Menu
Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

Distancia entre dos rectas que se c…

En un espacio de tres dim...

La regla de Cramer

La regla de Cramer

Consideremos un sistema d...

¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Prev Next

Exámenes bachillerato Matemáticas II. Curso 2016-2017

A continuación os dejo unos enlaces con todos los exámenes de la materia Matemáticas II (2º de Bachillerato) que hemos realizado durante el curso 2016-2017. Espero que os sirvan para la preparación de la Selectividad a muchos, así como para preparar también, a otros, el examen extraordinario de septiembre.

  1. Primer examen de la primera evaluación: Límites. Continuidad. Teorema de Bolzano. Derivabilidad.
  2. Segundo examen de la segunda evaluación: Derivación implícita y logarítmica. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Optimización.
  3. Recuperación de la primera evaluación (1): Límites. Continuidad. Derivabilidad. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  4. Recuperación de la primera evaluación (2): Límites. Continuidad. Derivabilidad. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  5. Primer examen de la segunda evaluación: Integral indefinida. Integrales inmediatas. Métodos de integración. Integral definida. Cálculo de áreas.
  6. Segundo examen de la segunda evaluación: Integral indefinida. Matrices. Rangol de una matriz. Ecuaciones matriciales. Determinantes.
  7. Recuperación de la segunda evaluación: Integral indefinida. Matrices. Ecuaciones matriciales.
  8. Primer examen de la tercera evaluación (1): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  9. Primer examen de la tercera evaluación (2): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  10. Primer examen de la tercera evaluación (3): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  11. Primer examen de la tercera evaluación (4): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  12. Segundo examen de la tercera evaluación: Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos. Geometría euclídea en el espacio: problemas métricos.
  13. Suficiencia mayo (primera evaluación): Límites. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  14. Suficiencia mayo (segunda evaluación): Integral indefinida. Integrales inmediatas. Métodos de intergración. Integral definida. Cálculo de áreas. Matrices. Ecuaciones matriciales. Determinantes.
  15. Suficiencia mayo (tercera evaluación): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos. Geometría euclídea en el espacio: problemas métricos.
  16. Examen final para subir nota.

Recordad que podéis encontrar más exámenes aquí:

 

Leer más ...

¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

Ahora puedes tener un profesor de matemáticas online para que te explique todas esas dudas que te bloquean y no te dejan avanzar.

Nuestros amigos de ekuatio.com han diseñado un método distinto, práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas saber para resolver tus problemas y ejercicios. Todo con un lenguaje sencillo que entenderás perfectamente.

Con su método:

  • Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas.
  • Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión.

Empezarás a entender las matemáticas desde el primer momento.

No son clases por webcam. No tienes que quedar con nadie a ninguna hora.

Tienes contacto permanente por email con tu profesor online y puedes preguntar tus dudas cuando quieras. El mismo día o como muy tarde al día siguiente tendrán tú explicación.

También te explican lo que necesitas que reforzar. De esta manera, por un lado vas resolviendo tus dudas y por otro, vas reforzando tu base, haciéndola más sólida.

Todo ello por un precio más que asequible de 10 €/mes y puedes darte de baja cuando quieras.

>> Quiero empezar ya a aprender matemáticas

Las matemáticas dejarán de ser un problema para ti. Sólo tienes que dejarte guiar.

Leer más ...

La paradoja de Zenón

El filósofo griego Zenón de Elea (495-435 a. de C.) precipitó una crisis en la Matemática antigua estableciendo algunas paradojas ingeniosas. Una de ellas, llamada frecuentemente la paradoja del corredor, se puede exponer de la manera siguiente:

Un corredor no puede alcanzar nunca la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que recorrer la otra mitad. Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte y así sucesiva e indefinidamente.

paradoja zenon 01

Zenón pensó, evidentemente, en una situación ideal en la que el corredor es una partícula o punto que se mueve de un extremo a otro de un segmento de recta. Para analizar el razonamiento de Zenón con más detalle se supone que el corredor parte del punto marcado con 1 (ver figura anterior) y corre hacia la meta marcada con 0. Las posiciones indicadas por \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{8}\), \(\ldots\), etc., señalan la fracción de carrera que se ha de recorrer todavía cuando se alcanza el punto marcado. Estas fracciones (cada una de las cuales es la mitad de la anterior) subdividen todo el trayecto en un número indefinido de partes cada vez más pequeñas. Puesto que para recorrer por separado cada una de estas partes se necesita una cantidad positiva de tiempo, parece natural afirmar que el tiempo necesario para el trayecto total ha de ser la suma total de todas estas cantidades de tiempo. Decir que el corredor nunca puede alcanzar la meta equivale a decir que nunca llega a ella en un tiempo finito; o, dicho de otro modo, que la suma de un número finito de intervalos positivos de tiempo no puede ser finita.

La afirmación de Zenón de que un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener suma finita, fue contradicha 2000 años más tarde con la creación de la teoría de series infinitas. En los siglos XVII y XVIII algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos finitos de números a conjuntos infinitos, de manera que en algunos casos la "suma" de un conjunto de infinitos números sea finita. Para ver cómo se puede hacer esta extensión y tener una idea de las dificultades que pueden presentarse para ello, conviene analizar la paradoja de Zenón con más detalle.

Supongamos que el corredor antes mencionado, corre a velocidad constante y que necesita \(t\) segundos para la primera mitad del recorrido. Para el siguiente cuarto de recorrido necesitará \(\frac{t}{2}\) segundos, para el octavo siguiente \(\frac{t}{4}\) segundos y en general para la parte comprendida entre \(\frac{1}{2^n}\) y \(\frac{1}{2^{n+1}}\) necesitará \(\frac{t}{2^n}\) segundos. La "suma" de todos estos intervalos se puede indicar simbólicamente escribiendo la siguiente expresión:

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots\]

Este es un ejemplo de las llamadas series infinitas y el problema aquí está en decidir su es posible encontrar una forma natural de asignarle un número que se pueda llamar suma de la serie.

La experiencia física dice que el corredor que corre a velocidad constante alcanzará su meta en un tiempo doble del que necesitaba para alcanzar su punto medio. Puesto que necesita \(t\) segundos para la mitad del recorrido, tendrá que emplear \(2t\) segundos para el recorrido completo. Este razonamiento sugiere que se debe asignar la "suma" \(2t\) a la serie anterior, esperando que la igualdad

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots=2t\]

pueda ser "valida" en algún sentido.

La teoría de las series infinitas precisa cómo se ha de interpretar esta igualdad. La idea es la siguiente: primero se suman un número finito de términos, los \(n\) primeros, indicando esta suma por \(\{s_n\}\). Así se tiene:

\[\{s_n\}=\left\{t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^{n-1}}\right\}\]

y esta suma se denomina suma parcial n-sima o sucesión de sumas parciales. Se estudia después el comportamiento de \(\{s_n\}\) cuando \(n\) toma valores cada vez más grandes. En particular se trata de determinar si la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\) es convergente, es decir, si tiende a un límite finito.

En este caso es fácil ver que el valor límite de las sumas parciales es \(2t\). En efecto, calculando algunas de estas sumas parciales se tiene:

\[s_1=t\ ,\quad s_2=t+\frac{t}{2}=\frac{3}{2}t\ ,\quad s_3=t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}=\frac{7}{4}t\ ,\quad s_4=t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\frac{t}{8}=\frac{15}{8}t\]

Se observa que estos resultados se pueden expresar como sigue:

\[s_1=(2-1)t\ ,\quad s_2=\left(2-\frac{1}{2}\right)t\ ,\quad s_3=\left(2-\frac{1}{4}\right)t\ ,\quad s_4=\left(2-\frac{1}{8}\right)t\]

lo cual conduce a pensar en una fórmula general de la forma

\[\{s_n\}=\left\{\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)t\right\}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\qquad(1)\]

La fórmula anterior se comprueba fácilmente por inducción. Puesto que \(\{\frac{1}{2^{n-1}}\}\rightarrow0\), resulta que \(\{s_n\}\rightarrow2t\). Por tanto, la igualdad anterior es "cierta" si se interpreta que \(2t\) es el límite de la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\). Este proceso de límite parece invalidar la objeción de Zenón que la suma de un número infinito de intervalos de tiempo no puede ser nunca finita.

Ahora daremos un argumento que proporciona un apoyo considerable al punto de vista de Zenón. Supongamos que en el anterior análisis de la paradoja del corredor se hace un pequeño pero importante cambio. En vez de considerar la velocidad constante, supongamos que decrece gradualmente de manera que necesita \(t\) segundos para de \(1\) a \(\frac{1}{2}\), \(\frac{t}{2}\) para ir de \(\frac{1}{2}\) a \(\frac{1}{4}\), \(\frac{t}{3}\) segundos para ir de \(\frac{1}{4}\) a \(\frac{1}{8}\), y en general \(\frac{t}{n}\) segundos para ir de \(\frac{1}{2^{n-1}}\) a \(\frac{1}{2^n}\). El tiempo total que necesitará para la carrera, vendrá ahora representado por la siguiente serie infinita:

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}+\ldots\]

En este caso, la experiencia física no sugiera ninguna "suma" obvia o natural para asignar a dicha serie y por tanto este ejemplo hay que estudiarlo desde un punto de vista completamente matemático.

Igual que antes, se introduce la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\), es decir:

\[\{s_n\}=\left\{t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}\right\}\qquad(2)\]

y se trata de ver qué ocurre a \(\{s_n\}\) cuando \(n\) crece indefinidamente. Esta suma parcial no es tan fácil de estudiar como la anterior, pues no existe una fórmula análoga a la fórmula \((1)\) que simplifique la expresión del segundo miembro de \((2)\). Sin embargo, por comparación de estas sumas parciales con una integral apropiada se puede ver que toman valores tan grandes como se quiera.

En la figura siguiente se ve parte de la hipérbola \(f(x)=\frac{1}{x}\) para \(x>0\). Los rectángulos dibujados, tienen un área total igual a la suma

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\]

paradoja zenon 02

El área de la región determinada por la hipérbola y el intervalo \([1,n+1]\) es

\[\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx=\ln(n+1)\]

y puesto que esta área no puede exceder la suma de las áreas de los rectángulos, se tiene la desigualdad

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\geqslant\ln(n+1)\]

Multiplicando ambos miembros por \(t\) se obtiene \(s_n\geqslant t\ln(n+1)\). Es decir, si la velocidad del corredor decrece tal como se ha indicado anteriormente, el tiempo necesario para alcanzar el punto \(\frac{1}{2^n}\) es por lo menos \(t\ln(n+1)\) segundos. Puesto que \(\ln(n+1)\) al crecer \(n\) toma valores tan grandes como se quiera (\(\{\ln(n+1)\}\rightarrow+\infty\)), se cumple en este caso la paradoja de Zenón, es decir, que el corredor no alcanzará la meta en un tiempo finito.

La teoría general de series infinitas hace una distinción entre series como

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots\]

cuyas sucesión de sumas parciales tiende a un límite finito, y series como

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}+\ldots\]

cuyas sucesión de sumas parciales no tiene límite finito (no es convergente).

Las primeras se denominan convergentes y las segundas divergentes. Los primeros investigadores en este dominio ponían poca o ninguna atención en las cuestiones de convergencia y divergencia. Trataban las series infinitas como si fueran sumas ordinarias finitas, sujeta a las leyes usuales del Álgebra sin tener en cuenta que estas leyes no pueden extenderse universalmente a las series infinitas. Por eso no es sorprendente que se haya visto más tarde que algunos de los primeros resultados obtenidos fueran incorrectos. Afortunadamente, muchos de aquellos pioneros tenían una intuición y destreza poco frecuentes, que les evitaba llegar a conclusiones falsas, aunque ellos no pudieran justificar sus métodos. Entre los primeros matemáticos que se ocuparon de las series ocupa un lugar preeminente Leonard Euler. Euler descubría fórmula tras fórmula, a cual más interesante, y a la vez utilizaba las series infinitas como concepto unificador de diversas ramas de la Matemática que hasta entonces estaban sin relacionar. La gran cantidad de trabajos de Euler que han sobrevivido al paso del tiempo es un tributo a su notabilísimo instinto de lo matemáticamente correcto.

La extensión del uso de las series infinitas empezó más tarde en el siglo XVII, cerca de cincuenta años después del nacimiento de Euler, coincidiendo con el principio del desarrollo del Cálculo Integral, Nicholas Mercator (1620-1687) y William Brouncker (1620-1684) descubrieron en 1668 una serie infinita para el logaritmo al intentar calcular el área de un segmento hiperbólico. Poco después, Newton descubrió la serie binómica. Estos descubrimientos constituyen un punto fundamental de la historia de la Matemática. Un caso particular de la serie binómica es el conocido teorema del binomio que afirma que:

\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\]

donde \(x\) es un número real arbitrario, \(n\) un entero no negativo, y \(\binom{n}{k}\) es el coeficiente binomial. Newton encontró que esta fórmula, válida para valores enteros de \(n\) se podía extender a exponentes reales cualesquiera, sustituyendo la suma finita del segundo miembro, por una serie finita conveniente, si bien no lo demostró. Efectivamente, en un estudio cuidadoso de la serie binomial surgen algunas cuestiones bastante delicadas de convergencia a las que no se podía responder en la época de Newton.

