Menu
Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales.…

Las sucesiones de n&uacut...

La paradoja de Zenón

La paradoja de Zenón

El filósofo griego...

Funciones continuas e inyectivas

Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teo...

El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

El problema de la velocidad. Deriva…

Un problema relativo a ve...

Prev Next

Ecuaciones con la incógnita en el denominador

Si algunos de los términos de una ecuación contienen denominadores en los que aparecen expresiones algebraicas incluyendo la incógnita que se pretende despejar, se pueden suprimir multiplicando todos los téminos por el producto de todos ellos o, mejor aún, por su mínimo común múltiplo. Una vez eliminados los denominadores, la ecuación a la que se llega puede ser de las que se saben resolver a un nivel, digamos, de matemáticas de cuarto de Educación Secundaria Obligatoria, es decir, una ecuación de primer o de segundo grado, una bicuadrada o incluso una ecuación con radicales.

Resolvamos, como ejemplo, la ecuación de la imagen superior.

\[\frac{x+1}{x^2-2x}+\frac{x-1}{x}=2\]

Para obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores debemos factorizar el primero de ellos: \(x^2-2x=x(x-2)\). Entonces la ecuación es equivalente a esta otra:

\[\frac{x+1}{x(x-2)}+\frac{x-1}{x}=2\]

Ahora es fácil darse cuenta de que el mínimo común múltiplo de los denominadores es, precisamente, \(x^2-2x=x(x-2)\). Multipliquemos por él todos los términos.

\[x(x-2)\cdot\frac{x+1}{x(x-2)}+x(x-2)\cdot\frac{x-1}{x}=x(x-2)\cdot2\Rightarrow x+1+(x-2)(x-1)=2x(x-2)\]

Operando y reduciendo términos semejantes nos queda una ecuación de segundo grado:

\[x+1+x^2-x-2x+2=2x^2-4x\Rightarrow -x^2+2x+3=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot(-1)\cdot3}}{2\cdot(-1)}=\]

\[=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{-2}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{-2}=\frac{-2\pm4}{-2}=\begin{cases}x_1=\dfrac{-2+4}{-2}\Rightarrow x_1=-1\\x_2=\dfrac{-2-4}{-2}\Rightarrow x_2=3 \end{cases}\]

Veamos que ambas soluciones satisfacen la ecuación original.

\[\frac{-1+1}{(-1)^2-2\cdot(-1)}+\frac{-1-1}{-1}=\frac{0}{3}+\frac{-2}{-1}=0+2=2\]

\[\frac{3+1}{3^2-2\cdot3}+\frac{3-1}{3}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2\]

Te propongo, finalmente, que resuelvas las siguientes ecuaciones con la incógnita en el denominador.

a) \(\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x}{x+1}=3\)

b) \(\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{3}{2}\)

c) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{3}{4}\)

d) \(\dfrac{x+1}{x+5}+\dfrac{1-x}{x-4}=\dfrac{5}{2}\)

e) \(\dfrac{x+7}{x+3}+\dfrac{x^2-3x+6}{x^2+2x-3}=1\)

Las soluciones las incluiré aquí mismo en breve.

Leer más ...
Suscribirse a este canal RSS

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas