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Números complejos. Módulo y argumento

Los números complejos

Se llama número complejo a todo par ordenado de números reales. El conjunto de los números complejos se denota por \(\mathbb{C}\),

\[\mathbb{C}=\{(x,y)\ :\ x,y\in\mathbb{R}\}\]

Por consiguiente, en cuanto que conjuntos (considerados sin estructura), \(\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2\). Dado un número complejo \(z=(x,y)\), se llama \emph{parte real} de \(z\), y se denota \(\text{Re}\,z\), a su primera coordenada; mientras que se llama parte imaginaria de \(z\), y se denota por \(\text{Im}\,z\), a su segunda coordenada. Resumiendo,

\[\text{Re}\,z:=x\quad;\quad\text{Im}\,z:=y\]

Dados dos números complejos

\[z_1=(x_1,y_1)\quad;\quad z_2=(x_2,y_2)\]

se define su suma, \(z_1+z_2\), y su producto \(z_1z_2\), por

\[z_1+z_2:=(x_1+x_2,y_1+y_2)\quad;\quad z_1z_2:=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2)\qquad(1)\]

Es sencillo comprobar que la suma y el producto son operaciones que dotan al conjunto \(\mathbb{C}\) de estructura de cuerpo, el denominado cuerpo de los números complejos o, simplemente, cuerpo complejo.

Es importante tener en cuenta que, aunque estén formados por los mismos elementos, \(\mathbb{C}\) y \(\mathbb{R}^2\) poseen diferente estructura algebraica y que por lo tanto \(\mathbb{C}\neq\mathbb{R}^2\), porque al escribir \(\mathbb{R}^2\) siempre se sobreentiende que estamos considerando al conjunto de los pares ordenados de números reales con su conocida estructura de espacio vectorial (o afín), mientras que al escribir \(\mathbb{C}\) estaremos considerando a los pares ordenados de números reales en cuanto que elementos del cuerpo complejo.

A los números complejos con parte imaginaria nula se los denomina reales puros, mientras que aquellos cuya parte real es nula reciben el nombre de imaginarios puros. Denominaciones justificadas por el hecho de que las siguientes relaciones

\[(x_1,0)+(x_2,0)=(x_1+x_2,0)\quad;\quad(x_1,0)(x_2,0)=(x_1x_2,0)\]

demuestran que la aplicación

\[\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\ ,\ x\mapsto(x,0)\]

establece un isomorfismo de cuerpos entre el cuerpo real \(\mathbb{R}\) y el subcuerpo de \(\mathbb{C}\) constituido por los números complejos con parte imaginaria nula. En la práctica, se efectúa la siguiente identificación:

\[x=(x,0)\ ,\ x\in\mathbb{R}\qquad(2)\]

En particular, \(\mathbb{R}\) es un subcuerpo de \(\mathbb{C}\). Obsérvese que, en virtud de la identificación anterior, para cada \(y\in\mathbb{R}\)

\[(0,y)=(0, 1)(y,0)=(0,1)y\]

y que además

\[(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1\qquad(3)\]

propiedad que jamás satisface un número real (no existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a \(-1\)). Gracias a la propiedad anterior el cuerpo complejo es algebraicamente cerrado. Por algebraicamente cerrado queremos decir que cualquier polinomio de grado \(n\geq1\) con coeficientes complejos posee al menos una raíz. Por verificarse (3), al número complejo \((0,1)\) se lo denomina unidad imaginaria compleja. En lo sucesivo lo notaremos por \(i\),

\[i:=(0,1)\]

En términos de la unidad imaginaria, cualquier número complejo admite la siguiente expresión en forma binómica:

\[(x,y)=x+iy\ ,\ (x,y)\in\mathbb{C}\]

que es la habitualmente utilizada cuando se trabaja con números complejos, por ser la más versátil y cómoda desde el punto de vista operacional.

 Al igual que en cualquier cuerpo, en \(\mathbb{C}\) podemos restar y dividir por números no nulos:

\[z-w=z+(-w)\ ,\ z,w\in\mathbb[{C}\]

\[\frac{z}{w}:=zw^{-1}\ ,\ z,w\in\mathbb{C}\ ,\ w\neq0\]

donde \(-w\) es el opuesto de \(w\) y \(w^{-1}\) es su inverso. También podemos elevar números complejos a números enteros, verificándose las consabidas reglas de cálculo.

El conjunto de pares ordenados de números reales dotado con la suma compleja y el producto por números reales posee estructura de espacio vectorial real bidimensional, y por tanto es isomorfo a \(\mathbb{R}^2\). Es muy fácil comprobar que el conjunto \(\{1,\,i\}\) constituye una base de ese espacio. Por consiguiente, también podemos identificar \(\mathbb{C}\) con los vectores libres del plano \(\mathbb{R}^2\). Gracias a esta identificación, a \(\mathbb{R}^2\) se lo suele denominar plano complejo, o plano de Gauss, por atribuirse a Gauss la paternidad de la idea de establecer una correspondencia entre los puntos del plano y los números complejos, aunque esa interpretación de los números complejos como puntos del plano se remonte al Algebra de Wallis, que apareció publicada en 1673, siglo y medio antes que el trabajo de Gauss, que fue publicado en 1831; en el siglo XIX era muy habitual atribuir cualquier nueva idea a Gauss, incluso si no lo era. Los ejes principales del plano complejo, \(y=0\) y \(x=0\), reciben el nombre de \emph{eje real} y \emph{eje imaginario}, respectivamente. Cuando, en vez de \(\mathbb{R}\), se considera a \(\mathbb{C}\) como cuerpo base, \(\mathbb{C}\) es un espacio vectorial complejo unidimensional y \(\{1\}\) es una base de ese espacio.