Poco después de la muerte de Euler en 1783, el caudal de nuevos descubrimientos empezó a disminuir y el período formal en las historia de las series llegó a su término. Un nuevo período, y más crítico, empezó en 1812 cuando Gauss publicó la célebre memoria que contenía, por primera vez en la historia, un estudio riguroso de la convergencia de algunas series infinitas. Pocos años más tarde, Cauchy introdujo una definición analítica del concepto del límite en su tratado Curso de Análisis algebraico (publicado en 1821), y expuso los fundamentos de la teoría moderna de convergencia y divergencia. Dedicaremos algunos artículos a exponer los aspectos básicos de esta teoría.

Referencia bibliográfica. Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


Leer más ...

Argumentos a favor del cálculo mental

Este artículo se ha tomado del libro "Festival matemático. 50 pasatiempos y curiosidades", de George Szpiro

Desde que Pitágoras pintaba sus triángulos en los suelos arenosos de Samos hace unos 2500 años, los docentes no han dejado de buscar los mejores métodos para enseñar matemáticas a sus alumnos. Encontramos un ejemplo de ello en un debate surgido entre los expertos reunidos en el XXV Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Madrid durante el verano de 2006. Se discutieron los distintos enfoques utilizados en los centros de educación primaria y secundaria y las discrepancias fueron inevitables. Los «reformadores», que tienen en cuenta la evolución social y técnica, se enfrentaron a los «tradicionalistas», que defienden la aritmética con papel y lápiz. Hubo réplicas acaloradas, ánimos exaltados, y no salió indemne ni la manipulación aritmética más fundamental. Anthony Ralston, por ejemplo, un reformador precoz de la Universidad de Búfalo, abogó a gritos por la abolición de la aritmética con papel y lápiz en las clases. Aunque admitía la realización de cálculos de cabeza es esencial para el desarrollo de la valoración matemática, afirmaba también que la habilidad para efectural cálculos mentales podría conseguirse con facilidad utilizando calculadoras.Festival Matemático

A esto se opuso Ehud De Shalit, teórico de números de la Universidad Hebrea de Jerusalén muy anclado en las formas tradicionales de enseñar matemáticas. En su opinión, los profesores deben equipar a sus alumnos desde el primer momento con las herramientas que les permitirán manipular objetos matemáticos tales como números, figuras y símbolos. Como ejemplo mencionó las divisiones largas realizadas con lápiz y papel; no es necesario enseñar esa técnica a estudiantes de primaria porque es esencial que avancen en asuntos relacionados con la vida cotidiana, explicó De Shalit. Él entiende que esas operaciones se efectúan con más facilidad mediante calculadoras, pero ayudan a los alumnos a pensar y conceptualizar en términos matemáticos. Según De Shalit, las divisiones largas son, de hecho, todo un tesoro para la docencia, no tanto por su valor práctico sino porque refuerzan la comprensión del sistema decimal y explican cómo funcionan los algoritmos. Para demostrar la supuesta insensatez de las propuestas reformadoras, De Shalit formuló la pregunta retórica de si no querríamos también precindir por completo de las fracciones. Las fracciones se convierten fácilmente en números decimales con ayuda de calculadoras y, por tanto, podrían considerarse obsoletas, pero ése sería el primer paso hacia una cuesta abajo resbaladiza, advirtió a sus colegas. Sin el recurso de la calculadora, los alumnos no tardarían mucho en dejar de saber si \(3/7\) o \(5/9\) son mayores o menore que \(1/2\).

La cuestión de si usar o no calculadoreas y ordenadores en las aulas no fue el único escollo que enfrentó a reformadores y tradicionalistas. También tuvieron un gran día discutiendo cuál es el método óptimo para enseñar técnicas matemáticas a los alumnos. Ralston cree que se debería dejar que los alumnos desarrollasen los métodos con los que se sientan más cómodos. De Shalit enseguida rechazó como ilusorio que niños de 10 años sean capaces de descubrir por sí solos métodos matemáticos considerardos parte de los grandes logros de la antigüedad india y árabe. De modo que pide a los profesores que se concentren en los métodos normalizados, ya comprobados, a través de un programa de ejercitación y práctica. Sólo cuando dominen los métodos normalizados de cálculo podrá permitirse a los alumnos que recurran a sus propias iniciativas (por ejemplo, intercambiando multiplicandos).

Pero De Shalit matizó un tanto su estricta concepción. Las técnicas normalizadas no son lo más importante y, desde luego, tampoco constituyen el único aspecto de la enseñanza de las matemáticas.Para resolver problemas reales resultan esenciales otras habilidades: los alumnos deberían ser capaces de distinguir los datos relevantes de los irrelevantes, saber seleccionar con inteligencia las variables más importantes y ser capaces de traducir la prosa a formulaciones algebraicas. Estas habilidades son indispensables incluso antes de aplicar las técnicas puras y duras para resolver el problema. En geometría, por ejemplo, hay que dibujar las figuras a escala, hay que descomponer los objetos y hay que detectar las partes ocultas antes de utilizar la aritmética para efectuar los verdaderos cálculos.

Ambos bandos coincidieron en un punto: los exámenes son una cuestión política. Estuvieron de acuerdo en que la fijación de exámenes oficiales obstaculiza el trabajo de los docentes. Los exámenes oficiales tienen su utilidad, afirman los tradicionalistas, pero hay que estipular desde un principio qué examinan en realidad los exámenes. ¿Evalúan los conocimientos adquiridos, o el potencial futuro? ¿Miden capacidades algorítmicas, o el razonamiento creativo? ¿Se utilizan como criterio de admisión en una universidad, o para valorar distintos centros o programas de enseñanza?

Por su parte, los reformadores contemplan los exámenes oficiales como un desastre absoluto. Para hacer hincapié en este aspecto, Ralston menciona el decreto federal estadounidense de 2002 que decía «No Child left behind» ['Ningún niño rezagado']. El éxito del programa se midió mediante la puntuación en exámenes oficiales. La presión a la que se vieron sometidos los docentes los llevó a incentivar la capacidad de los chicos para efectuar manipulaciones rutinarias, en lugar de desarrollar su capacidad para resolver problemas. Así que tal vez los alumnos sacaran mejores notas en los exámenes, pero no adquirieron en realidad destreza matemática. Ralston está firmemente convencido de que los exámenes deberían utilizarse tan sólo con fines diagnósticos, ya que pueden servir como instrumento para determinar si un método particular de enseñanza funciona o no.

