De hecho, a la función exponencial de base \(\text{e}\) se la llama, simplemente, función exponencial.

Teorema 1 (de la función compuesta o regla de la cadena)

Sean \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\), \(f:B\rightarrow\mathbb{R}\) funciones reales de variable real verificando que \(f(A)\subset B\) y sea \(h=g\circ f\). Sea también \(a\in A\) y supongamos que \(f\) es derivable en \(a\) y que \(g\) es derivable en \(f(a)\). Entonces \(h\) es derivable en \(a\) y se verifica que

\[h'(a)=g'(f(a))f'(a)\]

Sea \(\phi:B\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por

\[\phi(y)=\left\{\begin{array}{ccc}
                   \displaystyle\frac{g(y)-g(f(a))}{y-f(a)} & \text{si} & y\in B-\{f(a)\} \\
                   g'(f(a)) & \text{si} & y=f(a)
                 \end{array}
\right.\]

La derivabilidad de \(g\) en \(f(a)\) hace que \(\phi\) sea continua en \(f(a)\). Se tiene además:

\[g(y)-g(f(a))=\phi(y)(y-f(a))\,,\forall\, y\in B\]

igualdad que, para \(y\neq f(a)\), se deduce de la definición de \(\phi\), mientras que, para \(y=f(a)\), es evidente por ser nulos sus dos miembros.

Dado \(x\in A\) tenemos, tomando \(y=f(x)\),

\[h(x)-h(a)=\phi(f(x))(f(x)-f(a))\]

de donde, si además es \(x\neq a\),

\[\frac{h(x)-h(a)}{x-a}=\phi(f(x))\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

Por ser \(f\) continua en \(a\) y \(\phi\) continua en \(f(a)\) tenemos que \(\phi\circ f\) es continua en \(f(a)\) (ver proposición 3 del artículo dedicado a las propiedades de las funciones continuas), luego

\[\lim_{x\rightarrow a}\phi(f(x))=\phi(f(a))=g'(f(a))\]

Finalmente, como el límite del producto es el producto de los límites tenemos

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{h(x)-h(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\phi(f(x))\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\Rightarrow h'(a)=g'(f(a))f'(a)\]tal y como queríamos demostrar.

El siguiente teorema nos permitirá estudiar la posible derivabilidad de la inversa de una función derivable e inyectiva.

Teorema 2 (de la función inversa)

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real y \(a\) un punto de \(A\). Supongamos que \(f\) es inyectiva y que es derivable en el punto \(a\). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

i) \(f'(a)\neq0\) y \(f^{-1}\) es continua en \(f(a)\).

ii) \(f^{-1}\) es derivable en \(f(a)\).

Además, en caso de que se cumplan i) y ii) se tiene:

\[(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}\]

i) \(\Rightarrow\) ii) Sea \(\{y_n\}\) una sucesión de puntos de \(f(A)-\{b\}\) con \(\{y_n\}\rightarrow f(a)\) y consideremos la sucesión \(x_n=f^{-1}(y_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por ser \(f^{-1}\) continua en \(f(a)\) tenemos \(\{x_n\}\rightarrow f^{-1}(f(a))=a\), luego, por ser \(f\) derivable en \(a\):

\[\left\{\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}\right\}=\left\{\frac{y_n-f(a)}{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(a))}\right\}\rightarrow f'(a)\]

Finalmente, siendo \(f'(a)\neq0\) obtenemos

\[\left\{\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(a))}{y_n-b}\right\}\rightarrow\frac{1}{f'(a)}\]

lo que demuestra que \(f^{-1}\) es derivable en \(f(a)\) con derivada \(\frac{1}{f'(a)}\).

ii) \(\Rightarrow\) i) Desde luego, si \(f^{-1}\) es derivable en \(f(a)\) será continua en \(f(a)\). Además, aplicando el teorema anterior con \(B=f(A)\) y \(g=f^{-1}\) tenemos: \(1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(f(a))f'(a)\), lo que demuestra que \(f'(a)\neq0\) y nos da nuevamente la igualdad \((f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}\).

Finalmente, vamos a probar la derivabilidad de las funciones exponencial y logaritmo neperiano y la de las funciones relacionadas con ellas.

Teorema 3

i) La función exponencial es derivable en todo \(\mathbb{R}\) y su función derivada es la propia función exponencial.

ii) Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es derivable en un punto \(a\in A\), entonces la función \(g:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=\text{e}^{f(x)}\,,\forall\,x\in A\]

es derivable en \(a\) con \(g'(a)=f'(a)\text{e}^{f(a)}\). En particular, si \(\alpha\) es un número real positivo y tomamos \(A=\mathbb{R}\), \(f(x)=x\ln\alpha\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\), obtenemos que la función exponencial de base \(\alpha\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) siendo su función derivada el producto del número real \(\ln\alpha\) por la propia función exponencial de base \(\alpha\).

iii) La función logaritmo neperiano es derivable en \(\mathbb{R}^+\) con

\[\ln'(x)=\frac{1}{x}\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\]

iv) Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}^+\) es derivable en un punto \(a\in A\), la función \(g:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=\ln f(x)\,,\forall\,x\in A\]

es derivable en \(a\) con \(g'(a)=\frac{f'(a)}{f(a)}\) (derivada logarítmica de \(f\) en el punto \(a\)).

v) Si  \(f:A\rightarrow\mathbb{R}^+\) y \(g:A\rightarrow\mathbb{R}\) son derivables en un punto \(a\in A\), la función \(h:A\rightarrow\mathbb{R}^+\) definida por

\[h(x)=f(x)^{g(x)}\,,\forall\,x\in A\]

es derivable en \(a\) con

\[h'(a)=h(a)\left(g'(x)\ln f(a)+g(a)\frac{f'(a)}{f(a)}\right)\]

En particular, tomando \(A=\mathbb{R}^+\), \(f(x)=x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\) y \(g(x)=b\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\) donde \(b\) es un número real fijo, se obtiene que la función potencia de exponente \(b\) es derivable en \(\mathbb{R}^+\) y su derivada es el producto del número real \(b\) por la función potencia de exponente \(b-1\).

i) Sea \(\{t_n\}\) una sucesión de números reales no nulos, convergente a cero. Y sean \(y_n=\frac{1}{t_n}\), \(x_n=\text{e}^{t_n}\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}\). Claramente \(\{x_n\}\rightarrow1\) y \(\{x_n^{y_n}\}\rightarrow\text{e}\), luego tenemos \(\{y_n(x_n-1)\}\rightarrow1\) (ver el artículo dedicado a ciertos límites funcionales de interés), esto es que \(\{\frac{1}{t_n}(\text{e}^{t_n-1})\}\rightarrow1\).

Sea ahora \(a\in\mathbb{R}\) arbitrario y \(\{a_n\}\) una sucesión de números reales distintos de \(a\) tal que \(\{a_n\}\rightarrow a\). Podemos entonces aplicar lo anteriormente probado a la sucesión \(\{a_n-a\}\), sucesión de números reales no nulos que converge a cero, y obtener:

\[\left\{\frac{\text{e}^{a_n}-\text{e}^a}{a_n-a}\right\}=\left\{\text{e}^a\frac{\text{e}^{a_n-a}-1}{a_n-a}\right\}\rightarrow \text{e}^a\]

Hemos probado así que

\[f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\text{e}^x-\text{e}^a}{x-a}=\text{e}^a\]

y esto, cualquiera que sea el número real \(a\).

ii) Basta aplicar i) y la regla de la cadena.

iii) La función logaritmo neperiano es continua en \(\mathbb{R}^+\) y, por i), la función exponencial es derivable en \(\mathbb{R}\) con derivada distinto de cero en todo punto. Por el teorema de la función inversa tenemos, para todo número real \(a\):

\[\ln'(\text{e}^a)=\frac{1}{\text{e}^a}\]

y dado \(x\in\mathbb{R}^+\), podemos tomar \(a=\ln x\) para obtener

\[\ln'(x)=\frac{1}{x}\]

iv) Basta aplicar iii) y la regla de la cadena.

v) Sea \(\phi:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[\phi(x)=\ln h(x)=g(x)\ln f(x)\,,\forall\,x\in A\]

Usando iv) y la regla de derivación de un producto, \(\phi\) es derivable en \(a\) con

\[\phi'(a)=g'(a)\ln f(a)+g(a)\frac{f'(a)}{f(a)}\]

Como quiera que

\[h(x)=\text{e}^{\phi(x)}\,,\forall\,x\in A\]

usando ii) obtenemos que \(h\) es derivable en \(a\) con

\[h'(a)=\text{e}^{\phi(a)}\phi'(a)=h(a)\left(g'(x)\ln f(a)+g(a)\frac{f'(a)}{f(a)}\right)\]

Ejercicios

1. Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\), \(a\in A\) y supongamos que \(f\) es derivable en \(a\) con \(f(a)\neq0\). Probar que las funciones \(|f|\,,f^+\,,f^-\,:A\rightarrow\mathbb{R}\) dadas por:

\[|f|(x)=|f(x)|\,,\ f^+(x)=\max\{f(x),0\}\,,\ f^-(x)=\max\{-f(x),0\}\,,\forall x\in A\]

son derivables en \(a\). ¿Es cierta la misma afirmación sin suponer \(f(a)\neq0\)?

La función \(|f|\) es la composición de la función \(f\) con la función valor absoluto: \(|f|=f\circ |\cdot|\). Como \(f\) es derivable en \(a\) y la función valor absoluto es derivable en \(f(a)\neq0\), la regla de la cadena nos asegura que \(|f|\) es derivable en \(a\). Si \(f(a)=0\) la afirmación no es cierta pues la función valor absoluto no es derivable en cero. Sea por ejemplo la función

\[f(x)=x^2-1\Rightarrow|f(x)|=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x^2-1 & \text{si} & x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) \\
                  -x^2+1 & \text{si} & x\in(-1,1)
                \end{array}
  \right.\]

En el punto \(a=1\) se tiene

\[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x+1 & \text{si} & x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) \\
                  -x-1 & \text{si} & x\in(-1,1)
                \end{array}
  \right.\]

De esta manera

\[\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2\quad;\quad\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-2\]

y por tanto \(|f|\) no es derivable en \(a=1\).

Por otro lado, se tiene que

\[f^+(x)=\max\{f(x),0\}=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}\ ;\ f^-(x)=\max\{-f(x),0\}=\frac{-f(x)+|f(x)|}{2}\]

Entonces, por lo demostrado anteriormente, tanto \(f^+\) como \(f^-\) son derivables en \(a\in A\) con \(f(a)\neq0\). Del mismo modo que antes, esta afirmación no tiene por qué ser cierta si \(f(a)=0\).

2. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) en cada uno de los siguientes casos:

a) \(A=[-1,1]\) ; \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\,,\forall\,x\in A\).

b) \(A=\mathbb{R}\) ; \(f(x)=\sqrt[3]{|x|}\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

c) \(A=\mathbb{R}\) ; \(f(x)=\frac{2x}{1+|x|}\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

d) \(A=\mathbb{R}_0^+\) ; \(f(x)=x^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\), \(f(0)=1\).

e) \(A=[0,1]\) ; \(f(x)=\max\{x,1-x\}\,,\forall\,x\in A\).

a) Sean \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \(h:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definidas respectivamente por \(g(x)=1-x^2\) y \(h(x)=\sqrt{x}\). \(g\) es continua y derivable en todo \(\mathbb{R}\), y \(h\) es continua en \([0,+\infty)\) y derivable en \((0,+\infty)\).

\(h\) no es derivable en cero porque

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{x}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty\]

Las derivadas de las funciones \(g(x)=1-x^2\) y \(h(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}\) son, respectivamente, \(g'(x)=-2x\) y \(h'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}\), donde se ha utilizado que la derivada de la función constante es igual a cero, que la derivada de la suma es la suma de las derivadas y el apartado v) del teorema 3, según el cual la derivada de la función potencia de exponente \(b\in\mathbb{R}^+\) es el producto del número real \(b\) por la función potencia de exponente \(b-1\).

Por otro lado tenemos que \((h\circ g)(x)=h(g(x))=h(1-x^2)=\sqrt{1-x^2}\), con lo que \(f=h\circ g\). Por la regla de la cadena \(f\) es derivable en \((-1,1)\), ya que si \(a\in(-1,1)\), entonces \(1-a^2\in(0,1)\) y \(f(a)=h(g(a))=h(1-a^2)\). Además, \(f\) no es derivable ni en \(x=-1\), ni en \(x=-1\) porque, tal y como hemos comprobado, no lo es \(h\) en cero y \(f(-1)=f(1)=(h\circ g)(1)=h(g(1))=h(0)\). Dado \(x\in(-1,1)\), la regla de la cadena nos proporciona la derivada de la función \(f\) en \(x\):

\[f'(x)=(h\circ g)'(x)=h'(g(x))g'(x)=\frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2}(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\]

 

b) La función \(f(x)=\sqrt[3]{|x|}=|x|^{1/3}\) la podemos escribir así:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    x^{1/3} & \text{si} & x\geqslant0 \\
                    (-x)^{1/3} & \text{si} & x<0
                  \end{array}
    \right.\]

Si \(a\in\mathbb{R}^+\), \(f\) es derivable en \(a\) por el apartado 5 del teorema 3, con \(f'(a)=\frac{1}{3}a^{-2/3}\). Por la misma razón, si \(a\in\mathbb{R}^-\), \(f\) también es derivable en \(a\) con derivada \(f'(a)=-\frac{1}{3}a^{-2/3}\).

Si \(a=0\), \(f\) no es derivable en \(a\) pues tomando \(x>0\)

\[\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\]

que no tiene límite finito cuando \(x\rightarrow0\).

 

c) La función la podemos escribir del siguiente modo:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    \displaystyle\frac{2x}{1+x} & \text{si} & x\geqslant0 \\
                    \displaystyle\frac{2x}{1-x} & \text{si} & x<0
                  \end{array}
    \right.\]

Esta función es claramente continua y derivable en \(\mathbb{R}-\{0\}\) con derivada

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    \displaystyle\frac{2}{(1+x)^2} & \text{si} & x>0 \\
                    \displaystyle\frac{2}{(1-x)^2} & \text{si} & x<0
                  \end{array}
    \right.\]

Veamos qué ocurre en cero.

Tomando \(x>0\):

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{2x}{1+x}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{1+x}=2\]

Tomando \(x<0\):

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{2x}{1-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{1-x}=2\]

Las derivadas laterales existen y son iguales. Por tanto, \(f\) es derivable en cero con \(f'(0)=2\).

 

d) Si \(a\in\mathbb{R}^+\) el apartado v) del teorema iii) nos asegura que \(f\) es derivable en \(a\) con derivada

\[f'(a)=a^a\left(\ln a+1\right)\]

Estudiemos ahora la derivabilidad de \(f\) en cero. Sea \(\phi\) la función definida de la siguiente manera:

\[\phi(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    x\ln x & \text{si} & x>0 \\
                    0 & \text{si} & x=0
                  \end{array}
    \right.\]

Puesto que

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x\ln x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\ln x=-\infty\]

la función \(\phi\) no es derivable en cero.

Supongamos que \(f\) fuera derivable en cero. Como \(f(x)=\text{e}^{\phi(x)}\), haciendo uso de la regla de la cadena, tendríamos que \(f'(0)=e^{\phi(0)}\phi'(0)=\phi'(0)\), lo cual es contradictorio pues \(\phi\) no es derivable en cero. Por tanto, acabamos de demostrar que \(f\) no es derivable en cero.

 

e) Observemos que \(x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\), \(x<1-x\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}\) y \(x>1-x\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}\). Por tanto podemos escribir la función \(f(x)=\max\{x,1-x\}\) del siguiente modo:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    1-x & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant\frac{1}{2} \\
                    x & \text{si} & \frac{1}{2}<x\leqslant1
                  \end{array}
    \right.\]

Claramente, si \(x\neq0\), \(x\neq1\) y \(x\neq\frac{1}{2}\), \(f\) es derivable con derivada

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    -1 & \text{si} & 0<x<\frac{1}{2} \\
                    1 & \text{si} & \frac{1}{2}<x<1
                  \end{array}
    \right.\]

Si \(x=0\) existe la derivada lateral por la derecha, cuyo valor es \(f'_+(0)=-1\). Análogamente, si \(x=1\) existe la derivada lateral por la izquierda y \(f'_-(1)=1\) (estos resultados se pueden obtener también con facilidad aplicando la definición de derivada lateral de una función en un punto). Finalmente, \(f\) no es derivable en \(x=\frac{1}{2}\) pues las derivadas laterales por la izquierda y por la derecha de \(\frac{1}{2}\) no coinciden: \(f'_-\left(\frac{1}{2}\right)=-1\neq1=f'_+\left(\frac{1}{2}\right)\).

3. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x^2 & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
                  x^3 & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
                \end{array}
  \right.\]

Sea \(a\in\mathbb{R}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de racionales convergente al punto \(a\). Entonces tenemos que \(\{f(x_n)\}=\{x_n^2\}\rightarrow a^2\). Sea ahora una sucesión \(\{y_n\}\) de irracionales que converja también al punto \(a\). En este caso \(\{f(y_n)\}=\{y_n^3\}\rightarrow a^3\). Para que \(f\) sea continua en \(a\) debe ser \(a^2=a^3\), es decir, \(a=0\) o \(a=1\). Si \(a=0\Rightarrow\{f(x_n)\}\rightarrow0=f(0)\), sea quien sea la sucesión \(\{x_n\}\). Si \(a=1\Rightarrow\{f(x_n)\}\rightarrow1=f(1)\). Entonces \(f\) es continua en \(0\) y en \(1\). En los demás puntos no es continua y, por tanto, tampoco es derivable.

Estudiemos la derivabilidad en el punto \(a=0\). En este caso

\[\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\left\{\begin{array}{ccc}
                                   x & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
                                   x^2 & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
                                 \end{array}
  \right.\]

Entonces es claro que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\), con lo que \(f\) es derivable en \(0\) y \(f'(0)=0\).

Veamos ahora qué ocurre en \(a=1\).

\[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\left\{\begin{array}{ccc}
                                   x+1 & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
                                   x^2+x+1 & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
                                 \end{array}
  \right.\]

En este caso \(\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) no tiene límite en \(1\), pues si \(x\rightarrow1\) por racionales \(\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\rightarrow2\) y si \(x\rightarrow1\) por irracionales \(\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\rightarrow3\). Por tanto, \(f\) no es derivable en \(a=1\).

4. Probar que la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x & \text{si} & x\in\mathbb{R}_0^- \\
                  \ln(1+x) & \text{si} & x\in\mathbb{R}^+
                \end{array}
  \right.\]

es derivable en \(\mathbb{R}\) y encontrar su función derivada.

La función es claramente continua y derivable en \(\mathbb{R}-\{0\}\), con

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                                   1 & \text{si} & x<0 \\
                                   \frac{1}{1+x} & \text{si} & x>0
                                 \end{array}
  \right.\]

Como \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=0\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}f(x)=0=f(0)\), \(f\) es continua en \(0\).

Además:

\[\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\ ;\ \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\]

Para demostrar que este último límite es igual a \(1\), demostraremos que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}(1+x)^{1/x}=\text{e}\). Sea \(y=\frac{1}{x}\). Entonces, \(x\rightarrow0^+\Rightarrow y\rightarrow+\infty\) y tenemos:

\[\lim_{x\rightarrow0^+}(1+x)^{1/x}=\lim_{y\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y=\text{e}\]

Y de aquí, por la continuidad de la función logaritmo neperiano, se deduce que

\[\lim_{x\rightarrow0^+}\ln(1+x)^{1/x}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{x}\ln(1+x)=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}=\ln\text{e}=1\]

Por tanto, hemos demostrado que

\[\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\]

Así, \(f\) es derivable en cero con \(f'(0)=1\).

5. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x^p\ln|x| & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\{0\} \\
                  0 & \text{si} & x=0
                \end{array}
  \right.\]

donde \(p\) es un número entero.

La función es continua y derivable en \(\mathbb{R}-\{0\}\) y tenemos que

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                                   x^{p-1}(p+\ln x) & \text{si} & x>0 \\
                                   x^{p-1}(p-\ln(-x)) & \text{si} & x<0
                                 \end{array}
  \right.\]

Como \(|x^p\ln|x||\leqslant|x^{p+1}|\), entonces \(\forall\,\varepsilon>0\,,\exists\,\delta>0\,:\,x\in\mathbb{R}\,,\,0<|x|<\delta\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon\). Basta tomar \(\delta=\sqrt[p+1]{\varepsilon}\). Entonces

\[\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0}\left(x^p\ln|x|\right)=0=f(0)\]

y, por tanto, \(f\) es continua en cero.

Usando lo demostrado anteriormente tenemos también

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^p\ln|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\left(x^{p-1}\ln|x|\right)=0\]

lo que demuestra que \(f\) es derivable en \(0\) con \(f'(0)=0\).

6. Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x+\text{e}^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Probar que \(f\) es biyectiva y que \(f^{-1}\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\). Calcular \((f^{-1})'(1)\) y \((f^{-1})'(1+\text{e})\).

La función \(f\) es continua y derivable en todo \(\mathbb{R}\) por ser suma de continuas y derivables. Por otro lado, \(f(x)\rightarrow-\infty\) cuando \(x\rightarrow-\infty\) y \(f(x)\rightarrow+\infty\) cuando \(x\rightarrow+\infty\), lo que demuestra que \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) y \(f\) es sobreyectiva. Además, \(f\) es estrictamente creciente pues si \(x<y\), entonces \(x+\text{e}^x<y+\text{e}^y\) (la función exponencial es estrictamente creciente). Así, \(f\) es inyectiva y, por tanto, \(f^{-1}\) es continua (ver el artículo dedicado a las funciones continuas e inyectivas).

La derivada de la función \(f\) es \(f'(x)=1+\text{e}^x\neq0\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Por el teorema de la función inversa \(f^{-1}\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) y se tiene que \((f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}\). Así:

\(f(a)=1\Leftrightarrow a+\text{e}^a=1\Leftrightarrow a=0\) y entonces \((f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{2}\).

\(f(a)=1+\text{e}\Leftrightarrow a+\text{e}^a\Leftrightarrow1+\text{e}\Leftrightarrow a=1\) y entonces \((f^{-1})'(1+\text{e})=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{1+\text{e}}\).

Referencia bibliográfica. Aparicio C., Payá R. (1985) Análisis Matemático I (Secretariado de Publicaciones. Universidad de Granada).


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Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teorema afirmaba que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene máximo y mínimo absolutos, pero nada nos informa sobre los puntos en los que se alcanzan. Bajo la hipótesis adicional de que la función es inyectiva vamos a ver enseguida que el máximo y el mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo, pero esto no es más que el punto de partida para resultados más importantes.

Lema 1.

Sean \(a\) y \(b\) números reales con \(a<b\), sea \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua e inyectiva y supongamos que \(f(a)<f(b)\). Entonces, para todo número real \(t\) verificando \(a<t<b\) se tiene que \(f(a)<f(t)<f(b)\).

Sea \(t\in(a,b)\) y supongamos, razonando por reducción al absurdo, que se tenga \(f(t)<f(a)\). Entonces, podemos aplicar el teorema del valor intermedio a la restricción de \(f\) al intervalo \([t,b]\), que es una función continua, obteniendo un punto \(c\) del intervalo \([t,b]\) tal que \(f(c)=f(a)\); por ser \(f\) inyectiva tenemos \(c=a\) y \(a\geqslant b\), lo cual es absurdo.

Si suponemos \(f(t)>f(b)\) y aplicamos el teorema del valor intermedio a la restricción de \(f\) al intervalo \([a,t]\), obtenemos un punto \(d\) del intervalo \([a,t]\) tal que \(f(d)=f(b)\), con lo que, otra vez, por ser \(f\) inyectiva tenemos \(b=d\leqslant t\) lo que también es absurdo.

Hemos probado así que \(f(a)\leqslant f(t)\leqslant f(b)\), pero, siendo \(f\) inyectiva, ambas desigualdades han de ser estrictas, como queríamos demostrar.

Nótese que el lema anterior puede aplicarse sucesivamente. Si \(c\in(a,b)\), tenemos, según el lema, \(f(a)<f(c)<f(b)\), pero podemos volver a aplicar el lema a las restricciones de \(f\) a los intervalos \([a,c]\) y \([c,b]\), obteniendo que

\[a<x<c<y<b\Rightarrow f(a)<f(x)<f(c)<f(y)<f(b)\]

y así sucesivamente. Observamos entonces que \(f\) tiene un comportamiento muy concreto, crece al crecer la variable. Este comportamiento se obtendrá de manera rigurosa en el próximo teorema, incluso en un ambiente más general, pero necesitamos concretar algunos conceptos para el enunciado de dicho teorema.

Definición.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real. Diremos que \(f\) es creciente (respectivamente, decreciente) cuando para cualesquiera dos puntos de \(A\), \(x\) e \(y\), en la situación \(x<y\), se tenga \(f(x)\leqslant f(y)\) (respectivamente, \(f(x)\geqslant f(y)\)). Nótese que las anteriores definiciones extienden a las dadas para sucesiones de números reales. Diremos que \(f\) es estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente), cuando para cualesquiera dos puntos, \(x\) e \(y\), de \(A\), en la situación \(x<y\), se tenga \(f(x)<f(y)\) (respectivamente, \(f(x)>f(y)\)). Finalmente, diremos que \(f\) es monótona cuando sea creciente o decreciente y estrictamente monótona cuando sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Nótese que toda función estrictamente monótona es inyectiva, de hecho, una función monótona es estrictamente monótona si y sólo si es inyectiva. El recíproco de la primera afirmación anterior no es cierto. Por ejemplo, la función \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    x & \text{si} & 0\leqslant x<1 \\
    3-x & \text{si} & 1\leqslant x \leqslant 2
  \end{array}\right.
\]

es inyectiva pero no es estrictamente monótona.

Teorema 1.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua e inyectiva. Entonces \(f\) es estrictamente monótona.

Supongamos primeramente que \(I\) es un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\), con \(a<b\) (si \(a=b\) no hay nada que demostrar). Supongamos también que \(f(a)<f(b)\) (no puede ser \(f(a)=f(b)\) por ser \(f\) inyectiva). Sean \(x,y\in[a,b]\), con \(x<y\). Si \(x=a\) se tiene, aplicando el lema anterior, \(f(x)<f(y)\), e igual ocurre si \(y=b\). Sean entonces \(x,y\in(a,b)\); aplicando el lema anterior tenemos \(f(x)<f(b)\) y aplicando otra vez el lema a la restricción de \(f\) al intervalo \([x,b]\) obtenemos \(f(x)<f(y)<f(b)\). Así pues hemos probado en este caso que \(f\) es estrictamente creciente. Si fuese \(f(a)>f(b)\), el razonamiento anterior, aplicado a la función \(-f\), demuestra que \(-f\) es estrictamente creciente, de donde \(f\) es estrictamente decreciente. Queda así demostrado el teorema en el caso particular de que \(I\) esa un intervalo cerrado y acotado.

Sea ahora \(I\) un intervalo cualquiera y supongamos que \(f\) no es estrictamente monótona, para llegar a una contradicción. Entonces existen \(x_1,\,y_1,\,x_2,\,y_2\in I\) tales que \(x_1<y_1\), \(f(x_1)>f(y_1)\), \(x_2<y_2\), \(f(x_2)<f(y_2)\). Sean \(a=\min\{x_1,x_2\}\) y \(b=\max\{y_1,y_2\}\); claramente \([a,b]\subset I\) y la restricción de \(f\) a \([a,b]\) es continua en inyectiva, luego por lo ya demostrado, es estrictamente monótona. Ello es absurdo pues \(x_1,\,y_1,\,x_2,\,y_2\in[a,b]\).

Como se dijo anteriormente, una función estrictamente monótona es siempre inyectiva. Sin embargo, una función estrictamente monótona no tiene por qué ser continua. Por ejemplo, la función \(g:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\)

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    x & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant1 \\
    1+x & \text{si} & 1<x\leqslant 2
  \end{array}\right.
\]

es estrictamente creciente y no es continua. Damos a continuación un importante teorema que garantiza la continuidad de una función monótona con una hipótesis adicional.

Teorema 2.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función monótona tal que \(f(A)\) es un intervalo. Entonces \(f\) es continua.

Supongamos por ejemplo que \(f\) es creciente. Sea \(x_0\) un punto de \(A\) y \(\{x_n\}\) una sucesión creciente de puntos de \(A\), convergente a \(x_0\). Para cada natural \(n\) se tiene entonces \(x_n\leqslant x_{n+1}\leqslant x_0\) y, por ser \(f\) creciente, \(f(x_n)\leqslant f(x_{n+1})\leqslant f(x_0)\). Así, \(\{f(x_n)\}\) es una sucesión creciente y mayorada, luego convergente (véase el teorema 1 del artículo dedicado a las sucesiones monótonas). Sea \(l=\lim f(x_n)\); por ser \(f(x_n)\leqslant f(x_0)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), se tendrá \(l\leqslant f(x_0)\) (ver el corolario 3 del artículo dedicado a las sucesiones acotada y a las propiedades de las sucesiones convergentes). Supongamos que fuese \(l<f(x_0)\) y sea \(\frac{l+f(x_0)}{2}=y\); se tiene \(f(x_n)<y<f(x_0)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por ser \(f(A)\) un intervalo, existirá un punto \(x\) en \(A\) tal que \(f(x)=y\). Si fuese \(x<x_n\) para algún natural \(n\), se tendría, por ser \(f\) creciente, que \(y=f(x)\leqslant f(x_n)\), cosa que no ocurre, luego \(x\geqslant x_n\) para todo natural \(n\). Entonces \(x\geqslant x_0\), de donde \(f(x)\geqslant f(x_0)\), lo cual es una contradicción. Así, \(L=f(x_0)\) y \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x_0)\), como queríamos.

Un razonamiento enteramente análogo al anterior nos demostraría que si \(\{x_n\}\) es una sucesión decreciente de puntos de \(A\), convergente a \(x_0\), entonces \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(x_0)\). Así pues, para toda sucesión \(\{x_n\}\) monótona, de puntos de \(A\), convergente a \(x_0\) se tiene que \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(x_0)\). Por la caracterización de la continuidad, \(f\) es continua en \(x_0\) y, como \(x_0\) era un punto arbitrario de \(A\), \(f\) es continua en \(A\).

Finalmente, si \(f\) es decreciente, \(-f\) es creciente y \((-f)(A)=\{-y\,:\,y\in f(A)\}\) es, claramente, un intervalo, luego, por lo ya demostrado \(-f\) es continua, esto es, \(f\) es continua.

Lema 2.

Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es una función estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente), entonces \(f^{-1}:f(A)\rightarrow\mathbb{R}\) es también estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente).

Sean \(x\,,y\in f(A)\) con \(x<y\). Si fuese \(f^{-1}(x)\geqslant f^{-1}(y)\), se tendría, por ser \(f\) creciente, \(f(f^{-1}(x))\geqslant f(f^{-1}(y))\), esto es, \(x\geqslant y\), contra lo supuesto. Luego \(f^{-1}(x)<f^{-1}(y)\) y \(f^{-1}\) es estrictamente creciente. Análogo razonamiento se usa para demostrar el caso en que \(f\) sea estrictamente decreciente.

Corolario 1.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función estrictamente monótona. Entonces \(f^{-1}\) es continua.

Por el lema anterior, \(f^{-1}\) es monótona y su imagen es el intervalo \(I\), luego \(f^{-1}\) es continua por el teorema 2.

Corolario 2.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua e inyectiva. Entonces \(f^{-1}\) es continua.

Por el teorema 1, \(f\) es estrictamente monótona luego, por el corolario anterior, \(f^{-1}\) es continua.

Ejercicios

1. Sea \(f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por

\[f(x)=\frac{2x}{1+|x|}\,,\forall\,x\in[-1,1]\]

Determínese la imagen de \(f\).

La función también la podemos escribir así:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  \displaystyle \frac{2x}{1-x} & \text{si} & -1\leqslant x<0\\
                  \displaystyle \frac{2x}{1+x} & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant 1
                \end{array}
  \right.\]

Las restricciones de \(f\) a los intervalos \([-1,0)\) y \([0,1)\) son claramente continuas por ser funciones racionales. Así, \(f\) es continua en todo punto excepto, eventualmente, en cero. Pero si \(\{x_n\}\) es una sucesión de puntos de \([-1,1]\) convergente a cero, cualquiera de las sucesiones \(\{\frac{2x_n}{1-x_n}\}\), \(\{\frac{2x_n}{1+x_n}\}\) también convergen a cero. Por tanto, \(f\) es continua en todo punto del intervalo \([-1,1]\).

Sea ahora \(x\,,y\in[-1,0)\). Entonces

\[f(x)=f(y)\Leftrightarrow\frac{2x}{1-x}=\frac{2y}{1-y}\Leftrightarrow2x(1-y)=2y(1-x)\Leftrightarrow x-xy=y-yx\Leftrightarrow x=y\]

De la misma forma, dados \(x\,,y\in[0,1]\) se tiene que

\[f(x)=f(y)\Leftrightarrow\frac{2x}{1+x}=\frac{2y}{1+y}\Leftrightarrow2x(1+y)=2y(1+x)\Leftrightarrow x+xy=y+yx\Leftrightarrow x=y\]

Lo anterior demuestra que las restricciones de \(f\) a los intervalos \([-1,0)\) y \([0,1)\) son inyectivas, luego ambas estrictamente monótonas (teorema 1). Pero \(f(-1)=-1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\). Esto indica que \(f\) es estrictamente creciente en el intervalo \([-1,1]\) y que la imagen de la función \(f\) es también el intervalo \([-1,1]\).

2. Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \(\mathbb{R}\). Probar que si la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) es monótona, entonces \(f\) es monótona.

Supongamos que la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) es creciente. Sean \(x\,,y\in\mathbb{R}\) en la situación \(x<y\). Entonces existen sucesiones \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\) convergentes a \(x\) e \(y\) respectivamente y cumpliendo que \(x_n\,,y_n\in\mathbb{Q}\,,x_n<x<y<y_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Entonces \(f(x_n)\leqslant f(y_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Al ser \(f\) continua, la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) también lo es y por tanto \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x)\) y \(\{f(y_n)\}\rightarrow f(y)\). Entonces \(f(x)\leqslant f(y)\) (ver proposición 5 del artículo dedicado a las sucesiones acotadas y a las propiedades de las sucesiones convergentes) y, por tanto, \(f\) es creciente.

3. Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función inyectiva. Analícese la relación entre las siguientes afirmaciones.

i) \(f\) es continua.

ii) \(f(I)\) es un intervalo.

iii) \(f\) es estrictamente monótona.

iv) \(f^{-1}\) es continua.

i) \(\Rightarrow\) ii) por el teorema del valor intermedio.

i) \(\Rightarrow\) iii) por el teorema 1.

i) \(\Rightarrow\) iv) por el corolario 2.

La afirmación ii) no implica necesariamente la i) pues la función \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x & \text{si} & 0\leqslant x<1\\
                  3-x & \text{si} & 1\leqslant x\leqslant 2
                \end{array}
  \right.\]

es inyectiva y su imagen es el intervalo \([0,2]\), pero no es continua en \(x_0=1\) (ver figura siguiente).

trozos 01

La afirmación ii) no implica necesariamente la iii). La misma función anterior puede servir de contraejemplo.

La afirmación ii) tampoco implica la iv) y sigue sirviendo la misma función anterior como contraejemplo. Es fácil comprobar que \(f^{-1}=f\), que no es continua en \(x_0=1\).

De iii) no se deduce i). La función \(g:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x & \text{si} & 0\leqslant x<1\\
                  1+x & \text{si} & 1\leqslant x\leqslant 2
                \end{array}
  \right.\]

es estrictamente creciente (luego inyectiva) y no es continua en el punto \(x_0=1\) (ver figura siguiente).

trozos 02

De iii) tampoco se deduce ii) y la misma función anterior sirve de contraejemplo: obsérvese que la imagen de la función \(g\) es el conjunto \([0.1]\cup[2,3]\), que no es un intervalo.

iii) \(\Rightarrow\) iv) por el corolario 1.

La afirmación iv) no implica ninguna de las afirmaciones anteriores.

De las afirmaciones ii) y iii) se deduce la afirmación i) por el teorema 2 y, por tanto, también la afirmación iv), pues i) \(\Rightarrow iv)\).

De las afirmaciones ii) y iv) se deduce la afirmación i) pues si \(f\) es inyectiva también lo es \(f^{-1}\) y al ser ésta continua y estar definida en \(f(I)\), que es un intervalo, se tiene que la inversa de \(f^{-1}\), o sea \(f\), es continua (corolario 1). De estas dos afirmaciones se deduce también iii) ya que i) \(\Rightarrow\) iii).

De iii) y iv) no se deduce necesariamente ni i) ni ii).


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La propiedad de compacidad para funciones continuas

En un artículo anterior hemos obtenido dos importantes resultados relacionados con la continuidad de una función en un intervalo: el teorema de los ceros de Bolzano y el teorema del valor intermedio. De hecho, este último afirma que la imagen por una función continua de un intervalo es otro intervalo. Sin embargo el intervalo imagen no tiene por qué ser del mismo tipo que el de partida (podemos ver ejemplos de esto en los ejercicios 4, 5 y 6 del mencionado artículo). No obstante hay un tipo de intervalos que sí se conserva.

Teorema (propiedad de compacidad).

La imagen por una función continua de un intervalo cerrado y acotado es un intervalo cerrado y acotado.

Sea \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) continua en \([a,b]\). Sabemos que \(f([a,b])\) es un intervalo.

Empezaremos probando que \(f([a,b])\) está acotado. De lo contrario el conjunto \(\{|f(x)|\,:\,x\in[a,b]\}\) no está mayorado, luego dado un natural \(n\) debe existir un punto \(x_n\in[a,b]\) tal que \(|f(x_n)|>n\). La sucesión \(\{x_n\}\) así construida es acotada, luego por el teorema de Bolzano-Weierstrass admite una sucesión parcial \(\{x_{\sigma(n)}\}\) convergente. Sea \(x=\lim x_{\sigma(n)}\). Por ser \(a\leqslant x_{\sigma(n)}\leqslant b\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), tenemos que \(x\in[a,b]\) y por ser \(f\) continua en \(x\) la sucesión \(\{f(x_{\sigma(n)})\}\) converge a \(f(x)\) y en particular es una sucesión acotada. Ello es una contradicción, pues entonces existe un número real \(M\) tal que \(|f(x_{\sigma(n)})|\leqslant M,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), de donde para cada natural \(n\) se tiene que \(n\leqslant\sigma(n)<|f(x_{\sigma(n)})|\leqslant M\). Así pues, \(f([a,b])\) es acotado.

Sean \(\alpha=\inf f([a,b])\) y \(\beta=\sup f([a,b])\). Sea \(\{y_n\}\) una sucesión de puntos de \(f([a,b])\) convergente a \(\beta\) y para cada natural \(n\) sea \(t_n\in[a,b]\) tal que \(f(t_n)=y_n\). Entonces \(\{t_n\}\) es una sucesión acotada; sea \(\{t_{\sigma(n)}\}\) una sucesión parcial convergente a un \(t\in[a,b]\). Por ser \(f\) continua en \(t\) tenemos que \(\{f(t_{\sigma(n)})\}\) converge a \(f(t)\), pero \(\{f(t_{\sigma(n)})\}=\{y_{\sigma(n)}\}\) e \(\{y_{\sigma(n)}\}\) converge a \(\beta\), de donde se deduce que \(\beta=f(t)\in f([a,b])\). El mismo razonamiento puede hacerse para probar que \(\alpha\in f([a,b])\) (\(\alpha\) también es límite de una sucesión de puntos de \(f([a,b])\)). Por el teorema del valor intermedio tenemos que \([\alpha,\beta]\subset f([a,b])\) pero la inclusión contraria es trivialmente cierta y, por tanto, \(f([a,b])=[\alpha,\beta]\), lo que demuestra el teorema.

Obsérvese que la hipótesis de que el intervalo de definición de la función, en el teorema anterior, sea cerrado y acotado, es esencial en la demostración; si hubiésemos tenido un intervalo no acotado las sucesiones \(\{x_n\}\) y \(\{t_n\}\) que aparecen en la demostración no tendrían por qué ser acotadas, mientras que si hubiéramos tenido un intervalo acotado pero no cerrado los límites \(x\) y \(t\) de las parciales convergentes extraídas no tendrían por qué pertenecer al intervalo.

Vamos a introducir ahora alguna terminología que nos permita enunciar el teorema anterior de manera más sugerente.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real. Diremos que \(f\) está acotada (respectivamente mayorada, minorada) si su imagen \(f(A)=\{f(x)\,:\,x\in A\}\) es un conjunto acotado (respectivamente mayorado, minorado) de números reales. Así pues, simbólicamente:

\(f\) está mayorada \(\Leftrightarrow\exists\,K\in\mathbb{R}\,:\,K\geqslant f(x),\,\forall x\in A\).

\(f\) está minorada \(\Leftrightarrow\exists\,k\in\mathbb{R}\,:\,k\leqslant f(x),\,\forall x\in A\).

\(f\) está acotada \(\Leftrightarrow\exists\,M\in\mathbb{R}^+\,:\,M\geqslant|f(x)|,\,\forall x\in A\).

Esta definición extiende a la que en su momento se dio para sucesiones de números reales.

Diremos que \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) tiene máximo (respectivamente mínimo) si su imagen \(f(A)\) tiene máximo (respectivamente mínimo). Si \(x_0\in A\) es tal que \(f(x_0)=\max f(A)\) (respectivamente \(f(x_0)=\min f(A)\)), diremos que \(f\) alcanza su máximo (respectivamente mínimo) absoluto en el punto \(x_0\). Es conveniente observar que una función puede alcanzar su máximo o su mínimo en más de un punto, lo cual no significa naturalmente que \(f(A)\) tenga más de un máximo o más de un mínimo. Debe distinguirse claramente el punto \(x_0\) donde se alcanza el máximo o el mínimo absoluto de una función del máximo o mínimo absoluto alcanzado, \(f(x_0)\).

Con la terminología anterior, la propiedad de compacidad puede enunciarse diciendo que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada y tiene máximo y mínimo absolutos (el hecho de que la imagen sea un intervalo viene ya obligado por el teorema del valor intermedio). Enunciado el teorema en la forma anterior, cabe volver a analizar la demostración para ver como juega la hipótesis de que el conjunto de definición sea un intervalo cerrado y acotado. Lo que realmente se utiliza de \([a,b]\) para probar que \(f\) está acotada y tiene máximo y mínimo absolutos es que toda sucesión de puntos de \([a,b]\) admita una parcial convergente a un punto de \([a,b]\). Se puede comprobar sin dificultad que los únicos intervalos con esta propiedad son los cerrados y acotados, pero existen conjuntos no vacíos de números reales que no son intervalos y que cumplen la propiedad anterior, como por ejemplo los conjuntos finitos o el conjunto \([0,1]\cup[2,3]\).

Proponemos a continuación cuatro ejercicios relacionados con la propiedad de compacidad (con sus respectivas soluciones).

Ejercicios

1. Sean \(f:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}\) y \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=x,\,\forall\,x\in(0,1)\); \(g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
               \frac{x}{1+x} & \text{si} & x\geqslant0 \\
               \frac{x}{1-x} & \text{si} & x<0
             \end{array}
      \right.\). Comprobar que \(f\) y \(g\) son continuas y acotadas pero no tienen máximo ni mínimo absolutos.

\(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\) por ser polinómica y, por el carácter local de la continuidad, también lo es en el intervalo \((0,1)\). La imagen de la función \(f\) vuelve a ser el intervalo \((0,1)\) (\(f\) es la función identidad) que no tiene ni máximo ni mínimo, luego \(f\) no tiene máximo ni mínimo absolutos.

Usando el carácter local de la continuidad \(g\) es claramente continua en \(\mathbb{R}^+\) y en \(\mathbb{R}^-\) pues las respectivas restricciones de \(g\) a \(\mathbb{R}^+\) y \(\mathbb{R}^-\) son funciones racionales, luego continuas. En \(x_0=0\) también es continua pues si \(\{x_n\}\) es una sucesión de números reales convergente a \(0\), la sucesión \(\{g(x_n)\}\) converge a \(g(0)=0\) (basta observar para ello que \(\{g(x_n)\}\) es de la forma \(\left\{\frac{x_n}{1+x_n}\right\}\) o \(\left\{\frac{x_n}{1-x_n}\right\}\) que claramente convergen a cero pues \(\{x_n\}\rightarrow0\)). Así pues \(g\) es continua.

compacidad 01

Dado \(x_0\in\mathbb{R}_0^+\) se tiene \(0\leqslant x<1+x\Leftrightarrow 0\leqslant\frac{x}{1+x}<1\). Ahora bien, dado \(x\in\mathbb{R}^-\), \(-x\in\mathbb{R}^+\) y entonces por los visto anteriormente \(0<\frac{-x}{1-x}<1\Leftrightarrow 0>\frac{x}{1-x}>-1\), o lo que es lo mismo, \(-1<\frac{x}{1-x}<0\). Esto demuestra que la imagen de la función \(g\) es el intervalo \((-1,1)\), que no tiene máximo ni mínimo. Por tanto \(g\) no tiene ni máximo ni mínimo absolutos (véase la representación gráfica de la función en la figura anterior).

2. Probar que si \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) es una función continua en \(0\), entonces existe un número real y positivo \(\delta\) tal que la restricción de \(f\) al intervalo \([-\delta,\delta]\) está acotada.

Al ser \(f\) es continua en \(0\) se tiene que

\[\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\,\delta'>0\,:\,|x|<\delta'\Rightarrow|f(x)-f(0)|<\varepsilon\]

Tomando \(\varepsilon=1\) tenemos entonces que

\[|f(x)|-|f(0)|\leqslant|f(x)-f(0)|<1\Rightarrow|f(x)|<|f(0)|+1\]

Esto demuestra que \(f\) está acotada en \((-\delta',\delta')\). Tomando \(\delta=\frac{\delta'}{2}\), tenemos que \(f\) está acotada en \([-\delta,\delta]\).

3. Sea \(I\) un intervalo cerrado y acotado y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \(I\). Supongamos que existe una sucesión \(\{x_n\}\) de puntos de \(I\) tal que \(f(x_n)=\frac{1}{n},\,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Pruébese que \(0\in f(I)\). Muéstrese con ejemplos que la hipótesis de que el intervalo \(I\) sea cerrado y acotado no puede suprimirse.

Por ser \(I\) cerrado y acotado y \(f\) continua en \(I\), \(f(I)\) es un intervalo cerrado y acotado: \([\alpha,\beta]\). La sucesión \(\{\frac{1}{n}\}\) converge a \(0\) y como \(\alpha\leqslant\frac{1}{n}\leqslant\beta,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), tenemos que \(0\in[\alpha,\beta]=f(I)\).

Sea \(f:(0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x,\,\forall\,x\in[0,1]\). Sea \(\{x_n\}=\{\frac{1}{n}\}\). Entonces tenemos que \(\{f(x_n)\}=\{f(\frac{1}{n})\}=\{\frac{1}{n}\}\). La imagen de la función \(f\), por ser ésta la identidad, es el intervalo \((0,1]\) al cual, obviamente, no pertenece el cero. Así se muestra que la hipótesis de que el intervalo \(I\) sea cerrado y acotado efectivamente no puede suprimirse.

4. Sea \(f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2},\,\forall\,x\in[-1,1]\). Determínese la imagen de \(f\).

La imagen de \(f\) es un intervalo cerrado y acotado. Sea éste \([\alpha,\beta]\). Como \(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\geqslant0\), \(\forall\,x\in[-1,1]\) y \(f(0)=0\) entonces \(\alpha=0\) (\(f\) tiene en \(0\) un mínimo absoluto y éste toma el valor \(0\)). Supongamos que \(\exists\,x\in[-1,1]\) tal que \(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}>\frac{1}{2}\). Entonces \(1+x^2<2x^2\Leftrightarrow1<x^2\), pero esto es absurdo pues \(-1\leqslant x\leqslant1\). Así pues \(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2},\,\forall\,x\in[-1,1]\). Como \(f(1)=\frac{1}{2}\), entonces \(\beta=1\) (\(f\) tiene en \(1\) un máximo absoluto y éste toma el valor \(\frac{1}{2}\)). De esta forma la imagen de \(f\) es el intervalo \([0.\frac{1}{2}]\) (ver a continuación la representación gráfica de la función \(f\)).

compacidad 02


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El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

Un problema relativo a velocidad

Sea un proyectil lanzado verticalmente desde el suelo a una velocidad de \(45\) metros por segundo. Prescindiendo del rozamiento, se supone que solamente actúa la gravedad, por lo que el proyectil se mueve en línea recta. Sea \(f(t)\) la altura en metros que alcanza el proyectil \(t\) segundos después del lanzamiento. Si la fuerza de la gravedad no actuara en él, el proyectil continuaría subiendo a velocidad constante, recorriendo una distancia de \(45\) metros cada segundo, y en el tiempo \(t\) se tendría \(f(t)=45t\). Pero a causa de la gravedad, el proyectil va retardándose hasta que su velocidad llega a valer cero, y a partir de ese momento cae al suelo. Experiencias físicas indican que mientras el proyectil está en movimiento su altura \(f(t)\) viene dada aproximadamente por la fórmula

\[f(t)=45t-5t^2\qquad(1)\]

El término \(-5t^2\) es debido a la influencia de la gravedad. Obsérvese que \(f(t)=0\) cuando \(t=0\) y \(t=9\); o sea, que el proyectil regresa a la tierra después de \(9\) segundos, por lo que la fórmula anterior sólo es válida para \(0\leqslant t\leqslant9\).