Módulo y argumento

Dado un número complejo \(z=x+iy\in\mathbb{C}\) se llama módulo de \(z\), y se denota por \(|z|\), a la longitud euclídea del vector libre \((x,y)\in\mathbb{R}^2\)

\[z:=\sqrt{x^2+y^2}\]

Obsérvese que el módulo de un número real es su valor absoluto. Cuando \(z\neq0\), llamaremos argumento principal de \(z\), y denotaremos por \(\text{Arg}\,z\), al único \(\theta\in[-\pi,\pi)\) que cumple

\[\theta=\arctan\frac{y}{x}\]

Evidentemente, \(\theta\) es uno de los posibles ángulos que forma el vector \((x,y)\) con el eje de abscisas en el plano de Gauss. Al conjunto de todos estos ángulos se le denomina \emph{argumento} de \(z\) y se lo denota \(\text{arg}\,z\). Por la propia definición,

\[\text{arg}\,z:=\{\text{Arg}\,z+2n\pi\ :\ n\in\mathbb{Z}\}\]

Obsérvese que el argumento no es una función propiamente dicha, sino una \emph{correspondencia multívoca}; correspondencia que posee una infinidad de determinaciones de entre las que nosotros hemos llamado \emph{principal} a aquella que toma valores en \([-\pi,\pi)\). Además, cuando \(z\neq0\) para cada \(\theta\in\text{arg}\,z\) se verifica que

\[z=|z|(\cos\theta+i\text{sen}\,\theta)\qquad(4)\]

De hecho la igualdad (4) también se cumple si \(z=0\), independientemente del valor de \(\theta\in\mathbb{R}\). Por ser

\[(|z|,\text{arg}\,z)\]

las coordenadas polares de \(z=(x,y)\), a la expresión (4) se la denomina forma polar del número complejo \(z\).

El siguiente resultado nos proporciona una importante propiedad del argumento

Lema (Propiedad del argumento).

Sean \(z,w\in\mathbb{C}-\{0\}\). Entonces,

\[\text{arg}(zw)=\text{arg}\,z+\text{arg}\,w\qquad(5)\]

Hagamos algunas consideraciones previas a la demostración.

La suma en el segundo miembro de (5) es una suma de conjuntos. En lo sucesivo, para cada \(\lambda\in C\) y \(A,B\subset C\) se define:

\[A+B:=\{a+b\,:\,a\in A\,,b\in B\}\quad,\quad \lambda A:=\{\lambda a\,:\,a\in A\}\]

Obsérvese que, en general, \(A+A\neq2A\). En efecto, si consideramos, por ejemplo,

\[A:=\text{arg}\,i=\left\{\frac{\pi}{2}+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\right\}\]

entonces

\[A+A={\pi+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}}\]

mientras que

\[2A={\pi+4n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}}\]

es un subconjunto propio de \(A+A\). En particular, gracias a (5),

\[\text{arg}\,i^2=\text{arg}\,i+\text{arg}\,i\neq2\text{arg}\,i\]

Por consiguiente, a partir de (5) obtenemos que para cada \(z\in\mathbb{C}-\{0\}\)

\[\text{arg}(z^2)=\text{arg}\,z+\text{arg}\,z\]

pero esto no significa que

\[\text{arg}(z^2)=2\text{arg}\,z\]

relación que en general es falsa. Obsérvese también que

\[\text{Arg}(i^2)=\text{Arg}(-1)=-\pi\]

mientras que

\[\text{Arg}\,i+\text{Arg}\,i=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi\]

Por consiguiente, en general

\[\text{Arg}(zw)\neq\text{Arg}\,z+\text{Arg}\,w\]

aunque pueda existir algún caso especial donde esa igualdad sea cierta; por ejemplo, cuando \(z\) y \(w\) son reales positivos.

Sean \(\theta\in\text{arg}\,z\) y \(\varphi\in\text{arg}\,w\). Entonces,

\[\text{arg}\,z=\{\theta+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\}\quad,\quad\text{arg}\,w=\{\varphi+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\}\]

y

\[\begin{array}{rl}
    zw & =|z||w|(\cos\theta+i\text{sen}\,\theta)(\cos\varphi+i\text{sen}\,\varphi) \\
     & =|z||w|\left(\cos(\theta+\varphi)+i\text{sen}\,(\theta+\varphi)\right)
  \end{array}\]

Por lo tanto, \(\theta+\varphi\in\text{arg}(zw)\) y

\[\begin{array}{rl}
  \text{arg}(zw) & =\{\theta+\varphi+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\} \\
   & =\{\theta+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\}+\{\varphi+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\} \\
   & =\text{arg}\,z+\text{arg}\,w
\end{array}\]

Definición (Conjugación).

Para cada \(z=x+iy\in\mathbb{C}\) se llama conjugado de \(z\), y se denota por \(\overline{z}\), al número complejo

\[\overline{z}:=x-iy\]

El conjugado de \(z\), \(\overline{z}\), es el simétrico de \(z\) en el plano complejo con respecto del eje real. Evidentemente, \(\overline{0}=0\) y, si \(z\neq0\), \(\overline{z}\) está caracterizado por las relaciones

\[|\overline{z}|=|z|\quad,\quad\text{Arg}\,\overline{z}=-\text{Arg}\,z\qquad(6)\]

Proposición (Propiedades de la conjugación).

La conjugación verifica las siguientes propiedades:

a) Para cada \(z\in\mathbb{C}\),

\[\text{Re}\,z=\frac{z+\overline{z}}{2}\quad,\quad\text{Im}\,z=\frac{z-\overline{z}}{2i}\]

b) Para cada \(x\in\mathbb{R}\), \(\overline{x}=x\).

c) Para cada \(z\in\mathbb{C}\), \(\overline{\overline{z}}=z\).

d) Para cada \(z,w\in\mathbb{C}\),

\[\overline{zw}=\overline{z}\ \overline{w}\quad,\quad\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}\]

En toda la demostración serán \(z=a+ib\), \(w=c+id\), donde \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\).

a) \(z+\overline{z}=a+ib+a-ib=2a\), de donde \(\text{Re}\,z=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\), ya que \(a=\text{Re}\,z\). Por otro lado, \(z-\overline{z}=a+ib-a+ib=2ib\), de donde \(\text{Im}\,z=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\), ya que \(b=\text{Im}\,z\).

b) Es trivial, pues si \(x\in\mathbb{R}\), entonces \(\ x=x+i0=x-i0=\overline{x}\).

c) Como \(\overline{z}=a-ib\), entonces \(\ \overline{\overline{z}}=a-(-ib)=a+ib=z\).

d) \(zw=(ac-bd)+i(ad+bc)\Rightarrow\overline{zw}=(ac-bd)-i(ad+bc)=(a-ib)(c-id)=\overline{z}\ \overline{w}\).

\(z+w=(a+c)+i(b+d)\Rightarrow\overline(z+w)=(a+c)-i(b+d)=(a-ib)+(c-id)=\overline{z}+\overline{w}\).

La proposición anterior se resume diciendo que la conjugación es un automorfismo idempotente de \(\mathbb{C}\).

Proposición (Propiedades del módulo).

El módulo verifica las siguientes propiedades:

a) Para cada \(z\in\mathbb{C}\), \(|z|^2=z\overline{z}\).

b) Para cada \(z\in\mathbb{C}\), \(|z|\geq0\). Además, \(z=0\) si, y sólo si, \(z=0\).

c) Para cada \(z,w\in\mathbb{C}\), \(|zw|=|z||w|\).

d) Para cada \(z\in\mathbb{C}\) y \(w\in\mathbb{C}-{0}\), \(\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\).

e) Para cada \(z,w\in\mathbb{C}\), \(|z+w|\leq|z|+|w|\).

f) Para cada \(z,w\in\mathbb{C}\), \(||z|-|w||\leq|z-w|\).

Las propiedades b), c) y e), esta última conocida bajo el apelativo de \emph{desigualdad triangular}, por su significado geométrico, establece que \(|\cdot|\) es una norma en el espacio vectorial \(\mathbb{C}\); norma que dota a \(\mathbb{C}\) de estructura de espacio vectorial normado con distancia asociada

\[d(z,w):=|z-w|\ ,\ z,w\in\mathbb{C}\]

que es la distancia euclídea.

a) Sea \(z=x+iy\in\mathbb{C}\). Entonces,

\[z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=|z|^2\]

b) Sea \(z=x+iy\in\mathbb{C}\). Por definición,

\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geq0\]

Además, si \(z=0\) necesariamente \(x=y=0\) y por lo tanto \(z=0\).

c) Sean \(z,w\in\mathbb{C}\). Entonces, gracias a la parte a) y a la proposición anterior, obtenemos

\[|zw|^2=zw\overline{zw}=z\,\overline{z}\,w\,\overline{w}=|z|^2|w|^2\]

Por último, gracias a la parte a) y extrayendo raíces cuadradas,

\[|zw|=|z||w|\]

d) Sean \(z\in\mathbb{C}\) y \(w\in\mathbb{C}-{0}\). Entonces,

\[\left|\frac{z}{w}\right|=\left|\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}\right|=\frac{|z||\overline{w}|}{|w|^2}=\frac{|z|}{|w|}\]

e) Sean \(z,w\in\mathbb{C}\). Entonces,

\[\begin{array}{rl}
        |z+w|^2 & = (z+w)(\overline{z}+\overline{w})=z\overline{z}+w\overline{w}+z\overline{w}+w\overline{z} \\
         & = |z|^2+|w|^2+z\overline{w}+\overline{z\overline{w}}=|z|^2+|w|^2+2\text{Re}(z\overline{w})\\
         & \leq |z|^2+|w|^2+2|z\overline{w}|=\left(|z|+|w|\right)^2
      \end{array}\]

de donde extrayendo raíces cuadradas se obtiene la desigualdad triangular.

f) Sean \(z,w\in\mathbb{C}\). Entonces,

\[|z|=|z-w+w|\leq|z-w|+|w|\quad,\quad|w|=|w-z+z|\leq|w-z|+|z|\]

de donde se concluye que

\[\left||z|-|w|\right|\leq|w-z|=|z-w|\]

Ejercicios

1. Demostrar que para cada \(z\in\mathbb{C}\)

\[|\text{Re}\,z|+|\text{Im}\,z|\leq\sqrt{2}|z|\]

¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea \(z=x+iy\), con \(x,y\in\mathbb{R}\), es decir, \(x=\text{Re}\,z\), \(y=\text{Im}\,z\). Entonces

\[(\sqrt{2}|z|)^2=2|z|^2=2x^2+2y^2\]

Por otra parte

\[(|\text{Re}\,z|+|\text{Im}\,z|)^2=(|x|+|y|)^2=x^2+y^2+2|xy|\]

De lo anterior se deduce que

\[(\sqrt{2}|z|)^2-(|\text{Re}\,z|+|\text{Im}\,z|)^2=x^2+y^2-2|xy|=(|x|-|y|)^2\leq0\]

lo que implica que

\[(\sqrt{2}|z|)^2-(|\text{Re}\,z|+|\text{Im}\,z|)^2=x^2+y^2-2|xy|=(|x|-|y|)^2\leq0\]

2. Encontrar las soluciones de la ecuación \(\overline{z}^2=z^2\).

Sea \(z=x+iy\), con \(x,y\in\mathbb{R}\). Entonces

\[\overline{z}^2=(x-iy)^2=(x-iy)(x-iy)=(x^2-y^2)-2ixy\]

\[z^2=(x+iy)^2=(x+iy)(x+iy)=(x^2-y^2)+2ixy\]

Por tanto:

\[\overline{z}^2=z^2\Leftrightarrow-2ixy=2ixy\Leftrightarrow xy=0\Leftrightarrow x=0\ \ \text{o}\ \ y=0\]

Es decir \(\overline{z}^2=z^2\) si, y sólo si, \(z\) es real puro o imaginario puro.

3. Representar los siguientes conjuntos:

a) \(|z-1+i|=1\),

b) \(|z+i|\leq3\),

c) \(\text{Re}(\overline{z}-i)=2\),

d) \(|2z-i|=4\).

a) Como \(|z-1+i|=1\Leftrightarrow |(x-1)+i(y+1)|=1\Leftrightarrow(x-1)^2+(y+1)^2=1\), se trata de la circunferencia de centro el punto \((1,-1)\) y radio \(1\).

circulo1

b) Como \(|z+i|\leq3\Leftrightarrow|x+i(y+1)|\leq3\Leftrightarrow\sqrt{x^2+(y+1)^2}\leq3\Leftrightarrow x^2+(y+1)^2\leq3^2\), se trata del círculo de centro el punto \((0,-1)\) y radio \(3\).

circulo2

c) Como \(\text{Re}(\overline{z}-i)=2\Leftrightarrow\text{Re}(x-i(y+1))=2\Leftrightarrow x=2\), se trata de la recta vertical que pasa por el punto \((0,2)\), es decir, todos los números complejos de parte real igual a \(2\).

d) \(|2z-i|=4\Leftrightarrow|2x+i(2y-1)|=4\Leftrightarrow4x^2+(2y-1)^2=16\Leftrightarrow x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=4\). Se trata por tanto de la circunferencia de centro el punto \(\left(0,\dfrac{1}{2}\right)\) y radio 2.

circulo3

4. Demostrar que si \(|z|<1\) entonces

\[|\text{Im}(1-\overline{z}+z^2)|<3\]

Tenemos que \(z^2=x^2-y^2+2ixy\). Luego

\[1-\overline{z}+z^2=1-x+iy+x^2-y^2+2ixy=(x^2-y^2-x+1)+i(y+xy)\]

De este modo

\[|\text{Im}(1-\overline{z}+z^2)|=|y+xy|=|y(x+1)|=|y||x+1|\]

Puesto que \(|z|<1\), entonces

\[x^2+y^2<1\Rightarrow\begin{cases}-1<x<1\\-1<y<1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0<x+1<2\\|y|<1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} |x+1|<2\\|y|<1\end{cases}\]

Por tanto,

\[|\text{Im}(1-\overline{z}+z^2)|=|y||x+1|<1\cdot2=2<3\]

5. Determinar el argumento de los números complejos \(\dfrac{i}{-2-2i}\) y \(\dfrac{-2}{1+\sqrt{3}i}\).

a) En primer lugar tenemos que

\[z=\dfrac{i}{-2-2i}=\dfrac{i(-2+2i)}{(-2-2i)(-2+2i)}=\dfrac{-2-2i}{8}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}i\]

De aquí deducimos, teniendo en cuenta que \(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}i\ \) está situado en el tercer cuadrante, que el argumento principal de \(z\) es

\[\theta=\text{arctg}\dfrac{-1/4}{-1/4}=\text{arctg}\,1=-\dfrac{3\pi}{4}\]

Luego el argumento de \(z\) será:

\[\text{arg}\,z=\left\{-\frac{3\pi}{4}+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\right\}\]

b) En este caso

\[z=\dfrac{-2}{1+\sqrt{3}i}=\frac{-2(1-\sqrt{3}i)}{(1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)}=\frac{-2+2\sqrt{3}i}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\]

número complejo que se encuentra en el segundo cuadrante. Por tanto, el argumento principal de \(z\) es:

\[\theta=\text{arctg}\dfrac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=\text{arctg}(-\sqrt{3})=\dfrac{5\pi}{6}\]

Finalmente, el argumento de \(z\) será:

\[\text{arg}\,z=\left\{\frac{5\pi}{6}+2n\pi\,:\,n\in\mathbb{Z}\right\}\]

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Exámenes de Matemáticas II - Selectividad (EVAU) UCLM - Junio 2017

El día 8 de junio de 2017 se celebró el examen de Matemáticas II correspondiente a la Evaluación para el Acceso a la Universidad (EVAU o nueva Selectividad) propuesto por la Universidad de Castilla la Mancha. Las dos propuestas se desarrollan a continuación.

En este enlace podrás encontrar más pruebas de Matemáticas II correspondientes a los exámenes de Selectividad de años anteriores. Todas ellas contienen los ejercicios completamente resueltos. También puedes acceder desde el menú superior de esta Web, tal y como se indica en la siguiente imagen.

menu selectividad

Propuesta A

Ejercicio 1

Dada la función

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,\,x \le 2\\
 - {x^2} + bx - 9\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,x > 2
\end{array} \right.\]

a) Calcula razonadamente los parámetros \(a\) y \(b\) para que \(f(x)\) sea derivable en todo \(\mathbb{R}\).

b) Enuncia el teorema de Rolle y comprueba si, para los valores hallados en el apartado anterior, la función \(f(x)\) verifica las hipótesis del teorema en el intervalo \([-2,6]\).

a) Para que \(f\) sea continua en todo \(\mathbb{R}\) ha de ser continua en \(x=2\) (en el resto de puntos es continua por tratarse de funciones polinómicas). Para ello debe existir el límite de la función en \(x=2\) y coincidir con la imagen de la función en dicho punto. Y para que existe el límite en \(x=2\) deben existir los límites laterales y ser iguales. Es decir:

\[\left. \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + a} \right) = 4 + a = f\left( 2 \right)\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - {x^2} + bx - 9} \right) = 2b - 13
\end{array} \right\} \Rightarrow 4 + a = 2b - 13\]

La función derivada de \(f\), exceptuando el punto \(x=2\), es la siguiente:

\[f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,\,x < 2\\
 - 2x + b\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,\,x > 2
\end{array} \right.\]

Para que exista la derivada en \(x=2\) deben existir las derivadas laterales en dicho punto y ser iguales:

\[f'\left( {{2^ - }} \right) = f'\left( {{2^ + }} \right) \Rightarrow 4 =  - 4 + b \Rightarrow b = 8\]

Entonces

\[4 + a = 2 \cdot 8 - 13 \Rightarrow 4 + a = 3 \Rightarrow a =  - 1\]

Resumiento, para que \(f(x)\) sea derivable en todo \(\mathbb{R}\) debe ser \(a=-1\) y \(b=8\).

b) Enunciado del teorema de Rolle.

"Sea \(f\) una función continua en un intervalo cerrado \([a,b]\) y derivable en el abierto \((a,b)\). Si \(f(a)=f(b)\), existe algún punto \(c\in(a,b)\) tal que \(f'(c)=0\)".

Para los valores hallados en el apartado a) la función queda de la siguiente manera:

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,\,x \le 2\\
 - {x^2} + 8x - 9\,\,\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\,x > 2
\end{array} \right.\]

Según se ha visto, la función anterior es continua y derivable en todo \(\mathbb{R}\), en particular será continua en \([-2,6]\) y derivable en \((-2,6)\). Además, \(f(-2)=3=f(6)\). Entonces se verifican todas las hipótesis del teorema de Rolle, con lo que debe existir \(c\in(-2,6)\) tal que \(f'(c)=0\).