Leer más ...

Los grandes matemáticos

"Los grandes matemáticos" es el título de un libro escrito por Eric Temple Bell (1883-1960), publicado por la editorial Losada. Eric Temple Bell emigró de Escocia, su tierra natal, a los Estados Unidos, donde fue profesor del Instituto de Tecnología de California. Como matemático, hizo grandes aportes en el campo de la Teoria de números, aunque es más recordado por sus libros de historia de las matemáticas. Escribió también textos de ciencia ficción con el grandes matematicosseudónimo de John Taine.

El libro comienza con una serie de citas bajo el título "Ellos dicen lo que dicen. Dejadlos decir" (Lema del Marischal College, Aberdeen). La primera y última de las citas son de Alfred North Whitehead, matemático y filósofo inglés, y dicen así:

"La ciencia de la Matemática pura en su desarrollo moderno puede pretender ser la creación más original del espíritu humano".

"Es una buena regla afirmar que cuando un matemático o un filósofo escribe con una brumosa profundidad está diciendo algo carente de sentido".

A la serie de citas de eminentes matemáticos sigue una introducción en la que Bell expresa el objetivo de su obra:

"Las vidas de los matemáticos aquí presentados están dirigidas al lector común y a aquellos otros que quieren saber qué tipo de seres humanos son los hombres que han creado la Matemática moderna. Nuestro objetivo es dar a conocer algunas de las ideas dominantes que gobiernan amplios campos de las Matemáticas y hacerlo a través de las vidas de los hombres de los autores de estas ideas.

Para seleccionar los nombres se han seguido dos criterios: la importancia para la Matemática moderna de la obra de un hombre y el sentido humano de la vida y carácter del hombre. Algunos matemáticos pueden ser estudiados siguiendo estos dos criterios, por ejemplo: Pascal, Abel y Galois; otros, como Gauss y Cayley, principalmente atendiendo al primero, aunque ambos tienen vidas interesantes. Cuando estos criterios chocan o se superponen, como es el caso cuando hay varios pretendientes al recuerdo de un progreso particular, se ha dado preferencia al segundo criterio, pues aquí nos interesan los matemáticos, en primer término, como seres humanos".

Esto último tiene que ver con una cita de Karl Weierstrass, segun la cual "un matemático que no tega también algo de poeta jamás será un completo matemático".

El libro consta, tras la introducción, de 28 capítulos más. Son los siguientes.

  • Mentes modernas en cuerpos antiguos. Zenón (siglo V a.C.), Eudoxio (408-355 a.C.), Arquímedes (287?-212 a.C.).
  • Gentilhombre, soldado y matemático. Descartes (1596-1650).
  • El príncipe de los aficionados. Fermat (1601-1665).
  • "Grandeza y miseria del hombre". Pascal (1623-1662).
  • En la playa. Newton (1642-1727).
  • Maestro de todos los oficios. Leibniz (1646-1716).
  • ¿Naturaleza o educación? Los Benouilli (siglos XVII y XVIII).
  • La encarnación del análisis. Euler (1707-1783).
  • Una inmensa pirámide. Lagrange (1736-1813).
  • De campesino a presumido. Laplace (1749-1827).
  • Amigos de un emperador. Monge (1746-1818), Fourier (1768-1830).
  • El día de gloria. Poncelet (1788-1867).
  • El príncipe de la Matemática. Gauss (1777-1855).
  • Matemáticas y molinos de viento. Cauchy (1789-1857).
  • El Copérnico de la Geometría. Lobatchewsky (1793-1856).
  • Genio y pobreza. Abel (1802-1829).
  • El gran algorista. Jacobi (1804-1851).
  • Una tragedia irlandesa. Hamilton (1805-1865).
  • Genio y estupidez. Galois (1811-1832).
  • Gemelos invariantes. Sylvester (1814-1897), Cayley (1821-1895).
  • Maestro y discípula. Weierstrass (1815-1819), Sonja Kowalewsky (1850-1891).
  • Independencia completa. Boole (1815-1864).
  • El hombre, no el método. Hermite (1822-1901).
  • El hombre que duda. Kronecker (1823-1891).
  • Ánima cándida. Riemann (1826-1866).
  • Aritmética, lo segundo. Kummer (1810-1893), Dedekind (1831-1916).
  • El último universalista. Poincaré (1854-1912).
  • ¿Paraíso perdido? Cantor (1845-1918).

El libro se lee de manera muy amena y lo considero muy recomendable, sobre todo para aquellas personas que deseen conocer al matemático no solo como investigador de las matemáticas, sino como ser humano.

Leer más ...

Matemáticas básicas para el acceso a la Universidad

Matemáticas básicas para el acceso a la Universidad es el título de un libro cuyos autores son Ángel Manuel Ramos del Olmo y José María Rey Cabezas, profesores titulares de universidad en el Departamento de Matemática aplicada de la Universidad Complutense de Madrid (UCM).


Becas 10 - http://www.becas10.com/


Me ha parecido un libro muy completo, en el que se exponen de manera clara y eficaz todos los contenidos matemáticos necesarios para afrontar con matematicas basicasgarantías de éxito un grado de Ciencias, Tecnología o Ingeniería. El libro es altamente recomendable, como referencia matemática básica e integral, para todos aquellos alumos que deseen realizar algunos de los estudios mencionados. Además, el formato del libro es como el de un libro de matemáticas de universidad "de verdad". Lo que quiero decir con esto es que los libros de texto de secundaria y de bachillerato no tienen el aspecto de los libros de matemáticas con los que el alumno se va a encontrar en la universidad. Estos últimos utilizan para su escritura \(\LaTeX\), que es un es un sistema de composición muy adecuado para realizar documentos científicos y matemáticos de alta calidad tipográfica. Con este sistema están escritas también las fórmulas y expresiones que aparecen en los artículos de este sitio Web dedicado a las matemáticas.

En el prefacio del libro se explican muy bien las intenciones del mismo. Por eso me ha parecido una buena idea transcribirlo tal cual.

Prefacio

Al entrar a la universidad los alumnos a menudo se encuentran con material que los profesores suponen que ya han estudiado y con la típica frase "esto ya lo habéis dado, ¿verdad?", con el correspondiente estrés que esto puede generar. Visto desde el otro lado, el profesor suele oír quejas de algunos estudiantes que afirman que no han recibido clases sobre este material en la enseñanza secundaria y/o en Bachillerato. Además, si se le ocurre formular la pregunta antes citada, en muchas ocasiones verá a los estudiantes removiéndose en sus asientos, miradas perdidas, un murmullo general... y algunas tímidas respuestas.

En este volumen estudiantes y profesores encontrarán una recopilación de material matemático de un nivel previo a la universidad que les puede servir para preparar pruebas de acceso a la universidad, como texto de base para (al menos) el primer año de carrera y como texto al que recurrir, a modo enciclopédico, cuando lo precisen, sin necesidad de buscar una colección de libros y apuntes de cursos anteriores.

El origen de esta obra es un curso de preparación para pruebas de acceso a la universidad que los autores estuvieron impartiendo durante varios años en la Universidad Complutense de Madrid. Es en ese curso y en la interacción con sus estudiantes, cuando surge la idea inicial de su redacción. Además, la experiencia de los autores como profesores en clases de Matemáticas en los primeros años de universidad y como correctores en las actuales pruebas de acceso les ha permitido observar las carencias y necesidades a nivel matemático de muchos estudiantes, lo cual ha terminado de perfilar y completar la mencionada idea inicial. En este sentido este libro puede ser de especial ayuda como texto básico de referencia en los cursos introductorios de Matemáticas Básicas que, cada vez más, se imparten en los grados de Ciencias, Tecnología e Ingeniería.

El texto está dividido en tres partes en las que se clasifican los contenidos que se abordan: I) Álgebra y Geometría, II) Análisis, III) Estadística y Probabilidad. Cada parte está dividida en varios capítulos en los que se desgranan los principales resultados y la mayoría de sus demostraciones, junto con numerosas gráficas y ejemplos ilustrativos. Se ha considerado conveniente incluir, para los lectores interesados, demostraciones de la mayoría de los resultados presentados, a pesar de que muchas de ellas no suelen aparecer en los libros de enseñanza secundaria y de Bachillerato. Cada capítulo termina con una sección de problemas y otra sección con las correspondientes soluciones, lo que permitirá al lector comprobar el grado de conocimiento que ha adquirido sobre los contenidos de cada capítulo.

La parte de Álgebra y Geometría se inicia con la introducción a los números reales y se termina con el estudio del espacio euclídeo y de las cónicas, pasando previamente por capítulos sobres sistemas de ecuaciones lineales, trigonometría...

La parte de Análisis se inicia con el estudio de las sucesiones y su convergencia y de las funciones reales de variable real. Se continúa con un capítulo sobre números complejos (que muchos estudiantes de universidad afirman desconocer, a pesar de su enorme utilidad e importancia... y de ser, supuestamente, parte de los contenidos de Bachillerato). Se termina con la parte dedicada al Cálculo (derivadas e integrales) y sus aplicaciones.

Por último, la parte de Estadística y Probabilidad está dividida en tres capítulos. En el primero se estudia el Análisis Combinatorio, y muestra técnicas para facilitar el recuento de casos o cosas, necesario en muchas situaciones científicas y técnicas para facilitar el recuento de casos o cosas, necesario en muchas situaciones científicas cotidianas. El segundo capítulo esta dedicado a la Estadítica Descriptiva (sólo en el caso unidimensional) y presenta herramientas que permitan asimilar de una forma razonable grandes cantidades de información. En el tercer y último capítulo se presentan las nociones básicas de la teoría de la Probabilidad, con el objetivo de disponer de herramientas básicas que sirvan a la hora de intentar sacar conclusiones sobre lo que puede ocurrir en fenómenos o experimentos aleatorios.

Os dejo además, aquí y aquí, dos enlaces donde podréis encontrar más información sobre el libro.

Leer más ...

Las matemáticas no dejan de ser un juego: el lenguaje de las matemáticas

Las matemáticas no dejan de ser un juego. Un juego con unas reglas muy bien definidas. El que no maneja las reglas del juego con agilidad jugará mal y fracasará. Pero, curiosamente, para manejar las reglas no queda otra que jugar, aunque al principio siempre perdamos. No queda otra. En las reglas del juego se combinan, fundamentalmente, tres cosas: letras, números y operadores. Los operadores, digamos, son las operaciones suma, resta, multiplicación y división. La combinación de las letras, los números y los operadores se conoce con el nombre de expresiones algebraicas. El manejo de expresiones algebraicas requiere el respeto hacia una jerarquía entre los operadores y que, a veces, hace uso de otros símbolos, como corchetes o paréntesis. Si no somos capaces de aceptar esto y de respetar esta jerarquía, no seremos capaces de hablar el lenguaje de las matemáticas, ni de adentrarnos en el apasionante juego que con ellas nos espera. Si solamente manejamos de manera aislada alguna que otra regla, pero no sabemos o no estamos seguros de otras, no seremos capaces de ver el maravilloso horizonte matemático que hay detrás. Nunca podremos adentrarnos en el apasionante mundo de la ciencia y de las misteriosas verdades que hay detrás de los fenómenos físicos. Y es que la Física, o cualquier otra ciencia experimental, también habla en el lenguaje de las matemáticas. Podemos aceptarlo o no, pero sepan que todo, todo lo que nos rodea son matemáticas.

¿Por qué a muchos no nos resultan atractivas pues, las matemáticas? Entre otras cosas porque de pequeños, o no tan pequeños, por una u otra razón, no las aprendimos bien, o no las quisimos aprender bien.