El problema a considerar es el siguiente: Determinar la velocidad del proyectil en cada instante de su movimiento. Para poder comprender este problema, hay que precisar lo que se entiende por velocidad en cada instante. Para ello, se introduce la noción de velocidad media durante un intervalo de tiempo, es decir, desde el instante \(t\) al \(t+h\), definiéndola como el cociente:

\[\frac{\text{diferencia de distancias en el intervalo de tiempo}}{\text{intervalo de tiempo}}=\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\]

Este cociente, llamado cociente incremental, es un número que se puede calcular siempre que \(t\) y \(t+h\) pertenezcan ambos al intervalo \([0,9]\). El número \(h\) puede ser positivo o negativo, pero no cero. Se dejará fijo \(t\) y se estudiará lo que le ocurre al cociente incremental, cuando se dan a \(h\) valores cada vez menores en valor absoluto.

Por ejemplo, considérese el instante \(t=2\). La distancia recorrida después de \(2\) segundo es:

\[f(2)=90-20=70\]

En el tiempo \(t=2+h\) la distancia recorrida es:

\[f(2+h)=45(2+h)-5(2+h)^2=70+25h-5h^2\]

Por tanto, la velocidad media en el intervalo entre \(t=2\) y \(t=2+h\) es

\[\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{25h-5h^2}{h}=25-5h\]

Tomando valores de \(h\) cada vez más pequeños en valor absoluto, esta velocidad media se acerca más y más a \(25\). Por ejemplo, si \(h=0,1\) la velocidad media es \(24,5\); si \(h=0,001\), es \(24,995\); si \(h=0,00001\), se obtiene el valor \(24,99995\), y cuando \(h=-0,00001\) se obtiene \(25,00005\). Lo importante es que se puede obtener la velocidad media tan próxima a \(25\) como se desee, si más que tomar \(|h|\) suficientemente pequeño. Se describe este hecho diciendo que la velocidad media tiende al límite \(25\) cuando \(h\) tiende a cero. Parece natural llamar al valor de este límite la velocidad instantánea en el instante \(t=2\).

Los mismos cálculos se pueden efectuar para cualquier otro instante. La velocidad media en un intervalo arbitrario entre \(t\) y \(t+h\) está dado por el cociente:

\[\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\frac{(45(t+h)-5(t+h)^2)-(45t-5t^2)}{h}=45-10t-5h\]

Cuando \(h\) tiende a cero, la expresión de la derecha tiende al límite \(45-10t\) que define la velocidad instantánea en el instante \(t\). Designando la velocidad instantánea por \(v(t)\) se tiene

\[v(t)=45-10t\qquad(2)\]

La fórmula \((1)\) del espacio \(f(t)\), define una función \(f\) que indica la altura a que se encuentra el proyectil en cada instante de su movimiento; \(f\) se denomina función posición o ley de espacios. Su dominio es el intervalo cerrado \([0,9]\) y su gráfica es la siguiente:

grafica espacio 01

La fórmula \((2)\) de la velocidad \(v(t)\) define una nueva función \(v\) que indica la rapidez con que se mueve el proyectil en cada instante de su movimiento, se denomina función velocidad y su gráfica la tienes a continuación.

grafica velocidad 01

Obsérvese que, al crecer \(t\) de \(0\) a \(9\), \(v(t)\) decrece constantemente de \(v(0)=45\) a \(v(9)=-45\). Para hallar el instante \(t\) en el cual \(v(t)=0\) se resuelve la ecuación \(45-10t=0\) obteniéndose \(t=\frac{9}{2}\). Por tanto, en el punto central del movimiento la influencia de la gravedad reduce la velocidad a cero y el proyectil queda instantáneamente fijo. La altura en este instante es \(f(\frac{9}{2})=101,25\). Si \(t>\frac{9}{2}\), la velocidad es negativa y la altura decrece.

El proceso por el cual se obtiene \(v(t)\) a partir del cociente incremental se denomina "hallar el límite cuando \(h\) tiende a cero", y se expresa simbólicamente como sigue:

\[v(t)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\qquad(3)\]

Esta expresión usada para definir la velocidad, en el ejemplo anterior, tiene un sentido más amplio y permite definir la velocidad en movimientos a lo largo de una línea recta, cuando se conozca la función de posición \(f\), y siempre que el cociente incremental tienda a un límite cuando \(h\) tiende a cero.

Derivada de una función

El ejemplo expuesto en el apartado anterior señala el camino para introducir el concepto de derivada. Sea \(f\) una función definida por lo menos en un intervalo abierto \((a,b)\) del eje \(X\). Se elige un punto \(x\) en este intervalo y se forma el cociente de diferencias

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

donde el número \(h\) puede ser positivo o negativo (pero no cero), y tal que \(x+h\) pertenezca también a \((a,b)\). El numerador de este cociente mide la variación de la función cuando \(x\) varía de \(x\) a \(x+h\). El cociente representa la variación media de \(f\) en el intervalo que une \(x\) a \(x+h\).

Seguidamente se hace tender \(h\) a cero y se estudia lo que le ocurre a ese cociente. Si tiende hacia un cierto valor como límite (y será el mismo, tanto si \(h\) tiende a cero con valores positivos como negativos), entonces ese límite se denomina derivada de \(f\) en \(x\) y se indica por el símbolo \(f'(x)\). Por tanto, la definición formal de \(f'(x)\) puede establecerse del siguiente modo.

Definición de derivada.

La derivada \(f'(x)\) está definida por la igualdad

\[f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\qquad(4)\]

con tal que el límite exista. El número \(f'(x)\) también se denomina coeficiente de variación de \(f\) en \(x\).

Comparando la igualdad \((4)\) con la igualdad \((3)\) se ve que el concepto de velocidad instantánea es simplemente un ejemplo del concepto de derivada. La velocidad \(v(t)\) es igual a la derivada \(f'(t)\) cuando \(f\) es la ley de espacios; lo que frecuentemente se expresa diciendo que la velocidad es la relación entre la variación del espacio y la del tiempo. Ya hemos visto en el apartado anterior que la ley de espacios está dada por la ecuación \(f(t)=45t-t^2\), y su derivada \(f'\) es una nueva función (velocidad) dada por \(f'(t)=45-10t\).

En general, el proceso de paso al límite por el que se obtiene \(f'(x)\) a partir de \(f(x)\), abre un camino para obtener una nueva función \(f'\) a partir de una función dada \(f\). Este proceso se denomina derivación, y \(f'\) es la primera derivada de \(f\). Si \(f'\) a su vez está definida en un intervalo abierto, se puede también calcular su primera derivada, indicada por \(f''\) y que es la segunda derivada de \(f\). Análogamente, la derivada \(n\)-sima de \(f\), que se indica por \(f^{(n)}\), se define como la derivada primera de \(f^{(n-1)}\). Convendremos en que \(f^{(0)}=f\), esto es, la derivada de orden cero es la misma función.

En el caso del movimiento rectilíneo, la primera derivada de la velocidad (segunda derivada del espacio) se denomina aceleración. Por ejemplo, para calcular la aceleración en el ejemplo del apartado anterior, se puede utilizar la ecuación \((2)\) para formar el cociente de diferencias

\[\frac{v(t+h)-v(t)}{h}=\frac{(45-10(t+h))-(45-10t)}{h}=\frac{-10h}{h}=-10\]

Como este cociente no varía al tender \(h\) a \(0\), se puede considerar que tiende a \(-10\) (puesto que es \(-10\) cuando \(h\) está próximo a \(0\)). Se concluye pues que la aceleración en este problema es constante e igual a \(-10\), lo que indica que la velocidad decrece a una razón de \(10\) metros por segundo cada segundo. En \(9\) segundos el decrecimiento total de la velocidad es \(9\cdot10=90\) metros por segundo, que está de acuerdo con el hecho de que durante los \(9\) segundos de movimiento la velocidad cambie de \(v(0)=45\) a \(v(9)=-45\).

Ejemplos de derivadas

EJEMPLO 1. Derivada de la función constante. Supongamos que \(f\) es una función constante: sea por ejemplo \(f(x)=k\), para todo \(x\). El cociente de diferencias es

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0\]

Puesto que el cociente es \(0\) para todo \(x\), su límite cuando \(h\) tiende a cero, \(f'(x)\), es también \(0\) para todo \(x\). Dicho de otro modo, una función constante tiene derivada nula para todo \(x\).

EJEMPLO 2. Derivada de la función lineal. Sea \(f\) una función lineal, por ejemplo \(f(x)=mx+n\) para todo real \(x\). Si \(h\neq0\), tenemos

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{m(x+h)+b-(mx+b)}{h}=\frac{mh}{h}=m\]

Como que el cociente de diferencias no cambia cuando \(h\) tiende a \(0\), resulta que \(f'(x)=m\), para cada \(x\). Así que, la derivada de una función lineal es una función constante.

EJEMPLO 3. Derivada de una función potencial de exponente entero positivo. Consideremos el caso \(f(x)=x^n\), siendo \(n\) un entero positivo. El cociente de diferencias es ahora

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\]

En álgebra elemental se tiene la igualdad (¡compruébese!)

\[a^n-b^n=(a-b)\left(b^{n-1}+ab^{n-2}+a^2b^{n-3}+\ldots+a^{n-2}b+a^{n-1}\right)\]

Es conveniente observar que el segundo paréntesis del segundo miembro tiene \(n\) sumandos. Si en la igualdad anterior se toma \(a=x+h\) y \(b=x\), la identidad se transforma en:

\[(x+h)^n-x^n=h\left(x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\right)\]

Si dividimos entre \(h\) los dos miembros de la igualdad tenemos:

\[\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\]

Insistimos en que en la suma del segundo miembro hay \(n\) términos. Cuando \(h\) tiende a \(0\) tenemos:

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\left(x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\right)=\]

\[=x^{n-1}+x\cdot x^{n-2}+x^2\cdot x^{n-3}+\ldots+x^{n-2}\cdot x+x^{n-1}=x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+\ldots n\text{ veces}\ldots+x^{n-1}\]

Por tanto, la suma de los últimos \(n\) términos es \(nx^{n-1}\). En definitiva: \(f'(x)=nx^{n-1}\), para todo \(x\).

EJEMPLO 4. Derivada de la función seno. Sea \(f(x)=\text{sen}\,x\). El cociente de diferencias es

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}\,x}{h}\]

Para transformarlo de modo que haga posible calcular el límite cuando \(h\rightarrow0\), utilizamos la identidad trigonométrica

\[\text{sen}\,A-\text{sen}\,B=2\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}\]

Poniendo \(A=x+h\) y \(B=x\) tenemos

\[\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}\,x}{h}=\frac{2\,\text{sen}\frac{h}{2}\cos\frac{2x+h}{2}}{h}=\frac{\text{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\]

Cuando \(h\rightarrow0\), el factor \(\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\rightarrow\cos x\) por la continuidad del coseno. Asimismo, el siguiente límite

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{sen}\,x}{x}=1\]

(ver gráfica de la función \(\frac{\text{sen}\,x}{x}\), la cual tienes a continuación), demuestra que

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{\text{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1\]

grafica senx partido x

Por lo tanto el cociente de diferencias tiene como límite \(\cos x\) cuando \(h\rightarrow0\). Dicho de otro modo, \(f'(x)=\cos x\) para todo \(x\), es decir, la derivada de la función seno es el coseno.

EJEMPLO 5. Derivada de la función coseno. Sea \(f(x)=\cos x\). Demostraremos que \(f'(x)=-\text{sen}\,x\), esto es, que la derivada de la función coseno es menos la función seno. Hemos de partir ahora de la identidad trigonométrica siguiente:

\[\cos A-\cos B=-2\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\text{sen}\frac{A+B}{2}\]

Pongamos \(A=x+h\) y \(B=x\). De manera similar a como se ha procedido en el ejemplo anterior, esto nos conduce a la fórmula

\[\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}=-\frac{2\,\text{sen}\frac{h}{2}\text{sen}\frac{2x+h}{2}}{h}=-\frac{\text{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\text{sen}\left(x+\frac{h}{2}\right)\]

La continuidad de la función seno demuestra que \(\text{sen}(x+\frac{h}{2})\rightarrow\text{sen}\,x\) cuando \(h\rightarrow0\). Además, recordemos que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{sen}\,x}{x}=1\). Por tanto \(f'(x)=-\text{sen}\,x\).

EJEMPLO 6. Derivada de la función raíz n-sima. Si \(n\) es un entero positivo, sea \(f(x)=x^{1/n}\) para \(x>0\). El cociente de diferencias para \(f\) es

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^{1/n}-x^{1/n}}{h}\]

Pongamos \(u=(x+h)^{1/n}\) y \(v=x^{1/n}\). Tenemos entonces \(u^n=x+h\) y \(v^n=x\), con lo que \(h=u^n-v^n\), y el cociente de diferencias toma la forma (ver ejemplo 3)

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{u-v}{u^n-v^n}=\frac{1}{u^{n-1}+u^{n-2}v+\ldots+uv^{n-2}+v^{n-1}}\]

La continuidad de la función raíz \(n\)-sima prueba que \(u\rightarrow v\) cuando \(h\rightarrow0\). Por consiguiente, cada término del denominador del miembro de la derecha tiene límite \(v^{n-1}\) cuando \(h\rightarrow0\). En total hay \(n\) términos, con lo que el cociente de diferencias tiene como límite \(\frac{1}{nv^{n-1}}=\frac{v^{1-n}}{n}\). Puesto que \(v=x^{1/n}\), esto demuestra que

\[f'(x)=\frac{x^{(1/n)(1-n)}}{n}=\frac{1}{n}x^{1/n-1}\]

EJEMPLO 7. Continuidad de las funciones que admiten derivadas. Si una función \(f\) tiene derivada en un punto \(x\), es también continua en \(x\). Para demostrarlo, empleamos la identidad

\[f(x+h)=f(x)+h\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\]

que es válida para \(h\neq0\). Si hacemos que \(h\rightarrow0\), el cociente de diferencias del segundo miembro tiende a \(f'(x)\) y, puesto que este cociente está multiplicado por un factor que tiende hacia \(0\), el segundo término del segundo miembro tiende a \(0\). Esto demuestra que \(f(x+h)\rightarrow f(x)\) cuando \(h\rightarrow0\), y por tanto que \(f\) es continua en \(x\) (obsérvese que esto es lo mismo que decir, haciendo un adecuado cambio de variable, que \(f(x)\rightarrow f(a)\) cuando \(x\rightarrow a\)).

Este último ejemplo proporciona un nuevo procedimiento para probar la continuidad de las funciones. Cada vez que establecemos la existencia de una derivada \(f'(x)\), establecemos también, al mismo tiempo, la continuidad de \(f\) en \(x\). Debería observarse, no obstante, que el recíproco no es cierto. La continuidad en \(x\) no implica necesariamente la existencia de la derivada \(f'(x)\). Por ejemplo, cuando \(f(x)=|x|\), el punto \(x=0\) es de continuidad de \(f\) (ya que \(f(x)\rightarrow f(0)=0\) cuando \(x\rightarrow0\)), pero no existe derivada en \(0\). El cociente de diferencias \(\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) es igual a \(\frac{|h|}{h}\). Éste vale \(1\) si \(h>0\) y \(-1\) si \(h<0\), y por consiguiente no tiene límite cuando \(h\rightarrow0\).

grafica valor absoluto

Referencia bibliográfica. Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).


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Continuidad de una función en un intervalo. El teorema del valor intermedio

Ya hemos tratado en un artículo anterior el problema de la continuidad de una función. Ahora nos hemos de preguntar sobre las ventajas que, en análisis matemático, nos proporciona este hecho. Existen una serie de resultados importantes que nos dan propiedades fundamentales de las funciones continuas, sobre todo de las funciones definidas por intervalos. Lo pondremos de manifiesto en este artículo (dedicado al teorema de los ceros de Bolzano y al teorema del valor intermedio), y en otros dos próximos (propiedad de compacidad, funciones continuas e inyectivas). La lectura de este artículo también exigiría la lectura anterior del artículo dedicado a los mayorantes y minorantes, al supremo y al ínfimo y al axioma del supremo.

Antes de entrar de lleno en las propiedades de las funciones continuas definidas por intervalos recordaremos una amplia familia de subconjuntos de \(\mathbb{R}\).

Dados dos números reales \(a\) y \(b\), con \(a\leqslant b\), notaremos:

\[[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a\leqslant x\leqslant b\}\]

\[[a,b)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a\leqslant x< b\}\]

\[(a,b]=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a< x\leqslant b\}\]

\[(a,b)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a<x<b\}\]

Estos conjuntos reciben, respectivamente, el nombre de intervalo cerrado, semiabierto por la derecha, semiabierto por la izquierda y abierto, de origen \(a\) y extremo \(b\).

Dado un número real \(a\) cualquiera, notaremos también:

\[(\leftarrow,a]=\{x\in\mathbb{R}\,:\,x\leqslant a\}\]

\[(\leftarrow,a)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,x<a\}\]

\[[a,\rightarrow)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,x\geqslant a\}\]

\[(a,\rightarrow)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,x<a\}\]

conjuntos que reciben, respectivamente, el nombre de semirrecta cerrada de extremo \(a\), abierta de extremo \(a\), cerrada de origen \(a\) y abierta de origen \(a\). A los conjuntos anteriores también se les suele notar, respectivamente, del siguiente modo: \((-\infty,a]\), \((-\infty,a)\), \([a,+\infty)\), \((a,+\infty)\).

Diremos que un conjunto \(A\) de números reales es un intervalo si \(A=\mathbb{R}\) o bien \(A\) responde a una de las ocho descripciones dadas anteriormente. Por cierto, hay que hacer notar que el conjunto vacío y el conjunto \(\{a\}\) (formado por un solo elemento) en que \(a\) es un número real, son intervalos.

Es inmediato comprobar que si \(A\) es un intervalo y \(x\), \(y\) son elementos de \(A\) con \(x<y\) todo real \(z\) en la situación \(x\leqslant z\leqslant y\) pertenece al conjunto \(A\). Veamos a continuación una propiedad que caracteriza a los intervalos y que no es tan evidente.

Proposición.

Condición necesaria y suficiente para que un conjunto \(A\) de números reales sea un intervalo es que para cualesquiera dos elementos \(x\) e \(y\) de \(A\) con \(x<y\) se tenga \([x,y]\subset A\).

La necesidad de la condición es comprobación inmediata, tal y como se ha comentado anteriormente.

Para probar la suficiencia, sea \(A\) un conjunto de números reales verificando la siguiente condición:

\[x,\,y\in A\,,\,x<y\Rightarrow[x,y]\subset A\]

Deberemos probar que \(A\) es uno de los nueve tipos de intervalos definidos anteriormente.

Si \(A\) es vacío no hay nada que demostrar, pues entonces para cualquier número real \(a\) se tiene \(A=(a,a)\). Supongamos por tanto \(A\) no vacío y distingamos varios casos.

  • Si \(A\) no está minorado ni mayorado, dado \(z\in\mathbb{R}\), \(z\) no puede ser minorante ni mayorante de \(A\), luego existen \(x\), \(y\) en \(A\), con \(x<z<y\), de donde \(z\in[x,y]\subset A\) y obtenemos \(A=\mathbb{R}\).
  • Si \(A\) está mayorado pero no minorado, sea \(b=\sup A\). Entonces, dado \(z\in\mathbb{R}\), con \(z<b\), \(z\) no es mayorante ni minorante de \(A\), luego existen \(x,\,y\in A\), con \(x<z<y\), de donde \(z\in[x,y]\subset A\). Se tiene por tanto: \((-\infty,b)\subset A\subset (-\infty, b]\), lo que deja dos posibilidades: \(A=(-\infty,b)\) o bien \(A=(-\infty, b]\).
  • Si \(A\) está minorado pero no mayorado se demuestra de manera análoga al caso anterior que o bien \(A=(a,+\infty)\) o bien \(A=[a,+\infty)\), en que \(a=\inf A\).
  • Finalmente, si \(A\) está acotado, sean \(a=\inf A\) y \(b=\sup A\). Dado \(z\), con \(a<z<b\), \(z\) no puede ser mayorante ni minorante de \(A\), luego existen otra vez \(x,\,y\in A\) tales que \(x<z<y\), de donde \(z\in A\). Así tenemos: \((a,b)\subset A\subset[a,b]\), lo que deja cuatro posibilidades según que \(a\) y \(b\) pertenezcan o no al conjunto \(A\), a saber: \(A=(a,b)\), \(A=(a,b]\), \(A=[a,b)\), \(A=[a,b]\).

La primera de las propiedades de las funciones continuas definidas en intervalos es la conocida como propiedad del valor intermedio, según la cual una función continua en un intervalo que tome dos valores está obligada a tomar todos los comprendidos entre ellos. Desde el punto de vista gráfico es bastante intuitivo imaginar esta situación, la cual vamos a formalizar. Antes necesitamos probar algunos resultados.

Lema de conservación del signo.

Sea \(A\) un conjunto de números reales, \(x_0\) un punto de \(A\) y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \(x_0\) con \(f(x_0)\neq0\). Entonces existe un número real positivo \(\delta\) tal que si \(x\) es cualquier punto de \(A\) verificando \(|x-x_0|<\delta\) se tiene \(f(x)f(x_0)>0\) (o lo que es lo mismo, \(f(x)\) tiene el mismo signo que \(f(x_0)\)).

Por ser \(f\) una función continua en \(x_0\) tenemos, por la caracterización de la continuidad (ver el final de artículo dedicado a la continuidad de una función), que

\[\forall\,\varepsilon>0\,,\exists\,\delta>0\,:\,x\in A\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\]

En particular, tomando \(\varepsilon=|f(x_0)|\), obtenemos

\[\exists\,\delta>0\,:\,x\in A\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<|f(x_0)|\]

y por tanto

\[f(x_0)-|f(x_0)|<f(x)<f(x_0)+|f(x_0)|\qquad(1)\]

de donde se obtiene que \(|f(x)|\) y \(|f(x_0)|\) tienen el mismo signo, ya que

  • Si \(f(x_0)<0\), la doble desigualdad \((1)\) se transforma en \(2f(x_0)<f(x)<0\).
  • Si \(f(x_0)>0\), la doble desigualdad \((1)\) se transforma en \(0<f(x)<2f(x_0)\).

En particular, si \(f(x_0)<0\Rightarrow f(x)<0\) y si \(f(x_0)>0\Rightarrow f(x)>0\).

Teorema de los ceros de Bolzano.

Sean \(a\), \(b\) números reales con \(a<b\) y \(f\) una función de \([a,b]\) en \(\mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y verificando \(f(a)<0<f(b)\). Entonces existe un número real \(c\) con \(a<c<b\), tal que \(f(c)=0\).

Sea \(C=\{x\in[a,b]\,:\,f(x)<0\}\). Evidentemente \(C\) es no vacío pues \(a\in C\), y \(C\) está mayorado (por \(b\)). Por el axioma del supremo, llamemos \(c=\sup C\) que claramente verifica \(a\leq c\leq b\). Sólo resta probar que \(f(c)=0\) (pues entonces \(a\neq c\) y \(b\neq c\), luego \(c\in(a,b)\)).

Por ser \(c=\sup C\) existe una sucesión \(\{x_n\}\) de puntos de \(C\) convergente a \(c\) (ver el ejercicio 4 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes). Como \(f\) es continua en el punto \(c\) tenemos que \(\{f(x_n)\}\rightarrow c\) y, por ser \(f(x_n)<0\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}\), obtenemos que \(f(c)\leqslant0\) (en virtud del corolario 3 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes).

Supongamos ahora la desigualdad estricta, es decir, que \(f(c)<0\); aplicando el lema anterior encontramos \(\delta>0\) tal que si \(x\in[a,b]\) y \(|x-c|<\delta\) se tiene \(f(x)<0\). Por ser \(f(b)>0\) deducimos que \(|b-c|\geqslant\delta\), esto es, \(c+\delta\leqslant b\); entonces \(c+\frac{\delta}{2}\in[a,b]\) y \(f\left(c+\frac{\delta}{2}\right)<0\) luego \(c+\frac{\delta}{2}\in C\), lo cual es una contradicción. Así pues hemos obtenido \(f(c)=0\), tal y como se quería.

Teorema del valor intermedio.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \(I\). Entonces \(f(I)\) es un intervalo.

Sean \(\alpha,\beta\in f(I)\) verificando \(\alpha<\beta\); bastará probar, teniendo en cuenta la proposición demostrada al principio de este artículo, que \([\alpha,\beta]\subset f(I)\), esto es, dado \(\lambda\in\mathbb{R}\) con \(\alpha<\lambda<\beta\) debemos encontrar un \(z\) de \(I\) tal que \(f(z)=\lambda\). Sean \(x\), \(y\) puntos de \(I\) tales que \(f(x)=\alpha\), \(f(y)=\beta\). Puesto que \(x\neq y\), podrán darse dos casos.

Si \(x<y\) se tiene \([x,y]\subset I\); sea \(g:[x,y]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(g(t)=f(t)-\lambda,\,\forall\,t\in[x,y]\). Evidentemente \(g\) es continua en \([x,y]\) y se verifica

\[g(x)=\alpha-\lambda<0<\beta-\lambda=g(y)\]

luego, por el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(z\in(x,y)\) tal que \(g(z)=0\). Entonces \(z\in I\) y \(f(z)=\lambda\).

Si \(x>y\) se aplica el mismo razonamiento tomando el intervalo \([y,x]\) y la función \(g:[y,x]\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \(g(t)=\lambda-f(t),\,\forall\,t\in[y,x]\).

Nótese que el hecho de que \(f(I)\) sea un intervalo significa (como se ha puesto de manifiesto en la demostración) ni más ni menos que si \(f\) toma dos valores está obligada a tomar todos los intermedios. Queda claro pues que el teorema del valor intermedio incluye al teorema de los ceros de Bolzano como caso particular (aunque también muy especial pues la demostración del primero se reduce, tal y como hemos visto, al segundo).

Proponemos a continuación una colección de doce ejercicios (con sus soluciones) relacionados con los dos teoremas demostrados anteriormente.

Ejercicios

1. Dar un ejemplo de una función continua en un punto \(x_0\) que no tenga signo constante en ningún intervalo abierto centrado en dicho punto (intervalo de la forma \((x_0-\delta,x_0+\delta)\) con \(\delta>0\)).

Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^3\). Tomemos \(x_0=0\). Entonces \(f\) no tiene signo constante en ningún intervalo de la forma \((-\delta,\delta)\), pues si \(\alpha\in(-\delta,0)\), entonces \(f(\alpha)=\alpha^3<0\) pues \(\alpha<0\); y si \(\alpha\in(0,\delta)\), \(f(\alpha)=\alpha^3>0\) ya que \(\alpha>0\).

2. Dar un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un intervalo.

Sea \(f:A=[-1,0]\cup[1,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x\). Claramente \(f\) es continua en todo punto de su conjunto de definición. Sin embargo \(f(A)=[-1,0]\cup[1,2]\), que no es un intervalo.

3. Dar un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo y que no sea continua.

Sea \(f:A=[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}\) definida del siguiente modo:

\[f(x)=\left\{
    \begin{array}{lll}
    -x&\text{si}&-1\leqslant x\leqslant0\\
    1-x&\text{si}&0<x\leqslant1
    \end{array}
  \right.\]

La función \(f\) está definida en un intervalo y no es continua en cero. Sin embargo se tiene que \(f(A)=[0,1]\), que sí que es un intervalo.

4. Dar un ejemplo de una función continua en todo \(\mathbb{R}\), no constante y cuya imagen sea un conjunto (obligadamente un intervalo) acotado.

Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-1}\). La función \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\) por ser una función racional y no es constante. Además \(f(\mathbb{R})=[0,1)\) (véase la representación gráfica).

grafica 01

5. Dar un ejemplo de una función continua en \([0,1)\) tal que \(f([0,1))\) sea no acotado.

Sea \(f:[0,1)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\dfrac{x}{1-x}\). Claramente \(f\) es continua en \([0,1)\) por ser una función racional. Además \(f([0,1))=[0,+\infty)\), que es un intervalo no acotado (ver representación gráfica).

grafica 02

6. Dar un ejemplo de una función continua definida en un intervalo abierto acotado y cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado.

Sea \(f:(-2,2)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{
    \begin{array}{lll}
    -1&\text{si}&-2<x<-1\\
    x&\text{si}&-1\leqslant x\leqslant1\\
    1&\text{si}&1<x<2
    \end{array}
  \right.\]

La función es claramente continua y \(f\left((-2,2)\right)=[-1,1]\).

grafica 03

7. Pruébese que si \(I\) es un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) es una función continua en \(I\) verificando \(f(I)\subset\mathbb{Q}\), entonces \(f\) es constante.

Si \(f\) no fuese constante podría tomar, al menos, dos valores distintos. Sean éstos \(x_1,x_2\in I\) con \(x_1<x_2\) tal que, por ejemplo, \(f(x_1)<f(x_2)\). Como \(f\) es continua en \(I\), e \(I\) es un intervalo, \(f(I)\) también es un intervalo y por tanto \([f(x_1),f(x_2)]\subset f(I)\subset\mathbb{Q}\). Esto es absurdo pues entre dos racionales siempre hay algún irracional. Por tanto \(f\) toma un solo valor y \(f\) es constante.

8. Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Supongamos que toda función continua de \(A\) en \(\{0,1\}\) (es decir, cuya imagen esté incluida en el conjunto \(\{0,1\}\)) es constante. Pruébese que \(A\) es un intervalo.

Si \(A\) no fuese un intervalo, dados \(x_1,x_2\in A\) con \(x_1<x_2\), sería posible encontrar un número real \(z\) tal que \(x_1<z<x_2\) con \(z\notin A\). Sea ahora la función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{
    \begin{array}{lll}
    0&\text{si}&x<z\\
    1&\text{si}&x>z
    \end{array}
  \right.\]

Es claro que \(f\) es continua en \(A\) (recuérdese que la continuidad es un propiedad local) y además toma el valor \(0\) y el valor \(1\), lo cual contradice el supuesto de que toda función continua de \(A\) en \(\{0,1\}\) es constante. Así pues, \(A\) es un intervalo.

9. Pruébese que todo polinomio de grado impar admite al menos una raíz real.

Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función polinómica

\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\]

con \(a_n\neq0\) y \(n\) impar. Podemos suponer \(a_n=1\) (en caso contrario bastaría dividir todo entre \(a_n\)). Por tanto tomaremos

\[f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\]

Entonces

\[\frac{f(x)}{x^n}=1+\frac{a_{n-1}}{x}+\ldots+\frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}\]

Consideremos la sucesión

\[\left\{\frac{f(k)}{k^n}\right\}_{k\in\mathbb{N}}=\left\{1+\frac{a_{n-1}}{k}+\ldots+\frac{a_1}{k^{n-1}}+\frac{a_0}{k^n}\right\}\]

Claramente \(\left\{\dfrac{f(k)}{k^n}\right\}\rightarrow1\). Por tanto existe \(m_1\in\mathbb{N}\) tal que \(\dfrac{f(m_1)}{m_1^n}>0\), de donde se deduce que \(f(m_1)>0\).

Consideremos, por otro lado, la sucesión

\[\left\{\frac{f(-k)}{(-k)^n}\right\}_{k\in\mathbb{N}}=\left\{1-\frac{a_{n-1}}{k}+\ldots+\frac{a_1}{k^{n-1}}-\frac{a_0}{k^n}\right\}\]

También es claro que \(\left\{\dfrac{f(-k)}{(-k)^n}\right\}\rightarrow1\), con lo que existe \(m_2\in\mathbb{N}\) tal que \(\dfrac{f(-m_2)}{(-m_2)^n}>0\), con lo que \(f(-m_2)<0\) (ya que al ser \(n\) impar \((-m_2)^n<0\).

Como consecuencia, por el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(c\in(-m_2,m_1)\) tal que \(f(c)=0\), es decir, tal que

\[a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\ldots+a_2c^2+a_1c+a_0=0\]

y, por tanto, \(c\) es una raíz del polinomio.

10. Dado un número real positiva \(a\), pruébese que existe \(x\in\mathbb{R}^+\) tal que \(x^2=a\). El tal \(x\) es único.

Sea \(f:[0,b]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2-a\), donde \(b\) es un número real cumpliendo que \(b^2>a\). \(f\) es claramente continua y además \(f(0)=-a<0<b^2-a=f(b)\). Por el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(c\in(0,b)\) tal que \(f(c)=c^2-a=0\), o lo que es lo mismo, \(c^2=a\). Si existiera otro valor \(d\in(0,b)\) tal que \(d^2=a\) tendríamos \(c^2=d^2\) de donde se deduce que \(c=d\), ya que tanto \(c\) como \(d\) son números reales positivos. Así pues el número que se busca es único.

11. Sea \(f:[0,1]\rightarrow[0,1]\) una función continua en \([0,1]\). Pruébese que \(f\) tiene un punto fijo: \(\exists\,x\in[0,1]\,:\,f(x)=x\).

Sea \(f:[0,1]\rightarrow[0,1]\) definida por \(g(x)=f(x)-x\). La función \(g\) es continua en \([0,1]\) por serlo \(f\). Además, \(g(0)=f(0)-0=f(0)\geqslant0\) (la imagen de \(f\) es el intervalo \([0,1]\)), y \(g(1)=f(1)-1\leqslant0\). Si en una de las dos desigualdades se da el igual, entonces el punto buscado es el \(0\) o el \(1\). Si las desigualdades son estrictas, por el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(c\in(0,1)\) tal que \(g(c)=f(c)-c=0\), es decir, \(f(c)=c\).