Ejercicio 2

Con una chapa metálica de 8 × 5 metros se desea construir, cortando cuadrados en las esquinas, un cajón sin tapa de volumen máximo. Halla razonadamente las dimensiones de dicho cajón.

caja

Si cortamos cuadrados de lado \(x\) en las esquinas, los lados de la base de la caja medirán \(8-2x\) metros y \(5-2x\) metros, tal y como se aprecia en la figura anterior. La altura de la caja será pues de \(x\) metros. De este modo, el volumen de la caja vendrá dado por

\[V = x\left( {8 - 2x} \right)\left( {5 - 2x} \right) = 4{x^3} - 26{x^2} + 40x\]

Derivemos e igualemos a cero la derivada para extraer los posibles extremos de la función volumen:

\[V' = 12{x^2} - 52x + 40\quad;\quad V' = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 52x + 40 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{10}}{3}\\
x = 1
\end{array} \right.\]

Para decidir cuál de los dos es el máximo evaluemos en la segunda derivada, que es \(V''=24x-52\):

\(V''\left( {\dfrac{{10}}{3}} \right) = 24 \cdot \dfrac{{10}}{3} - 52 = 80 - 52 = 28 > 0\). Entonces \(x=\dfrac{10}{3}\) es un mínimo.

\(V''\left( 1 \right) = 24 \cdot 1 - 52 =  - 28 < 0\). Entonces \(x=1\) es un máximo.

Por tanto, las dimensiones del cajón para que el volumen sea máximo serán 7 × 4 metros de la base y 1 metro de altura.

Ejercicio 3

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lienales en función del parámetro \(a\in\mathbb{R}\)

\[\left. \begin{array}{l}
ax - y + z = a - 4\\
2x + y - az = a - 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y - z =  - 3
\end{array} \right\}\]

b) Resuélvelo razonadamente para el valor \(a=-1\).

a) La matriz de los coeficientes es

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&{ - 1}&1\\
2&1&{ - a}\\
0&1&{ - 1}
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es al menos dos pues contiene un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
0&1
\end{array}} \right| = 2 - 0 = 2 \ne 0\]

Además, \(\left| A \right| = \left( { - a + 2} \right) - \left( {2 - {a^2}} \right) = {a^2} - a\), de donde decucimos que \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 0\\
a = 1
\end{array} \right.\). Ahora podemos hacer las siguientes consideraciones según los valores del parámetro \(a\).

Si \(a\neq0\) y \(a\neq1\) el determinante de la matriz \(A\) es distinto de cero, con lo que \(rg\left( A \right) = 3 = rg\left( {A'} \right) = n\), donde \(A'\) denota la matriz ampliada y \(n\) el número de incógnitas del sistema. En este caso el sistema es compatible determinado (solución única).

Si \(a=0\) la matriz ampliada es \(A' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 1}&1&{ - 4}\\
2&1&0&{ - 1}\\
0&1&{ - 1}&{ - 3}
\end{array}} \right)\). Orlando con el menor \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
0&1
\end{array}} \right| = 2 - 0 = 2 \ne 0\), tenemos que \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 1}&{ - 4}\\
2&1&{ - 1}\\
0&1&{ - 3}
\end{array}} \right| =  - 8 - 6 =  - 14 \ne 0\). Por tanto, en este caso \(rg\left( A \right) = 2 \ne rg\left( {A'} \right) = 3\), con lo que el sistema es incompatible (no tiene soluciones).

Si \(a=1\) la matriz ampliada es \(A' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&1&{ - 3}\\
2&1&{ - 1}&0\\
0&1&{ - 1}&{ - 3}
\end{array}} \right)\). Volviendo a orlar con el menor \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
0&1
\end{array}} \right|\), tenemos que \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&{ - 3}\\
2&1&0\\
0&1&{ - 3}
\end{array}} \right| = \left( { - 3 - 6} \right) - 6 =  - 15 \ne 0\). En este caso volvemos a tener que \(rg\left( A \right) = 2 \ne rg\left( {A'} \right) = 3\), con lo que el sistema vuelve a ser incompatible.

b) Para \(a=-1\) el sistema es compatible determinado. Tenemos que \(\left| A \right| = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = 1 + 1 = 2\). Aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 5}&{ - 1}&1\\
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&{ - 1}
\end{array}} \right|}}{2} = \frac{{\left( {5 + 3 - 2} \right) - \left( { - 3 - 2 - 5} \right)}}{2} = \frac{{6 + 10}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{ - 5}&1\\
2&{ - 2}&1\\
0&{ - 3}&{ - 1}
\end{array}} \right|}}{2} = \frac{{\left( { - 2 - 6} \right) - \left( {10 + 3} \right)}}{2} = \frac{{ - 8 - 13}}{2} =  - \frac{{21}}{2}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{ - 1}&{ - 5}\\
2&1&{ - 2}\\
0&1&{ - 3}
\end{array}} \right|}}{2} = \frac{{\left( {3 - 10} \right) - \left( {6 + 2} \right)}}{2} = \frac{{ - 7 - 8}}{2} =  - \frac{{15}}{2}\]

Ejercicio 4

Dado el punto \(P(2,0,-1)\) y las rectas

\[r \equiv \frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{0}\quad;\quad s \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x - y + 2z + 4 = 0\\
x + z + 1 = 0
\end{array} \right.\]

a) Determina razonadamente la posicion relativa de las rectas \(r\) y \(s\).

b) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por \(P\) es paralelo a \(r\) y a \(s\).

a) Un punto y un vector director de la recta \(r\) son, respectivamente, \(A(2,-1,0)\) y \(\vec u = \left( { - 1,2,0} \right)\).

Las ecuaciones paramétricas de la recta \(s\) son \(s \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1 - \lambda \\
y = 3 + \lambda \\
z = \lambda
\end{array} \right.\). Entonces, un punto y un vector de la recta \(s\) son, respectivamente, \(B(-1,3,0)\) y \(\vec v = \left( { - 1,1,1} \right)\).

El rango de la matriz formada por los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) es \(rg\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec u}\\
{\vec v}
\end{array}} \right) = rg\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&2&0\\
{ - 1}&1&1
\end{array}} \right) = 2\), pues podemos encontrar un menor de orden dos distinto de cero, por ejemplo, \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&2\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| =  - 1 - \left( { - 2} \right) =  - 1 + 2 = 1 \ne 0\). Esto quiere decir que los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) tienen distinta dirección y, por tanto, las rectas \(r\) y \(s\) no pueden ser ni paralelas ni coincidentes.