De pequeños, espontáneamente, queremos aprender. El niño vive rodeado permanentemente de estímulos de los que está continuamente aprendiendo. ¿Os imagináis a un recién nacido al que, cada día que pasa, no se le habla, al que no se le hacen gestos, al que no se le transmiten voces y cantinelas de toda índole que le incitan a observar, a conocer, a reír, a descubrir el mundo que le rodea? ¿Qué sería de un bebé que pasa sus primeros doce meses de vida solamente, y digo solamente, durmiendo y comiendo? ¿Os imagináis que no tuviera ningún estímulo? No, es inimaginable. A un bebé lo estimulamos continuamente y él aprende con rapidez y todos nos alegramos cuando observamos sus evoluciones en la expresión y en el lenguaje. Todavía somos pequeños cuando nos enseñan las primeras reglas matemáticas. Y queremos aprenderlas. De hecho, no nos cuesta trabajo aprender los números, luego a contar. “¡Mira mamá, ya sé contar hasta veinte!” Y luego aprendemos sin dificultad a sumar y a restar, y también la tabla de multiplicar. Incluso nos aprendemos con rapidez las figuras geométricas más habituales: el cuadrado, el triángulo, el círculo… Y tenemos avidez por relacionar esas cosas y aprender más y…

Y, desgraciadamente, para muchos niños, llega cierta edad y empiezan a tomar algunas decisiones propias, personales, decisiones equivocadas. Y una de las decisiones es: “ya no quiero aprender más matemáticas porque son feas y aburridas”. En realidad eso ocurre porque el niño perdió el hábito de descubrir cosas y de hacer sus tareas escolares, y lo cambió por el hábito del “yo hago lo que me da la gana”. Seguramente porque vio que podía hacerlo, porque se lo podía permitir, pues a su alrededor nada ocurría si dejaba de lado sus obligaciones y sus tareas. Y, como es más cómodo, se dedica a ver la tele, a jugar con sus juguetes, con su móvil o tablet, o vaya a saber usted a qué otras cosas que a él le resultan, claro, mucho más agradables que aquel impulso inicial que tenía por descubrir y por aprender.

Pero las matemáticas ni son feas, ni son aburridas. Si alguien piensa así es porque ese alguien, insisto, tomó la decisión de que lo fueran, tomó la decisión de abandonarlas, pues le resultaba más cómodo descubrir otros mundos.

Si no se dejan de lado, si no se aprenden de manera obligada, rutinaria, fría y sistemática, el mundo de las matemáticas puede resultar fascinante. De hecho, la expresión de alegría y el sentimiento de satisfacción que yo he podido apreciar en algunos jóvenes cuando son capaces de dar la solución a un problema de matemáticas, no es comparable, seguramente, al que obtienen cuando hacen algo bien en cualquier otra materia. Las matemáticas tienen “ese algo” de reto que nos impulsa a querer descubrir y, para ello, tenemos que pensar, que razonar. Al igual que debemos procurar tener nuestro cuerpo sano y en forma mediante el deporte y una alimentación adecuada, también debemos animarnos a tener nuestro cerebro entrenado y alerta para cualquier cuestión matemática, y no tan matemática, que pueda surgir. Y en la aventura de la vida, eso es algo de una importancia excepcional pues, en el futuro, sabremos afrontar nuestros retos y problemas personales con una mirada completamente distinta. Los atacaremos mejor, y sabremos encontrar soluciones de entre un abanico de posibilidades que nosotros mismos nos encargaremos de elaborar.

Y el reto más grande es convertirnos en pequeños partícipes de la evolución humana, asociada naturalmente al querer saber más, a descubrir más cosas, a comprender el por qué de esto y de aquello. Imbuidos, persuadidos por esta inercia todos seremos mejores, el mundo será mejor. Recordemos la famosa cita del gran matemático David Hilbert: “debemos saber, sabremos”.

Leer más ...

Engañosa simplicidad

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La vida secreta de los números. Cómo piensan y trabajan los matemáticos", de George G. Szpiro

La mayoría de los niños pueden manejar los números enteros desde la guardería. Operar con fracciones es un poco más difícil. Los chavales tienen que estar un par de años en primaria para poder manejarlas. Pero los números irracionales son algo totalmente diferente. Los problemas empiezan al manejar números que no se pueden expresar como una fracción de números enteros.

Con las ecuaciones ocurre justo lo contrario. Es bastante fácil encontrar soluciones irracionales a los problemas. El lío empieza cuando un problema requiere que las soluciones sean sólo números enteros. La parte de las Matemáticas que lidia con estos problemas se llama teoría de números. Una fastidiosa caracterísitica de esta disiciplina es su aparente simplicidad. A primera vista, los problemas parecen muy simples. Sólo cuando uno se adentra un poco más en la materia se muestran explícitas sus terribles dificultades.

El matemático griego Diofanto, que vivió hace unos 1800 años en Alejandría y al que se conoce como el padre el Álgebra, es considerado el fundador de la teoría de números. En su honor, las ecuaciones con incógnitas que han de ser números enteros (números primos, en particular) se llaman ecuaciones diofánticas.

Su trabajo más importante, Arithmetica, consistía en unos 130 problemas y sus soluciones. Por desgracia, los libros fueron destruidos en un incendio en la Biblioteca de Alejandría en el año 391. Muchos años después, en el siglo XV, seis de los trece volúmenes originales fueron descubiertos. En 1968, aparecieron otros cuatro, aunque en una traducción incompleta del árabe. Durante años, no se supo interpretar los manuscritos del matemático griego de la Antigüedad, y sólo en el siglo XVII alguien consiguió darles sentido. Este hombre fue Pierre de Fermat, un magistrado francés que disfrutaba de su tiempo libre jugando con las matemáticas. Hoy en día, Fermat es además conocido por su notorio Último Teorema.

Uno de los problemas que planteó Diofanto sigue sin resolverse: ¿qué números pueden expresarse como la suma de dos números enteros o fracciones elevado cada uno a la tercera potencia? La cuestión puede responderse afirmativamente con los números \(7\) y \(13\), por ejemplo, dado que \(7=2^3+(-1)^3\) y \(13=\left(\dfrac{7}{3}\right)^3+\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\). ¿Pero qué pasa con números como el \(5\) y el \(35\)? Para responder a esta pregunta, hay que conocer los métodos más complicados de las Matemáticas modernas.

Lo único que han conseguido los matemáticos, por ahora, es un método para determinar si la descomposición de un número concreto se puede encontrar o no, pero son incapaces de conseguirla. Para determinar si un número ses puede descomponer en cubos, ha de calcularse la gráfica de una función llamada \(L\). Si la gráfica cruza o toca el eje \(X\) del sistema de coordenadas justo en el punto donde \(x=1\), el número en cuestión puede descomponerse en cubos. Si el valor de la función en \(x=1\) no es \(0\), no se puede descomponer. Esta condición la cumple el número \(35\): la función \(L\) asociada al mismo tiene el valor \(0\) en \(x=1\). Y ciertamente, \(35\) puede descomponerse en \(3^3+2^3\). Por el contrario, para el número \(5\), la gráfica de la función \(L\) no cruza el eje \(X\). Esto demuestra que \(5\) no puede descomponerse en cubos.

Don Zagier, director del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn, Alemania, dio una serie de conferencias públicas en Viena en 2003 sobre la descomposiciones diofánticas.