12. Suponiendo que la temperatura varía de manera continua a lo largo del Ecuador, pruébese que, en cualquier instante, existen dos puntos antípodas sobre el Ecuador que se hallan a la misma temperatura.

Consideremos la función temperatura definida sobre una circunferencia, es decir, sobre el Ecuador \(T:[0,2\pi]\rightarrow\mathbb{R}\) que según la hipótesis es continua y sea ahora la siguiente función: \(f:[0,\pi]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=T(x+\pi)-T(x)\), que es continua por serlo \(T\). Se tiene, por un lado, que \(f(0)=T(\pi)-T(0)\), y por otro \(f(\pi)=T(2\pi)-T(\pi)=T(0)-T(\pi)\). Ahora se pueden dar dos casos. Que \(T(\pi)-T(0)=0\Rightarrow T(\pi)=T(0)\), y hemos terminado. O bien que \(T(\pi)-T(0)\neq0\). En este caso \(f(0)=T(\pi)-T(0)\) y \(f(\pi)=T(0)-T(\pi)\) tienen distinto signo por ser números opuestos. Aplicando el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(c\in(0,\pi)\) tal que \(f(c)=T(c+\pi)-T(c)=0\), es decir, \(T(c+\pi)=T(c)\), tal y como queríamos demostrar.


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Funciones continuas. Definición y propiedades

Para la lectura de este artículo es recomendable haber leído con anterioridad otros tres artículos relacionados con las sucesiones de números reales y las funciones reales de variable real. Son los siguientes:

Por otro lado, nos gustaría hacer notar que en bachillerato el concepto de función continua en un punto se introduce a través del concepto de límite de una función en un punto y, desde el punto de vista gráfico, diciendo que la gráfica de la función al pasar por ese punto se puede dibujar "sin levantar el lápiz del papel". De hecho, del concepto de límite se habla en términos gráficos muy generales y raras veces se da la definición de límite funcional de manera algo más rigurosa (cosa que nosotros haremos en un artículo posterior). Lo que vamos a ver aquí es el concepto de función continua en un punto y en un conjunto, así como sus propiedades, sin necesidad de utilizar el concepto de límite de una función, sino solamente usando sucesiones de números reales, el concepto de sucesión convergente y sus propiedades (merece la pena insistir: ya veremos que para definir el concepto de límite de una función se usa el de límite de una sucesión). Finalmente daremos una caracterización de la continuidad muy útil en algunos casos. Insistimos en que el lenguaje matemático a este nivel puede parecer difícil a un alumno que ha finalizado el bachillerato, pero no hay que preocuparse, con el tiempo y un poco de tesón uno se acostumbra con cierta facilidad. Es un lenguaje preciso y conviene interpretarlo adecuadamente. Empezaremos por definir el concepto de función continua en un punto.

Definición 1.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real y sea \(x\) un elemento de \(A\). Diremos que \(f\) es continua en el punto \(x\) si para toda sucesión \(\{x_n\}\) de elementos de \(A\) convergente a \(x\), se tiene que la sucesión \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(x)\). Dado un subconjunto no vacío \(B\) de \(A\), es muy natural decir que \(f\) es continua en \(B\) cuando sea continua en todos los puntos de \(B\). Por supuesto, puede ser \(B=A\).

Si pensamos en la definición anterior, y la llevamos a la representación gráfica de la función, seremos capaces de visualizar el significado (que, en realidad es el mismo que se obliga a visualizar a los estudiantes de bachillerato usando el concepto de límite de una función). Por cierto, es conveniente hacer notar que si una función no está definida en un punto no se puede hablar de la continuidad de la función en ese punto; o sea, no es que la función sea o deje de ser continua en el punto, es que no tiene sentido hablar de la continuidad de una función en un punto que no pertenece a su dominio de definición. Así por ejemplo, afirmar que "la función \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\) no es continua en el punto \(x=1\)" es algo que carece de sentido pues la función no está definida en \(x=1\). Esto supone "liquidarse" de alguna manera la visualización de la idea de continuidad como eso de "dibujar sin levantar el lápiz del papel"; tal idea gráfica conviene reducirla única y exclusivamente al dominio de definición de la función. En los puntos que no pertenezcan al dominio de definición ocurrirán otras cosas. Así por ejemplo, volviendo a la función anterior, lo que ocurre es que \(x=1\) es una asíntota vertical de la función \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\).

De entrada hay dos funciones continuas en todos los puntos de cualquier conjunto \(A\) no vacío de números reales en los que estén definidas. La demostración de este hecho es prácticamente inmediata usando directamente la definición anterior. Son las siguientes:

  • La función constante en \(A\): dado \(k\in\mathbb{R}\); \(f(x)=k\,,\forall\,x\in A\).
  • La función identidad en \(A\): \(f(x)=x\,,\forall\,x\in A\).

Las proposiciones que demostraremos a continuación permitirán obtener más funciones continuas a partir de las dos anteriores.

Proposición 1.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Si \(f\) y \(g\) son funciones de \(A\) en \(\mathbb{R}\) continuas en un punto \(a\) de \(A\), entonces \(f+g\) y \(fg\) son continuas en \(a\). Como consecuencia, si \(f\) y \(g\) son continuas en un subconjunto \(B\) de \(A\), también lo serán \(f+g\) y \(fg\).

Sea \(\{x_n\}\) cualquier sucesión de puntos de \(A\) convergente a \(a\). Entonces, por ser \(f\) y \(g\) continuas en \(a\) tenemos que

\[\{f(x_n)\}\rightarrow f(a)\quad\text{y}\quad\{g(x_n)\}\rightarrow g(a)\]

Por tanto:

\[\{(f+g)(x_n)\}=\{f(x_n)+g(x_n)\}\rightarrow f(a)+g(a)=(f+g)(a)\]

y

\[\{(fg)(x_n)\}=\{f(x_n)g(x_n)\}\rightarrow f(a)g(a)=(fg)(a)\]

Aquí hemos utilizado la Proposición 2 y el Corolario 1 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes.

Proposición 2.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales, \(f\) y \(g\) funciones de \(A\) en \(\mathbb{R}\). Supongamos que \(g(x)\neq0\,,\forall\,x\in A\). Si \(f\) y \(g\) son continuas en un punto \(a\) de \(A\), entonces la función \(\dfrac{f}{g}\) es continua en \(a\). Como consecuencia, si \(f\) y \(g\) son continuas en un subconjunto \(B\) de \(A\), también lo es \(\dfrac{f}{g}\).

Demostrando que la función \(\dfrac{1}{g}\) es continua en \(a\), haciendo uso la proposición anterior, tendremos demostrado este resultado. Pues bien, si \(\{x_n\}\rightarrow a\) con \(x_n\in A\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), tenemos, por ser \(g\) continua en \(a\), que \(\{g(x_n)\}\rightarrow g(a)\). Además  \(g(x_n)\neq0\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) y \(g(a)\neq0\). Por tanto, usando la Proposición 4 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes, tenemos:

\[\left\{\frac{1}{g}(x_n)\right\}=\left\{\frac{1}{g(x_n)}\right\}\rightarrow\frac{1}{g(a)}=\frac{1}{g}(a)\]

tal y como queríamos demostrar.

Puesto que de todos es conocido lo que es un polinomio, podemos definir una función polinómica como sigue. Si \(A\) es un conjunto no vacío de números reales, una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) se dice que es \emph{polinómica} si existe un entero \(p\geq0\) y números reales \(a_0,a_1,\ldots,a_p\) tales que

\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_px^p\,,\forall\,x\in A\]

Diremos también que una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es racional si existen funciones polinómicas \(f_1\) y \(f_2\) en \(A\), con \(f_1(x)\neq0\,,\forall\,x\in A\), tales que

\[f(x)=\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\,,\forall\,x\in A\]

Puesto que la función constante y la función identidad son continuas, las proposiciones anteriores permiten afirmar que toda función racional definida en un conjunto \(A\) no vacío de números reales es continua en \(A\).

Todo lo anterior se puede resumir diciendo que la continuidad se conserva para la suma, el producto y el cociente de funciones. Básicamente, si dos funciones son continuas, la suma, el producto y el cociente de ambas también son funciones continuas. Recordemos que en el artículo dedicado a la funciones reales de variable real vimos el concepto de composición de funciones. Veremos por último también que si dos funciones son continuas la composición de ambas también lo es.

Proposición 3.

Sean \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\), \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) funciones reales de variable real y supongamos \(f(A)\subset B\). Si \(f\) es continua en un punto \(a\) de \(A\) y \(g\) es continua en el punto \(f(a)\), entonces la composición \(g\circ f\) es continua en \(a\). Como consecuencia, si \(f\) es continua en \(A\) y \(g\) es continua en \(f(A)\), entonces \(g\circ f\) es continua en \(A\).

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de puntos de \(A\) tal que \(\{x_n\}\rightarrow a\) y sea \(y_n=f(x_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Entonces \(\{y_n\}\) es una sucesión de puntos de \(B\) que, por ser \(f\) continua en \(a\), converge a \(f(a)\). Por ser \(g\) continua en \(f(a)\) tenemos que \(\{g(y_n)\}\) converge a \(\{g(f(a))\}\), es decir

\[\{(g\circ f)(x_n)\}\rightarrow(g\circ f)(a)\]

tal y como queríamos.

Vamos a demostrar ahora que la función \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=|x|\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\]

(función valor absoluto) es continua en \(\mathbb{R}\).

Sea \(a\in\mathbb{R}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales tal que \(\{x_n\}\rightarrow a\). Hemos de demostrar que \(\{g(x_n)\}\rightarrow g(a)\), o lo que es lo mismo, que \(\{|x_n|\}\rightarrow |a|\). Para ello utilizaremos la definición de sucesión convergente. Consideremos \(\varepsilon>0\). Como \(\{x_n\}\rightarrow a\), \(\exists\ m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geq m\), entonces \(|x_n-a|<\varepsilon\). Pero, por las propiedades del valor absoluto, \(||x_n|-|a||\leq|x_n-a|\) siempre que \(n\geq m\), con lo que hemos demostrado que \(\{|x_n|\}\rightarrow |a|\), tal y como queríamos.

De lo anterior se deduce que, dada una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\), la función \(|f|:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[|f|(x)=|f(x)|\,,\forall\,x\in A\]

es continua en todo punto de \(A\) donde lo sea \(f\). La razón es que la función anterior es la composición de la función de \(f\) con la función valor absoluto.

Esto nos permite ampliar el conjunto de las funciones continuas. Así, la función \(f(x)=|p(x)|\) donde \(p\) es una función polinómica, es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Por ejemplo, como \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\) es continua en todo \(\mathbb{R}\), la función \(|f|(x)=|f(x)|=|x^3-2x^2-5x+6|\) también es continua en todo \(\mathbb{R}\). Sus gráficas son las siguientes:

funcion continua 01

funcion continua 02

Obsérvese que la gráfica de \(|f|\) coincide con la de \(f\) cuando \(f(x)\geq0\) ya que, en este caso, \(|f(x)|=f(x)\). Sin embargo, cuando \(f(x)<0\), tenemos que \(|f(x)|=-f(x)\), con lo que para obtener la gráfica de \(|f|\) basta situar simétricamente al eje \(X\) los puntos en los que la ordenada de \(f\) es menor que cero. Resumiendo:

\[|f|(x)=|f(x)|=\left\{\begin{array}{ccc} f(x) & \text{si} & f(x)\geq0 \\ -f(x) & \text{si} & f(x)<0             \end{array}\right.\]

Sin embargo puede ocurrir que \(|f|\) sea continua en un punto y que \(f\) no lo sea. Por ejemplo, la función

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 1 & \text{si} & x\geq0 \\ -1 & \text{si} & x<0\end{array}\right.\]

claramente no es continua en cero (¿serías capaz de demostrarlo usando la definición de función continua en un punto?). Sin embargo

\(|f|(x)=|f(x)|=1\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\), es constante y por tanto es continua en cero.

Proponemos a continuación tres ejercicios acerca de la continuidad de funciones reales de variable real.

Ejercicios

1. Estúdiese la continuidad de la función \(f\) de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    x & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
    1-x & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
  \end{array}\right.\]

Sea \(x_0\in\mathbb{Q}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de irracionales convergente a \(x_0\) (que sabemos que existe por el ejercicio 5 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes). Entonces \(\{f(x_n)\}=\{1-x_n\}\rightarrow1-x_0\). Para que \(f\) sea continua en \(x_0\) debe ocurrir que \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x_0)=x_0\), es decir, \(1-x_0=x_0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}\).

De manera similar, sea ahora \(x_0\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de racionales convergente a \(x_0\) (que también sabemos que existe por el mismo ejercicio mencionado anteriormente). Entonces \(\{f(x_n)\}=\{x_n\}\rightarrow x_0\). Para que \(f\) sea continua en \(x_0\) debe ocurrir que \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x_0)=1-x_0\), es decir, \(x_0=1-x_0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}\). Pero esto es absurdo pues \(x_0\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\).

Debemos concluir por tanto que \(f\) solamente es continua en el punto \(x=\frac{1}{2}\).

2. Sean \(f\) y \(g\) funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\), continuas en todo \(\mathbb{R}\). Supongamos que \(f(x)=g(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{Q}\). Pruébese que \(f=g\). En particular, si \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) es continua y la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) es constante, entonces \(f\) es constante.

Supongamos que existe un número \(a\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) tal que \(f(a)\neq g(a)\). Sea \(\{a_n\}\) una sucesión de números racionales convergente al punto \(a\). Entonces \(\{f(a_n)\}\rightarrow f(a)\) y \(\{g(a_n)\}\rightarrow g(a)\) por ser \(f\) y \(g\) continuas en todo \(\mathbb{R}\). Pero \(f(a_n)=g(a_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) pues \(a_n\in\mathbb{Q}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Esto significa que \(f(a)=g(a)\), en contradicción con que \(f(a)\neq g(a)\). Por tanto \(f=g\).

3. Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=\inf\{|x-a|\,:\,x\in A\}\). Pruébese que \(|f(x)-f(y)|\leqslant|x-y|\,,\forall\,x\,,y\in\mathbb{R}\). Dedúzcase que \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Sea \(a\in A\). De la desigualdad \(||x-a|-|y-a||\leqslant|(x-a)-(y-a)|=|x-y|\) se deduce inmediatamente \(|f(x)-f(y)|\leqslant|x-y|\,,\forall\,x\,,y\in\mathbb{R}\). Sea ahora una sucesión \(\{x_n\}\) de números reales convergente a un número real \(x\). Entonces dado un número real y positivo \(\varepsilon\) existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geqslant m\), entonces \(|f(x_n)-f(x)|\leqslant|x_n-x|<\varepsilon\). De aquí se deduce que \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x)\), y por tanto \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Caracterización de la continuidad

De la misma forma que para la definición de sucesión convergente se usó cierta terminología para dar forma a la idea de que todos los términos de la sucesión, salvo un número finito de ellos, estaban tan cerca del límite como quisiéramos; podemos dar una caracterización de función continua en un punto \(a\in\mathbb{R}\). En este caso, la idea es formalizar mediante una notación adecuada el hecho de que "si en el eje \(Y\) las imágenes por la función \(f\) están tan cerca como queramos de \(f(a)\), es porque en el eje \(X\) también estamos tan cerca como queramos del punto \(a\)". Vamos a formalizar lo anterior adecuadamente.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales, \(f\) una función real definida en \(A\) y \(a\) un punto de \(A\). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) \(f\) es continua en \(a\).

ii) Para toda sucesión \(\{x_n\}\) de puntos de \(A\), monótona y convergente al punto \(a\), la sucesión \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(a)\).

iii) Para cada número real y positivo \(\varepsilon\) puede encontrarse un número real positivo \(\delta\) tal que si \(x\) es un punto de \(A\) verificando \(|x-a|<\delta\), se tiene \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\).

i) \(\Rightarrow\) ii) Es evidente pues lo que en i) se exige para todas sucesión de \(A\) que converja al punto \(a\), en ii) se exige solamente para aquellas que sean monótonas.

ii) \(\Rightarrow\) iii) Supongamos, razonando por reducción al absurdo, que se cumple ii) pero no se cumple iii). Entonces existe un número real positivo \(\varepsilon_0\) con la siguiente propiedad:

\[\forall\,\delta>0\  \ \exists\,x_{\delta}\in A\,:\, |x_{\delta}-a|<\delta\quad\text{y}\quad|f(x_{\delta})-f(a)|\geq\varepsilon_0\]

Para cada natural \(n\), aplicamos lo anterior para \(\delta=\dfrac{1}{n}\) y sea \(y_n=x_{1/n}\). Obtenemos así una sucesión \(\{y_n\}\) de puntos de \(A\) que verifica

\[|y_n-a|<\frac{1}{n}\quad\text{y}\quad|f(y_n)-f(a)|\geq\varepsilon_0\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\]

Claramente \(\{y_n\}\) converge al punto \(a\); entonces existe con seguridad una sucesión parcial \(\{y_{\sigma(n)}\}\) de \(\{y_n\}\) que es monótona (ver lema 2 del artículo dedicado a las sucesiones parciales y monótonas). Aplicando la hipótesis ii) tenemos que la sucesión \(\{f(y_{\sigma(n)})\}\) converge a \(f(a)\), lo cual es absurdo pues

\[|f(y_{\sigma(n)})-f(a)|\geq\varepsilon_0\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\]

iii) \(\Rightarrow\) i) Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de puntos de \(A\) convergente al punto \(a\). Sea \(\varepsilon>0\) arbitrario y \(\delta\) el número positivo dado por la hipótesis iii). Por ser \(\{x_n\}\rightarrow a\) tenemos:

\[\exists\,m\in\mathbb{N}\,:\,n\geq m\Rightarrow|x_n-a|<\delta\]

y puesto que \(x_n\in A\) tenemos por iii) que \(|f(x_n)-f(a)|<\varepsilon\) para \(n\geq m\). Esto demuestra que

\[\{f(x_n)\}\rightarrow f(a)\]

y por tanto que \(f\) es continua en el punto \(a\), tal y como queríamos.