Estudiemos ahora el rango de la matriz formada por los vectores \(\vec u\), \(\vec v\) y \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3,4,0} \right)\):

\[rg\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec u}\\
{\vec v}\\
{\overrightarrow {AB} }
\end{array}} \right) = rg\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&2&0\\
{ - 1}&1&1\\
{ - 3}&4&0
\end{array}} \right) = 3\]

ya que

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&2&0\\
{ - 1}&1&1\\
{ - 3}&4&0
\end{array}} \right| =  - 6 - \left( { - 4} \right) =  - 6 + 4 =  - 2 \ne 0\]

De lo anterior se deduce que los vectores \(\vec u\), \(\vec v\) y \(\overrightarrow {AB}\) son linealmente independientes, es decir, no pueden ser coplanarios, con lo que las rectas \(r\) y \(s\) no pueden ser secantes

Solamente queda una posiblidad: \(r\) y \(s\) se cruzan.

b) Para que el plano \(\pi\) que pasa por \(P(2,0,-1)\) sea paralelo a \(r\) y a \(s\), basta que tenga las direcciones de \(r\) y de \(s\), es decir:

\[\pi  \equiv \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 2}&y&{z + 1}\\
{ - 1}&2&0\\
{ - 1}&1&1
\end{array}} \right| = \left( {2x - 4 - z - 1} \right) - \left( { - 2z - 2 - y} \right) = 0 \Rightarrow \pi  \equiv 2x + y + z - 3 = 0\]

Ejercicio 5

a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50 %, el 30 % y el 20 % de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6 % de las resistencias producidas por A, el 5 % de las producidas por B y el 3 % de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia:

a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa.

a2) Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A.

b) Las resitencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de:

b1) Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B.

b2) Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B.

a) Llamemos \(A\), \(B\) y \(C\) a los sucesos "elegida una resistencia al azar, es producida por el operario A, B y C, respectivamente". Entonces \(P(A)=0,50\), \(P(B)=0,30\) y \(P(C)=0,20\).

Llamemos ahora \(D\) al suceso "la resistencia elegida es defectuosa". Entonces, según el enunciado, tenemos las siguientes probabilidades condicionadas: \(P\left( {D/A} \right) = 0,06\), \(P\left( {D/B} \right) = 0,05\), \(P\left( {D/C} \right) = 0,03\).

Usando el teorema de la probabilidad total tenemos que la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es:

\[P\left( D \right) = P\left( {D \cap A} \right) + P\left( {D \cap B} \right) + P\left( {D \cap C} \right) =\]

\[=P\left( A \right) \cdot P\left( {D/A} \right) + P\left( B \right) \cdot P\left( {D/B} \right) + P\left( C \right) \cdot P\left( {D/C} \right) =\]

\[ = 0,50 \cdot 0,06 + 0,30 \cdot 0,05 + 0,20 \cdot 0,03 = 0,03 + 0,015 + 0,006 = 0,051\]

Si es defectuosa, la probabilidad de que proceda del operario A viene dada por la siguiente probabilidad condicionada (teorema de Bayes):

\[P\left( {A/D} \right) = \frac{{P\left( {A \cap D} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {D/A} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{0,50 \cdot 0,06}}{{0,051}} = \frac{{0,03}}{{0,051}} \cong 0,588\]

b) Para calcular las probabilidades que se piden supondremos que se trata de un experimento binomial. Solo se pueden dar dos posibilidades: o la pieza está producida por B o no está producida por B. Tomaremos por éxito que la pieza esté producida por B. Entonces \(p=P(B)=0,30\). Además \(n=5\) pues las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Tenemos pues que la variable \(X\) número de éxitos (número de piezas producidas por B) sigue una distribución binomial \(B\left( {n,p} \right) = B\left( {5,\,\,\,0,30} \right)\). En general se tiene que

\[P\left( {X = r} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
r
\end{array}} \right){p^r}{\left( {1 - p} \right)^{n - r}}\]

La probabilidad de que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B es:

\[P\left( {X = 3} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
3
\end{array}} \right){0,3^3} \cdot {0,7^2} = 10 \cdot 0,027 \cdot 0,49 = 0,1323\]

La probabilidad de que en una caja haya al menos dos fabricadas por B es:

\[P\left( {X \ge 2} \right) = 1 - P\left( {X < 2} \right) = 1 - \left[ {P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right)} \right] = \]

\[ =1 - \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
0
\end{array}} \right){{0,3}^0} \cdot {{0,7}^5} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
1
\end{array}} \right){{0,3}^1} \cdot {{0,7}^4}} \right] = 1 - \left[ {0,16807 + 0,36015} \right] = 1 - 0,52822 = 0,47178\]

Propuesta B

Ejercicio 1

Calcula razonadamente los siguientes límites:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^3} + 3{x^2} - 4}}{{{x^3} + 5{x^2} + 8x + 4}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\ln \left( {x + 1} \right)}}{{2 - 2\cos x}}\)

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^3} + 3{x^2} - 4}}{{{x^3} + 5{x^2} + 8x + 4}} = \left[ {{\rm{Indeterminación}}\,\,\dfrac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} =\)

\(=\left[ {{\rm{Indeterminación}}\,\,\dfrac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = \dfrac{{ - 2 - 1}}{{ - 2 + 1}} = \dfrac{{ - 3}}{{ - 1}} = 3\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\ln \left( {x + 1} \right)}}{{2 - 2\cos x}} = \left[ {{\rm{Indeterminación}}\,\,\dfrac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{2\,{\rm{sen}}\,x}} = \left[ {{\rm{Indeterminación}}\,\,\dfrac{0}{0}} \right] = \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}}{{2\cos x}} = \dfrac{{1 + 1}}{{2 \cdot 1}} = \dfrac{2}{2} = 1\)

En este último apartado se ha hecho uso de la regla de L¡Hôpital (dos veces) para calcular el límite.