Zagier es uno de los matemáticos más importantes del mundo, y la base de su trabajo es la teoría de números. De niño, ya era un superdotado. Nacido en la ciudad alemana de Heidelberg en 1951, creció en Estados Unidos, acabó Secundaria con 13 años, completando la Licenciatura en Matemáticas y Física en el Instituto Tecnológico de Massachusetts con 16 años, y obtuvo un doctorado de Oxford con 19. A los 23 años, había obtenido el título necesario en Alemania para dar clases como profesor en el Instituto Max Planck de Matemáticas. A los 24 años, era el catedrático más joven de Alemania. Su talento no se limita sólo a las matemáticas, por cierto: habla nueve lenguas.

Una de las charlas de Zagier, parte de la serie de conferencias Gödel en Viena, se titulaba «Perlas de la teoría de números». La otra conferencia se dio en la inauguración de «math-space», una sala única en el museo de Viena cuya finalidad es dar cabida a conferencias sobre matemáticas para todos los públicos. Se espera que esta materia, comúnmente considerada como oscura, se pueda hacer asequible al gran público de la ciudad, que suele pasar el tiempo en óperas y salones de té.

Zagier es un hombre pequeño y estrafalario. Pero cuando empieza a hablar sobre su teoría preferida en público, su actuación haría palidecer de envidia a una estrella del rock. Saltando constantemente entre dos proyectores, asombra a su público con sus explicaciones matemáticas, en un perfecto alemán con un ligero acento americano. Hasta el que más deteste las matemáticas se olvidará de que está asistiendo a una conferencia sobre el tema. El placer con el que Zagier, al que algunos llaman el Supercerebro de Bonn, ejerce su vocación, es obvio para todo el mundo. Resulta difícil creer que matemáticos como él puedan ser acusados de tratar una materia aburrida.

Leer más ...

7. La parábola

Definición

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.

Entre las muchas aplicaciones de la parábola es destacable el hecho de que la trayectoria de cualquier proyectil es parabólica.

Ecuación reducida

Hallaremos la ecuación de una parábola cuyo foco se encuentre en el eje de abscisas y cuya directriz sea una recta vertical a la misma distancia del origen que el foco.

conicas 25

Como la distancia entre foco y directriz se suele designar por \(p\) (parámetro) tendremos que el foco es el punto \(F\left(\dfrac{p}{2}\,,\,0\right)\) y la directriz tendrá ecuación \(x=-\dfrac{p}{2}\) (ver figura anterior).

Por la definición de parábola tenemos:

\[d(F\,,\,p)=d(P\,,\,d)\]

Recordemos, en primer lugar, que para hallar la distancia de un punto a una recta se utiliza la ecuación normal de la recta \(\dfrac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+b^2}}\). En este caso, para la directriz \(d\), se tiene que \(A=1\), \(B=0\), \(C=\dfrac{p}{2}\).

Por tanto:

\[\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+(y-0)^2}=\frac{\displaystyle x+\frac{p}{2}}{\sqrt{1+0}}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \sqrt{x^2+\frac{p^2}{4}-px+y^2}=x+\frac{p}{2}\]

Elevando los dos miembros de esta última expresión al cuadrado:

\[x^2+\frac{p^2}{4}-px+y^2=x^2+\frac{p^2}{4}+px\]

y reduciendo términos semejantes tenemos la ecuación reducida de la parábola:

\[y^2=2px\qquad(7)\]

Ejemplo 9

La parábola cuyo foco es el punto \(P(3\,,\,0)\) y cuya directriz es la recta vertical \(x=-3\) tiene la ecuación

\[y^2=12x\]

ya que \(p=d(F\,,\,d)=6\)

Efectuando sucesivos giros de ejes de amplitud \(-90^{\text{o}}\), o bien a partir de la definición se obtienen las ecuaciones de las parábolas de la figura siguiente:

conicas 26

Descripción

A parte del foco y de la directriz son elementos importantes de la parábola el eje y el vértice. El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. El vértice de la parábola es el punto de ella que está en el eje. El segmento \(PF\) es el radio vector del punto \(P\) (véase la figura siguiente).

conicas 27

Ejemplo 10

En la parábola de la primera de las figuras de este artículo, el eje de la parábola es el eje de abscisas \(y=0\) y el vértice de la parábola es el origen de coordenadas.

Ecuación general

Para hallar la ecuación de una parábola de eje oblicuo como la de la figura anterior se debe aplicar la definición de parábola (suponiendo conocidos el foco y la directriz). Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo 11

Averiguar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto \((2\,,\,3)\) y cuya directriz es la recta \(x-y=0\) (bisectriz del primer y tercer cuadrantes)

Se trata de aplicar correctamente la definición de parábola. Tenemos que partir de que si \(P(x\,,\,y)\) es un punto cualquiera de la parábola, entonces:

\[d(F\,,\,P)=d(P\,,\,d)\Leftrightarrow\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}=\frac{x-y}{\sqrt{2}}\]

Elevando al cuadrado y operando:

\[(x-2)^2+(y-3)^2=\frac{(x-y)^2}{2}\Leftrightarrow x^2+4-4x+y^2+9-6y=\frac{x^2+y^2-2xy}{2}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow2x^2+8-8x+2y^2+18-12y=x^2+y^2-2xy\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-8x-12y+26=0\]

Aplicando a esta ecuación una traslación y un giro de ejes adecuados, obtendríamos una ecuación como las que estamos acostumbrados a ver representando a una parábola

Normalmente las parábolas que utilizaremos tendrán el eje horizontal o vertical y para obtener su ecuación basta hacer una traslación de ejes, como se puede ver en la figura siguiente.

conicas 28

Ejemplo 12

Calculemos la ecuación de un parábola cuyo foco es el punto \((2\,,\,3)\) y cuyo vértice es el punto \((3\,,\,5)\)

Se trata de una parábola vertical cuyo vértice está por encima del foco, con lo que se "abrirá" hacia abajo. Calculemos su ecuación, según la segunda fórmula de la figura anterior: \((x-a)^2=-2p(y-b)\). Como \(V(a\,,\,b)=(2\,,\,3)\), y \(p=2\cdot d(F\,,\,V)=6\), tenemos que la ecuación de la parábola es:

\[(x-3)^2=-12(y-5)\]

Si desarrollamos tenemos:

\[x^2-6x+9=-12y+60\]

Y despejando la variable \(y\):

\[y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{51}{12}\]

Esta es la ecuación de una parábola de las que se trabajan habitualmente en 3º o 4º de Educación Secundaria Obligatoria.

← 6. La hipérbola

8. Intersección de una cónica y una recta →

Leer más ...