Proponemos a continuación otros tres ejercicios para practicar la caracterización de la continuidad.

Ejercicios

1. Sean \(f_1\), \(f_2\) funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\). Estúdiese la continuidad de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    f_1(x) & \text{si} & x\in\mathbb{R}^- \\
    f_2(x) & \text{si} & x\in\mathbb{R}_0^+
  \end{array}\right.\]

\(f\) es claramente continua si \(x\in\mathbb{R}^-\) o si \(x\in\mathbb{R}^+\), pues dado un punto cualquiera de \(\mathbb{R}^-\) (respectivamente, de \(\mathbb{R}^+\)), es posible encontrar un intervalo centrado en el punto y contenido en \(\mathbb{R}^-\) (respectivamente, \(\mathbb{R}^+\)), y dado el carácter local de la continuidad se tiene el resultado. Estudiemos pues la continuidad en cero.

Sea la sucesión \(\{\frac{(-1)^n}{n}\}\), que converge a \(0\). Entonces \(\{f(x_n)\}=\{f_1(x_n)\}\) si \(n\) es impar y \(\{f(x_n)\}=\{f_2(x_n)\}\) si \(n\) es par. Consideremos las sucesiones parciales \(\{x_{2n-1}\}\) y \(\{x_{2n}\}\), ambas convergentes a cero. Así, por un lado, \(\{f(x_{2n-1})\}=\{f_1(x_{2n-1})\}\rightarrow f_1(0)\); y por otro, \(\{f(x_{2n})\}=\{f_2(x_{2n})\}\rightarrow f_2(0)\), pues \(f_1\) y \(f_2\) son continuas en todo \(\mathbb{R}\). De aquí se deduce que si \(f_1(0)=f_2(0)\), \(f\) es continua en \(0\). Pero si \(f_1(0)\neq f_2(0)\), entonces \(f\) no es continua en \(0\).

2. Utilícese la afirmación iii) del teorema anterior para probar que la función \(f\) del ejercicio 1 de la sección anterior es continua en el punto \(\frac{1}{2}\).

Hemos de demostrar que dado un número real y positivo \(\varepsilon\), existe un número real positivo \(\delta\) tal que si \(x\) es un punto de \(\mathbb{R}\) verificando \(|x-\frac{1}{2}|<\delta\), entonces \(|f(x)-f(\frac{1}{2})|<\varepsilon\). Pero es que si \(x\in\mathbb{Q}\), entonces \(|f(x)-f(\frac{1}{2})|=|x-\frac{1}{2}|\) y basta tomar \(\delta=\varepsilon\). Ahora bien, si \(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), se tiene que \(|f(x)-f(\frac{1}{2})|=|1-x-\frac{1}{2}|=|\frac{1}{2}-x|=|x-\frac{1}{2}|\), y basta en este caso tomar también \(\delta=\varepsilon\).

3. Pruébese, utilizando la afirmación iii) del teorema anterior, que la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\) es continua en \(\mathbb{R}\).

Sea \(x_0\in\mathbb{R}\). Tenemos:

\[|f(x)-f(x_0)|=|x^2-x_0^2|=|(x+x_0)(x-x_0)|=|x+x_0||x-x_0|\]

Dado \(\varepsilon>0\) sea \(\delta=\frac{\varepsilon}{|x+x_0|}\). Entonces, si \(|x-x_0|<\delta\):

\[|f(x)-f(x_0)|=|x+x_0||x-x_0|<|x+x_0|\delta=|x+x_0|\frac{\varepsilon}{|x+x_0|}=\varepsilon\]

con lo que \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Finalmente, procede de nuevo insistir en que en este artículo se ha definido la continuidad de una función en un punto haciendo uso de la convergencia de una sucesión en un punto. En algunos textos se define directamente la continuidad de una función en un punto sin haber visto para nada las sucesiones de números reales. En su lugar se define el límite de una función en un punto de una forma equivalente a la parte iii) del teorema anterior y luego se dice que una función \(f\) es continua en un punto \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\) . Las dos formas de introducir la continuidad son completamente lícitas. No olvidemos que, usemos sucesiones o usemos el concepto de límite para definir la continuidad, en realidad estamos hablando de lo mismo. Nosotros introduciremos el concepto de límite de una función en un punto (y en el infinito) en un artículo posterior. Lo que haremos a continuación es presentar algunos teoremas relacionados con la continuidad de importancia capital en el análisis matemático.


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Funciones polinómicas

Una función polinómica, como su nombre indica, está definida mediante un polinomio, es decir:

\[f(x)=a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\]

Es fácil darse cuenta de que el dominio de una función polinómica es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, ya que tiene sentido sustituir la variable \(x\) por cualquier número real para obtener su imagen \(f(x)\). O sea, si \(f\) es una función polinómica, entonces \(\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}\).

No hay ningún problema tampoco en admitir que toda función polinómica es continua, es decir, su gráfica se puede dibujar "sin levantar el lápiz del papel". Desde el punto de vista matemático esto quiere decir que el límite de la función en todo punto es igual que la imagen de la función en ese punto. Simbólicamente, si \(f\) es una función polinómica y \(a\in\mathbb{R}\), entonces

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\]

Casos particulares de funciones polinómicas son la función lineal y la función cuadrática.

Nos planteamos el problema de dibujar la gráfica de una función polinómica. Puesto que un polinomio de grado \(n\) tiene a los sumo \(n\) raíces reales, toda función polinómica cortará, a lo sumo, en \(n\) puntos al eje \(X\). Hallar estos puntos de corte no es nada fácil si el polinomio es de grado mayor o igual que tres. Pero sí afirmaremos que toda función polinómica de grado \(n\) se "dobla" o se "pliega" a lo sumo, \(n-1\) veces. Además, el punto de corte con el eje \(Y\) siempre será \((0,a_0)\), donde \(a_0\) es el término independiente del polinomio. Por otro lado, todas las funciones polinómicas se comportan de manera similar en el infinito, ya que:

\[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}a_nx^n=\pm\infty\]

Lo anterior quiere decir que, si dibujásemos la gráfica de una función polinómica de izquierda a derecha, la misma procedería de más o menos infinito y se alejaría hacia más o menos infinito. Es decir, las funciones polinómicas presentan ramas infinitas en más o menos infinito. ¿Qué hacen "entre medias"? Bueno, pues dependiendo del número de veces que "toquen" al eje \(X\) y del número de máximos o mínimos relativos que posean, tendrán comportamientos diversos. Veamos algunos ejemplos.

La función polinómica de grado tres más sencilla es \(f(x)=x^3\), que corta al eje \(X\) únicamente en el origen de coordenadas. Además, es una función impar pues \(f(-x)=-f(x)\), lo que quiere decir que es simétrica respecto del origen de coordenadas. Es fácil obtener su gráfica:

funcion polinomica 01

Obsérvese que la función "procede" de menos infinito y se "dirige hacia" más infinito ya que, respectivamente, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3=+\infty\).

Hagamos otro ejemplo. Consideremos la función \(f(x)=-3x^3+2x\). En este caso es fácil hallar los puntos de corte con los ejes:

\[-3x^3+2x=0\Leftrightarrow x(-3x^2+2)=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0,816\\x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\approx-0,816\end{cases}\]

Además

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x^3)=+\infty\]

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x^3)=-\infty\]

De lo anterior deducimos que la función procede de más infinito, corta al eje \(X\) en \(-0,816\), \(0\), \(0,816\); y se escapa hacia menos infinito. Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que es de grado tres, tendrá que "doblarse" dos veces y podremos dibujar aproximadamente su gráfica. De hecho la gráfica es la siguiente:

funcion polinomica 02

Consideremos por último la función polinómica \(f(x)=-2x^6-x^5+x^4-2x^3+2x+1\). ¿Qué podemos decir de ella? Primero, que procede de menos infinito y se dirige también hacia menos infinito ya que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=-\infty\). Segundo, que pasa por el punto \((0,1)\). Y tercero, que de lo anterior se deduce que debe cortar al eje \(X\) en, al menos, dos puntos. Lógico, ¿no? De hecho corta al eje \(X\) en, exactamente, dos puntos, pues la ecuación \(-2x^6-x^5+x^4-2x^3+2x+1=0\) tiene exactamente dos soluciones reales (WolframAlpha se encarga de facilitarnos el trabajo). La gráfica queda así:

funcion polinomica 03

El teorema de los ceros de Bolzano y el estudio de la monotonía y de los extremos de una función polinómica usando las derivadas (contenidos que se aprenden en 2º de Bachillerato), nos permitirá dibujar con ciertas garantías las funciones polinómicas de grado tres, incluso de grado cuatro. Para las funciones polinómicas de grado superior no podremos sino atisbar cómo podría ser su gráfica usando los métodos anteriores y haciendo una tabla de valores lo suficientemente grande. Menos mal que disponemos de potentes programas de representación gráfica de funciones para visualizar cualquier función polinómica, por ejemplo, desmos, con el que se han hecho las gráficas que aparecen en este artículo. Esto, en mis tiempos de estudiante de Bachillerato era, sencillamente, imposible.

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Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa

Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real de variable real, así como en las operaciones con funciones, en particular de la composición de funciones y el concepto de función inversa de una función en el sentido de la composición de funciones.

En este artículo hablaremos sobre funciones y la terminología utilizada al respecto. Veremos las operaciones con funciones y nos detendremos en una operación fundamental: la composición de funciones.

Definición.

Llamaremos función real de variable real a toda aplicación \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) en que \(A\) es un conjunto no vacío de números reales. Diremos también que \(f\) es una función real definida en \(A\). Notaremos \(F(A,\mathbb{R})\) al conjunto de todas las aplicaciones de \(A\) en \(\mathbb{R}\).

Haremos notar que, por ser \(f\) una aplicación de \(A\) en \(\mathbb{R}\), para cada \(x\in A\) existe exactamente un valor \(y\) de \(f\) en \(x\), al que es costumbre llamar \(y=f(x)\). A veces, al número real \(x\) se le llama original, y al número real \(y=f(x)\) se le llama imagen de \(f\) en \(x\).

El conjunto \(A\) en el que \(f\) está definida se llama dominio de definición de \(f\), y escribiremos \(\text{Dom}\,f\). En ocasiones la visualización gráfica de una función real de variable real resulta muy útil. Dada una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) la gráfica de \(f\) es por definición el subconjunto de \(\mathbb{R}^2\) siguiente: \(\{(x,f(x))\ :\ x\in A\}\).

Definición.

En el conjunto \(F(A,\mathbb{R})\) podemos definir las operaciones suma y producto definidas de la siguiente forma. Si \(f,g\in F(A,\mathbb{R})\) definimos \(f+g,fg\in F(A,\mathbb{R})\) por

\[(f+g)(x)=f(x)+g(x),\ \forall\,x\in A\]

\[(fg)(x)=f(x)g(x),\ \forall\,x\in A\]

La suma de funciones tiene las mismas propiedades que la suma de números reales, precisamente porque, por definición, la  suma de dos funciones es la suma de dos números reales. Así, la suma de funciones es asociativa y conmutativa, tiene un elemento neutro, que es la función que vale cero en todo punto de \(A\) (función constantemente igual a cero en \(A\)), y si \(f\in F(A,\mathbb{R})\), el opuesto de \(f\) es la función \(-f:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \((-f)(x)=-f(x)\) (obsérvese que, en la igualdad anterior, el signo menos del primer miembro indica opuesto de la función \(f\), y el menos del segundo miembro indica opuesto del número real \(f(x)\)). Con estas propiedades, el conjunto \(F(A,\mathbb{R})\), con la operación suma de funciones, tiene estructura de grupo conmutativo, la misma estructura que el conjunto de \(\mathbb{R}\) de los números reales con la operación suma de números.

El conjunto \(F(A,\mathbb{R})\), con la operación producto, tiene elemento unidad: la función constantemente igual a 1 en \(A\). Además, es muy fácil comprobar que una función \(f\in F(A,\mathbb{R})\) tiene elemento inverso si, y solo si, \(f(x)\neq0\,,\forall x\in A\). En este caso, el elemento inverso de \(f\) es la función \(\dfrac{1}{f}:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(\dfrac{1}{f}(x)=\dfrac{1}{f(x)}\,,\forall x\in A\). Lo comprobaremos a continuación.

El elemento inverso para el producto de funciones hace el mismo papel que el inverso en el conjunto de los números reales para el producto de números. Recordemos que el inverso de un número real \(x\) distinto de cero es \(\frac{1}{x}\), porque al multiplicar ambos números obtenemos el elemento unidad para el producto de números reales, que es el número \(1\):

\[x\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1\]

En el caso del producto de funciones pasa exactamente lo mismo. Supongamos que \(f\in F(A,\mathbb{R})\) y que \(f(x)\neq0\,,\forall x\in A\). Entonces

\[\left(f\frac{1}{f}\right)(x)=f(x)\left(\frac{1}{f}\right)(x)=f(x)\frac{1}{f(x)}=\frac{f(x)}{f(x)}=1\,,\forall\,x\in A\]

Lo que demuestra que el producto de las funciones \(f\) y \(\dfrac{1}{f}\) es la función constantemente igual a \(1\). Hemos utilizado la definición de producto de funciones y el hecho, comentado anteriormente, de que todo número real distinto de cero tiene inverso para el producto de números reales.

Composición de funciones

Antes de definir el concepto de composición de funciones definamos la imagen por una función \(f\) de un conjunto \(A\) no vacío de números reales, así como el concepto de aplicación o función inyectiva.

Definición.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real definida en un conjunto no vacío \(A\) de número reales. La imagen de \(A\) por la función \(f\) es, por definición, el siguiente conjunto:

\[f(A)=\{f(x)=y\,:\,x\in A\}\]

A veces también nos referiremos simplemente a la imagen de \(f\), y escribiremos \(\text{Im}\,f\). Es decir:

\[\text{Im}\,f=\{f(x)=y\,:\,x\in\text{Dom}\,f\}\]

Como ejemplo consideremos la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2\,,\forall x\in\mathbb{R}\). En este caso es muy fácil deducir que \(f(\mathbb{R})=\text{Im}\,f=[0,+\infty)\).

Definición.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real definida en un conjunto no vacío \(A\) de número reales. Se dice que \(f\) es inyectiva si se cumple la siguiente propiedad:

\[f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\ , \forall x_1\,,x_2\in A\]

El concepto de función inyectiva viene a expresar que si \(x_1\) y \(x_2\) son elementos distintos de \(A\), entonces tienen imágenes distintas. La figura siguiente ilustra el concepto de función no inyectiva, porque hay dos elementos distintos de \(A\) que tienen la misma imagen.

composicion funciones 01

Otro ejemplo de función no inyectiva es la función considerada en el ejemplo anterior: \(f(x)=x^2\,,\forall x\in\mathbb{R}\). La razón es que elementos opuestos tienen la misma imagen, ya que \(x^2=(-x)^2\,,\forall x\in\mathbb{R}\).

Sin embargo la función \(f(x)=\dfrac{1}{x}\,,\forall x\in\mathbb{R}-\{0\}\), sí que es inyectiva pues

\[f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\Rightarrow x_1=x_2\,,\forall\,x_1\,,x_2\in\mathbb{R}-\{0\}\]

Una forma de pensar en funciones inyectivas es la siguiente: podemos "barrer" el plano \(\mathbb{R}^2\) mediante líneas paralelas al eje \(X\). Si alguna de estas líneas toca en más de un punto a la gráfica de \(f\), entonces \(f\) no es inyectiva.

Definición.

Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) y \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) son funciones reales de variable real y \(f(A)\subset B\), llamaremos composición de \(f\) con \(g\) a la función \(g\circ f:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \((g\circ f)(x)=g(f(x))\,,\forall x\in A\).

Como ejemplo sean las funciones \(f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-1}\) y \(g(x)=\sqrt{2x-1}\). Calculemos la composición de \(f\) con \(g\) y la composición de \(g\) con \(f\).

\[(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{2x-1})=\frac{\sqrt{2x-1}^2}{\sqrt{2x-1}^2-1}=\frac{2x-1}{2x-2}\]

\[(g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left(\frac{x^2}{x^2-1}\right)=\sqrt{2\left(\frac{x^2}{x^2-1}\right)-1}=\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2-1}}\]

Del ejemplo anterior se desprende que la composición de funciones no es conmutativa.

Definición.

Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es una función real de variable real que sea inyectiva, existe una única función \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) tal que \((g\circ f)(x)=x\,,\forall x\in A\). Dicha función \(g\) se llamará función inversa de \(f\) y se representará por \(f^{-1}\). Es importante no confundir \(f^{-1}\) con el elemento inverso de \(f\) en el conjunto \(F(A,\mathbb{R})\), supuesto que exista, que habíamos notado \(\frac{1}{f}\). Para evitar confusiones diremos que \(f^{-1}\) es la inversa de \(f\) en el sentido de la composición de aplicaciones.

Hemos de insistir en que para que una función tenga inversa respecto de la composición es imprescindible que sea inyectiva. Si no fuera así, una misma imagen \(f(x)\) podría tener más de un original, por lo que la aplicación inversa no sería una función: a un valor \(f(x)\) le correspondería más de un valor \(f^{-1}(f(x)))\).

La función \(i:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(i(x)=x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\) recibe el nombre de función identidad. La representación gráfica de la función identidad es una recta que pasa por el origen de coordenadas y divide a los cuadrantes primero y tercero en dos partes iguales: la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero. Por definición, la composición de una función \(f\) y su inversa \(f^{-1}\) es conmutativa y el resultado es la función identidad: \((f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x\). Abreviadamente \(f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=i\).

En general, el procedimiento para calcular la función inversa \(f^{-1}(x)\) de una función inyectiva \(f(x)\), es el siguiente:

  • Hacemos \(f(x)=y\).
  • Buscamos la expresión que proporciona \(x\) en función de \(y\).
  • A continuación, y para expresar la función hallada como cualquier otra función real de variable real, cambiamos \(y\) por \(x\), y \(x\) por \(f^{-1}(x)\).

Por ejemplo, para calcular la función inversa de \(f(x)=\dfrac{x+1}{3-2x}\), se procede del siguiente modo:

  • Hacemos \(y=\dfrac{x+1}{3-2x}\)
  • \(y(3-2x)=x+1\Rightarrow 3y-2xy=x+1\Rightarrow x(2y+1)=3y-1\Rightarrow x=\dfrac{3y-1}{2y+1}\)
  • \(f^{-1}(x)=\dfrac{3x-1}{2x+1}\)

Las gráficas de una función \(f\) y de su inversa \(f^{-1}\), son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, es decir, respecto de la gráfica de la función identidad. En la siguiente figura se puede observar que las dos ramas de la hipérbola \(f(x)=\dfrac{x+1}{3-2x}\) son claramente simétricas, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, de las respectivas ramas de la hipérbola \(f^{-1}(x)=\dfrac{3x-1}{2x+1}\).

composicion funciones 02

Hay funciones no inyectivas, como \(f(x)=x^2+1\), en las que se puede restringir el dominio para que sean inyectivas y poder calcular su inversa respecto de la composición. En este caso, si se restringe el dominio de \(f(x)=x^2+1\) a \([0,+\infty]\), cada valor del nuevo dominio sólo posee una imagen, por lo que la función inversa será: \(f^{-1}(x)=+\sqrt{x-1}\), con el signo positivo para evitar dos imágenes para un mismo valor de \(x\). La representación gráfica de ambas es la siguiente:

composicion funciones 03

En otro artículo veremos la relación entre derivación y composición de funciones, y deduciremos la conocida regla de la cadena, de uso extremadamente útil para el cálculo de derivadas de funciones.


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Optimización de funciones. Problemas de optimización

Es muy frecuente que en un problema de geometría o de las ciencias experimentales (física, química, biología, etc.), de la economía, la psicología y de las ciencias sociales en general, se trate de optimizar un modelo. Es decir, si el modelo se ajusta a una función matemática, se trata de calcular cuándo esa función alcanza un máximo o un mínimo.

Sirva como ejemplo hacer máximo un volumen, minimizar un área, maximizar los beneficios con un mímimo coste, etcétera.

Para atacar este tipo de problemas es fundamental encontrar la función que hemos de maximizar o minimizar, o lo que es lo mismo, dar con la expresión analítica que se ajuste a nuestro modelo. De lo demás se encargan las derivadas.

Por eso, para ir adquierendo confianza con este tipo de problemas tendremos que tener en cuenta dos cosas importantes.

1) Ejercitarnos en expresar analíticamente funciones que se describen mediante un enunciado. En el caso más sencillo tendremos que interpretar el enunciado adecuadamente para conseguir una función que involucre una sola variable. Variable que será aquella "cosa" que queramos hacer máxima o mínima. Lo normal es que aparezcan dos "cosas" que varían (dos variables). Lo que tenemos que conseguir es expresar una de las variables en función de la otra a partir de los datos que ofrezca el enunciado del problema.

2) Aprender la técnica de hallar, de la forma más eficaz posible, los extremos de una función que viene dada mediante su expresión analítica.

Cálculo de los extremos de una función \(f(x)\) en un intervalo \([a,b]\)

En los problemas de optimización nos interesa el cálculo de los extremos absolutos de una función que cumple determinadas condiciones en un intervalo \([a,b]\).

Para ello se sigue el siguiente proceso.

a) Los máximos y mínimos absolutos de una función \(f(x)\) definida y derivable en un intervalo \([a,b]\) están entre los puntos críticos o singulares de esa función y los correspondientes a los extremos del intervalo. Por eso lo que hacemos es resolver la ecuación \(f'(x)=0\), seleccionamos las soluciones que están entre los extremos \(a\) y \(b\) y con todos estos valores (incluidos \(a\) y \(b\)) vemos cuál es el máximo y cuál el mínimo. Para ello, entre los candidatos a extremos relativos, lo mejor es utilizar el criterio de la segunda derivada.

b) Si hay algún punto de \([a,b]\) en el que la función no sea derivable aunque sí continua, calcularemos además el valor de \(f\) en ese punto, pues podría ser un máximo o un mínimo absoluto.

c) Si \(f\) no es continua en algún punto de \([a,b]\) estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de ese punto (límites por la izquierda y por la derecha del punto en cuestión).

Algunos ejemplos de problemas de optimización

Problema 1

Se dispone de \(6\) metros cuadrados de cartón para construir una caja con forma de prisma recto de base cuadrada con tapa. ¿Qué dimensiones debe tener la caja para que el volumen encerrado sea máximo?

optimizacion 01

La función que se quiere maximizar es el volumen. Las variables que se piden son las dimensiones, esto es, el lado de la base \(b\) y la altura del prisma \(h\).

El volumen \(V\) de un prisma recto es \(V=b^2\cdot h\).

La relación entre \(b\) y \(h\) nos la proporciona el enunciado el dproblema. Se dispone de \(6\ \text{m}^2\) para construir la base, las caras laterales y la tapa, es decir:

\[2b^2+4bh=6\Rightarrow h=\frac{6-2b^2}{4b}\quad(1)\]

Sustituyendo la expresión anterior en la fórmula del volumen tenemos:

\[V=b^2\cdot\frac{6-2b^2}{4b}=\frac{1}{4}b(6-2b^2)=\frac{1}{4}(6b-2b^3)\]

Hemos conseguido expresar el volumen (que es la variable que queremos maximizar) en función de la base. Ahora derivamos, igualamos a cero y hallamos los posibles extremos relativos:

\[V'=\frac{1}{4}(6-6b^2)=0\Rightarrow 6b^2=6\Rightarrow b^2=1\Rightarrow\begin{cases}b=1\\b=-1\end{cases}\]

Evidentemente la solución negativa no tiene sentido. Además, para \(b=1\) se tiene que \(h=1\) (basta sustituir \(b\) en la expresión \(1\)).

Como \(V''=-3b\), entonces \(V''(1)=-3<0\), con lo que \(b=1\) es un máximo. Por tanto, para \(b=1\) y \(h=1\) se alcanza el volumen máximo (que además es de \(1\) metro cúbico).

Obsérvese que la solución corresponde a un cubo de lado \(1\) metro. En muchos problemas geométricos la solución óptima es la solución que se corresponde con la figura más regular.

Problema 2

Determina cómo dividir un segmento de \(90\) cm en dos trozos, de forma que la suma del área del semicírculo cuyo diámetro es uno de ellos y el área de un triángulo rectángulo que tiene como base el otro trozo y cuya altura es \(\pi\) veces su base, sea mínima.

Nota: Recuerda que el área de un círculo de radio \(r\) es \(\pi r^2\).

La solución aquí.

A continuación se proponen un par de problemas de optimización cuya dificultad es mayor que la de los anteriores. Se tendrá mucho ganado si la situación mencionada en el enunciado se representa mediante un buen dibujo, donde todos los datos estén adecuadamente detallados.

Problema 3

Sea \(AB\) un diámetro de una circunferencia de radio unidad, \(BD\) la tangente en \(B\), \(P\) un punto de la circunferencia, \(PD\) perpendicular a \(BD\) y \(AP\) una cuerda. Determinar \(P=(x,\,y)\) para que el área del trapecio rectángulo \(ABPD\) sea máxima.

La solución aquí. 

Problema 4

Dadas dos esferas de radios \(r\) y \(r′\) tales que la distancia entre sus centros es \(d\), se sitúa un punto luminoso en la línea de sus centros. ¿En qué posición habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas esferas sea máxima?

La solución aquí.

Os dejo, en los enlaces de más abajo, algunos problemas más de optimización completamente resueltos. Las relaciones son documentos en formato PDF que andan por Internet. El autor de la primera de ellas es José María Martínez Mediano. Desconozco los autores de las otras dos. En todo caso muchas gracias a todos ellos por compartir este material.

Puedes encontrar mucho más material escribiendo en cualquier buscardor las palabras "problemas optimización pdf".

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Teorema de los ceros de Bolzano

Continuidad de una función en un punto

Sabemos que una función \(f\) es continua en un punto \(x=a\) cuando se cumplen las tres condiciones siguientes:

  • Existe, y es finito, el límite de la función en el punto \(x=a\), es decir, \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\,,\ L\in\mathbb{R}\).
  • La función \(f\) está definida en el punto, o lo que es lo mismo, existe la imagen de la función en el punto \(x=a\), es decir, existe \(f(a)\).
  • El límite de la función en el punto \(x=a\) es igual a la imagen de la función en dicho punto: \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L=f(a)\).

La continuidad es una propiedad local. Lo que queremos decir con esto es que para estudiar la continuidad de una función en un punto nos interesa saber lo que ocurre "en las cercanías del punto". De hecho, el concepto de límite obliga a que, supuesto que tomemos un entorno cualquiera de \(L\), \((L-\varepsilon\,,\,L+\varepsilon)\), en el eje \(Y\), siempre podremos encontrar un entorno del punto \(a\) en el eje \(X\), \((a-\delta\,,\,a+\delta)\), cuyas imágenes estén contenidas en el entorno anterior \((L-\varepsilon\,,\,L+\varepsilon)\). Esta idea se transcribe en lenguaje matemático así:

\[\lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \forall\,\varepsilon>0\,,\,\exists\,\delta>0\,:\,a-\delta<x<a+\delta\,\Rightarrow\,L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon\]

El concepto anterior lo extenderemos de manera natural a un intervalo de números reales.

Continuidad de una función en un intervalo

Se dice que una función es continua en un intervalo \(I\) de \(\mathbb{R}\) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo \(I\):

\[f\ \text{es continua en}\ I\Leftrightarrow f\ \text{es continua en}\ a,\,\forall\,a\in I\]

El intervalo \(I\) puede ser abierto o cerrado, abierto por uno de sus extremos y cerrado por el otro; también puede ser una semirrecta abierta o cerrada del tipo \((-\infty\,,\,3]\) o \((-2\,,\,+\infty)\). El intervalo también puede ser todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales. Cuando el intervalo es cerrado en uno de sus extremos, entenderemos la continuidad en el punto extremo como la continuidad lateral, bien por la izquierda (si el intervalo es cerrado por la derecha), bien por la derecha (si el intervalo es cerrado por la izquierda).

Todas las funciones elementales conocidas (polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) son continuas en sus dominios de definición. Construir funciones que no sean continuas no es difícil. Basta tomar una función definida por trozos de la forma

\[f(x)=\begin{cases}g(x)&\text{si}&x\leqslant a\\h(x)&\text{si}&x>a\end{cases}\]

donde \(g\) y \(h\) son funciones continuas en el punto \(a\) con \(g(a)\neq h(a)\).

Teorema de los ceros de Bolzano

El teorema de los ceros de Bolzano formaliza la idea de que si una función es continua en un intervalo cerrado y las imágenes de los extremos tienen distinto signo, entonces existe algún punto del interior del intervalo donde la imagen se anula (ver la imagen con la que se encabeza este artículo).

Teorema de los ceros de Bolzano

Sea \(f\) una función continua en un intervalo cerrado \([a\,,\,b]\) y supongamos que el signo de \(f(a)\) es distinto que el signo de \(f(b)\). Entonces existe \(c\in(a\,,\,b)\) tal que \(f(c)=0\).

El teorema de los ceros de Bolzano recibe su nombre en honor al matemático y filósofo checo Bernard Bolzano. Su demostración formal requiere de algunas premisas previas. No es un contenido mínimo para las matemáticas de bachillerato, pero puedes verla aquí.

También tienes una presentación interesante sobre el teorema de los ceros de Bolzano aquí.

Consecuencias del teorema de los ceros de Bolzano

Teorema de los valores intermedios

Sea \(f\) una función continua en un intervalo cerrado \([a\,,\,b]\). Entonces \(f\) toma todos los valores intermedios entre \(f(a)\) y \(f(b)\).

Es decir, cualquiera que sea el número \(k\) comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), existe \(c\in(a\,,\,b)\), tal que \(f(c)=k\).

¿Serías capaz de demostrarlo? Usando el teorema de los ceros de Bolzano la demostración del teorema anterior es un ejercicio sencillo.

Otra consecuencia inmediata del teorema anterior y, por tanto, del teorema de los ceros de Bolzano es la siguiente:

Si \(f\) y \(g\) son funciones continuas en \([a\,,\,b]\) con \(f(a)<g(a)\) y \(f(b)>g(b)\), entonces existe \(c\in(a\,,\,b)\), tal que \(f(c)=g(c)\).

Teorema de Weierstrass

Sea \(f\) una función continua en un intervalo cerrado \([a\,,\,b]\). Entonces \(f\) tiene un máximo y un mínimo absoluto en ese intervalo. Es decir, existen números \(c\) y \(d\) del intervalo \([a\,,\,b]\) para los cuales se cumple que:

\[\forall\,x\in[a\,,\,b]\ \text{es}\ f(d)\leqslant f(x)\leqslant f(c)\]

Un bonito ejercicio de aplicación del teorema de los ceros de Bolzano es el siguiente.

Ejercicio

Suponiendo que la temperatura varía de manera continua a lo largo del Ecuador, pruébese que, en cualquier instante, existen dos puntos antípodas sobre el Ecuador que se hallan a la misma temperatura

Consideremos la función temperatura definida sobre una circunferencia (Ecuador) \(T:[0,\,2\pi]\rightarrow\mathbb{R}\) que según la hipótesis es continua y sea ahora la función \(f:[0,\,\pi]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=T(x+\pi)-T(x)\), que es continua por serlo \(T\).

Se tiene, por un lado, que \(f(0)=T(\pi)-T(0)\) y, por otro, que \(f(\pi)=T(2\pi)-T(\pi)=T(0)-T(\pi)\).

Si \(T(\pi)-T(0)=0\Rightarrow T(\pi)=T(0)\) y habríamos terminado (\(0\) y \(\pi\) son, evidentemente, puntos antípodas).

Supongamos que \(T(\pi)-T(0)\neq 0\). Entonces puede ocurrir que \(f(0)=T(\pi)-T(0)>0\), con lo que \(f(\pi)=T(0)-T(\pi)<0\). O puede ocurrir que \(f(0)=T(\pi)-T(0)<0\), con lo que , en este caso será \(f(\pi)=T(0)-T(\pi)>0\).

En cualquier caso, aplicando el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(c\in(0,\,\pi)\) tal que \(f(c)=T(c+\pi)-T(c)=0\), es decir, \(T(c+\pi)=T(c)\), tal y como queríamos demostrar.

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