Ejercicio 2

Dadas las funciones \(f(x)=-x^2\) y \(g(x)=x^2-2x-4\)

a) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por sus gráficas.

b) Calcula razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(g(x)\) en el punto de abscisa \(x=-3\).

a) Calculemos en primer lugar las abscisas de los puntos en los que se cortan las gráficas de \(f(x)\) y \(g(x)\):

\[f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow  - {x^2} = {x^2} - 2x - 4 \Rightarrow 2{x^2} - 2x - 4 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 2
\end{array} \right.\]

Además, entre \(x=-1\) y \(x=2\) es \(f(x)\geqslant g(x)\) pues la inecuación \(-x^2\geqslant x^2-2x-4\) es equivalente a \(2x^2-2x-4\leqslant0\Leftrightarrow2(x+1)(x-2)\leqslant0\), cuya solución es precisamente el intervalo \([-1,2]\). Por tanto, el área \(A\) del recinto cerrado limitado por las gráficas de \(f\) y \(g\) viene dado por la siguiente integral definida:

\[\int_{ - 1}^2 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx}  = \int_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx}  = \left[ {\frac{{ - 2{x^3}}}{3} + {x^2} + 4x} \right]_{ - 1}^2 =\]

\[= \left( {\frac{{ - 16}}{3} + 4 + 8} \right) - \left( {\frac{2}{3} + 1 - 4} \right) = 9\,\,{\rm{ud}}{{\rm{s}}^2}\]

b) La recta normal a la gráfica de \(g(x)\) en el punto de abscisa \(x=-3\) es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. La recta tangente viene dada por \(y - g\left( { - 3} \right) = g'\left( { - 3} \right)\left( {x - \left( { - 3} \right)} \right)\). La derivada de la función \(g\) es \(g'(x)=2x-2\). Por tanto, \(g'(-3)=-8\). Como \(g(-3)=11\), tenemos que la recta tangente en \(x=-3\) es \(y-11=-8(x+3)\Rightarrow y=-8x-13\).

Dos puntos de esta recta son, por ejemplo, el \((-3,11)\) y el \((-2,3)\), luego un vector director suyo es \(\vec u=(1,-8)\). Un vector perpendicular al anterior es fácil de calcular, por ejemplo: \(\vec v=(8,1)\). Por tanto, la recta normal es la que pasa por el punto \((-3,11)\) y tiene dirección la del vector \(\vec v\):

\[\frac{{x + 3}}{8} = \frac{{y - 11}}{1} \Rightarrow 8y - 88 = x + 3 \Rightarrow x - 8y + 91 = 0\]

Este apartado se podría haber resuelto sabiendo que la pendiente de la recta normal es \(-\dfrac{1}{m}\) donde \(m\) es la pendiente de la recta tangente. Es decir, la pendiente de la recta normal en nuestro caso sería \(\dfrac{1}{8}\) y de aquí, la recta normal en \(x=-3\) es de la forma \(y=\dfrac{1}{8}x+n\). Como esta recta pasa por el punto \((-3,11)\) se tiene, sustituyendo, que

\[11 = \frac{1}{8} \cdot \left( { - 3} \right) + n \Rightarrow 88 =  - 3 + 8n \Rightarrow 8n = 91 \Rightarrow n = \frac{{91}}{8}\]

Por tanto, la recta que se busca es \(y=\dfrac{1}{8}x+\dfrac{91}{8}\) (esta es la ecuación afín o explícita de la recta). Si se pasa a general o implícita se obtiene \(x-8y+91=0\).

Ejercicio 3

Dadas las matrices

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&0\\
{ - 1}&0&0\\
1&2&{ - 1}
\end{array}} \right)\quad;\quad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0&1\\
2&{ - 1}&0\\
1&0&0
\end{array}} \right)\quad;\quad C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0\\
0&3&0\\
{ - 1}&0&{ - 1}
\end{array}} \right)\]

a) ¿Tiene inversa la matriz \(2I_3+B\)? Razona la respuesta. \(I_3\) es la matriz identidad de orden 3.

b) Calcula razonadamente la matriz \(X\) que verifica que \(2X+C=A-X\cdot B\).

a) \(2{I_3} + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&0\\
0&2&0\\
0&0&2
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0&1\\
2&{ - 1}&0\\
1&0&0
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
2&1&0\\
1&0&2
\end{array}} \right)\)

Sabemos que una matriz cuadrada tiene inversa si su determinante es distinto de cero. Como

\[\left| {2{I_3} + B} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
2&1&0\\
1&0&2
\end{array}} \right| = 2 - 1 = 1 \ne 0\]

resulta que, efectivamente, la matriz \(2{I_3} + B\) tiene inversa.

b) \(2X + C = A - X \cdot B \Rightarrow 2X + XB = A - C \Rightarrow X\left( {2{I_3} + B} \right) = A - C \Rightarrow\)

\(\Rightarrow X\left( {2{I_3} + B} \right){\left( {2{I_3} + B} \right)^{ - 1}} = \left( {A - C} \right){\left( {2{I_3} + B} \right)^{ - 1}} \Rightarrow X = \left( {A - C} \right){\left( {2{I_3} + B} \right)^{ - 1}}\)

La matriz adjunta de \(2{I_3} + B\) es \({\left( {2{I_3} + B} \right)^d} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 4}&{ - 1}\\
0&1&0\\
{ - 1}&2&1
\end{array}} \right)\).

La traspuesta de la adjunta es \({\left[ {{{\left( {2{I_3} + B} \right)}^d}} \right]^t} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&{ - 1}\\
{ - 4}&1&2\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right)\).

Por tanto, la matriz inversa es

\[{\left( {2{I_3} + B} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| {2{I_3} + B} \right|}}{\left[ {{{\left( {2{I_3} + B} \right)}^d}} \right]^t} = \frac{1}{1} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&{ - 1}\\
{ - 4}&1&2\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&{ - 1}\\
{ - 4}&1&2\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right)\]

Así pues:

\[X = X = \left( {A - C} \right){\left( {2{I_3} + B} \right)^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&0\\
{ - 1}&{ - 3}&0\\
2&2&0
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&{ - 1}\\
{ - 4}&1&2\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4&0&{ - 2}\\
{10}&{ - 3}&{ - 5}\\
{ - 4}&2&2
\end{array}} \right)\]

Ejercicio 4

a) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta, en su forma general o implícita, que contiene a los puntos \(P(0,1,-2)\) y \(Q(4,-3,0)\).

b) Encuentra razonadamente un punto que equidiste de \(P\) y \(Q\) y que pertenezca a la recta

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + \lambda \\
y =  - \lambda \\
z =  - 5
\end{array} \right.\quad\lambda\in\mathbb{R}\]

a) Un vector director de la recta es \(\vec u = \overrightarrow {PQ}  = \left( {4, - 4,2} \right)\). Podemos tomar como vector director uno proporcional al anterior más sencillo de manejar, por ejemplo \(\vec u=(2,-2,1)\). La ecuación de la recta en su forma continua es \(\dfrac{{x - 0}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{1}\), y en su forma general o implícita es

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - 2x = 2y - 2\\
x = 2z + 4
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y - 1 = 0\\
x - 2z - 4 = 0
\end{array} \right.\]

La ecuación general o implícita puede adoptar distintas maneras. Antes hemos eliminado denominadores igualando las razones primera y segunda por un lado, y primera y tercera, por otro. Pero si eliminamos denominadores con la primera y segunda, y con la segunda y tercera obtenemos:

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - 2x = 2y - 2\\
y - 1 =  - 2z - 4
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y - 1 = 0\\
y + 2z + 3 = 0
\end{array} \right.\]

b) Un punto \(A\) de \(r\) es siempre de la forma \(A\left( {2 + \lambda , - \lambda , - 5} \right)\). Si deseamos encontrar un punto de la recta \(r\) que equidiste (estar a la misma distancia) de \(P\) y \(Q\), se ha de cumplir que \(\left| {\overrightarrow {AP} } \right| = \left| {\overrightarrow {AQ} } \right|\). Tenemos que:

\[\overrightarrow {AP}  = \left( {2 + \lambda , - \lambda  - 1, - 3} \right)\quad;\quad \overrightarrow {AQ}  = \left( {\lambda  - 2, - \lambda  + 3, - 5} \right)\]

Por tanto:

\[\left| {\overrightarrow {AP} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 + \lambda } \right)}^2} + {{\left( { - \lambda  - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {4 + 4\lambda  + {\lambda ^2} + {\lambda ^2} + 2\lambda  + 1 + 9}  = \sqrt {2{\lambda ^2} + 6\lambda  + 14} \]

\[\left| {\overrightarrow {AQ} } \right| = \sqrt {{{\left( {\lambda  - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \lambda  + 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}}  = \sqrt {{\lambda ^2} - 4\lambda  + 4 + {\lambda ^2} - 6\lambda  + 9 + 25}  = \sqrt {2{\lambda ^2} - 10\lambda  + 38}\]

Y de aquí deducimos que:

\[\left| {\overrightarrow {AP} } \right| = \left| {\overrightarrow {AQ} } \right| \Rightarrow \sqrt {2{\lambda ^2} + 6\lambda  + 14}  = \sqrt {2{\lambda ^2} - 10\lambda  + 38}  \Rightarrow \]

\[\Rightarrow 2{\lambda ^2} + 6\lambda  + 14 = 2{\lambda ^2} - 10\lambda  + 38 \Rightarrow 16\lambda  = 24 \Rightarrow \lambda  = \frac{{24}}{{16}} = \frac{3}{2}\]

De este modo el punto buscado es:

\[A\left( {2 + \lambda , - \lambda , - 5} \right) = A\left( {2 + \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, - 5} \right) = A\left( {\frac{7}{2}, - \frac{3}{2}, - 5} \right)\]

Ejercicio 5

a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12 novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que:

a1) El libro elegido sea de matemáticas.

a2) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B.

b) El tiempo de espera en una parada del autobús se distribuye según distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos.

b1) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos.

b2) ¿Cuántos minutos de espera son superados por el 33 % de los usuarios? Razona la respuesta.

a) Llamemos \(A\) y \(B\) a los sucesos "elegir la estantería A o B", respectivamente. Entonces \(P(A)=P(B)=0,5\). Llamemos también \(N\), \(E\) y \(M\) a los sucesos "elegir una novela, elegir un ensayo o elegir un libro de matemáticas", respectivamente. Entonces, según el enunciado, tenemos las siguientes probabilidades condicionadas:

\[P\left( {N/A} \right) = \frac{{20}}{{40}} = 0,5\quad;\quad P\left( {E/A} \right) = \frac{{10}}{{40}} = 0,25\quad;\quad P\left( {M/A} \right) = \frac{{10}}{{40}} = 0,25\]

\[P\left( {N/B} \right) = \frac{{12}}{{20}} = 0,6\quad;\quad P\left( {M/B} \right) = \frac{8}{{20}} = 0,4\]

Según el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el libro elegido sea de matemáticas es:

\[P\left( M \right) = P\left( {M \cap A} \right) + P\left( {M \cap B} \right) =\]

\[=P\left( {M/A} \right) \cdot P\left( A \right) + P\left( {M/B} \right) \cdot P\left( B \right) = 0,25 \cdot 0.5 + 0,4 \cdot 0,5 = 0,325\]

Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, la probabilidad de que fuera de la estantería B viene dada por la siguiente probabilidad condicionada (teorema de Bayes):

\[P\left( {B/M} \right) = \frac{{P\left( {B \cap M} \right)}}{{P\left( M \right)}} = \frac{{P\left( {M/B} \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( M \right)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,5}}{{0,325}} = \frac{{0,2}}{{0,325}} \cong 0,615\]

b) Llamemos \(X\) a la variable "tiempo de espera". \(X\) se distribuye según una normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos. Simbólicamente \(X \to N\left( {15,\,\,5} \right)\). Por tanto, la variable \(Z = \dfrac{{X - 15}}{5}\) se distribuye según una normal de media 0 y desviación 1 (tipificación de la variable), cuyas probabilidades \(P\left( {Z \le a} \right)\) se pueden consultar en la tabla correspondiente a la distribución normal tipificada.

La probabilidad de esperar menos de 13 minutos viene dada por:

\[P\left( {X \le 13} \right) = P\left( {Z \le \frac{{13 - 15}}{5}} \right) = P\left( {Z \le  - 0,4} \right) = P\left( {Z \ge 0,4} \right) =\]

\[= 1 - P\left( {Z \le 0,4} \right) = 1 - 0,6554 = 0,3446\]

Para saber los minutos de espera que son superados por el 33 % de los usuarios, llamemos \(x\) al número de minutos y plantearemos la siguiente ecuación: \(P\left( {X \ge x} \right) = 0,33\). Ahora operamos teniendo en cuenta las propiedades de la distribución normal:

\[P\left( {X \ge x} \right) = 0,33 \Rightarrow 1 - P\left( {X \le x} \right) = 0,33 \Rightarrow P\left( {X \le x} \right) = 0,66 \Rightarrow P\left( {Z \le \frac{{x - 15}}{5}} \right) = 0,66 \Rightarrow\]

\[\Rightarrow \frac{{x - 15}}{5} = 0,41 \Rightarrow x - 15 = 2,05 \Rightarrow x = 17,5\]

Esto quiere decir que el 33 % de los usuarios superan los 17,5 minutos de espera.

Si deseas descargar las pruebas en formato PDF puedes buscarlas aquí.
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