6. La hipérbola

Definición

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

A esa constante se la suele llamar \(2a\).

La hipérbola es también una curva con abundantes aplicaciones. Un ejemplo bastante conocido es la relación entre la presión y el volumen de un gas ideal a temperatura constante, que viene representada por la rama positiva de una hipérbola equilátera. Lo veremos al final de esta entrada.

 Ecuación reducida

Veremos la ecuación de un hipérbola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos respecto del origen de coordenadas. Sean \(F(c\,,\,0)\) y \(F'(-c\,,\,0)\) esos focos y \(P(x\,,\,y)\) un punto cualquiera de la hipérbola (véase la figura siguiente).

conicas 17

Aplicando la definición:

\[d(F'\,,\,P)-d(F\,,\,P)=2a\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}-\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=2a\]

Operando de modo completamente igual a como se hizo en el caso de la elipse llegamos a:

\[(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\]

Dividiendo los dos miembros por \(a^2(c^2-a^2)\), resulta:

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1\]

Si llamamos \(b^2=c^2-a^2\) tenemos:

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(4)\]

Ejemplo 6

La ecuación de la hipérbola cuyos focos son \(F(5\,,\,0)\) y \(F'(-5\,,\,0)\) y tal que la diferencia de distancias de un punto cualquiera de ella a los focos es \(8\) es:

\[\begin{cases}2a=8\Rightarrow a=4\\b^2=c^2-a^2\Rightarrow b^2=25-16=9\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\]

Descripción

En la ecuación \((4)\):

\[y=0\Rightarrow x=\pm a\Rightarrow\begin{cases}A(a\,,\,0)\\A'(-a\,,\,0)\end{cases}\]

\(A\) y \(A'\) son los vértices de la hipérbola.

Por otro lado:

\[x=0\Rightarrow y=\pm\sqrt{-b^2}\notin\mathbb{R}\]

Es decir, la hipérbola no corta al eje de ordenadas. El sentido del número \(b\) nos lo da el teorema de Pitágoras: \(b^2=c^2-a^2\) (ver la figura siguiente).

conicas 18

Si analizamos la figura anterior tenemos que:

  • \(2a\) es la longitud del eje real de la hipérbola; \(a\) es el semieje real.
  • \(2b\) es la longitud del eje imaginario; \(b\) es el semieje imaginario.
  • \(2c\) es la distancia focal; \(c\) es la semidistancia focal.
  • Los segmentos \(PF=r\) y \(PF'=r'\) son los radio vecotes del punto \(P\).
  • Las rectas \(y=\dfrac{b}{a}x\), \(y=-\dfrac{b}{a}x\), que contienen al rectángulo de base \(2a\) y de altura \(2b\) se llaman asíntotas de la hipérbola y cumplen que la curva se va acercando a ellas indefinidamente pero sin llegar nunca a cortarlas.

Excentricidad

La excentricidad de una hipérbola es el cociente entre su semidistancia focal y su semieje real:

\[e=\frac{c}{a}\]

En este caso, como \(c\geq a\), es \(a\geq1\).

Ejemplo 7

La excentricidad de la hipérbola del ejemplo 6 es \(c=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{4}\)

También en este caso la excentricidad nos indica la forma de la curva (ver la figura siguiente).

conicas 19

Ecuación general

Aplicando convenientemente las fórmulas de traslación y el giro de ejes se puede hallar la ecuación de otros tipos de hipérbolas. En la figura siguiente tienes dos casos.

conicas 20           conicas 21

Hipérbola equilátera

La hipérbola equilátera es cualquier hipérbola cuya excentricidad sea igual a \(\sqrt{2}\). También cumple que sus dos semiejes son iguales: \(a=b\).

En efecto:

\[e=\sqrt{2}\Rightarrow\frac{c}{a}=\sqrt{2}\Rightarrow c=a\sqrt{2}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow b^2=c^2-a^2=(a\sqrt{2})^2-a^2=2a^2-a^2=a^2\]

Como \(b^2=a^2\) y tanto \(a\) como \(b\) son positivos, se tiene \(a=b\).

La ecuación de la hipérbola equilátera es:

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\Rightarrow x^2-y^2=a^2\qquad(5)\]

Esta ecuación puede transformarse de una manera interesante si efectuamos un giro de ejes, de modo que los nuevos ejes coincidan con las asíntotas (ver figura).

conicas 22

Utilizando las fórmulas de transformación de coordenadas que se vieron en el curso de geometría métrica plana, tenemos:

\[\begin{cases}x=x'\cos(-45º)-y'\text{sen}(-45º)=x'\frac{\sqrt{2}}{2}+y'\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y')\\y=x'\text{sen}(-45º)+y'\cos(-45º)=-x'\frac{\sqrt{2}}{2}+y'\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(-x'+y')\end{cases}\]

Sustituyendo en la ecuación \((5)\):

\[\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y')\right)^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-x'+y')\right)^2=a^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{1}{2}(x'^2+y'^2+2x'y')-\frac{1}{2}(x'^2+y'^2-2x'y')=a^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \frac{x'^2}{2}+\frac{y'^2}{2}+x'y'-\frac{x'^2}{2}-\frac{y'^2}{2}+x'y'=a^2\Rightarrow2x'y'=a^2\Rightarrow x'y'=\frac{a^2}{2}\]

Si llamamos \(K=\dfrac{a^2}{2}\), obtenemos para la hipérbola equilátera la ecuación (conocida como "ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas"):

\[x\cdot y=k\qquad(6)\]

Ejemplo 8

En la hipérbola equilátera cuya ecuación es \(x^2-y^2=2\), se tiene que \(K=\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{2}{2}=1\). Por tanto, la ecuación reducida referida a sus asíntotas es \(x\cdot y=1\)

Si efectuáramos un giro de \(45^\text{o}\) en los ejes (en vez de un giro de \(-45^\text{o}\)), la hipérbola equilátera, aparecería en el segundo y cuarto cuadrantes y su ecuación sería \(x\cdot y=-1\). En general \(x\cdot y=-\dfrac{a^2}{2}\)

 conicas 23

Las variables que se encuentran relacionadas por una fórmula como la \((6)\) se dice que son inversamente proporcionales.

Es lo que les sucede a la presión y el volumen de un gas ideal que se mantien a temperatura constante. La ley de Boyle-Mariotte afirma que en tales condiciones, presión y volumen son inversamente proporcionales:

\[P\cdot V=K\]

conicas 24

← 5. La elipse

7. La parábola →

Leer más ...
Suscribirse a este canal RSS

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas